Свойства нейтральной линии

При сложном профиле сечения стержня для определения опасной точки предварительно находится положение нейтральной линии. Учитывая, что на нейтральной линии напряжения равны нулю, получаем:

Здесь х 0 и у 0 – координаты любой точки нейтральной линии. Уравнение нейтральной линии будет иметь вид

. (10.3)

Это – уравнение прямой, не проходящей через начало координат (рис. 10.2).

По уравнению можно определить отрезки, отсекаемые нейтральной линией на координатных осях. Обозначим эти отрезки (см. рис. 10.2) через а х и а у .

Е

Принимая х 0 = 0, у 0 = а у , будем иметь

Решая эти уравнения, получим отрезки, отсекаемые нейтральной линией на координатных осях:

,

. (10.4)

Исследование этих формул показывает, что точка приложения силы и нейтральная ось лежат по разные стороны относительно центра тяжести сечения.

Отметим, что нейтральная линия делит поперечное сечение стержня на две зоны – сжатую и растянутую. Проводя параллельно нейтральной линии касательные к контуру сечения, найдем опасные точки С и D , лежащие в растянутой и сжатой зонах (см. рис. 10.2).

Условие прочности для стержня из пластичного материала запишется в виде

(10.5)

где х оп и y оп – координаты точки, наиболее удаленной от нейтральной линии (точка D на рис. 10.2).

Для стержней, выполненных из неравнопрочного материала, расчет на прочность ведется для двух опасных точек (в растянутой и сжатой зонах).

Условия прочности имеют вид:

,

. (10.6)

Здесь

и

– координаты опасных точек соответственно в растянутой и сжатой зонах.

10.3. Ядро сечения

Из анализа формул (10.4) можно отметить характерные особенности, связанные с поведением нейтральной линии при различных положениях силы F . Если сила F приложена в центре тяжести сечения (х F = 0, у F = 0), то нейтральная линия отсекает на координатных осях отрезки равные бесконечности (а х =

а у =

Напряжение при этом определяется выражением

, т.е. имеется центральное растяжение или сжатие с равномерным распределением напряжений по всему сечению. С увеличением координат точки приложения силых F и у F нейтральная линия будет приближаться к сечению и при некотором положении точки приложения силы (1 на рис. 10.3) она коснется контура сечения (линия n 1  n 1). При дальнейшем увеличении эксцентриситета нейтральная линия пересечет контур сечения (см. рис. 10.2), разделив все сечение на две области – растянутую и сжатую. Понятно, что в случае, когда нейтральная линия касается контура сечения, все сечение испытывает напряжение одного знака. Отсюда следует определение ядра сечения как области, очерченной вокруг центра тяжести и специфичной тем, что продольная сила, приложенная в любой точке этой области, вызывает во всех точках поперечного сечения напряжения одного знака. Из определения ядра сечения вытекает порядок его построения: задаваясь всевозможными положениями нейтральной линии как касательной к контуру сечения, вычисляют соответствующие координаты полюса силы:

,

. (10.7)

Совокупность полученных точек дает контур ядра сечения.

На рис. 10.3 приведены сечение и построенное для него ядро. Показаны положения, которые нейтральная линия последовательно занимает при ее «обкатке» вокруг контура сечения, и соответствующие этим положениям точки приложения силы. При этом перемещение полюса силы между точками 1 и 2 , 2 и 3 , 5 и 1 происходит по прямым линиям.

Обоснованием перехода между точками приложения силы по прямым линиям является легко доказываемая теорема: если нейтральная линия вращается вокруг некоторой точки А , то сила F перемещается по прямой, не проходящей через центр тяжести сечения.

Для доказательства покажем, что при любом положении силы F С на прямой 1  2 линия n C  n C проходит через точку А , т.е.  А = 0 (рис. 10.4).

Разложим силу F с на две параллельные составляющие F С 1 и F С 2 . От каждой из этих двух составляющих напряжение  А = 0, т.к. точка А одновременно принадлежит обеим нейтральным линиям: n 1  n 1 и n 2  n 2 . Точка С взята произвольно, значит, при любом положении силы F на прямой 1  2 напряжение в точке A равно нулю.

Сделаем следующее замечание, касающееся построения ядра сечения. При рассмотрении любого контура, имеющего «впадины», нейтральная линия должна «катиться» по огибающей контура, иначе она будет пересекать сечение.

Внецентренное растяжение (сжатие) вызывается силой, параллельной оси бруса, но не совпадающей с ней (рис. 9.4).

Проекция точки приложения силы на поперечное сечение называется полюсом или силовой точкой, а прямая, проходящая через полюс и центр сечения, - силовой линией.

Внецентренное растяжение (сжатие) может быть сведено к осевому растяжению (сжатию) и косому изгибу, если перенести силу Р в центр тяжести сечения. Так, сила Р, отмеченная на рис. 9.4 одной черточкой Г вызовет осевое растяжение бруса, а пара сил, отмеченных двумя черточками, - косой изгиб.

На основании принципа независимости действия сил напряжения в точках поперечного сечения при внецентренном растяжении (сжатии) определяются по формуле

В эту формулу осевую силу изгибающие моменты а также координаты точки сечения, в которой определяется напряжение, надо подставлять с их знаками. Для изгибающих моментов примем такое же правило знаков, как и при косом изгибе, а осевую силу будем считать положительной, когда она вызывает растяжение.

Если координаты полюса обозначить через , то момент Формула (9.5) принимает вид

Из этого уравнения видно, что концы векторов напряжений в точках сечения расположены на плоскости. Линия пересечения плоскости напряжений с плоскостью поперечного сечения является нейтральной линией, уравнение которой находим, приравнивая правую часть равенства (9.6) нулю. После сокращения на Р получим

Таким образом, нейтральная линия при внецентренном растяжении (сжатии) не проходит через центр тяжести сечения и не перпендикулярна плоскости действия изгибающего момента. Нейтральная линия отсекает на осях координат отрезки

Представим моменты инерции как произведения площади сечения на квадрат соответствующего радиуса инерции

Тогда выражения (9.8) можно записать так:

Из формул (9.8) видно, что полюс и нейтральная линия всегда расположены по разные стороны от центра тяжести сечения, причем положение нейтральной линии определяется координатами полюса.

При приближении полюса по силовой линии к центру тяжести сечения нейтральная линия будет удаляться от центра, оставаясь параллельной своему первоначальному направлению. В пределе при нейтральная линия удалится в бесконечность. В этом случае будет иметь место центральное растяжение (сжатие) бруса.

На силовой линии всегда можно найти такое положение полюса, при котором нейтральная линия будет касаться контура сечения, нигде не пересекая его. Если провести все возможные нейтральные линии так, чтобы они касались контура сечения, нигде не пересекая его, и найти соответствующие им полюсы, то окажется, что полюсы будут расположены на вполне определенной для каждого сечения замкнутой линии. Область, ограниченная этой линией, называется ядром сечения. В круглом сечении, например, ядро представляет собой круг диаметром в 4 раза меньшим диаметра сечения, а в прямоугольных и двутавровых сечениях ядро имеет форму параллелограмма (рис. 9.5).

Из самого построения ядра сечения следует, что до тех пор, пока полюс находится внутри ядра, нейтральная линия не пересечет контур сечения и напряжения во всем сечении будут одного знака. Если, же полюс расположен вне ядра, то нейтральная линия пересечет контур сечения, и тогда в сечении будут действовать напряжения разного знака. Указанное обстоятельство необходимо учитывать при расчете на виецентренное сжатие стоек из хрупких материалов. Поскольку хрупкие материалы плохо воспринимают растягивающие нагрузки, то желательно внешние силы прикладывать к стойке так, чтобы во всем сечении действовали только напряжения сжатия. Для этого точка приложения равнодействующей внешних сил, сжимающих стойку, должна находиться внутри ядра сечения.

Расчет на прочность при внецентренном растяжении и сжатии производится так же, как и при косом изгибе, - по напряжению в опасной точке поперечного сечения. Опасной является точка сечения, наиболее удаленная от его нейтральной линии. Однако в тех случаях, когда в этой точке действует напряжение сжатия, а материал стойки хрупкий, опасной может быть точка, в которой действуй наибольшее растягивающее напряжение.

И Подставляя в формулу (9.7) значения силовых факторов и моментов инерции, находим уравнение нейтральной линии:

Наиболее удалена от нейтральной линии точка А с координатами и Напряжение в этой точке

Итак, напряжение в опасной точке, при внецентренном приложении силы Р оказалось в семь раз больше, чем при центральном ее приложении. Этот результат показывает, насколько важно для уменьшения напряжений обеспечивать центральное приложение нагрузки.

1. Если I x  I y , то    , а есть силовая плоскость и нейтральная линия не являются перпендикулярными.

2. Если I x = I y , то из (8.7) следует, что tg = tg , то есть нейтральная линия и силовая плоскость перпендикулярны. В этом случае стержень испытывает плоский изгиб (примерами таких стержней являются стержни с сечением – круг, кольцо, квадрат).

3. Cиловая плоскость и нейтральная линия при косом изгибе проходят через противоположные квадранты.

Так как эпюра нормальных напряжений в сечении линейна, то максимальное напряжение возникает в точке, наиболее удаленной от нейтральной линии.

Условие прочности для балок из пластичного материала с указанным типом сечений запишется в виде

Для определения опасных точек сечения следует построить касательные к контуру сечения, параллельные нейтральной линии. Точки касания и будут являться опасными (точки ина рис. 8.8).

Рис.8.8. Положение нейтральной линии при косом изгибе

Для некоторых сечений (прямоугольник, двутавр, швеллер и т.п.) наиболее напряженные точки расположены в углах этих сечений, т.е. их можно найти без определения положения нейтральной линии (рис.8.9).

Рис.8.9. Положение нейтральной линии и опасных точек

сечения при косом изгибе для прямоугольника

Условия прочности составляют в зависимости от свойств того материала, из которого изготовлен элемент конструкции (брус).

Для хрупкого материала используют два условия прочности - для опасной точки, где имеет место растяжение.

Необходимость использования двух условий прочности для хрупкого материала объясняется разными механическими свойствами материала при растяжении и сжатии. Хрупкий материал плохо сопротивляется растяжению и хорошо - сжатию.

При расчетах на прочность касательными напряжениями от поперечных сил пренебрегают, т.к. их влияние незначительно.

Определение перемещений при косом изгибе

Перемещения при косом изгибе определяют по принципу независимости действия сил, т.е. рассчитывают прогибы  x и  y в направлении главных осей, а величину полного прогиба в любом сечении балки получают геометрическим суммированием:

.

Направление полного прогиба при косом изгибе перпендикулярно нейтральной линии и не совпадает с направлением внешней силы

При косом изгибе (впрочем, как и при остальных видах нагружения) имеем три задачи расчета на прочность:

1) проверка прочности;

2) подбор сечения [определить W z (размеры сечения), при заданном отношении W z / W y ];

3) проверка по несущей способности (определить M ).

Порядок проверки прочности балки, работающей в условиях косого или пространственного изгиба, тот же, что и для балки, работающей при плоском поперечном изгибе. Для этого необходимо:

Построить эпюры внутренних усилий (изгибающих моментов). Для построения эпюр внутренних усилий раскладываем нагрузки на вертикальную и горизонтальную составляющие. Вертикальная составляющая вызывает изгиб относительно горизонтальной оси , горизонтальная – относительно оси;

Выбрать опасные сечения – это сечения, где имеет место наиболее неблагоприятное сочетание изгибающих моментов;

В опасных сечениях найти опасные точки – точки с максимальными нормальными напряжениями;

Записать условие прочности в этих точках. Из условия прочности либо подобрать размеры поперечного сечения, либо найти допускаемую нагрузку, либо просто сделать вывод о возможности безопасной эксплуатации конструкции.

Неприятность косого изгиба в том, что при малом отклонении, например, от вертикали расчетной нагрузки или отклонении от вертикали расчетного положения сечения, происходит значительное увеличение напряжений в поперечном сечении и деформаций (прогибов) такой балки.

Когда такое отклонение от вертикали поперечного двутаврового сечения балки №20 с моментами сопротивления W x = 184 см 3 , W y =23 ,1 см 3 , с моментами инерции I x = 1840 см 4 , I y = 115 см 4 составляет всего 2 о.

А максимальное напряжение при отклонении оказывается выше на 27.7% от расчетного значения (без отклонения по вертикали), а максимальный прогиб – на 14.5%.