Основы небесной механики. Успехи небесной механики

Небесная механика (также - математическая астрономия , теоретическая астрономия ) - раздел астрономии, занимающийся изучением закономерностей в движениях небесных объектов под действием различных природных причин, вызывающих эти движения. Предметом небесной механики является механическая форма движения космической материи , то есть изменение с течением времени взаимного расположения и пространственной ориентации различных космических тел и их систем.

Терминология

Наряду с введенным Пьером Лапласом термином небесная механика (1799 г.) до сих пор находит применение введенный петербургским академиком Ф.Т.Шубертом (1798 г.) и употребляемый почти в том же самом смысле термин теоретическая астрономия , основной и древнейшей частью которой является теория движения больших планет. Широко распространенный в англоязычный литературе термин динамическая астрономия полностью эквивалентен принадлежащему Леонарду Эйлеру термину механическая астрономия с аналогичным содержанием. Так что можно считать все перечисленные термины синонимами. Тем не менее, некоторые отличия в их трактовке существуют, и разные авторы объясняют эти отличия по-разному. Чаще всего считается, что теоретическая астрономия имеет своей целью изучение движения реально существующих небесных тел и открытие управляющих этими движениями законов природы, в то время как небесная механика исследует решения модельных задач о движении абстрактных объектов под воздействием идеализированных природных сил. Иначе говоря, с этой точки зрения теоретическая астрономия есть часть естествознания, тогда как небесная механика - это математическая дисциплина, по применяемым методам вполне аналогичная математической физике . Еще трудами Л. Эйлера, А. Клеро, Ж.-Л. Даламбера, Ж.-Л. Лагранжа, П. Лапласа и других классиков математического естествознания было доказано, что основные проблемы небесной механики сводятся к интегрированию систем дифференциальных уравнений . По сути дела, благодаря широчайшему использованию всех средств «чистой», прикладной и вычислительной математики небесная механика вполне могла бы именоваться, например, математической астрономией. Именно так и называлась когда-то (1933 г.) одна из астрономических специальностей механико-математического факультета Московского Государственного университета имени М.В.Ломоносова. В настоящее время небесная механика - одна из специализаций кафедры небесной механики, астрометрии и гравиметрии физического факультете МГУ имени М. В. Ломоносова.

Роль небесной механики в современном естествознании

Существующие теории, описывающие поступательно-вращательные движения небесных тел, составляют ту базу, которая во все времена доставляла человечеству возможность познавать устройство и эволюцию Вселенной. В настоящее время считается общепризнанным мнение, что современные высокоточные теории движения тел Солнечной системы позволили создать материализованную звездными каталогами и астрономическими ежегодниками пространственно-временную систему отсчета , которая является фундаментом для всех исследований, связанных с измерениями пространства и времени в процессе астрономических наблюдений и космических экспериментов.

Исторически сложилось так, что классическая (нерелятивистская) небесная механика унаследовала от античной и средневековой астрономии проблему описания видимых движений небесных светил и прогнозирования их будущих движений на небесной сфере. С древнейших времен именно с наблюдениями астрономических явлений было связано осознание человечеством своего места в мире и постепенное овладение законами природы. Важным этапом на этом пути было создание александрийским астрономом Клавдием Птолемеем (2-й век новой эры) геоцентрической системы мира на основе кинематической схемы видимых движений Солнца, Луны и пяти “блуждающих звезд” (планет Меркурия, Венеры, Марса, Юпитера и Сатурна). Важный вклад в изучение действительных движений тел Солнечной системы, безусловно, принадлежит немецкому астроному Иоганну Кеплеру, открывшему (в начале 17-го века, используя самые точные астрономические наблюдения датского астронома Тихо де Браге) три эмпирических закона планетных движений, приведших к окончательному преодолению геоцентрического мировоззрения и экспериментальному подтверждению гелиоцентрической системы мира великого польского астронома Николая Коперника. И все же решающим событием в истории естествознания было опубликование в 1687 году книги Исаака Ньютона «Математические Начала натуральной философии» с изложением основ математического “анализа бесконечно малых” (то есть дифференциального и интегрального исчисления), а также трех законов механики и закона всемирного тяготения . Этим фундаментальным сочинением И. Ньютон заложил основы современной небесной механики, так как ему удалось доказать, что именно притяжение планет Солнцем является причиной, ответственной за сформулированные И. Кеплером законы движения планет. Ньютон показал также, что силами взаимного притяжения объясняются и вытекающие из астрономических наблюдений отклонения от законов Кеплера. Более того, доказанная Ньютоном тождественность земной силы тяжести и движущей небесные светила силы гравитационного притяжения способствовала утверждению принципа материального единства мира , что можно с полным правом квалифицировать как подлинный триумф математического естествознания.

Так были утверждены основополагающие принципы механики и теории тяготения, составившие фундамент всей классической физики как точной науки. Великий физик XX-го века Альберт Эйнштейн подтвердил это словами: «физика - младшая сестра небесной механики».

С момента своего возникновения и до сих пор небесная механика служит для естествознания научным полигоном, на котором испытываются новейшие средства математического анализа. Более того, подавляющее большинство всех наиболее эффективных средств и методов теоретического исследования, можно сказать, «генетически» связаны с небесно-механическими проблемами астрономии. В качестве хрестоматийного примера достаточно сослаться на вышеупомянутое «исчисление бесконечно малых», специально разработанное И. Ньютоном (1687 г.) в качестве математического аппарата механики для решения, прежде всего, астрономических задач. Впоследствии с целью создания теорий движения тел Солнечной системы разрабатывались как количественные (аналитические и численные), так и качественные методы небесной механики (например, методы теории устойчивости движения). Да и методы численного интегрирования дифференциальных уравнений , входящие сейчас в число мощнейших средств компьютерного моделирования динамических систем, впервые были разработаны Леонардом Эйлером (первым был метод ломаных Эйлера ) в связи с практическими потребностями наблюдательной астрономии. Астрономами по должности были и такие классики естествознания как “король математиков” К.Ф. Гаусс (директор астрономической обсерватории Геттингенского университета) и «королевский астроном Ирландии» У. Р. Гамильтон (директор астрономической обсерватории Дублинского университета). Вклад обоих этих великих ученых XIX-го века в развитие точных наук трудно переоценить: Гаусс заслуженно считается основателем прикладной математики, развитой им на задачах определения орбит небесных тел из астрономических наблюдений, а теоретико-механический «гамильтонов формализм» нашел широчайшее применение не только в небесной механике, но и в подавляющем большинстве других разделов теоретической физики .

Небесная механика не только может, но по праву обязана считаться первоосновой всего точного естествознания и краеугольным камнем современной научной картины мира.

Основы классической небесной механики

Физическими основами классической небесной механики являются механика Ньютона и теория пространства, времени и тяготения, изложенные в его знаменитом труде «Математические начала натуральной философии» (1687 г.).

В небесной механике для описания движений небесных тел используются, в зависимости от конкретных условий, различные физические модели - идеализированные космические объекты. Например, материальная точка - это обладающее массой и скоростью тело, размеры, форма и внутреннее строение которого в условиях рассматриваемой задачи существенного значения не имеют. В частности, так как взаимные расстояния между Солнцем и большими планетами значительно превышают их линейные размеры, то приближенно их можно рассматривать как материальные точки. Именно благодаря учету этого обстоятельства И. Ньютон смог построить первую динамическую теорию планетных движений.

Положение материальной точки, изображающей конкретный космический объект, всегда определяется по отношению к некоторому, произвольно выбранному небесному телу, называемому телом отсчета . Совокупность тела отсчета, системы координат и часов (в качестве устройства для отсчета времени) образует систему отсчета , к которой принято относить положение и скорость исследуемого объекта в рассматриваемый момент времени.

Траектория движения небесного тела или его орбита - это геометрическое место его положений на рассматриваемом временном интервале, то есть кривая линия, описываемая материальной точкой в трехмерном пространстве. Закон движения , как известная функциональная зависимость состояния движения исследуемого объекта от времени, задается кинематическими уравнениями движения , представляющими собой параметрические уравнения траектории.

Три закона механики Ньютона, равно как и открытый им закон всемирного тяготения - это аксиоматически заданные гипотезы, рациональное объяснение которых лежит вне пределов классической механики и относится к прерогативам метафизики.

Первый закон механики в формулировке самого И.Ньютона гласит: «всякое тело сохраняет состояние покоя или прямолинейного равномерного движения, пока и поскольку оно не будет вынуждено изменить это состояние под воздействием других тел». Другая формулировка первого закона Ньютона (в форме «закона инерции») утверждает: «существуют такие системы отсчета, в которых свободная материальная точка сохраняет свое состояние покоя или прямолинейного равномерного движения». Такие системы отсчета называются инерциальными . Другими словами, инерциальной является система отсчета, в которой материальная точка (вследствие нулевой равнодействующей внешних сил) не подвержена воздействию со стороны других тел и потому движется по инерции, то есть прямолинейно и равномерно. И любая система отсчета, движущаяся прямолинейно и равномерно относительно инерциальной системы отсчета, также является инерциальной. Система же отсчета, движущаяся относительно инерциальной системы отсчета с ускорением, считается неинерциальной системой отсчета.

Эквивалентность механических свойств любых инерциальных систем отсчета составляет содержание механического принципа относительности (принципа относительности Галилея ). Это значит, что во всех инерциальных системах отсчета законы механики действуют одинаково. И, в частности, никакими механическими опытами внутри инерциальной системы отсчета невозможно оценить скорость такой системы и тем самым обнаружить ее движение, то есть равномерное прямолинейное движение и покой механически эквивалентны.

Присущее всем материальным телам свойство оказывать сопротивление изменению величины или направления их скорости проявляется как инертность состояния движения. Мерой инертности тела служит его инертная масса , в отличие от гравитационной массы , являющейся мерой его гравитационных свойств и играющей роль гравитационного заряда .

Важной механической характеристикой материальной частицы является количество движения (импульс массы или просто импульс ) - векторная величина, численно равная произведению массы на скорость и имеющая направление вектора скорости.

В качестве меры механического воздействия на тело со стороны других материальных образований (тел и силовых полей), в результате которого изменяется его импульс, выступает сила - векторная величина, в каждый момент времени характеризуемая числовым значением, точкой приложения и направлением в пространстве.

Согласно второму закону Ньютона «сила, действующая на материальную точку в инерциальной системе отсчета, равна произведению ее массы на сообщаемое этой силой ускорение». Это основной закон динамики, так как, устанавливая пропорциональность между ускорением и действующей силой, он тем самым задает динамические уравнения движения частицы в форме системы обыкновенных дифференциальных уравнений . Именно второй закон механики предполагает эквивалентность инертной и гравитационной масс. Оригинальная формулировке второго закона классической механики, данная самим Ньютоном, такова: «в инерциальной системе отсчета скорость изменения количества движения (т.е. импульса) материальной точки равна действующей на нее силе».

Если на материальную точку одновременно действуют несколько сил, то каждая из них сообщает ей ускорение согласно второму закону Ньютона независимо от других действующих сил, причем результирующее ускорение равно векторной сумме всех ускорений, сообщенных каждой силой в отдельности. Такова формулировка принципа независимости действия сил (принципа суперпозиции ) классической небесной механики.

Третий закон Ньютона (закон равенства действия и противодействия ) утверждает, что «в инерциальных системах отсчета всякое действие имеет характер взаимодействия. Силы взаимодействия однородны по своей природе, всегда равны по абсолютной величине и противоположно направлены вдоль прямой, соединяющей точки их приложения». Третий закон Ньютона - основа и причина существования систем небесных тел, то есть совокупностей космических объектов, рассматриваемых как единое целое.

В рамках классической небесной механики в качестве действующих сил обычно выступают силы гравитационного притяжения (гравитационные силы ), силы упругих деформаций (силы упругости ) и силы сопротивления среды (силы трения ). Силы упругости и силы трения являются частными случаями электромагнитных сил, наряду с гравитационными силами относящихся к классу фундаментальных сил и олицетворяющих (вместе с сильными и слабыми ядерными силами) четыре известных сейчас фундаментальных физических взаимодействия. На космическом пространственно-временном уровне организации материи преобладающим является гравитационное взаимодействие. Именно по этой причине в астрономии главная роль отводится, в первую очередь, силам гравитационной природы.

Согласно закону всемирного тяготения И. Ньютона, «между двумя материальными точками действует сила взаимного притяжения, направленная вдоль прямой, проходящей через взаимодействующие точки, прямо пропорциональная произведению их масс и обратно пропорциональная квадрату расстояния между ними». Закон всемирного тяготения (так называемый закон обратных квадратов ) - это главное звено всей ньютоновой теории пространства, времени и тяготения. По мнению великого французского ученого Жюля Анри Пуанкаре «проверка справедливости закона всемирного тяготения является главной целью небесной механики».

Современный этап развития небесной механики

На протяжении всей истории своего становления небесная механика всегда была источником новых идей, плодотворных методов и даже новых направлений в математике, традиционно являясь благодатным полем приложения усилий для подавляющего большинства выдающихся ученых. Среди знаменитых имен классиков точного естествознания (не только астрономов, но и физиков, и математиков, и механиков) практически отсутствуют такие, кто не воздал бы должную дань уважения небесной механике. Так, например, один из создателей статистической физики знаменитый американский физик Джозайя Уиллард Гиббс известен и как автор одного из методов определения орбит небесных тел из астрономических наблюдений.

Не только в методы решения задач, но и в методику преподавания небесной механики как дисциплины физико-математического цикла существенный вклад внесли многие крупнейшие деятели отечественной науки (Л. Эйлер , М.В. Остроградский , А.М. Ляпунов , А.Н. Крылов , И.В.Мещерский, В.В. Степанов , Н.Д. Моисеев, М.Ф.Субботин, Г.Н.Дубошин, А Н. Колмогоров , В.И. Арнольд и другие).

С началом космической эры и бурным развитием исследований космоса во второй половине XX-го века возникла новая научная дисциплина астродинамика , изучающая движения искусственных небесных тел (искусственные спутники Земли, Луны и других планет, орбитальные станции и межпланетные космические зонды) методами небесной механики. В отличие от классической небесной механики астродинамика учитывает силы искусственного происхождения, в том числе и различные силы негравитационной природы. Это, прежде всего, реактивные силы тяги ракетных двигателей, а также силы, возникающие вследствие нецентральности гравитационных полей тел Солнечной системы. Некоторые старые и забытые модельные задачи классической небесной механики получили вторую жизнь благодаря астродинамике, где за короткое время было получено много выдающихся и даже удивительных результатов.

Это связано, во-первых, c достигнутым фотографической астрометрией повышением точности оптических наблюдений небесных объектов. Во-вторых, с возможностью проведения небесно-механических экспериментов на искусственных спутниках Земли и межпланетных космических аппаратах, в результате которых стали широко использоваться наблюдения допплеровского смещения, а также данные радиолокационных и лазерных наблюдений. Возникшая в связи с этим проблема учета в движении тел Солнечной системы релятивистских эффектов привела к естественному внедрению в практику космических исследований результатов релятивистской небесной механики , опирающейся на теорию относительности Альберта Эйнштейна как релятивистскую теорию пространства-времени и тяготения.

В соответствии с основной идеей общей теории относительности тяготение есть свойство четырехмерного многообразия событий реального мира, которое объясняется изменением метрики пространства-времени, проявляющемся в виде его кривизны. Поэтому, с одной стороны, именно псевдориманова метрика определяет движение и распределение масс, а, c другой стороны, сама метрика определяется распределением и движением материи. Указанная взаимозависимость описывается уравнениями поля Эйнштейна - нелинейными дифференциальными уравнениями в частных производных второго порядка относительно компонент фундаментального метрического тензора четырехмерного псевдориманова пространства. Таким образом, ситуация в общей теории относительности резко отличается от положения дел в классической нерелятивистской теории, где дифференциальные уравнения движения, задаваемые тремя законами механики Ньютона, постулируются отдельно и независимо от уравнений поля (в форме дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка - линейных уравнений Лапласа и Пуассона для гравитационного потенциала). Но в общей теории относительности уравнения движения материальных тел содержатся в уравнениях гравитационного поля, и проблема вывода уравнений движения из уравнений поля еще не имеет окончательного решения. Известны лишь два строгих частных решения уравнений поля Эйнштейна, представляющих практический интерес для астрономии. Это решение Шварцшильда для сферически симметричного статического гравитационного поля одного неподвижного притягивающего центра, а также решение Керра, описывающее стационарное поле равномерно вращающегося тела сферически симметричной структуры. Что же касается более сложных релятивистских небесно-механических моделей, то точные уравнения до сих пор не выведены даже для задачи двух тел. И пока не существует другого выхода, как прибегать к приближенным методам интегрирования с поиском решений в виде бесконечных рядов по степеням различных малых параметров.

Так как Солнечная система является областью медленных движений и слабых гравитационных полей, учет релятивистских эффектов в движениях составляющих ее тел сводится к введению в элементы их орбит малых поправок, имеющих порядок квадрата отношения орбитальной скорости тела к скорости света.

К числу наиболее впечатляющих достижений небесной механики, окончательно подтвердивших закон всемирного тяготения, обычно принято относить точное предвычисление французским математиком Алексисом Клеро момента прохождения через перигелий знаменитой кометы Галлея (1759 г.), а также открытие «на кончике пера» планеты Нептун (1846 г.) астрономами Д.Адамсом (Англия) и У. Леверрье (Франция) по возмущениям в движении планеты Уран. Наконец, обнаруженное в середине XIX-го столетия тем же У. Леверрье рассогласование (всего лишь на 43 секунды за столетие) с ньютоновой теорией векового движения перигелия Меркурия нашло рациональное объяснение лишь в общей теории относительности А. Эйнштейна (1915 г.), что до сих пор справедливо расценивается как ее первое экспериментальное подтверждение.

К числу достижений XX-го века, безусловно, относится математически безупречное общее решение неограниченной задачи трех тел, полученное К. Зундманом (1912). Координаты и время в этом решении представлены аналитическими функциями независимой переменной, регуляризирующей парные соударения. Однако, из-за хотя и абсолютной, но чрезвычайно (если не сказать, чудовищно!) медленной сходимости степенных рядов Зундмана, они пока не нашли астрономических приложений.

В ГАИШ МГУ в 30-х годах XX-го века в развитие идей А.М. Ляпунова заложены основы теории устойчивости движения при постоянно действующих возмущениях (Г.Н. Дубошин).

Во второй половине XX-го столетия важные результаты были получены Московской школой небесной механики: в ГАИШ МГУ были выведены дифференциальные уравнения поступательно-вращательного движения небесных тел (Г.Н. Дубошин), разработана небесно-механическая модель - обобщенная задача двух неподвижных центров (Е.П. Аксенов, Е.А. Гребенников, В.Г. Демин), называемая также «моделью Гредеакса», нашедшая целый ряд астрономических приложений, в том числе для построения высокоточных теорий движения искусственных спутников Земли и планет (Е.П, Аксенов, Н.В. Емельянов).

К выдающимся достижениям второй половины прошлого столетия относится также создание математиками теории условно-периодических решений систем дифференциальных уравнений небесной механики (А.Н. Колмогоров, В.И. Арнольд, Ю. Мозер), с помощью которой получено решение задачи о нелинейной устойчивости частных решений уравнений движения.

На основе работ И.В. Мещерского по механике тел переменной массы в ГАИШ МГУ заложены основы небесной механики тел переменной массы (Г.Н. Дубошин), с помощью которых в последнее время получили дальнейшее развитие небесно-механические модели движений звезд в тесных двойных системах (Л.Г. Лукьянов).

K крупнейшим достижениям не только небесной механики, но и современной астрометрии относятся созданные в Лаборатории реактивного движения (Jet Propulsion Laboratory) высокоточные американские эфемериды больших планет и Луны: “DE 102 / LE 102” (M. Standish) и последующие их модификации, вплоть до “DE 421/LE 421”. Сюда же относятся и соответствующие французские эфемериды “INPOP 10” (J.Lascar, A. Fienga et al.) и российские эфемериды “EPM 2008” (Е.В. Питьева).

В ГАИШ МГУ и Парижском Институте Небесной механики и Вычисления Эфемерид созданы “Сервер эфемерид естественных спутников планет” и “ База данных естественных спутников планет” (Н.В.Емельянов, J.-U.Arlot).

Как и прежде, современная небесная механика остается интенсивно развивающейся областью астрономии, вносящей весомый вклад в формирование научной картины мира.

Литература

1.М.С.Субботин. Введение в теоретическую астрономию. Наука. Москва, 1968.

2.Г.Н. Дубошин. Небесная Механика. Основные задачи и методы. Изд. 3. Наука. Москва, 1975.

3.Справочное руководство по небесной механике и астродинамике. Под ред. Г.Н. Дубошина. Изд. 2. Наука. Москва, 1976.

4.Л.Г.Лукьянов, Г.И. Ширмин. Лекции по небесной механике. Эверо. Алматы, 2009.

22.07.2015
Дается систематическое изложение как классических результатов в области плоских смешанных задач, так и новейших достижений теории. Особое внимание уделено эффективным аналитическим методам решения смешанных задач и их математическому обоснованию. Рассмотрены смешанные задачи: теории упругости - задачи контактного взаимодействия, концентрации напряжений вблизи трещин и тонких включений (подкреплений); гидродинамики - задачи теории крыла, глиссирования и удара, струйных и кавитационных течений. Приведенные в книге методы найдут также применение в термодинамике, акустике и других областях математической физики. Для специалистов в области механики сплошных сред и математической физики, инженеров, а также студентов и аспирантов механико-математических и физических факультетов университетов.
3.32М, РУС.

22.07.2015
В книге дается систематическое изложение аналитической теории движения искусственных спутников Земли. Подробно рассматриваются возмущения, вызываемые зональными, тессеральными и секториальными гармониками геопотенциала и возмущения, обусловленные притяжением Луны и Солнца, сопротивлением атмосферы и световым давлением. Рассмотрено также влияние других возмущающих факторов. Особое внимание уделяется выводу окончательных рабочих формул, удобных для практических вычислений. Книга содержит ряд таблиц, необходимых для вычисления орбит.
3.17М, РУС.

14.12.2012
В книге излагаются сведения об астероидах, накопленные методами небесной механики, астрофизики и метеоритики в нашей стране и за рубежом. Читатель знакомится с историей отдельных открытий, с обнаружением порой противоречивых, порой, казалось бы, не связанных между собой фактов, в осмыслении которых рождается более глубокое понимание окружающей нас природы. Отдельная глава посвящена движению астероидов и характеру изменения их орбит на длительных (космогонических) интервалах времени. Большое внимание уделено физическим свойствам астероидов. Рассматриваются вопросы связи и взаимодействия астероидов с другими телами Солнечной системы. Книга для читателей со средним образованием, интересующихся астрономией.
5.83М, РУС.

05.07.2012
Эта книжка посвящена основам науки о движении искусственных небесных тел - спутников Земли, автоматических межпланетных станций, пилотируемых космических кораблей. Читатель узнает из нее, как выбирают ученые те или иные пути достижения небесных тел, какими соображениями они руководствуются при проектировании полетов космических аппаратов и экспедиций на Луну и планеты. В книге рассказывается о способах запуска спутников Земли, Луны и планет, о формах траекторий полетов сегодняшнего и завтрашнего дня космонавтики, о методах управления движением космических аппаратов, о различных маневрах в околоземном, окололунном и межпланетном пространстве. Читатель узнает не только об успехах небесной баллистики, но и о тех колоссальных трудностях, которые приходится преодолевать ученым и инженерам, о те...
3.18М, РУС.

06.10.2007
В настоящем издании книга разделена на четыре части. Первая часть посвящена изложению теории притяжения и может рассматриваться и как самостоятельный учебник по соответствующему курсу и как необходимое введение к курсу собственно небесной механики. Остальные три части содержат изложение основ небесной механики и представляют собой учебник по курсам «Теоретическая астрономия» и «Небесная механика». В настоящем издании книга снабжена многочисленными рисунками и чертежами, которых было мало или совсем не было («Теория притяжения») в первых изданиях.
15.27М, РУС.

06.10.2007
В настоящей книге автор ставит перед собой существенно иные цели. Содержание книги ограничивается рассмотрением шести методов небесной механики, на которых фактически базируются современные теории движения планет, комет и спутников, а именно 1. Метод Лапласа-Ньюкома. 2. Планетный метод Хилла. 3. Метод вариации произвольных постоянных. 4. Лунный метод Хилла. 5. Метод периодических орбит. 6. Метод Коуэлла. Каждый метод подробно рассмотрен во всех деталях, начиная от составления дифференциальных уравнений и кончая сравнением теории с наблюдениями.
4.69М, РУС.

06.10.2007
В книге излагаются аналитические и численные методы теории гамильтоновых систем и их приложения к исследованию движений, близких к точкам либрации ограниченной задачи трех тел. Основное внимание уделяется устойчивости положений равновесия и периодических движений нелинейных гамильтоновых систем в резонансных случаях, когда чисто мнимые характеристические показатели линеаризованной системы уравнений возмущенного движения связаны целочисленными соотношениями. Подробно исследована задача об устойчивости треугольных точек либрации ограниченной задачи трех тел. Разработан способ построения и исследования устойчивости периодических движений, близких положениям равновесия автономных гамильтоновых систем. Этот способ применен в анализе периодических движений, близких треугольным точкам либ...
6.76М, РУС.

06.10.2007
Обычно при решении конкретных задач о движении небесных тел (естественных и искусственных) приходится сочетать оба направления - аналитическое и качественное, - проверяя справедливость аналитических формул качественным путем или получая качественные результаты при помощи аналитических приемов. В результате такого сочетания можно построить строгую математическую теорию движения, практическую удовлетворительность которой можно установить сравнением с наблюдениями, с одной стороны, и сравнением с результатами численного интегрирования -с другой. Настоящая книга не претендует на полное изложение всех вопросов качественной и аналитической небесной механики, но имеет своей целью дать некоторое, первоначальное, представление об этой области науки.
8.98М, РУС.

06.10.2007
Справочное руководство по небесной механике и астродинамике. Абалакин В. К., Аксенов Е. П., Гребеников Е. А., Демин В. Г., Рябов Ю. А. Издание 2-е, дополненное и переработанное. Настоящее издание является справочным руководством по классической и прикладной небесной механике. Оно существенно отличается от первого издания, увидевшего свет в 1971 году. В данном издании введена новая часть (часть IX), посвященная движению небесных тел около центра масс. Другие разделы небесной механики, охватывающие теорию невозмущенного и возмущенного движений небесных тел, аналитические, численные и качественные методы, значительно расширены и дополнены. В новом изложении представлена часть VI, посвященная теории движения искусственных спутников Земли и теории гравитационного поля Земли, тео...
14.73М, РУС.

06.10.2007
Эта книга имеет своей целью прежде всего дать обстоятельное изложение всех тех вопросов Теоретической астрономии, знание которых нужно для изучения специальной литературы. Таким образом, она предназначена для подготовки изучающих эту науку к дальнейшей разработке ее проблем. Вместе с тем, особое внимание было обращено на то, чтобы сделать книгу удобной как для первоначального изучения предмета в объеме немногих основных глав, соответствующих программе общеобязательного университетского курса, так и для углубленного изучения, соответствующего различным специальным курсам. Теоретическая астрономия является в настоящее время наукой столь обширной и разнообразной, что стремиться к исчерпывающему изложению ее содержания было бы нецелесообразно. Но если многие вопросы должны изучаться непосредс...
15.03М, РУС.

06.10.2007
После запуска искусственных спутников Земли резко расширился круг лиц, интересующихся небесной механикой - наукой, изучающей законы движения небесных тел. Книга известного английского астронома У. Смарта представляет собой современный курс небесной механики, написанный автором на основе курса лекций, читанных им в Кембриджском университете. Первые четыре главы книги посвящены общим интегралам движения и разложения в ряды. В гл. 5 рассматриваются уравнения Лагранжа для оскулирующих элементов, в гл. 6 - различные возмущения, в гл. 7 - разложения возмущающей функции. Гл. 8-11 посвящены каноническим переменным и каноническим уравнениям. В гл. 12 излагается общая теория Луны, в последующих главах рассмотрены более тонкие вопросы теории Луны и больших планет. Заключительная глава...
7.65М, РУС.

06.10.2007

15.74М, РУС.

06.10.2007
В настоящую книгу включены два первых тома "Новых методов небесной механики". Третий том войдет во вторую книгу настоящего издания. Этот капитальный труд замечательного французского математика и физика публикуется на русском языке впервые. В "Новых методах небесной механики" А. Пуанкаре разработал теорию интегральных инвариантов, построил теорию асимптотических разложений, исследовал периодические орбиты, внес значительный вклад в решение ряда других задач прикладной математики, механики, астрономии. Это произведение, ставшее классическим, оказало большое влияние на развитие точных наук и не потеряло своего значения и в наши дни.
6.62М, РУС.

06.10.2007
Книга посвящена классической проблеме небесной механики и аналитической механики, имеющей важнейшие приложения в теории космического полета. Развивается теория движения тела малой массы под действием притяжений двух небесных тел (например, движения космического аппарата, притягиваемого Землей и Луной). Исследуются методы получения частных решений ограниченной задачи трех тел, движения вблизи точек либрации, почти периодические орбиты, окололунные орбиты, траектории полетов к Луне и т.д. Монография предназначена для специалистов по небесной механике и теории космического полета, преподавателей теоретической механики, аспирантов университетов.
15.7М, РУС.

06.10.2007
В течение первого десятилетия 20-го века в Париже были изданы «Лекции по небесной механике», читанные в Сорбонне знаменитым французским математиком А. Пуанкаре. Эта книга не дублирует ни ранее вышедшую обширную монографию А. Пуанкаре «Новые методы небесной механики», ни «Трактат по небесной механике» известного астронома Тиссерана, вышедший в конце 19-го века. «Лекции по небесной механике» являются учебником, по которому можно начинать изучение этой части астрономии, не имея другой подготовки, кроме элементарных сведений из общей механики и высшей математики. Но этот учебник, принадлежащий перу гениального ученого, представляет собой сочинение, в котором с достаточной математической строгостью и предельной ясностью оригинально изложены идеи основных методов небесной механики.
9.41М, РУС.

раздел астрономии, применяющий законы механики для изучения движения небесных тел. Небесная механика занимается предвычислением положения Луны и планет, предсказанием места и времени затмений, в общем, определением реального движения космических тел. Естественно, что небесная механика в первую очередь изучает поведение тел Солнечной системы - обращение планет вокруг Солнца, спутников вокруг планет, движение комет и других малых набесных тел. Тогда как перемещение далеких звезд удается заметить, в лучшем случае, за десятилетия и века, движение членов Солнечной системы происходит буквально на глазах - за дни, часы и даже минуты. Поэтому его изучение стало началом современной небесной механики, рожденной трудами И.Кеплера (1571-1630) и И.Ньютона (1643-1727). Кеплер впервые установил законы планетного движения, а Ньютон вывел из законов Кеплера закон всемирного тяготения и использовал законы движения и тяготения для решения небесно-механических проблем, не охваченных законами Кеплера. После Ньютона прогресс в небесной механике в основном заключался в развитии математической техники для решения уравнений, выражающих законы Ньютона. Таким образом, принципы небесной механики - это "классика" в том смысле, что и сегодня они такие же, как во времена Ньютона. Законы движения Ньютона. Чтобы лучше понять методы и результаты небесной механики, познакомимся с законами Ньютона и проиллюстрируем их простыми примерами. Закон инерции. Согласно этому закону, в системе отсчета, движущейся без ускорения, каждое тело сохраняет состояние покоя или прямолинейного и равномерного движения, если на него не действует внешняя сила . Это противоречит положению аристотелевой физики, утверждающему, что для поддержания движения тела требуется сила. Закон Ньютона говорит, что внешняя сила необходима только для приведения тела в движение, для его остановки или для изменения направления и величины его скорости. Темп изменения скорости тела по величине или направлению называется "ускорением" и свидетельствует о том, что на тело действует сила. Для небесных тел обнаруженное из наблюдений ускорение служит единственным указателем действующей на них внешней силы. Понятие о силе и ускорении позволяет с единой позиции объяснить движение всех тел в природе: от теннисного мяча до планет и галактик. Поскольку объект, движущийся по искривленной траектории, испытывает ускорение, было заключено, что Земля на ее орбите вокруг Солнца постоянно подвергается влиянию силы, которую назвали "гравитацией". Задача небесной механики состоит в том, чтобы определить действующую на небесное тело силу гравитации и выяснить, как она влияет на его движение. Закон силы. Если к телу приложена сила, то оно движется ускоренно, причем чем больше сила, тем больше ускорение. Однако одна и та же сила вызывает различное ускорение у разных тел. Характеристикой инертности тела (т.е. сопротивления ускорению) служит его "масса", которую в первом приближении можно определить как "количество вещества": чем больше масса тела, тем меньше его ускорение под действием заданной силы. Таким образом, второй закон Ньютона утверждает, что ускорение тела пропорционально приложенной к нему силе и обратно пропорционально его массе. Если из наблюдений известны ускорение тела и его масса, то, используя этот закон, можно вычислить действующую на тело силу. Закон противодействия. Этот закон утверждает, что взаимодействующие тела прилагают друг к другу равные по величине, но противоположно направленные силы. Поэтому в системе из двух тел, влияющих друг на друга одинаковой по величине силой, каждое испытывает ускорение, обратно пропорциональное его массе. Значит, лежащая на прямой между ними точка, удаленная от каждого обратно пропорционально его массе, будет двигаться без ускорения, несмотря на то, что каждое из тел движется ускоренно. Эту точку называют "центром масс"; вокруг нее обращаются звезды в двойной системе. Если одна из звезд вдвое массивнее другой, то она движется вдвое ближе к центру масс, чем ее соседка. Законы Кеплера. Чтобы изучать движение небесных тел, познакомимся с силой гравитации. Лучше всего это сделать на примере взаимного движения двух тел: компонентов двойной звезды или Земли вокруг Солнца (для простоты предполагая, что другие планеты отсутствуют). К таким системам применимы законы Кеплера. В основе их лежит тот факт, что оба взаимодействующих тела движутся в одной плоскости. Это означает, что и сила гравитации всегда лежит в той же плоскости. Закон эллипсов. Первый закон Кеплера утверждает, что планеты Солнечной системы движутся по эллипсам, в одном из фокусов которого находится Солнце . Фактически этот закон справедлив только для системы из двух тел, например для двойной звезды. Но и в Солнечной системе он выполняется довольно точно, поскольку на движение каждой планеты в основном влияет массивное Солнце, а все остальные тела влияют несравненно слабее. Закон площадей. Если отмечать не только положение планеты, но и время , то можно узнать не только форму орбиты, но и характер движения планеты по ней. Оно подчиняется второму закону Кеплера, утверждающему, что линия, соединяющая Солнце и планету (или компоненты двойной звезды), за равные интервалы времени "заметает" равные площади. Например, эта линия между Солнцем и Землей каждые сутки заметает 2?1014 квадратных километров. Из закона площадей следует, что Солнце притягивает планету строго по прямой, соединяющей их центры. Верно и обратное: для любой центральной силы справедлив второй закон Кеплера. Рассмотрим планету (рис.1), перемещающуюся из точки A в B за единицу времени. Если бы притяжение к точке O, где расположено Солнце, отсутствовало, то за следующую единицу времени планета переместилась бы в точку Y, такую, что AB = BY. С другой стороны, при наличии притяжения покоящееся в точке B тело переместилось бы за это время на расстояние x. Чтобы найти точку C, в которую действительно переместится планета, проведем прямую CY длиной x параллельно OB. Перпендикуляры, опущенные из точек Y и C на отрезок OB, очевидно, равны между собой. Если отрезок YD есть перпендикуляр из точки Y, а отрезок AE - перпендикуляр из точки A, то и они равны между собой из равенства треугольников YDB и AEB. Следовательно, высоты треугольников OBC и OBA равны, а значит, равны и площади этих треугольников, поскольку OB - их общее основание. Тем самым мы доказали, что за равные времена прямая, соединяющая планету с Солнцем (ее называют "радиусом-вектором" планеты), заметает равные площади. Если бы сила притяжения не была направлена точно к Солнцу, то отрезок CY не был бы параллелен прямой OB, и наше доказательство не было бы справедливым. Разумеется, приведенное выше доказательство справедливо лишь для бесконечно малых значений углов BOC и BOA. Однако любой отрезок орбиты можно представить как последовательность большого числа таких фигур, поэтому и для него доказательство останется справедливым. Гармонический закон. Еще больше можно узнать о силе гравитации из третьего закона Кеплера, связывающего размер планетной орбиты с периодом обращения по ней. Его называют гармоническим законом, поскольку склонный к мистике Кеплер считал эту связь проявлением "небесной гармонии". Закон гласит, что если а - большая полуось эллиптической орбиты планеты, а P - период обращения по ней, то отношение a3/P2 одинаково для всех планет. Рассмотрим некоторую планету, обращающуюся вокруг Солнца по круговой орбите радиуса a. Солнце притягивает ее с постоянной по величине силой, сообщая ускорение, необходимое для равномерного изменения направления движения. Найдем это ускорение, вычислив изменение скорости планеты V за единицу времени (рис.2). За период оборота планеты по орбите, равный 2?a/V, вектор скорости совершает полный поворот. Поэтому изменение скорости за это время равно длине окружности радиуса V. Изменение скорости за единицу времени, т.е. ускорение, составляет Обозначив орбитальный период через P, мы можем записать скорость как V = 2?a/Р. Тогда из выражения для ускорения получим, что оно пропорционально (a/P)2/a, или a/P2. Домножив числитель и знаменатель на a2, запишем это выражение так: (a3/P2)?(1/a2). Но, согласно гармоническому закону Кеплера, первый сомножитель постоянен - его значение одинаково для всех тел Солнечной системы. Значит, центростремительное ускорение и вызывающая его сила гравитации пропорциональны второму сомножителю, т.е. изменяются обратно пропорционально квадрату расстояния от Солнца. (Хотя мы доказали это только для круговой орбиты, более изощренные математические методы позволяют доказать это и для эллиптических орбит.) Гармонический закон утверждает, что период обращения планеты зависит только от ее расстояния от Солнца и не зависит от ее массы. Значит, все тела, движущиеся по одной орбите, должны иметь одинаковую скорость. Закон всемирного тяготения Ньютона. Анализируя законы Кеплера и наблюдательные данные о движении Луны, Ньютон сформулировал новый закон: каждая частица вещества притягивается к любой другой частице вдоль соединяющей их прямой с силой, прямо пропорциональной произведению их масс и обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними. Это всеобщий закон; он не ограничен влиянием Солнца на планеты. Он описывает также взаимодействие двух звезд, планеты и ее спутника, Земли и метеорита, Солнца и кометы. Все вещество во Вселенной подчиняется этому закону, поэтому его называют законом всемирного тяготения. Всеобщность этого закона дополняется его уникальностью: как доказали математики, планетные орбиты имеют вид эллипсов, в фокусе которых находится Солнце, только в том случае, если притяжение меняется обратно пропорционально квадрату расстояния. Казалось бы, попытка на основе ньютоновых законов движения и гравитации исследовать относительное движение взаимно притягивающихся тел должна привести к выводу знакомых нам законов Кеплера. Но это решительно не так, ибо законы Кеплера справедливы только в том случае, если.

Содержание статьи

НЕБЕСНАЯ МЕХАНИКА, раздел астрономии, применяющий законы механики для изучения движения небесных тел. Небесная механика занимается предвычислением положения Луны и планет, предсказанием места и времени затмений, в общем, определением реального движения космических тел.

Естественно, что небесная механика в первую очередь изучает поведение тел Солнечной системы – обращение планет вокруг Солнца, спутников вокруг планет, движение комет и других малых набесных тел. Тогда как перемещение далеких звезд удается заметить, в лучшем случае, за десятилетия и века, движение членов Солнечной системы происходит буквально на глазах – за дни, часы и даже минуты. Поэтому его изучение стало началом современной небесной механики, рожденной трудами И.Кеплера (1571–1630) и И.Ньютона (1643–1727). Кеплер впервые установил законы планетного движения, а Ньютон вывел из законов Кеплера закон всемирного тяготения и использовал законы движения и тяготения для решения небесно-механических проблем, не охваченных законами Кеплера. После Ньютона прогресс в небесной механике в основном заключался в развитии математической техники для решения уравнений, выражающих законы Ньютона. Таким образом, принципы небесной механики – это «классика» в том смысле, что и сегодня они такие же, как во времена Ньютона.

Законы движения Ньютона.

Чтобы лучше понять методы и результаты небесной механики, познакомимся с законами Ньютона и проиллюстрируем их простыми примерами.

Закон инерции.

Согласно этому закону, в системе отсчета, движущейся без ускорения, каждое тело сохраняет состояние покоя или прямолинейного и равномерного движения, если на него не действует внешняя сила. Это противоречит положению аристотелевой физики, утверждающему, что для поддержания движения тела требуется сила. Закон Ньютона говорит, что внешняя сила необходима только для приведения тела в движение, для его остановки или для изменения направления и величины его скорости. Темп изменения скорости тела по величине или направлению называется «ускорением» и свидетельствует о том, что на тело действует сила. Для небесных тел обнаруженное из наблюдений ускорение служит единственным указателем действующей на них внешней силы. Понятие о силе и ускорении позволяет с единой позиции объяснить движение всех тел в природе: от теннисного мяча до планет и галактик.

Поскольку объект, движущийся по искривленной траектории, испытывает ускорение, было заключено, что Земля на ее орбите вокруг Солнца постоянно подвергается влиянию силы, которую назвали «гравитацией». Задача небесной механики состоит в том, чтобы определить действующую на небесное тело силу гравитации и выяснить, как она влияет на его движение.

Закон силы.

Если к телу приложена сила, то оно движется ускоренно, причем чем больше сила, тем больше ускорение. Однако одна и та же сила вызывает различное ускорение у разных тел. Характеристикой инертности тела (т.е. сопротивления ускорению) служит его «масса», которую в первом приближении можно определить как «количество вещества»: чем больше масса тела, тем меньше его ускорение под действием заданной силы. Таким образом, второй закон Ньютона утверждает, что ускорение тела пропорционально приложенной к нему силе и обратно пропорционально его массе. Если из наблюдений известны ускорение тела и его масса, то, используя этот закон, можно вычислить действующую на тело силу.

Закон противодействия.

Этот закон утверждает, что взаимодействующие тела прилагают друг к другу равные по величине, но противоположно направленные силы. Поэтому в системе из двух тел, влияющих друг на друга одинаковой по величине силой, каждое испытывает ускорение, обратно пропорциональное его массе. Значит, лежащая на прямой между ними точка, удаленная от каждого обратно пропорционально его массе, будет двигаться без ускорения, несмотря на то, что каждое из тел движется ускоренно. Эту точку называют «центром масс»; вокруг нее обращаются звезды в двойной системе. Если одна из звезд вдвое массивнее другой, то она движется вдвое ближе к центру масс, чем ее соседка.

Законы Кеплера.

Чтобы изучать движение небесных тел, познакомимся с силой гравитации. Лучше всего это сделать на примере взаимного движения двух тел: компонентов двойной звезды или Земли вокруг Солнца (для простоты предполагая, что другие планеты отсутствуют). К таким системам применимы законы Кеплера. В основе их лежит тот факт, что оба взаимодействующих тела движутся в одной плоскости. Это означает, что и сила гравитации всегда лежит в той же плоскости.

Закон эллипсов.

Первый закон Кеплера утверждает, что планеты Солнечной системы движутся по эллипсам, в одном из фокусов которого находится Солнце. Фактически этот закон справедлив только для системы из двух тел, например для двойной звезды. Но и в Солнечной системе он выполняется довольно точно, поскольку на движение каждой планеты в основном влияет массивное Солнце, а все остальные тела влияют несравненно слабее.

Закон площадей.

Если отмечать не только положение планеты, но и время, то можно узнать не только форму орбиты, но и характер движения планеты по ней. Оно подчиняется второму закону Кеплера, утверждающему, что линия, соединяющая Солнце и планету (или компоненты двойной звезды), за равные интервалы времени «заметает» равные площади. Например, эта линия между Солнцем и Землей каждые сутки заметает 2ґ10 14 квадратных километров. Из закона площадей следует, что Солнце притягивает планету строго по прямой, соединяющей их центры. Верно и обратное: для любой центральной силы справедлив второй закон Кеплера.

Рассмотрим планету (рис. 1), перемещающуюся из точки A в B за единицу времени. Если бы притяжение к точке O , где расположено Солнце, отсутствовало, то за следующую единицу времени планета переместилась бы в точку Y , такую, что AB = BY . С другой стороны, при наличии притяжения покоящееся в точке B тело переместилось бы за это время на расстояние x . Чтобы найти точку C , в которую действительно переместится планета, проведем прямую CY длиной x параллельно OB . Перпендикуляры, опущенные из точек Y и C на отрезок OB , очевидно, равны между собой. Если отрезок YD есть перпендикуляр из точки Y , а отрезок AE – перпендикуляр из точки A , то и они равны между собой из равенства треугольников YDB и AEB . Следовательно, высоты треугольников OBC и OBA равны, а значит, равны и площади этих треугольников, поскольку OB – их общее основание. Тем самым мы доказали, что за равные времена прямая, соединяющая планету с Солнцем (ее называют «радиусом-вектором» планеты), заметает равные площади. Если бы сила притяжения не была направлена точно к Солнцу, то отрезок CY не был бы параллелен прямой OB , и наше доказательство не было бы справедливым.

Разумеется, приведенное выше доказательство справедливо лишь для бесконечно малых значений углов BOC и BOA . Однако любой отрезок орбиты можно представить как последовательность большого числа таких фигур, поэтому и для него доказательство останется справедливым.

Гармонический закон.

Еще больше можно узнать о силе гравитации из третьего закона Кеплера, связывающего размер планетной орбиты с периодом обращения по ней. Его называют гармоническим законом, поскольку склонный к мистике Кеплер считал эту связь проявлением «небесной гармонии». Закон гласит, что если а – большая полуось эллиптической орбиты планеты, а P – период обращения по ней, то отношение a 3 /P 2 одинаково для всех планет.

Рассмотрим некоторую планету, обращающуюся вокруг Солнца по круговой орбите радиуса a . Солнце притягивает ее с постоянной по величине силой, сообщая ускорение, необходимое для равномерного изменения направления движения. Найдем это ускорение, вычислив изменение скорости планеты V за единицу времени (рис. 2). За период оборота планеты по орбите, равный 2pa /V , вектор скорости совершает полный поворот. Поэтому изменение скорости за это время равно длине окружности радиуса V . Изменение скорости за единицу времени, т.е. ускорение, составляет

Обозначив орбитальный период через P , мы можем записать скорость как V = 2pa /Р . Тогда из выражения для ускорения получим, что оно пропорционально (a /P ) 2 /a , или a /P 2 . Домножив числитель и знаменатель на a 2 , запишем это выражение так: (a 3 /P 2)Ч(1/a 2). Но, согласно гармоническому закону Кеплера, первый сомножитель постоянен – его значение одинаково для всех тел Солнечной системы. Значит, центростремительное ускорение и вызывающая его сила гравитации пропорциональны второму сомножителю, т.е. изменяются обратно пропорционально квадрату расстояния от Солнца. (Хотя мы доказали это только для круговой орбиты, более изощренные математические методы позволяют доказать это и для эллиптических орбит.)

Гармонический закон утверждает, что период обращения планеты зависит только от ее расстояния от Солнца и не зависит от ее массы. Значит, все тела, движущиеся по одной орбите, должны иметь одинаковую скорость.

Закон всемирного тяготения Ньютона.

Анализируя законы Кеплера и наблюдательные данные о движении Луны, Ньютон сформулировал новый закон: каждая частица вещества притягивается к любой другой частице вдоль соединяющей их прямой с силой, прямо пропорциональной произведению их масс и обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними.

Это всеобщий закон; он не ограничен влиянием Солнца на планеты. Он описывает также взаимодействие двух звезд, планеты и ее спутника, Земли и метеорита, Солнца и кометы. Все вещество во Вселенной подчиняется этому закону, поэтому его называют законом всемирного тяготения. Всеобщность этого закона дополняется его уникальностью: как доказали математики, планетные орбиты имеют вид эллипсов, в фокусе которых находится Солнце, только в том случае, если притяжение меняется обратно пропорционально квадрату расстояния.

Казалось бы, попытка на основе ньютоновых законов движения и гравитации исследовать относительное движение взаимно притягивающихся тел должна привести к выводу знакомых нам законов Кеплера. Но это решительно не так, ибо законы Кеплера справедливы только в том случае, если: 1) взаимодействуют не более двух тел; 2) тела движутся по замкнутым орбитам; 3) масса одного из тел пренебрежимо мала по сравнению с массой другого. Эти условия делают анализ предельно простым, но они совершенно не обязательны для применения законов движения и гравитации. Используя эти общие законы, мы можем пренебречь указанными ограничениями. Сделаем это, отказываясь каждый раз лишь от одного из них.

Во-первых, можно показать, что орбита может быть не только эллипсом (частный случай которого – окружность), но также параболой или гиперболой. Все эти кривые называют «коническими сечениями», поскольку они получаются при пересечении прямого кругового конуса плоскостью. Круг и эллипс – замкнутые кривые; парабола и гипербола – незамкнутые. Спутник, движущийся по замкнутой орбите, совершает одинаковые обороты снова и снова, а спутник, движущийся по незамкнутой кривой, приближается к главному телу с бесконечно далекого расстояния и, пролетев поблизости от него, вновь удаляется на бесконечность.

Во-вторых, можно показать, что «постоянная» величина a 3 /P 2 в гармоническом законе численно равна сумме масс двух взаимодействующих тел, если a выражено в расстояниях Земли от Солнца (в астрономических единицах), P – в периодах обращения Земли (в годах), а масса – в сумме масс Земли и Солнца. Поскольку в Солнечной системе масса любой планеты не превосходит тысячной доли массы Солнца, величины a 3 /P 2 для всех планет различаются не более чем на 0,1%. Будь планеты массивнее, Кеплер не смог бы сформулировать свой гармонический закон. В общем виде этот закон выглядит так:

где M и m – массы компонентов системы, например Земли и Луны или звезд в двойной системе, причем значения масс могут быть любыми. (Все значения величин в этой формуле должны быть выражены в единой системе, например: астрономическая единица, год, масса Солнца.) Этот закон астрономы используют для определения масс различных космических объектов.

Можно также исследовать поведение трех или более взаимно притягивающихся тел. Закон тяготения позволяет вычислить силу, действующую на каждое из тел со стороны остальных, а законы движения – определить, как изменяется от этого его скорость. В случае двух тел их траектории движения могут быть представлены простыми уравнениями Кеплера. Но если тел больше, то это невозможно сделать с помощью конечного числа уравнений.

Этот последний случай наиболее часто встречается в небесной механике Солнечной системы. Важную проблему трех тел представляет система Земля – Луна – Солнце, но и здесь для точного вычисления орбиты Луны приходится учитывать возмущения со стороны других планет (особенно Юпитера и Сатурна), влияние экваториального вздутия Земли и даже влияние приливов, которые Луна вызывает в океанах Земли.

Интерес к классической небесной механике значительно возрос в последние десятилетия в связи с необходимостью расчета орбит искусственных спутников и межпланетных аппаратов. Мощные компьютеры сделали возможным быстрое решение любой небесно-механической задачи с высокой точностью. Впервые для таких расчетов был использован компьютер SSEC фирмы IBM размером с комнату. Для вычисления положений Юпитера, Сатурна, Урана, Нептуна и Плутона с интервалом в 40 сут с 1653 по 2060 ему понадобилось 140 ч; сегодня рядовой компьютер делает это менее чем за 2 с. Теперь с помощью мощнейших компьютеров стало возможным решать такие задачи, которые были совершенно не доступны классической небесной механике: можно проследить на протяжении миллиардов лет эволюцию скопления, состоящего из сотен тысяч звезд; можно детально рассчитать, как исказится форма двух сталкивающихся галактик. Компьютер вдохнул новую жизнь в небесную механику.

Небесная механика – раздел астрономии, применяющий законы механики для изучения движения небесных тел. Небесная механика занимается расчетами розташувння Луны и планет, вычислением места и времени затмений, в общем, определением реального движения космических тел.
Естественно, что небесная механика в первую очередь изучает поведение тел Солнечной системы – обращением планет вокруг Солнца, спутников вокруг планет, движения комет и других малых небесных тел, от времени практической космонавтики – также движением космических аппаратов. Тогда как перемещение далеких звезд удается заметить, в лучшем случае, за десятилетия и века, движение членов Солнечной системы происходит буквально на глазах – за дни, часы и даже минуты. Поэтому его изучение стало началом современной небесной механики, рожденной трудами И. Кеплера (1571-1630) и И. Ньютона (1643-1727). Кеплер впервые установил законы планетных движения, а Ньютон вывел из законов Кеплера закон всемирного тяготения и использовал законы движения и тяготения для решения небесно-механических проблем, не охваченных законами Кеплера. После Ньютона прогресс в небесной механике в основном заключался в развитии математической техники для решения уравнений, выражающих законы Ньютона. Таким образом, принципы небесной механики – это «классика» в том смысле, что и сегодня они такие же, как во времена Ньютона.
Небесная механика изучает движение космических тел в их общем гравитационном поле с учетом действия давления излучения, сопротивления среды, изменения массы и других факторов. Исследование движения небесных объектов предусматривает установление общих закономерностей движения и определения для произвольного момента времени положение и скорости объекта, изучаемого относительно выбранной системы координат. Опираясь на данные астрометрию, законы классической механики и математические методы исследования, небесная механика определяет траектории и характеристики движения космических тел, значения ряда астрономических постоянных, составление эфемерид, служит теоретической основой космонавтики.
Небесная механика как астрономическая наука основана на физической теориях всемирного тяготения. Почти все космические явления, которые рассматриваются небесной механикой, могут объясняться в рамках трех глав механики: кинематики, динамики и статики. В небесной механике, как и в классической механике – разделе физики, основной задачей является определение положения материальной точки при известных начальных координатах и скорости в любой последующий момент времени. Поскольку расстояния между космическими объектами во много раз больше их размеров, понятие «Космического тела» в небесной механике часто заменяется понятием «Небесного тела» – астрономическим аналогом понятия «Материальная точка» в физике.