Нормальные напряжения при изгибе вывод формулы. Нормальные напряжения при чистом прямом изгибе

Рассмотрим балку, испытывающую чистый изгиб парами (Рис.5.3).

Разрежем балку сечением

не две части и рассмотрим условия равновесия одной из них, например, левой, показанной на рис.5.3 внизу. Для простоты чертежа балка взята прямоугольного сечения. Так как практически искривления балки ничтожны по сравнению с ее размерами, то отсеченная часть изображена недеформированной.

Линия пересечения плоскости симметрии балки с плоскостью сечения принята за ось . Нейтральная линия сечения принята за ось

, причем положение ее по высоте балки пока неизвестно. Ось

взята вдоль нейтрального слоя перпендикулярно осям

и

.

В каждой точке поперечного сечения действуют нормальные напряжения . Выделив вокруг любой точки с координатами

и

элементарную площадку

, обозначим действующую на ней силу

.

Отсеченная часть балки находится в равновесии под действием внешних сил, образующих пару

, и нормальных усилий

, заменяющих отброшенную часть балки. Для равновесия эта система должна удовлетворять шести уравнениям статики. Составим сначала уравнения равновесия проекций сил на три координатные оси

,

и

.

Так как проекция пары

на любую ось равна нулю, то эти уравнения дают равенство суммы проекций нормальных усилий

на оси. Заменяя суммирование этих усилий по всей площади сечения интегрированием, получим:

. (5.3)

и

обращаются в тождества 00, так как усилия

проектируются на эти оси в точку.

Составим теперь уравнения моментов относительно осей

,

и

. Заметим при этом, что пара

лежит в плоскости

и поэтому моментов относительно осей

и

не дает.

обращается в тождества, так как усилия

параллельны оси

.

;

,

, (5.4)

;

. (5.5)

Таким образом, из шести уравнений равновесия можно использовать только три:

или

, (5.6)

; или

, (5.7)

; или

. (5.8)

Полученных трех уравнений статики недостаточно для определения величины нормальных напряжений, так как изменяется в зависимости от расстоянияплощадки

до нейтральной линии по неизвестному пока закону. Это расстояние

тоже пока неизвестно, так как неизвестно положение нейтральной линии.

Задача оказывается статически неопределимой, поэтому рассмотрим деформации балки. Для этого двумя бесконечно близкими сечениями

и

выделим из балки элемент длиной

. Вид этого элемента до и после деформации приведен на рис 5.4.

Оба поперечных сечения, оставаясь плоскими, повернулись вокруг нейтральной линий (на рисунке точки и

) и образуют угол

. Нейтральный слой показан пунктиром. Линия

, принадлежащее нейтральному слою, после деформации сохраняет свою первоначальную длину

. Все волокна, лежащие выше нейтрального слоя, укорачиваются, а ниже удлиняются.

Найдем удлинение какого-либо волокна АB, расположенного на расстоянии от нейтрального слоя и растянутого напряжениями. Первоначальная длина этого волокна

. После деформации его длина стала

. Абсолютное удлинение рассматриваемого волокна. Относительное удлинение равно

,

т.е. удлинения волокон пропорциональны их расстояниям до нейтрального слоя.

Здесь  радиус кривизны нейтрального слоя, величину которого для выделенного (бесконечно малого по длине) элемента можно считать постоянной. Допустив, что при изгибе волокна друг на друга не давят, и что каждое волокно испытывает простое растяжение или сжатие, для вычисления напряжений можем воспользоваться законом Гука при растяжении:

или

. (5.9)

Уравнение (5.9) показывает, что величина нормальных напряжений при изгибе меняется прямо пропорционально расстоянию рассматриваемой точки сечения от нейтрального слоя. Значит, напряжения распределены по высоте сечения по линейному закону. В нейтральном слое при

напряжения

, в сжатой зоне (при

) напряжения становятся отрицательными, в растянутой зоне (при

) напряжения становятся положительными. По мере удаления от нейтрального слоя напряжения растут по абсолютной величине и достигают максимальных значений при

, т.е. в самых удаленных от нейтрального слоя волокнах.

Формула (5.9) дает характер распределения нормальных напряжений по высоте сечения (Рис.5.5), но ею нельзя воспользоваться для вычисления величины напряжений, так как ни , нинеизвестны, поскольку неизвестно расположение нейтрального слоя по высоте сечения.

Для определения величины нормальных напряжений в зависимости от величины изгибающего момента обратимся к совместному решению полученного из рассмотрения деформаций уравнения (5.9) и уравнений статики (5.6)(5.8).

Подставляя значение из выражения (5.9) в уравнение (5.6), получим:

или

.

Так как

, то

.

Этот интеграл представляет собой статический момент площади относительно нейтральной линии сечения. Так как он равен нулю, то, следовательно, нейтральная линия сечения проходит через центр тяжести сечения. Так как центр тяжести лежит и на оси симметрии

, то точка пересечения этих двух осейявляется центром тяжести сечения, а ось

 осью балки.

Таким образом, положение нейтральной оси и нейтрального слоя вполне определены. Нейтральный слой заключает в себе центры тяжести всех сечений балки.

Подставим выражение (5.9) в уравнение (5.7). Получим:

,

или

.

Отсюда следует, что

.

Полученный интеграл представляет собой центробежный момент инерции. Известно, что оси, относительно которых центробежный момент инерции равен нулю, являются главными осями инерции. Следовательно, нейтральная линия сечения является главной осью инерции сечения. А это означает, что осевой момент инерции относительно этой линии достигает экстремальной величины.

Воспользуемся последним уравнением равновесия (5.8), подставив в него выражение (5.9). Получим:

;

или

. (5.10)

Выражение

представляет собой момент инерции сечения относительно нейтральной линии сеченияи обозначается буквой.

Таким образом, (5.10) можно переписать в виде:

. (5.11)

Преобразуем это выражение к виду:

. (5.12)

Из формулы (5.12) видно, что чем больше при данном изгибающем моменте момент инерции , тем большим окажется радиус кривизны нейтрального слоя, а, следовательно, и оси балки, т.е. тем меньше балка изогнется.

Величина момента инерции является геометрическим фактором жесткости балки при изгибе, так как характеризует способность балки искривляться в зависимости от размеров и формы поперечного сечения балки. Произведение

называется жесткостью балки при изгибе, и чем она больше, тем меньше изогнется балка при действии данного изгибающего момента.

Подставим в выражение (5.12) значение

. Получим:

. (5.13)

Таким образом, нормальные напряжения в любой точке сечения прямо пропорциональны величине изгибающего момента и расстоянию точки от нейтральной линии сечения и обратно пропорционально моменту инерции сечения относительно нейтральной оси. Знак “”в формуле (5.13) позволяет автоматически получать правильный знак для напряжения в зависимости от координаты точки, в которой это напряжение вычисляется.

Рассмотрим пример определения нормального напряжения в произвольной точке сечения изгибаемой балки.

Пример 5.1. Определить нормальное напряжение при изгибе балки (в МПа) в точке А поперечного сечения, удаленной от нейтральной линии сечения на 15 см (Рис.5.6), если изгибающий момент

кНм.

см 4 .

2. Подставляем значения изгибающего момента, осевого момента инерции и координаты точки А в формулу для нормальных напряжений (5.13) и находим напряжения:

кНм.

Таким образом, в точке А поперечного сечения балки действует сжимающее нормальное напряжение

МПа.

Как отмечалось выше, нормальные напряжения зависят только от изгибающих моментов, поэтому вывод формулы для вычисления σ можно производить применительно к чистому изгибу, при котором во всех сечениях Q =0 и, в силу (8.1), M z = const .

Чистый прямой изгиб характеризуется следующим.

1). На выпуклой стороне волокна растягиваются, а на вогнутой – сжимаются. В этом можно убедиться, если с той и другой стороны балки сделать надрезы; на выпуклой стороне они разойдутся, а на вогнутой – сойдутся.

2). Если на боковой стороне балки нанести прямоугольную сетку, то будет видно, что переход от сжатых волокон к растянутым и наоборот происходит непрерывно и что между ними есть нейтральный слой , то есть волокна, длина которых при изгибе не изменяется (рис. 8.6).

При плоском изгибе нейтральный слой образует цилиндрическую поверхность, образующие которой лежат в поперечных сечениях и называются нейтральными линиями . Нейтральные линии, так же как и нейтральный слой служат границами между растягивающими и сжимающими напряжениями. На самой нейтральной линии напряжений нет.

Проекция нейтрального слоя на плоскость изгиба (плоскость симметрии), в случае упругих деформаций, называется упругой линией балки . Упругая линия балки, будучи частью нейтрального слоя длину не меняет.

5). Продольные волокна не оказывают давления друг на друга, а испытывают только осевое растяжение или сжатие. Иначе говоря, σ y =0 .

6). Картина деформаций по ширине сечения не изменяется, то есть нормальные напряжения распределены по ширине сечения равномерно.

Рассмотрим балку длиной l до и после чистого прямого изгиба (рис. 8.7). Относительное удлинение волокна (слоя) AB , удаленного на расстояния y от нейтрального слоя

Отношение E / ρ в сечении есть величина постоянная, следовательно, напряжения, так же как и деформации волокон, изменяются по линейному закону (рис. 8.7).

Для определения нормальных напряжений необходимо знать положение нейтрального слоя, то есть ρ . Для этого рассмотрим условия равновесия между нагрузочным моментом, действующим на какое-нибудь симметричное сечение F и внутренними силами σ dF , распределенными по этому сечению (рис. 8.8.).

Первое условие имеет вид

или согласно (8.7)

Так как E / ρ ≠0, следовательно

.

Данный интеграл есть статический момент площади поперечного сечения относительно нейтральной линии z ; он равен нулю, следовательно, нейтральные линии проходят через центры тяжести своих поперечных сечений, то есть являются центральными осями , а упругая линия является геометрической осью балки .

Второе, третье и четвертое условия удовлетворяются тождественно. Шестое условие:

или согласно (8.7)

.

есть центробежный момент инерции площади сечения; он равен нулю, следовательно, оси y , z являются главными осями инерции сечения.

Пятое условие:

или согласно (8.7)

.

осевой момент инерции площади сечения, следовательно,

Таким образом, радиус кривизны нейтрального слоя определяется из следующего уравнения:

Максимальные нормальные напряжения определяются из следующего уравнения:

При чистом изгибе по одну сторону от нейтрального слоя происходит простое растяжение, по другую – простое сжатие. Следовательно, при чистом изгибе имеет место линейное напряженное состояние:

В растянутой зоне s 1 >0 , s 2 = s 3 =0 ;

В сжатой зоне s 3 >0 , s 1 = s 3 =0 .

Эпюры нормальных напряжений (рис 8.7) показывают, что внутренние слои материала нагружаются меньше, чем наружные. Поэтому, проектируя профили балок, стремятся большую часть площади сечения разместить подальше от нейтральной линии. При изгибе в вертикальной плоскости стандартные двутавровые, швеллерные, тавровые профили (рис. 8.1 в, г, д) дают существенную выгоду в весе.

Если материал балки хуже сопротивляется растяжению, нежели сжатию, то центр тяжести сечения должен располагаться ближе к растянутым волокнам, чтобы величина максимальных растягивающих напряжений была меньше максимальных сжимающих напряжений (рис. 8.9).

Полученных опытным путем, с теоретическими.

Основные сведения

Экспериментально нормальные напряжения по высоте балки определяются при помощи 6 , попарно наклеенных на балку, равноудаленных от нейтрального слоя (рис. 8.1).

Рис.8.1. Схема испытания балки на изгиб

Предварительно балка загружается начальной нагрузкой F 1 = 5 кН и при помощи цифрового измерителя деформаций ИДЦ-1 берутся начальные отсчеты по всем 6 датчикам. Затем нагрузка увеличивается до значения F 2 = 45 кН и снова снимаются данные со всех датчиков.

Обработка результатов проводится в следующей последовательности:

Контрольные вопросы

1. Какой изгиб называется плоским?
2. Что такое чистый и поперечный изгиб?
3. Какие внутренние силовые факторы возникают в поперечных сечениях в случае действия плоской системы сил?
4. Что такое нейтральный слой и нейтральная ось и как они располагаются в балке?
5. По какой формуле ? Как распределяются нормальные напряжения по сечению?
6. Как опытным путем определить нормальные напряжения?
7. Какие тензометры были использованы для определения нормальных напряжений при изгибе? В чем их преимущество по сравнению с другими тензометрами?
8. Покажите балки при изгибе, на которой проводилось определение напряжений в лабораторной работе. и подсчитайте расчетный момент.
9. Как определить максимально допустимую величину нагрузки на испытываемую балку?
10. Как теоретически подсчитать величину ожидаемых максимальных напряжений в балке, подвергаемой опытному испытанию на изгиб?
11. Как ориентированы в изгибаемой балке главные площадки на уровне нейтрального слоя и в точках, наиболее удаленных от этого слоя? Нарисуйте

При поперечном изгибе в сечении балки помимо изгибающего момента () возникает поперечная сила (). Поэтомув поперечном сечении при поперечном изгибе наряду с () возникают и ().

Поперечная сила () для конкретного сечения и момент инерции поперечного сечения относительно нейтральной оси являются постоянными величинами, поэтому касательные напряжения изменяются по высоте поперечного сечения по тому же закону, что и отношение статического момента отсеченной части поперечного сечения () к ширине поперечного сечения (), в котором они вычисляются.

Во всех точках поперечного сечения, расположенных на расстоянии y от (по всей ширине сечения ), одинаковы .

В самых удаленных от нейтральной оси точках поперечного сечения касательные напряжения при поперечном изгибе равны 0, поскольку в этом случае .

Наибольшие касательные напряжения возникают в точках поперечного сечения, расположенных на нейтральной оси. Напомним, что в этих точках нормальные напряжения равны нулю