Внутренние силы. Метод сечений. Виды деформаций

Основные гипотезы и допущения в сопротивлении материалов.

При построении теории расчета невозможно отразить все многообразие свойств реальных материалов, поэтому приходится делать целый ряд допущений, упрощающих расчеты.

1.В курсе сопротивления материалов рассматривается идеализированное тело, которое считается сплошным (без пустот) и однородным. Это означает, что свойства материала не зависят от формы и размера тела и одинаковы во всех его точках.

2.Упругие свойства материала во всех направлениях одинаковы, т.е. материал тела обладает упругой изотропией.

3.Тело считается абсолютно упругим, если после устранения причин, вызывающих деформацию, оно полностью восстанавливает свои первоначальные форму и размеры. Это допущение справедливо лишь при напряжениях, не превышающих предел упругости.

4.Деформации материала конструкции в каждой его точке прямо пропорциональны напряжениям в этой точке (закон Гука). Закон Гука справедлив лишь при напряжениях, не превышающих предел пропорциональности.

5.Деформации элементов конструкции в большинстве случаев настолько малы, что можно не учитывать их влияние на взаимное расположение нагрузок и на расстояние от нагрузок до любых точек конструкции.

6.Результат воздействия на конструкцию системы нагрузок равен сумме результатов воздействия каждой нагрузки в отдельности (принцип независимости действия сил).Принцип независимости действия сил не распространяется на работу внешних и внутренних сил и на потенциальную энергию.

7.Поперечное сечение, плоское до деформации, остается плоским и после деформации (гипотеза плоских сечений Бернулли)

Внутренние силы. Метод сечений. Виды деформаций.

Взаимодействие между частями рассматриваемого тела характеризуется внутренними силами, которые возникают внутри тела под действием внешних нагрузок и определяются силами межмолекулярного воздействия. Эти силы сопротивляются стремлению внешних сил разрушить элемент конструкции, изменить его форму, отделить одну часть от другой.

В брусе сечение проводят перпендикулярно его оси. Такое сечение называют поперечным.

Величины внутренних усилий определяются с применением метода сечений, суть которого заключается в следующем. Если при действии внешних сил тело находится в состоянии равновесия, то любая отсеченная часть тела вместе с приходящимися на нее внешними и внутренними усилиями также находится в равновесии, следовательно, к ней применимы уравнения равновесия.

Виды деформации твердых тел

1. Деформация растяжения - вид деформации, при которой нагрузка прикладывается продольно от тела, то есть соосно или параллельно точкам крепления тела. Проще всего растяжение рассмотреть на буксировочном тросе для автомобилей. Трос имеет две точки крепления к буксиру и буксируемому объекту, по мере начала движения трос выпрямляется и начинает тянуть буксируемый объект. В натянутом состоянии трос подвергается деформации растяжения, если нагрузка меньше предельных значений, которые может он выдержать, то после снятия нагрузки трос восстановит свою форму.

2. Деформация растяжения является одним из основных лабораторных исследований физических свойств материалов. В ходе приложения растягивающих напряжений определяются величины, при которых материал способен:

воспринимать нагрузки с дальнейшим восстановлением первоначального состояния (упругая деформация)

воспринимать нагрузки без восстановления первоначального состояния (пластическая деформация)

разрушаться на пределе прочности

Данные испытания являются главными для всех тросов и веревок, которые используются для строповки, крепления грузов, альпинизма. Растяжение имеет значение также при строительстве сложных подвесных систем со свободными рабочими элементами.

3. Деформация сжатия

Деформация сжатия - вид деформации, аналогичный растяжению, с одним отличием в способе приложения нагрузки, ее прикладывают соосно, но по направлению к телу. Сдавливание объекта с двух сторон приводит к уменьшению его длины и одновременному упрочнению, приложение больших нагрузок образовывает в теле материала утолщения типа «бочка».

В качестве примера можно привести тот же прибор что и в деформации растяжения немного выше.

Деформация сжатия широко используется в металлургических процессах ковки металла, в ходе процесса металл получает повышенную прочность и заваривает дефекты структуры. Сжатие также важно при строительстве зданий, все элементы конструкции фундамента, свай и стен испытывают давящие нагрузки. Правильный расчет несущих конструкций здания позволяет сократить расход материалов без потери прочности.

4. Деформация сдвига

Деформация сдвига - вид деформации, при котором нагрузка прикладывается параллельно основанию тела. В ходе деформации сдвига одна плоскость тела смещается в пространстве относительно другой. На предельные нагрузки сдвига испытываются все крепежные элементы - болты, шурупы, гвозди. Простейший пример деформации сдвига – расшатанный стул, где за основание можно принять пол, а за плоскость приложения нагрузки – сидение.

5. Деформация изгиба

Деформация изгиба - вид деформации, при котором нарушается прямолинейность главной оси тела. Деформации изгиба испытывают все тела подвешенные на одной или нескольких опорах. Каждый материал способен воспринимать определенный уровень нагрузки, твердые тела в большинстве случаев способны выдерживать не только свой вес, но и заданную нагрузку. В зависимости от способа приложения нагрузки при изгибе различают чистый и косой изгиб.

Значение деформации изгиба важно для проектирования упругих тел, таких, как мост с опорами, гимнастический брус, турник, ось автомобиля и другие.

6. Деформация кручения

Деформация кручения – вид деформации, при котором к телу приложен крутящий момент, вызванный парой сил, действующих в перпендикулярной плоскости оси тела. На кручение работают валы машин, шнеки буровых установок и пружины.

Под действием внешних сил в твердом теле возникают внутрен­ние силы, стремящиеся восстановить его первоначальные форму и раз­меры. Величина внутренних сил с увеличением деформаций рас­тет до тех пор, по­ка не уравновесятся внутренние и внешние силы. В противном случае взаимная связь между частицами твердого тела нарушится и произойдет его разрушение. Таким образом, непос­ред­ст­венной причиной разруше­ния являются внутренние силы, величина которых достигает величины сил­ меж­­­­молекулярного сцепления.

1.7. Метод сечений

Для определения внутренних усилий, возникающих в элементе под действием нагрузки, используется метод сечений, главная идея которого зак­лю­чается в переводе внутренних сил во внешние и использовании ус­ло­вия равновесия. Рассмотрим его алгоритм.

1. Мысленно тело рассекается на две части А иВ (рис. 1.4,а ).

2. Отбрасывается одна из частей тела.

3. Из условия ра­­в­­­­­но­­­весия отброшенная часть заменяется некоторой системой сил, ко­­то­­рые яв­ляются силами взаимодействия частей А иВ .

4. Рассматривается равновесие оставшейся части. При этом систему сил взаимодействия, распределенную по сечению, мож­но привести к од­ной точке, (например, к центру тяжести сечения). В ре­зуль­тате к каждой час­ти будут приложены в этой точке сечения главный вектор и глав­ный момент(рис. 1.4,б ).

а ) б )

б) поперечная сила считается положительной, если она стремит­ся по­ве­рнуть вырезанный из балки элемент бесконечно малой длины по ходу часовой стрелки;

в) изгибающий момент считается положительным, если он вы­зы­­ва­ет растяжение нижних волокон балки.

1.8. Основные виды деформаций бруса

Любое внутреннее усилие, возникающее в по­пе­речном сечении бру­са, полностью определяет характер его дефор­ма­ции. В самом общем слу­­чае наг­ру­­­­жения бруса в его сечениях могут одно­вре­­менно возникнуть все шесть внут­рен­них силовых факторов . В част­ных же случаях нагружения в поперечном се­че­нии воз­никают не все ком­по­не­н­­­ты внутренних сил, когда какие-то из них об­ра­ща­ются в нуль. В этом слу­чае будет иметь место одна из следующих видов де­фор­ма­ций.

1. Растяжение или сжатие . В этом случае в поперечном сечении бруса возникает только одна продольная сила, которая в случае рас­тя­жения будет направлена от рассматриваемого сечения, а при сжатии - к се­чению.

2. Сдвиг (срез, скалывание) - в поперечном сечении возникает только од­­на из поперечных сил:или. Такого рода деформации проис­хо­дят, нап­ример, при работе болтовых, заклепочных и сварных соеди­не­ний.

3. Изгиб - в поперечном сечении возникает только изгибающий мо­ментили, а часто одновременно с изгибающим моментом воз­ни­ка­ет и по­пе­речная сила.

4. Кручение - в поперечном сечении бруса возникает только кру­тя­щий момент. На кручение, например, работают валы машин и меха­низ­­мов.

5. Сложные деформации (сложное сопротивление) - в сечении одно­вре­­­мен­но возникает несколько силовых факторов, например, изгиба­ю­щий или кру­тя­щий мо­мент с продольной силой и т. д.

Метод сечений позволяет определить внутренние силы, которые возникают в стержне, находящемся в равновесии под действием внешней нагрузки.

ЭТАПЫ МЕТОДА СЕЧЕНИЙ

Метод сечений состоит из четырех последовательных этапов: разрезать, отбросить, заменить, уравновесить .

Разрежем стержень, находящийся в равновесии под действием некоторой системы сил (рис. 1.3, а) на две части плоскостью, перпендикулярной к его оси z.

Отбросим одну из частей стержня и рассмотрим оставленную часть.

Поскольку мы как бы разрезали бесчисленное множество пружинок, соединявших бесконечно близкие частицы тела, разделенного теперь на две части, в каждой точке поперечного сечения стержня необходимо приложить силы упругости, которые при деформации тела возникли между этими частицами. Иными словами, заменим действие отброшенной части внутренними силами(рис. 1.3, б).

ВНУТРЕННИЕ СИЛЫ В МЕТОДЕ СЕЧЕНИЙ

Полученную бесконечную систему сил по правилам теоретической механики можно привести к центру тяжести поперечного сечения. В результате получим главный вектор R и главный момент M (рис. 1.3, в).

Разложим главный вектор и главный момент на составляющие по осям x, y (главные центральные оси) и z.

Получим 6 внутренних силовых факторов , возникающих в поперечном сечении стержня при его деформировании: три силы (рис. 1.3, г) и три момента(рис. 1.3, д).

Сила N - продольная сила

–поперечные силамы,

момент относительно оси z () – крутящий момент

моменты относительно осей x, y () – изгибающие моменты.

Запишем для оставленной части тела уравнения равновесия (уравновесим ):

Из уравнений определяются внутренние усилия, возникающие в рассматриваемом поперечном сечении стержня.

12.Метод сечений. Понятие о внутренних усилиях. Простые и сложные деформации. Деформации рассматриваемого тела (элементов конструкции) возникают от приложения внешней силы. При этом изменяются расстояния между частицами тела, что в свою очередь приводит к изменению сил взаимного притяжения между ними. Отсюда, как следствие, возникают внутренние усилия. При этом внутренние усилия определяются универсальным методом сечений (или метод разреза).Простые и сложные деформации. Использование принципа суперпозиции.

Деформация бруса называется простой, если в его поперечных сечениях возникает только один из вышеперечисленных внутренних силовых факторов. Здесь и далее силовым фактором будем называть любую силу или момент.

Лемма. Если брус прямой, то любая внешняя нагрузка (сложная нагрузка) может быть разложена на составляющие (простые нагрузки), каждая из которых вызывает одну простую деформацию (один внутренний силовой фактор в любом сечении бруса).

Читателю предлагается самостоятельно доказать лемму для любого частного случая нагружения бруса (подсказка: в ряде случаев требуется вводить фиктивные самоуравновешенные нагрузки).

Существуют четыре простые деформации прямого бруса:

Чистое растяжение – сжатие (N ≠ 0, Q y = Q z = M x = M y = M z =0);

Чистый сдвиг (Q y или Q z ≠ 0, N = M x = M y = M z = 0);

Чистое кручение (M x ≠ 0, N = Q y = Q z = M y = M z = 0);

Чистый изгиб (M y или M z ≠ 0, N = Q y = Q z = M x = 0).

На основании леммы и принципа суперпозиции задачи сопротивления материалов можно решать в следующей последовательности:

В соответствии с леммой сложную нагрузку разложить на простые составляющие;

Решить полученные задачи о простых деформациях бруса;

Просуммировать найденные результаты (с учётом векторного характера параметров напряженно-деформированного состояния). В соответствии с принципом суперпозиции это будет искомое решение задачи.

13. Понятие о напряжённых внутренних силах. Связь между напряжениями и внутренними силами. Механическое напряжение - это мера внутренних сил, возникающих в деформируемом теле, под влиянием различных факторов. Механическое напряжение в точке тела определяется как отношение внутренней силы к единице площади в данной точке рассматриваемого сечения.

Напряжения являются результатом взаимодействия частиц тела при его нагружении. Внешние силы стремятся изменить взаимное расположение частиц, а возникающие при этом напряжения препятствуют смещению частиц, ограничивая его в большинстве случаев некоторой малой величиной.

Q - механическое напряжение.

F - сила, возникшая в теле при деформации.

S - площадь.

Различают две составляющие вектора механического напряжения:

Нормальное механическое напряжение - приложено на единичную площадку сечения, по нормали к сечению (обозначается).

Касательное механическое напряжение - приложено на единичную площадку сечения, в плоскости сечения по касательной (обозначается).

Совокупность напряжений, действующих по различным площадкам, проведенным через данную точку, называется напряженным состоянием в точке.

В Международной системе единиц (СИ) механическое напряжение измеряется в паскалях.

14.Центральное растяжение и сжатие. Внутренние усилия. Напряжения. Условия прочности. Центральным растяжением (или центральным сжатием) называется такой вид деформации, при котором в поперечном сечении бруса возникает только продольная сила (растягивающая или сжимающая), а все остальные внутренние усилия равны нулю. Иногда центральное растяжение (или центральное сжатие) кратко называют растяжением (или сжатием) .

Правило знаков