Нормальное растяжение. Нормальное напряжение характеризует сопротивление сечения растяжению или сжатию

Задача 2.1.1: Для стержня, схема которого изображена на рисунке, продольная сила N в сечении 2-2 будет…

Варианты ответов:

1) равной нулю; 2) равномерно распределенной по сечению;

3) растягивающей; 4) сжимающей.

Решение:

1), 3) Ответ неверный! Скорее всего, допущена ошибка при определении продольной силы. Условие равновесия для правой части стержня от сечения 2-2 − , ,

2) Ответ неверный! Продольная сила – это равнодействующая нормальных напряжений, равномерно распределенных по площади поперечного сечения. Продольная сила – это сосредоточенная сила.

4) Ответ верный. Для определения продольной силы следует рассмотреть равновесие отсеченной правой части стержня откуда . В сечении 2-2 действует сжимающая продольная сила.

Задача 2.1.2: Сплошной однородный стержень круглого поперечного сечения диаметром d нагружен так, как показано на рисунке. Нормальные напряжения в сечении равны…

Варианты ответов:

1) ; 2) 0; 3) ; 4) .

Решение:

1) Ответ неверный! Площадь круглого поперечного сечения равна , где d – диаметр круга. Условие равновесия имеет вид .

2) Ответ верный. Нормальные напряжения при растяжении − сжатии определяются по формуле . Продольная сила N определяется из условия равновесия для отсеченной части стержня Откуда В результате .

3) Ответ неверный! Неправильно определена продольная сила N . Продольная сила N находится из условия равновесия оставленной части: , , откуда

4) Ответ неверный! Нормальные напряжения при растяжении − сжатии находят по формуле , где N – продольная сила в рассматриваемом сечении; А – площадь поперечного сечения.

Задача 2.1.3: Из гипотезы плоских сечений следует, что вдали от мест нагружения, резкого изменения формы и размеров поперечного сечения нормальные напряжения при растяжении − сжатии прямолинейных стержней распределяются по площади поперечного сечения …

Варианты ответов:

1) по закону квадратной параболы, достигая максимума на нейтральной линии;

2) по линейному закону, достигая минимума на нейтральной линии;

3) неравномерно, в зависимости от формы поперечного сечения;

4) равномерно.

Решение:

1), 2) Ответ неверный! Понятие «нейтральная линия» используется при изгибе. При растяжении − сжатии из гипотезы плоских сечений следует, что нормальные напряжения распределяются равномерно по площади поперечного сечения стержня.

3) Ответ неверный! Из гипотезы плоских сечений следует, что нормальные напряжения при растяжении − сжатии распределяются равномерно по площади поперечного сечения стержня. От формы поперечного сечения напряжения в данном случае не зависят.

4) Ответ верный. Гипотеза плоских сечений (Я. Бернули, 1654 − 1705) гласит: поперечные сечения стержня, плоские и нормальные до деформации к его оси, остаются плоскими и нормальными к оси и после деформации. Из гипотезы следует, что нормальные напряжения при растяжении − сжатии распределяются равномерно по площади поперечного сечения стержня.

Задача 2.1.4: Распределение нормальных напряжений при растяжении − сжатии вдали от мест нагружения, резкого изменения формы и размеров поперечного сечения существенно зависит от…

Варианты ответов:

1) величины и способа приложения внешних сил;

2) величины приложенных внешних сил;

3) способа приложения внешних сил;

4) от формы поперечного сечения

Решение:

1), 3) Ответ неверный! Согласно принципу Сен-Венана на достаточном удалении от места нагружения распределение напряжений зависит только от статического эквивалента приложенных внешних сил. От способа приложения внешних сил распределение напряжений зависит существенно лишь вблизи места нагружения.

2) Ответ верный. Согласно принципу Сен-Венана, если тело нагружается статически эквивалентными системами сил и размеры области их приложения невелики (по сравнению с размерами тела), то в сечениях, достаточно удаленных от мест приложения нагрузок, величина напряжений весьма мало зависит от способа нагружения.
Т.е. на достаточном удалении от места нагружения распределение напряжений зависит только от статического эквивалента приложенных внешних сил. От способа приложения внешних сил распределение напряжений зависит существенно лишь вблизи места нагружения. Кроме того, вблизи мест резкого изменения формы, перепадов размеров поперечного сечения наблюдается распределение напряжений, существенно отличающееся от характерного для данного вида нагружения.
Явление возникновения значительных местных напряжений называется концентрацией напряжений, а причина, вызвавшая концентрацию, − концентратором напряжений.

4) Ответ неверный! Нормальные напряжения при растяжении-сжатии определяются по формуле . Здесь N − продольная сила; А − площадь поперечного сечения стержня. Таким образом, нормальные напряжения при растяжении − сжатии от формы поперечного сечения не зависят.

Задача 2.1.5: Для стержня круглого поперечного сечения, схема которого изображена на рисунке, абсолютное удлинение равно…

Варианты ответов:

1) ; 2) ; 3) ; 4) 0

Решение:

1) Ответ верный.

Удлинение стержня В нашем случае , , Площадь сечения . Окончательно .

2) Ответ неверный! Напомним, что удлинение стержня в случае, когда и , находится по формуле . Здесь и (для круга).

3), 4) Ответ неверный! Скорее всего, допущена ошибка при определении продольной силы. Условие равновесия , ,

Задача 2.1.6: Стержень нагружен системой сил. Модуль упругости материала Е , площадь поперечного сечения А , размер а , значение силы F заданы. Продольная линейная деформация на участке СК равна …

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

Решение:

1) Ответ верный. Сделаем произвольное поперечное сечение на участке СК и рассмотрим равновесие правой отсеченной части.

Уравнение равновесия имеет вид:
Откуда Далее определяем нормальное напряжение: Из закона Гука вычислим значение продольной линейной деформации:
Второй способ определения величины .
Сначала определяем абсолютное удлинение участка СК :

а затем продольную линейную деформацию на этом участке:

2) Ответ неверный! При определении продольной линейной деформации неправильно записано выражение закона Гука .
При втором способе определения величины неправильно записано выражение для относительной продольной деформации. .

3), 4) Ответ неверный! Неправильно определена величина продольной силы.


Откуда

Растяжением (сжатием ) называется такой вид деформации стержня, при котором в поперечных сечениях возникает только продольная сила. Её вектор перпендикулярен к поперечному (перпендикулярному к оси стержня) сечению. Растяжение (сжатие), при котором внешняя сила направлена вдоль оси стержня (одно из наиболее простых видов нагружения), называется центральным .

Определение продольной силы проиллюстрируем на примере растяжения стержня (рис. 6а ). Прямой стержень постоянного сечения (например, квадратного со стороной а ), жёстко закреплён в верхней его

части и нагружен осевыми силами и в точках 1 и 2 . Весом стержня пренебрежём.

Разбиваем стержень вдоль его длины на участки, определяемые точками приложения сил: первый участок 1–2 , второй – 2–3 .

Применим метод сечений (РОЗУ ) – рассекаем стержень в произвольном сечении I−I на первом участке, отбрасываем верхнюю часть. Действие внутренних силовых факторов заменяем равнодействующей силой в сечении (рис. 6б ).

Уравновешивание рассматриваемой части стержня показывает, что продольная сила (согласно уравнению (1.1)) равна

и направлена от сечения. По правилу знаков в сопротивлении материалов продольная сила считается положительной, если она направлена от сечения (рассматриваемый участок стержня работает на растяжение). Если бы продольная сила была направлена к сечению, то она считалась бы отрицательной (рассматриваемый участок стержня работает на сжатие).

Поскольку сечение I−I на первом участке было выбрано произвольно, продольная сила по длине стержня на этом участке будет постоянной.

Рассматривая аналогично сечение II−II (рис. 6в ), находим продольную силу на втором участке:

Аналогично первому участку, продольная сила на втором участке постоянна.

По полученным значениям продольных сил строим график зависимости – эпюру продольных сил, показанную на рис. 6г .

Конец работы -

Эта тема принадлежит разделу:

Аксиомы статики

Механика наука о механическом взаимодействии между телами и о механическом движении материальных тел то есть изменении с течением времени... Теоретическая механика делится на три части статику кинематику и динамику... Все тв рдые тела в той или иной мере обладают свойствами прочности и ж сткости т е способны в определ нных пределах...

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ:

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Твитнуть

Все темы данного раздела:

Определение диаметра проволоки пружины
При работе цилиндрической винтовой пружины в осевых сечениях витков возникают напряжения кручения τk и среза τср, или суммарное напряже

Требования, предъявляемые к зубчатым зацеплениям
Зацепление, применяющееся в зубчатых передачах, должно обеспечить: 1. Постоянство передаточного отношения (i=ωвх/ωвых). 2. Н

Основной закон зацепления
Как было сказано, важнейшим требованием, предъявляемым к передачам, является постоянство передаточного отношения в любой момент зацепления пары колёс. Передача движения в зубчатых колёсах происходи

Уравнения эвольвенты
Эвольвентой (от лат. evolvens (evolventis) – разворачивающий) или развёрткой окружности называют плоскую кривую А0Y (рис. 54), которая

Эвольвентное зацепление
Пусть вращательное движения передаётся при помощи двух звеньев, профили которых выполнены по кривым Э1 и Э2, являющиеся эвольвентами основных окружностей радиусо

Прямозубых передач
За базу для определения элементов и размеров зубьев колёс принимается делительная окружность, являющаяся параметром станочного з

Коэффициент торцового перекрытия
Коэффициент торцового перекрытия учитывает непрерывность и плавность зацепления в передаче. Эти качеств

Вопросы для самопроверки
1. Для чего применяют передаточные механизмы? Виды передаточных механизмов, их основные внешние характеристики. 2. Зубчатые механизмы (передачи), область применения, достоинства

Касательное напряжение характеризует сопротивление сечения сдвигу.

Сила N (продольная) вызывает появление нормального напря­жения σ. Силы Q x и Q y вызывают появление касательных напря­жений τ . Моменты изгибающие М х и М у вызывают появление нор­мальных напряжений σ , переменных по сечению.

Крутящий момент М Z вызывает сдвиг сечения вокруг продоль­ной оси, поэтому появляются касательные напряжения τ .

Примеры решения задач

Последовательность построения эпюр продольных сил

1. Изобразить расчетную схему бруса и приложить заданные силы. При необ­ходимости определить опор­ную реакцию из уравнения равновесия.
2. Брус разбить на участ­ки соответственно точкам приложения сил.
3. Определить по методу сечений продольную силу для каждого участка.
4. Найденные величины продольных сил отложить в масштабе в виде ординат, перпендикулярных оси стерж­ня. Через концы ординат провести линии; проставить знаки и заштриховать эпю­ру параллельно ординатам

Пример 1. Определить величину продольной силы в сечении 1-1 (рис. 19.4).

Решение

Используем уравнение равновесия

Рассматривая левую часть бруса, определяем

Рассматривая правую часть бруса, определяем N z 1 = 23 - 14 = 9кН.

Величина продольной силы в сечении не зависит от того, какая часть бруса рассматривается.

Пример 2. Определить внутренний силовой фактор в сечении 1-1 (рис. 19.5а).

Решение

Рассматриваем правую часть бруса. На отсеченную часть бруса принято смотреть со стороны отброшенной части (рис. 19.5, б). Полу­чаем M z = 246 – 40 – 16 = 190 кН м.

Пример 3. Для бруса, изображенного на рис. 2.4, а, построить эпюру продольных сил.

Решение

Заданный брус имеет три участка 1, II, III (рис. 2.4, а). Границами участков при построении эпюры N являются сечения, в которых приложены внешние силы.

1. Проведем произвольное сечение аb на участке 1 и, отбросив левую часть бруса, рассмотрим равновесие пра­вой части, изображенной отдельно на рис. 2.4, б.

2. На оставленную часть действуют сила Р 1 и искомое усилие N 1 . Проектируя на ось z силы, действующие на оставленную часть, получаем:

Значение получилось со знаком плюс, что указы­вает на совпадение ее предположительного (см. рис. 2.4, 6) направления с действительным. Сила направлена от сечения, т. е. участок I испытывает растяжение.

3. Проведем произвольное сечение cd на участке II, от­бросим левую часть бруса и рассмотрим равновесие оставленной (правой) части, изображенной отдельно на рис. 2.4, в. Р 1 , Р 2 и искомое усилие N II .. Проектируя эти силы на ось г, получаем

Сила N II направлена от сечения, т. е. участок II испытывает растяжение.

Проведем произвольное сечение еf на участке III, от­бросим левую часть бруса и рассмотрим равновесие оставлен­ной (правой) части, изображенной отдель­но на рис. 2.4, г. На оставленную часть действуют силы Р 1 , Р 2 , Р 3 и искомое уси­лие N III . Проекти­руя эти силы на ось z, получаем

Сила N III направ­лена к сечению, т. е. участок III испыты­вает сжатие.

Напомним, что продольные силы, соответствующие растяжению, принято считать положительными, а соот­ветствующие сжатию - отрицательными.

Эпюра продольных сил показана на рис. 2.4, д .

Контрольные вопросы и задания

1. Какие силы в сопротивлении материалов считают внешними? Какие силы являются внутренними?

2. Какими методами определяют внешние силы? Как называют метод для определения внутренних сил?

3. Сформулируйте метод сечений.

4. Как в сопротивлении материалов располагают систему коор­динат?

5. Что в сопротивлении материалов называют внутренними си­ловыми факторами? Сколько в общем случае может возникнуть внутренних силовых факторов?

6. Запишите систему уравнений, используемую при определении внутренних силовых факторов в сечении?

7. Как обозначается и как определяется продольная сила в се­чении?

8. Как обозначаются и как определяются поперечные силы?

9. Как обозначаются и определяются изгибающие и крутящий моменты?

10. Какие деформации вызываются каждым из внутренних си­ловых факторов?

11. Что называют механическим напряжением?

12. Как по отношению к площадке направлены нормальное и касательные напряжения? Как они обозначаются?

13. Какие напряжения возникают в поперечном сечении при дей­ствии продольных сил?

14. Какие напряжения возникают при действии поперечных сил?

17. Ответьте на вопросы тестового задания.

Тема 2.1. Основные положения, метод сечений, напряжения

Решение:

При небольших напряжениях материал ведет себя как абсолютно упругий, а связь между продольной деформацией и нормальным напряжением в поперечном сечении линейная (см. рисунок). Это положение называется законом Гука. Аналитически закон Гука записывается в виде формулы где Е – коэффициент пропорциональности, который называется модулем упругости. Поскольку – величина безразмерная, размерности и Е одинаковы.

№2

Для стержня круглого поперечного сечения диаметром d , схема которого изображена на рисунке, абсолютное укорочение равно _______ . Модуль упругости материала Е задан.

Решение:

Абсолютное укорочение определяется по формуле В нашем случае , , Площадь сечения . Окончательно .

№3
Продольная сила есть равнодействующая …

Решение:

Нормальное напряжение − это сила, приходящаяся на единицу площади поперечного сечения. Напряжения распределены по площади сечения равномерно. Если их сложить, то получим их равнодействующую – продольную силу, которая приложена к центру тяжести поперечного сечения.

№4
Вдали от мест нагружения характер распределения нормальных напряжений по площади поперечного сечения при растяжении − сжатии зависит от …

Решение:
На достаточном удалении от места приложения внешних сил распределение напряжений зависит только от их статического эквивалента (принцип Сен-Венана). От способа приложения внешних сил распределение напряжений зависит существенно лишь вблизи места нагружения.

№5

На рисунке показан стержень, растянутый силами, направленными вдоль оси стержня. Равномерное распределение линейных продольных деформаций в поперечном сечении, достаточно удаленных от мест приложения сил, является следствием …

Решение:
Равномерное распределение линейных продольных деформаций по площади поперечного сечения является следствием гипотезы плоских сечений. Согласно этой гипотезе, все продольные слои материала между двумя поперечными сечениями удлиняются (или укорачиваются) одинаково. Это означает, что линейные продольные деформации распределены по площади сечения равномерно.

№6

Абсолютно жесткий элемент (заштрихованный) поддерживается упругим стержнем 1. Сила длина диаметр и модуль упругости материала стержня Е известны. Линейная продольная деформация стержня 1 равна …

Решение:

Рассмотрим равновесие заштрихованного элемента (см. рисунок). Запишем одно из условий равновесия

Откуда Напряжение
Из закона Гука

№7

Стержень круглого поперечного сечения диаметром d нагружен так, как показано на рисунке. Нормальные напряжения в сечении 1−1 равны …

Решение:

Нормальные напряжения при растяжении − сжатии определяются по формуле . Продольная сила N находится из условия равновесия отсеченной части стержня Откуда В результате

№8

Для стержня, схема которого изображена на рисунке, продольная сила N в сечении 2−2 …

Решение:

Для определения продольной силы следует рассмотреть равновесие отсеченной правой части стержня откуда .

№9

На рисунке показан растянутый стержень. Между продольными слоями материала …

Решение:
В сопротивлении материалов вводится гипотеза о том, что при растяжении-сжатии продольные слои материала в поперечном направлении друг на друга не давят. Согласно этой гипотезе напряжения между слоями материала равны нулю.

№10

На рисунке показан стержень, растянутый силами . Равномерный характер распределения нормальных напряжений по площади поперечных сечений (расположенных вдали от точек приложения сил) является следствием …

Решение:

Гипотеза плоских сечений гласит: «Поперечные сечения стержня, плоские до деформации, остаются плоскими и в процессе деформации». Это означает, что все продольные слои материала между соседними сечениями удлиняются (или укорачиваются) на одну и ту же величину, поэтому напряжения в поперечном сечении распределены по площади сечения равномерно.

Возникающие в различных поперечных сечениях стержня, неодинаковы, закон их изменения по длине стержня представляется в виде графика N(z), называемого эпюрой продольных сил . Эпюра продольных сил необходима для оценки стержня и строится для того, чтобы найти опасное сечение (поперечное сечение, в котором продольная сила принимает наибольшее значение ).

Как строить эпюру продольных сил?

Для построении эпюры N используется . Продемонстрируем его применение на примере (рис. 2.1).

Определим продольную силу N, возникающую в намеченном нами поперечном сечении .

Разрежем стержень в этом месте и мысленно отбросим нижнюю его часть (рис. 2.1, а). Далее мы должны заменить действие отброшенной части на верхнюю часть стержня внутренней продольной силой N.

Для удобства вычисления ее значения закроем рассматриваемую нами верхнюю часть стержня листком бумаги. Напомним, что N, возникающее в поперечном сечении, можно определить как алгебраическую сумму всех продольных сил, действующих на отброшенную часть стержня, то есть на ту часть стержня, которую мы видим.

При этом применяем следующее : силы, вызывающие растяжение оставленной части стержня (закрытой нами листком бумаги) входят в упомянутую алгебраическую сумму со знаком «плюс», а силы, вызывающие сжатие – со знаком «минус».

Итак, для определения продольной силы N в намеченном нами поперечном сечении необходимо просто сложить все внешние силы, которые мы видим. Так как сила кН растягивает верхнюю часть, а сила кН ее сжимает, то кН.

Знак «минус» означает, что в этом сечении стержень испытывает сжатие.

Можно найти опорную реакцию R (рис. 2.1, б) и составить уравнение равновесия для всего стержня, чтобы проверить результат.