Критические напряжения и способы их определения

Л. Эйлер при выводе своей формулы определения опасной силы для сжимаемых стержней (10.2) предполагал, что материал стержня достаточно упруг и следует закону Гука.

Как известно, материал следует закону Гука только до тех пор, пока напряжения в нем не достигнут предела пропорциональности. Следовательно, формула Эйлера для разных материалов должна иметь свои пределы применимости. Она справедлива только до тех пор, пока эйлеровы напряжения в стержне не превзойдут предела пропорциональности материала: .

Анализ формулы (10.6) показывает, что эйлеровы напряжения зависят от геометрических размеров стержня, выражаемых его гибкостью . Так, для коротких стержней эйлеровы напряжения (10.6) оказываются выше придела пропорциональности. Поэтому для таких стержней формула Эйлера не применима.

Область применимости формулы (10.6) найдем, приравняв :

где – предельное значение гибкости стержня, показывающее границы применимости формулы Эйлера с точки зрения геометрических размеров стержня, откуда

Поэтому формула Эйлера (10.6) справедлива при

На основании определенных механических характеристик материалов по пределу пропорциональности найдем их предельные значения гибкости: для стали для чугуна для дерева (сосна) для дюралюминия

При меньшей гибкости чем при потеря устойчивости стержня происходит в области пластических деформаций, где не применим закон Гука и формулы Эйлера (10.5) и (10.6). В этом случае используются приближенные подходы по определению опасного напряжения при сжатии стержня в пластической стадии, т.е. критического напряжения .

Критические напряжения в судостроительных расчетах определяются по графику акад. Ю.А. Шиманского (рис. 10.6): вычислив эйлеровы напряжения по фомуле (10.6) и зная предел текучести материала , из графика находят:

Рисунок 10.6 – График акад. Ю.А. Шиманского по определению критических напряжений

В машиностроительных расчетах критические напряжения вычисляют по эмпирической формуле проф. Ф.С. Ясинского:

где a, b, c – опытные коэффициенты, зависящие от материала и имеющие размерность напряжения; – гибкость стержня.

Для стального и дюралюминиевого стержней формула Ясинского применима при гибкостях

где – значение гибкости, при котором критическое напряжение равно пределу текучести материала стержня; при гибкости, меньшей , критическое напряжение принимается постоянным и равным пределу текучести.

Определенные значения опытных коэффициентов для различных материалов следующие:

· для стали

· для дюралюминия

Иркутский государственный университет путей сообщения

Лабораторная работа № 16

по дисциплине«Сопротивление материалов»

ОПЫТНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ КРИТИЧЕСКИХ СИЛ

ПРИ ПРОДОЛЬНОМ ИЗГИБЕ

Кафедра ПМ

Лабораторная работа № 16

Опытное определение критических сил при продольном изгибе

Цель работы: исследование явления потери устойчивости сжатого стального стержня в упругой

стадии. Экспериментальное определение значений критических нагрузок сжатых

стержней при различных способах закрепления и сравнение их с теоретическими

значениями.

Общие положения

Сжатые стержни недостаточно проверять на прочность по известному условию:

,

где [σ] – допускаемое напряжение для материала стержня, P – сжимающая сила, F – площадь поперечного сечения.

В практической деятельности инженеры имеют дело с подвергающимися сжатию гибкими стержнями, тонкими сжатыми пластинами, тонкостенными конструкциями, выход из строя которых вызывается ен потерей несущей способности, а потерей устойчивости.

Под потерей устойчивости понимается потеря первоначальной формы равновесия.

В сопротивлении материалов рассматривается устойчивость элементов конструкций, работа­ющих на сжатие.

Рассмотрим длинный тонкий стержень (рис. 1), нагруженный осевой сжимающей силой P .

P < P кр P > P кр

Рис. 1. Стержень, нагруженный осевой сжимающей силой P .

При малых значениях силы F стер­жень сжимается, оставаясь прямолинейным. Причем, если стержень отклонить от этого положения небольшой поперечной нагрузкой, то он изогнется, но при снятии ее стержень возвращается в прямолинейное состояние. Это значит, что при данной силе P прямолинейная форма равновесия стержня устойчива.

Если продолжить увеличивать сжимающую силу P , то при неко­тором ее значении прямолинейная форма равновесия становит­ся неустойчивой и возникает новая форма равновесия стержня - криволинейная (рис. 1, б). Вследствие изгиба стержня в его сече­ниях появится изгибающий момент, который вызовет дополнитель­ные напряжения, и стержень может внезапно разрушиться.

Искривление длинного стержня, сжимаемого продольной силой, называется продольным изгибом .

Наибольшее значение сжимающей силы, при котором прямоли­нейная форма равновесия стержня устойчива, называется критичес­ким - P кр .

При достижении критической нагрузки происходит резкое каче­ственное изменение первоначальной формы равновесия, что ведет к выходу конструкции из строя. Поэтому критическая сила рассмат­ривается как разрушающая нагрузка.

Формулы Эйлера и Ясинского

Задачу определения критической силы сжатого стержня впер­вые решил член Петербургской академии наук Л. Эйлер в 1744 г. Формула Эйлера имеет вид

(1)

где Е – модуль упругости материала стержня; J min - наименьший момент инерции поперечного сечения стержня (поскольку искривление стержня при потере устойчивости происходит в плоскости наименьшей жесткости, т. е. поперечные сечения стержня повора­чиваются вокруг оси, относительно которой момент инерции ми­нимален, т.е. либо вокруг оси x , либо вокруг оси y );

(μ·l ) – приведенная длина стержня, это произведение длины стержня l на коэффициент μ, зависящий от способов закреп­ления концов стержня.

Коэффициент μ называют коэффициентом приведения длины ;его значение для наиболее часто встречающихся случаев закрепления концов стержня приведены на рис. 2:

а - оба конца стержня закреплены шарнирно и могут сближаться;

б - один конец жестко защемлен, другой свободен;

в - один конец закреплен шарнирно, второй имеет «поперечно-плавающую заделку»;

г - один конец жестко защемлен, второй имеет «поперечно-плавающую заделку»;

д - один конец заделан жестко, на другом шарнирно-подвижная опора;

е - оба конца жестко защемлены, но могут сближаться.

Из этих примеров видно, что коэффициент μ представляет со­бой величину, обратную числу полуволн упругой линии стержня при потере устойчивости.

Рис. 2. Коэффициент μ для наиболее часто

встречающихся случаев закрепления концов стержня.

Нормальное напряжение в поперечном сечении сжатого стержня, соответствующее критическому значению сжимающей силы, также называется критическим.

Определим его исходя из формулы Эйлера:

(2)

Геометрическую характеристику сечения i min , определяемую по формуле

называют радиусом инерции сечения (относительно оси с J min ). Для прямоугольного сечения

С учетом (3) формула (2) примет вид:

(4)

Отношение приведенной длины стержня к минимальному ра­диусу инерции его поперечного сечения по предложению профес­сора Санкт-Петербургского института инженеров путей сообще­ния Ф.С. Ясинского (1856-1899) называют гибкостью стержня и обозначают буквой λ :

В этой безразмерной величине одновременно отражаются такие параметры: длина стержня, способ его закрепления и характеристи­ка поперечного сечения.

Окончательно, подставив (5) в формулу (4), получим

При выводе формулы Эйлера предполагалось, что материал стер­жня упруг и следует закону Гука. Следовательно, формулу Эйлера можно применять только при напряжениях, меньших предела про­порциональности σ пц , т. е. когда

Этим условием определяется предел применимости формулы Эйлера:

Величину, стоящую в правой части этого неравенства, называют предельной гибкостью :

ее значение зависит от физико-механических свойств материала стержня.

Для низкоуглеродистой стали Ст. 3, у которой σ пц = 200 МПа, Е = 2· 10 5 МПа:

Аналогично можно вычислить значение предельной гибкости для других материалов: для чугуна λ пред = 80, для сосны λ пред = 110.

Таким образом, формула Эйлера применима для стержней, гиб­кость которых больше или равна предельной гибкости , т. е.

λ ≥ λ пред

Понимать это надо так: если гибкость стержня больше предельной гибкости, то критическую силу надо определять по формуле Эйлера.

При λ < λ пред формула Эйлера для стержней неприменима. В этих случаях, когда гибкость стержней меньше предельной, при расчетах пользуются эмпирической формулой Ясинского :

σ кр = a – b·λ , (7)

где а и b - определяемые опытным путем коэффициенты, по­стоянные для данного материала; они имеют размерность напря­жения.

При некотором значении гибкости λ о напряжение σ кр , вычис­ленное по формуле (7), становится равным предельному напря­жению при сжатии, т. е. пределу текучести σ т для пластичных мате­риалов или пределу прочности при сжатии σ вс – для хрупких материалов. Стер­жни малой гибкости (λ < λ о )рассчитывают не на устойчивость, а на прочность при простом сжатии.

Таким образом, в зависимости от гибкости расчет сжатых стер­жней на устойчивость производится различно:

v у стержней большой гибкости (λ ≥ λ пред ) критические напряжения определяются по фор­муле Эйлера (6);

v у стержней средней гибкости (λ о ≤ λ < λ пред ) критические напряжения определяются по формуле Ясинского (7);

v у стержней малой гибкости (λ < λ о )расчет производится как при простом сжатии.

График зависимости σ кр от λ для стержней из пластичного мате­риала (низкоуглеродистой стали) показан на рис. 3.

Рис. 3. График зависимости σ кр от λ для стержней из пластичного мате­риала.

В табл. 1 приведены для некоторых материалов значения ко­эффициентов а и b ,а также гибкостей λ иλ пред , в интервале между которыми для данного материала применима формула Ясинского.

Для стержней из чугунного литья (при

Тщательно поставленные опыты показали справедливость формулы Эйлера для стержней большой гибкости . В то же время эти опыты подтвердили неприменимость формулы Эйлера для стержней, гибкость которых Для таких стержней формула Эйлера дает значения критических нагрузок, превышающие их действительные значения. Попытки использовать формулу Эйлера для стержней средней и малой гибкости стпц) приводили иногда к серьезным катастрофам.

Теория устойчивости стержней за пределом пропорциональности была развита Т. Карманом

Для критической нагрузки им было получено уравнение, аналогичное по структуре формуле Эйлера:

где Т - приведенный модуль, или модуль Кармана.

Модуль Т является величиной переменной, зависящей как от величины напряжений так и от формы сечения. Зависимость модуля Т от напряжений устанавливается на основании диаграммы сжатия материала стойки в осях о, е. При напряжениях приведенный модуль Т принимает значение модуля упругости Е. Однако, оказалось, что определяемые формулой (17.15) критические напряжения несколько выше экспериментальных.

Лучшее согласование с экспериментальными данными дает формула Энгессера-Шенли

где - касательный модуль упругости, численно равный тангенсу угла наклона касательной к диаграмме сжатия материала при

Использование формул (17.14), (17.15) и (17.16) требует построения диаграммы сжатия для материала стержня, что осложняет их применение. Поэтому в практических, расчетах на устойчивость при часто пользуются либо непосредственно экспериментальными данными, либо эмпирическими формулами.

Наибольшее распространение имеет линейная формула, предложенная Ф. С. Ясинским (1895 г.).

Итак, коэффициент μ может быть определен исходя из геометрии задачи.

Если концы стержня закреплены так, что приведенная длина 0

оказывается одинаковой для обеих главных плоскостей, то при вычислении F cr следует брать наименьший момент инерции поперечного сечения (см. формулу (15.11).

Если же закрепление концов стержня в плоскостях Oxz иOyz таково, что коэффициенты приведенной длины различны и равны μ1 и μ2 , соответственно, то критическая сила определяется как меньшая из двух возможных в главных плоскостях:

F =	π 2 EJy	и F =	π 2EJ
	(μ)2

15.5. Критическое напряжение. Гибкость стержня

Пределы применимости формулы Эйлера. Нормальное напря-

жение σcr в поперечном сечении сжатого стержня, вызываемое критической силой, называется критическим напряжением. С учетом

(15.13), имеем

И. В. Богомаз. Механика

			π 2EJ				π 2E
σ cr=
			(μ)2 A
							ix

где i x = J x A − радиус инерции поперечного сечения. Введем обозначение

где λ – гибкость стержня, безразмерная геометрическая характеристика, определяемая размерами стержня и способом его закрепления.

Окончательно формула для критического напряжения выглядит

При выводе формулы Эйлера была использована зависимость (15.2), полученная на основе закона Гука. Отсюда следует, что формула Эйлера справедлива лишь в пределах применимости закона Гука, т. е. при условии, что критическое напряжение не превышает предела пропорциональности материала стержня:

Отсюда значение гибкости, которое соответствует этому условию, составляет

Величину, стоящую в правой части этого неравенства, обозначим λпред и назовем предельной гибкостью

Предельная гибкость зависит только от механических свойств материала и имеет постоянное значение. Так для стали марки ВСт3 при

15. Устойчивость сжатых стержней

E = 2,06 10 5 МПа и σpr = 200–210 МПа по формуле (15.20)λ пред ≈ 100 ;

для древесины сосны и ели (при E = 10 МПа и σpr = 20 МПа) λпред = 70. Тогда условие применимости формулы Эйлера имеет вид

т. е. формула Эйлера применима только к упругим стержням, когда гибкость стержня больше или равна предельной гибкости для материала, из которого он изготовлен.

Стержни, для которых выполняется условие (15.21), называются стержнями большой гибкости.

15.6. Продольный изгиб за пределом пропорциональности. Формула Ясинского

Формула Эйлера применима при λ ≥ λпред , т. е. только в случае упругих стержней. Для стержней с гибкостью меньше предельнойλ пред , она дает завышенные значения критической силы. Поэтому ис-

пользование формулы Эйлера для стержней, теряющих устойчивость за пределом упругости, является недопустимым.

Теоретическое решение задачи об устойчивости за пределом пропорциональности сложно, поэтому обычно пользуются эмпирическими формулами, полученными в результате обработки большого количества опытных данных.

Наиболее простой является линейная зависимость, предложенная в начале ХХ в. немецким ученым Л. Тетмаером и независимо от него профессором Петербургского института инженеров путей сообщения Ф. С. Ясинским:

где a иb – эмпирические коэффициенты, зависящие от материала стержня и имеющие размерность напряжения. Например, для стали марки ВСт3 их значения таковы:а = 310 МПа,b = 1,14 МПа.

Для чугуна пользуются параболической зависимостью

σcr =a −b λ+c λ2 .

И. В. Богомаз. Механика

Соответствующая критическая сила по формуле Ясинского находится так:

Условие применимости формулы Ясинского. Формулой Ясин-

ского (15.22) можно пользоваться при условии, если значение σcr , вычисленное по этой формуле, не превышает предела σy текучести для пластичного материала и предел σuc прочности при сжатии для хрупкого материала. Обозначим в формуле (15.22) через λ0 значение гибкости, при котором σcr = σy для пластичного материала и σcr = σuc для хрупкого материала.

Тогда условие применимости формулы Ясинского можно записать в виде

Стержни, для которых выполняется условие (15.24), называются стержнями средней гибкости. Для стали марки ВСт3 с параметрами σpr = 200 МПа, σy = 240 МПа по формуле (15.22) получимλ 0 ≈ 60.

Стержни, у которых λ < λ0 , называются стержнями малой гибкости. Они могут разрушиться не в результате потери устойчивости, а при центральном сжатии. Для них критическое напряжение считается постоянным: σcr = σy или σcr = σuc .

15.7. Диаграмма критических напряжений

В зависимости от гибкости сжатые стержни делятся на три категории:

1. Стержни большой гибкости (λ ≥ λпред ), для которых расчет ведется по формуле Эйлера. В системе координат σcr – λ зависимость

σ cr = π 2 2 E может быть представлена гиперболической кривой.

2. Стержни средней гибкости (λ0 ≤ λ ≤ λпред ) рассчитываются на устойчивость по эмпирической формуле Ясинского (15.22). Для них зависимость линейна:

σcr =a −b λ.

15. Устойчивость сжатых стержней

3. Стержни малой гибкости (λ < λ0 ) рассчитываются не на устойчивость, а на прочность. Для них значение σcr постоянно (σy или σuc ).

На рис. 15.6 показана диаграмма зависимости критических напряжений от гибкости сжатого стержня для стали ВСт3, которая состоит из трех частей:

гиперболы Эйлера АВ при λ ≥ 100;

наклонной прямой Ясинского ВС при 60 ≤ λ < 100;

горизонтальной прямой CD при λ0 < 60.

График показывает, что по мере возрастания гибкости критическое напряжение стремится к нулю. При гибкости λ > 100 стержень теряет устойчивость в упругой стадии. Для значений λ < 100 пунктирной линией показано продолжение гиперболы Эйлера в области ее неприменимости (за пределом упругости). Из графика видно, что для стержней средней и малой гибкости формула Эйлера дает сильно завышенные значения критических напряжений.

При гибкости 60 < λ < 100 стержень теряет устойчивость в упру- го-пластической стадии (наклонная прямаяВС ). Горизонтальная прямаяCD соответствует напряжению, равному пределу текучести.

Применение формул Эйлера и Ясинского позволяет решать задачи устойчивости сжатых стержней на всем интервале значений гибкостей, которые встречаются в строительной практике.

Пример 15.1. Стальной стержень круглого трубчатого сеченияD = 10 см иd = 7 см при длине= 3, 2 м имеет шарнирно закрепленные

И. В. Богомаз. Механика

концы (рис. 15.7). Вычислить величину допускаемого сжимающего усилия F , если требуемый коэффициент запаса устойчивостиK = 3.

Материал стержня – сталь марки ВСт3 с пределом пропорциональности σpr = 210 МПа и модулем упругостиE = 2 105 МПа.

Решение . Величину допускаемой силыF найдем исходя из условия устойчивостиF ≤ F K cr , предварительно вычислив критическую силуF cr ,

формулудлякоторойвыберемвзависимостиотгибкостистержня. Определяем геометрические характеристики поперечного сече-

ния стержня:

площадь сечения

А = π D 4 2 (1−α 2 ) = π 10 4 2 (1− 0,72 ) = 40 см2 ,

где α = D d ;

осевой момент инерции сечения относительно любой оси

J = π 64 D 4 (1−α 4

Устанавливаем гибкость стержня и выбираем формулу для критической силы.

Так как λ = 105 > λпред = 100, то следует взять формулу Эйлера. Вычисляем величину критической силы:

			π 2 E J		3,142 2,1 1011 373 10− 8	754кН.
			(μ )2		(1 3, 2)2

Вычисляем значение допускаемой силы:

F ≤F К cr =754 3 =251кН.

Ответ: допускаемое значение сжимающей силыF ≤ 251 кН.

Пример 15.2 . Двутавровый стержень № 14, имеющий длину= 1 , 8 м, нагружен продольной сжимающей силойF = 200 кН. Один конец стержня оперт шарнирно, другой защемлен (рис. 15.8). Определить величину коэффициента запаса устойчивостиK . Материал стержня− сталь; предельная гибкость λпред = 100, коэффициентыa = 310 МПа,b = 1,14 МПа.

Решение. Величину коэффициента запаса устойчивости найдем,

используя условие устойчивости F ≤ F

взять i min =i y . Гибкость стержня

				81,3.

Вычислимкритическуюсилу. Гибкостьстержня

λ= 81,3 < λпред = 100,

поэтому воспользуемся эмпирической формулой Ясинского:

F cr = A (a − b λ) 17, 4 10− 4 (310− 1,14 81,3) 106 = 378кН.

Продольным изгибом называется изгиб первоначально прямолинейного стержня вследствие потери устойчивости под действием центрально приложенных продольных сжимающих сил. Продольный изгиб возникает при достижении сжимающими силами и напряжениями критического значения.

Расчеты на прочность и жесткость, выполняемые для большинства видов деформаций основываются на предположении, что между внешними нагрузками и вызываемыми ими внутренними силами существует устойчивая форма равновесия, при которой малым возмущающим воздействиям соответствуют малые отклонения конструкции от первоначальной формы.
Нагрузки, при превышении которых происходит потеря устойчивости (критическое состояние), называют .

Примером явления продольного изгиба может послужить длинная школьная линейка, к одному из концов которой приложена сжимающая сила. Сначала материал линейки сопротивляется нагрузке, и линейка работает, как обычный сжимаемый брус. Затем, по достижении определенной нагрузки, линейка начинает прогрессирующе изгибаться без существенного увеличения сжимающей силы и теряет устойчивость (т. е. гнется без заметных усилий вплоть до поломки).

Явление продольного изгиба можно объяснить тем, что к реальному стержню практически невозможно применить основные гипотезы и допущения сопромата - об однородности, изотропности и непрерывности материала. Поэтому при продольном сжатии стержня, даже если сжимающая сила приложена идеально вдоль его оси (что тоже на практике нереально), отдельные волокна этого стержня неодинаково сопротивляются сжатию (из-за неоднородности и анизотропии материала, из которого он изготовлен). В результате, при достижении сжимающей силой критической величины, стержень начинает изгибаться в сторону наименьшего сопротивления волокон.
На практике этому способствует, также, приложение нагрузки не строго вдоль центральной оси сечения. По мере увеличения изгиба и потери стержнем устойчивости возрастают изгибающие нагрузки, поскольку, чем сильнее изгибается стержень, тем дальше от его оси отклоняется линия действия сжимающей силы, образуя возрастающий момент изгиба. По этой причине стержень изгибается все сильнее даже при небольшом возрастании сжимающей силы (прогрессивно растет плечо изгибающего момента этой силы).
В конечном итоге стержень теряет устойчивость, что чаще всего сопровождается его поломкой или неупругой деформацией (безвозратной потерей прямолинейности или начальной формы).

Если предположить, что материал стержня идеально соответствует принимаемым в сопромате допущениям и гипотезам, а сжимающая сила приложена строго к центру тяжести сечения вдоль оси стержня, то такой стержень будет работать на простое сжатие, и разрушится не из-за потери устойчивости, а из-за превышения предельных прочностных характеристик для сжатия. Если же стержень имеет сечение в виде сложной фигуры, то решающую роль при потере устойчивости играет отклонение продольной нагрузки от главной центральной оси этой фигуры.

Опасность потери устойчивости особенно велика для тонкостенных конструкций, стержней, пластинок и оболочек.

Рассмотрим тонкий стальной стержень, длина которого значительно больше поперечных размеров, сжимаемый силой F , немного большей критической силы F кр (см. рисунок 1) .

Применяя метод сечений, убеждаемся, что в результате искривления оси в поперечных сечениях стержня возникают два внутренних силовых фактора – продольная сила N = F и изгибающий момент М и .

Таким образом, искривленный стержень испытывает сочетание деформаций центрального сжатия и изгиба.

При сжимающих силах, даже немного превышающих критическую силу, напряжения изгиба могут непосредственно угрожать прочности конструкции. Поэтому критическое состояние конструкции считается недопустимым.

Для обеспечения устойчивости необходимо, чтобы действующая на стержень сжимающая сила F была меньше критической F кр . Обозначим допускаемую сжимающую силу [F] , тогда:

[F] = F кр / ,

где: – допускаемый коэффициент запаса устойчивости.

Очевидно, что устойчивость стержня обеспечена, если > 1.

Значение коэффициента запаса устойчивости зависит от назначения стержня и его материала. Обычно для сталей = 1,8….3; для чугунов = 5….5,5; для дерева = 2,8….3,2.



Формулы Эйлера и Ясинского для расчетов стержней на устойчивость

Первые исследования устойчивости сжатых стержней были проведены академиком Петербургской Академии наук Леонардом Эйлером (1707-1783 г.г.) . В дальнейшем большая работа в области теоретического и экспериментального следования вопросов устойчивости была проведена русским ученым, профессором Петербургского института инженеров путей сообщения Ф. С. Ясинским (1856-1899 г.г.) , опубликовавшим в 1893 году научную работу «Опыт развития продольного изгиба».

Леонард Эйлер (Leonhard Euler, 1707 - 1783) - выдающийся ученый, которого в разных источниках называют швейцарским, немецким и российским. Математик, физик, астроном и механик, внёсший фундаментальный вклад в развитие этих и ряда других прикладных наук.
Эйлер - автор более чем 850 научных работ по математическому анализу, дифференциальной геометрии, теории чисел, приближённым вычислениям, небесной механике, математической физике, оптике, баллистике, кораблестроению, теории музыки и другим областям.
Академик Петербургской, Берлинской, Туринской, Лиссабонской и Базельской академий наук, иностранный член Парижской академии наук.

Л. Эйлер почти полжизни провёл в России, где внёс существенный вклад в становление российской науки. С 1726 по 1741, а также с 1766 года и до конца жизни был академиком Петербургской академии наук. С 1741 по 1766 год работал в Берлине (оставаясь одновременно почётным членом Петербургской академии).
Превосходно знал русский язык и часть своих сочинений (особенно учебники) публиковал на русском.
Некоторые из потомков Л. Эйлера до сих пор живут в России.

Л. Эйлером была предложена формула для определения величины критической силы F кр , которая приводится здесь без вывода:

F кр = π 2 ЕI min / l п 2 ,

где: Е – модуль упругости первого рода; I min - наименьший из осевых моментов инерции сечения, поскольку искривление происходит в плоскости наименьшей жесткости; l п – приведенная длина стержня, которая может быть определена по формуле:

l п = μl ,

где: l – длина стержня; μ – коэффициент приведения длины, зависящий от способа закрепления концов стержня.

Наиболее часто встречающиеся способы закрепления концов стержня и соответствующие им значения коэффициента приведения длины представлены на рисунке 2 .

Вывод формулы Эйлера основан на известном законе Гука , который справедлив лишь до предела пропорциональности. Поэтому формулой Эйлера можно пользоваться не всегда.
Для определения пределов применимости формулы Эйлера определим критическое напряжение σ кр , т. е. напряжение, которое возникает в поперечном сечении площадью А стержня при достижении критической силы:

σ кр =F кр / А = π 2 ЕI min /[(μl 2)A] .

Определим наименьший радиус инерции i min поперечного сечения стержня:

i min = √(I min / A) .

Перепишем формулу для σ кр так:

σ кр = π 2 Е / (μl / i min 2) .

Введем понятие гибкости стержня: λ = μl / i min . Это безразмерная величина, характеризующая размеры стержня и способ закрепления его концов. Окончательно получим:

σ кр = π 2 Е / λ 2 .

Формулу Эйлера можно применять только при выполнении условия:

σ кр = π 2 Е / λ 2 ≤ σ пц ,

где: σ пц – предел пропорциональности материала стержня. Следовательно, должно быть

λ ≥ √(π 2 Е / σ пц) = λ пред (здесь √ - знак квадратного корня) .

Величину, стоящую в правой части неравенства, называют предельной гибкостью. Предельная гибкость зависит только от физико-механических свойств материала стержня.
Условие применимости формулы Эйлера можно записать так: λ ≥ λ пред , т. е. формула Эйлера применима лишь в тех случаях, когда гибкость стержня больше или равна предельной гибкости. Так, для стержней из низкоуглеродистой стали формула Эйлера применима, если их гибкость λ ≥ 100.

В тех случаях, когда гибкость стержней меньше предельной, формула Эйлера становится неприменимой и при расчетах пользуются эмпирической формулой Ясинского :

σ кр = a – bλ ,

где: а и b – коэффициенты, зависящие от материала и определяемые по таблицам справочников.

Если стержень имеет гибкость λ ≤ 40, то его можно рассчитывать на простое сжатие по формуле σ с = F / А .

Расчеты прямолинейных стержней на устойчивость

Существует три вида расчетов на устойчивость прямолинейных стержней – проектный, проверочный и силовой .

Проектный расчет заключается в определении минимального осевого момента инерции поперечного сечения стержня по формуле:

I min = F(μl) 2 / (π 2 E) ,

где: – допускаемый коэффициент запаса устойчивости; μ – коэффициент приведения длины стержня; l – длина стержня; Е – модуль продольной упругости.

где: i min = √(I min / A) , (А – площадь сечения стержня) .

Полученную гибкость сравнивают с предельной для данного материала.

Проверочный расчет заключается в определении действительного коэффициента запаса устойчивости s y и сравнении его с допускаемым:

s y = F кр / F ≥ .

Силовой расчет заключается в определении допускаемой нагрузки [F] по формуле:

[F] = F кр / .

Расчет сжатых стержней на устойчивость можно свести к расчету на простое сжатие. При расчете применяют следующую формулу:

[F] = φ[σ с ]A ,

где: [σ с ] – допускаемое напряжение на сжатие; φ – коэффициент продольного изгиба (справочная величина, определяемая по таблицам).

Расчеты показывают, что при продольном изгибе наиболее выгодными являются кольцевые и коробочные тонкостенные сечения, имеющие относительно большой момент инерции.