Распределенная нагрузка на балку эпюра. Построение эпюр для балки

16.Что такое изгибающий момент, поперечная,продольная силы? Что такое эпюра внутренних усилий, что показывает каждая ордината на эпюре?

Изгибающий момент, поперечная сила, продольная сила - внутренние усилия возникающие от действия внешних нагрузок (изгиб, поперечная внешняя нагрузка,растяжение-сжатие).

Эпюры -графики изменения внутренних усилий вдоль продольной оси стержня, построенные в определённом масштабе.

Ордината на эпюре показывает значение внутреннего усилия в данной точке оси сечения.

17.Изгибающий момент. Правила (порядок) построения эпюры изгибающих моментов.

Изгибающий момент - внутреннее усилие возникающее от действия внешней нагрузки(изгиба, внецентренного сжатия –растяжения).

Порядок построения эпюры изгибающих моментов :

1.Определение опорных реакций данной конструкции.

2.Определение участков данной конструкции,в пределах которых изгибающий момент будет изменяться по одному и тому же закону.

3.Произвести сечение данной конструкции в окрестности точки, которая разделяет участки.

4.Отбросить одну из частей конструкции, разделённой пополам.

5.Найти момент,который уравновесит действие на одну из оставшихся частей конструкции всех внешних нагрузок и реакций связи.

6.Нанести значение этого момента, с учётом знака и выбранного масштаба, на эпюру.

Вопрос № 18.Поперечная сила. Построение эпюры поперечных сил, используя эпюру изгибающих моментов.

Поперечная сила Q –внутреннее усилие возникающее в стержне под воздействием внешней нагрузки(изгиб, поперечная нагрузка). Поперечная сила направлена перпендикулярно оси стержня.

Эпюра поперечных сил Q строится исходя из следующей дифференциальной зависимости: ,т.е.Первая производная от изгибающего момента по продольной координате равна поперечной силе.

Знак поперечной силы определяется исходя из следующего положения:

Если нейтральная ось конструкции на эпюре моментов поворачивается к оси эпюры по часовой стрелке, то эпюра поперечных сил имеет знак плюс, если против- минус.

В зависимости от эпюры M эпюра Q может принимать тот или иной вид:

1.если эпюра моментов имеет вид прямоугольника, то эпюра поперечных сил равна нулю.

2.Если эпюра моментов представляет собой треугольник, то эпюра поперечных сил имеет вид прямоугольника.

3.Если эпюра моментов имеет вид квадратной параболы, то эпюра поперечных сил имеет треугольника и строится по следующему принципу

Вопрос №19 . Продольная сила. Метод построения эпюры продольных сил используя эпюру поперечных сил. Правило знаков.

Полольная сила N- внутреннее усилие возникающее вследствие центрального и внецентренного растяжения-сжатия. Продольная сила направлена вдоль оси стержня.

Для того что бы построить эпюру продольных усилий нужно:

1.Вырезать узел данной конструкции. Если мы имеем дело с одномерной конструкцией, то сделать сечение на интересующем нас участке этой конструкции.

2.Снять с эпюры Qзначения усилий действующих в непосредственной близости от вырезанного узла.

3.Дать направление векторам поперечных сил, исходя из того какой знак имеет данное поперечное усилие на эпюре Qпо следующим правилам: если поперечная сила имеет на эпюреQзнак плюс, то её нужно направить так, что бы она вращала данный узел по часовой стрелке, если поперечная сила имеет знак минус –против часовой стрелки. Если внешняя сила проложена к узлу, то её нужно оставить и рассматривать узел вместе с ней.

4.Уравновесить узел продольными усилиями N.

5.Правило знаков для N:если продольная сила направлена к сечению, то она имеет знак минус (работает на сжатие).если продольная сила направлена от сечения, она имеет знак плюс (работает на растяжение).

Вопрос № 20.Правилаприменяемые для проверки правильности построения эпюр внутренних усилий M , Q , N .

1. В сечении, где приложена сосредоточенная сила F, на эпюре Q будет скачок, равный значению этой силы и направленный в ту же сторону (при построении эпюры слева направо), а эпюра М будет иметь перелом, направ- ленный в сторону действия силы F.

2. В сечении, где приложен сосредоточенный изгибающий момент на эпюре М, будет скачок, равный значению момента М; на эпюре Q изменений не будет. При этом направление скачка будет вниз (при построении эпюры слева направо), если сосредоточенный момент действует по ходу часовой стрелки, и вверх, если против хода часовой стрелки.

3.Если на участке, где имеется равномерно распределенная нагрузка, поперечная сила в одном из сечений равна нулю (Q=M"=0), то изгибающий момент в этом сечении принимает экстремальное значение М экстр - максимум или минимум (здесь касательная к эпюре М горизонтальна).

4.Для проверки правильности построения эпюры М можно использовать метод вырезания узлов. При этом момент приложенный в узле нужно при вырезании узла оставлять.

Правильность построения эпюр Q и M можно проверить, дублируя метод вырезания узлов методом сечений и наоборот.

21.Как изменяются изгибающий момент, поперечная и продольная сила в сечении, в котором приложена сосредоточенная сила. Приведите пример.

В сечении, где приложена сосредоточенная сила F,на эпюре Q будет скачок, равный значению этой силы и направленный в ту же сторону (при построении эпюры слева направо), а эпюра М будет иметь перелом, направленный в сторону действия силы F.На эпюре N изменений не будет.

Если сила направлена вдоль стержня, то значения на эпюре моментов М и поперечных силQне изменятся. На эпюре продольных силNбудет скачок равный значению приложенной силы.

22.Как изменяется изгибающий момент, поперечная и продольная сила в сечении, в котором приложен сосредоточенный момент.Приведите пример.

В сечении, где приложен сосредоточенный изгибающий момент на эпюре М, будет скачок, равный значению момента М, при этом направление скачка будет вниз (при построении эпюры слева направо), если сосредоточенный момент действует по ходу часовой стрелки, и вверх, если против хода часовой стрелки.; на эпюрам Q и N изменений не будет.

Вопрос № 23.Привести примеры построения эпюр изгибающих моментов и поперечных сил для шарнирно-опёртой балки от равномерно-распределённой нагрузки,сосредоточенной силы посередине, сосредоточенного момента.

Кать, в этом вопросе есть сложность: дело в том, что консольной балкой называется балка, которая стоит на шарнирных опорах и у которой есть продолжения за эти опоры (это если по учебнику Александрова).Но в интернете я видел, что такой (консольной) балкой именуют просто консоль. Поэтому я сделал ответ для двух вариантов.

Вопрос № 24. Привести примеры построения эпюр изгибающих моментов и поперечных сил для консольной балки от равномерно-распределённой нагрузки,сосредоточенной силы на конце и сосредоточенного момента.

Вариант консоли.

Вариант консольной балки.

Вопрос № 25.Особенноси построения эпюр изгибающих моментов в сложных (составных) конструкциях, с применением поэтажных схем.

1.В сложной составной конструкции значение изгибающего

момента в шарнире равно нулю.

2.В сложной составной двумерной конструкции значение момента с одной стороны узла переходит на другую сторону, растягивая те же волокна. Значение момента с той или иной стороны узла можно узнать вырезав узел и приведя его в равновесие.

(исходя из равновесия узлов).

3.В сложной составной конструкции изгибающие моменты следует начинать строить со свободных концов.

4.При построении эпюр изгибающих моментов следует начинать с верхнего этажа.

5.Значения изгибающих моментов на краях верхнего этажа автоматически переходят на край нижнего этажа.

Вопрос № 35.Формула Максвелла-Мора для определения перемещений в общем виде .

Формула Максвелла-Мора для перемещения при заданных деформациях

(произвольной природы):

, где -перемещение,-номер искомого перемещения,-причина, вызвавшая данное перемещение (нагрузка, изменение температуры и т.д.);,,- элементарные деформации

удлинения, изгиба,сдвига, вызвавшие элементарные перемещения ;-внутренние силы от единичного загружения

;-длина стержня.

Вопрос № 36.Формула Максвелла-Мора для определения перемещений от силового воздействия.

В частном случае для упругих деформаций эта формула получит вид:

,где- внутренние силы от грузового(реального) загружения,-внутренние силы от единичного загружения; К - коэффициент, учитывающий неравномерность распределения касательных напряжений в сечении при изгибе; -элементарная длина,-сдвиговая жёсткость,-изгибная жёсткость,- жёсткость при сжатии; -длина стержня; перемещение;номер искомого премещения;причина. вызвавшая данное премещение (нагрузка). В сокращённом и наиболее употребительном виде эта формула выглядит так:

Остальными членами изначальной формулы мы пренебрегаем из за того, что они оказывают малое воздействие на перемещение.

Кать, перед каждым членом формулы Максвелла–Мора (как общей так и частной и для сокращённого вида, т. е. для 35 и 36 вопросов) нужно перед знаком интеграла поставить вот этот знак:

Вопрос № 37.Формула Максвелла –Мора для определения перемещений от теплового воздействия и осадки опор.

kc -перемещения от теплового воздействия и осадки опор,n - количество стержней,Mk -момент с грузовой эпюры;Mt , Mc -моменты от единичного воздействия;EI -изгибная жёсткость;ds -элементарная длина;N , M -площади эпюр продольной силы и изгибающего момента;ᾳ-коэффициент линейного расширения материала;t ср- средняя температура ; t температур штрих-перепад; h высота сеченияконструкции(обычно принимается равной 0.1 от длинны наибольшего стержня);Ri –реакция в смещаемой связи; Ci- смещение связи.

Вопрос № 38.Последовательность вычисления перемещений в статически определимых системах от силового воздействия.

1.Построить эпюру изгибающих моментов от действия внешней нагрузки.

2.В сечении, где нужно определить прогиб нужно приложить сосредоточенную единичную нагрузку. Направление единичной нагрузки выбирается произвольно.

3.Строим эпюру моментов (единичную эпюру) от действия только единичной нагрузки.

4.Вычисляем интеграл Мора путём “перемножения” грузовой и единичной эпюры одним из известных способов (Правило Верещагина, Формула трапеций, Формула Симпсона). Если в результате расчёта прогиб или угол поворота оказываются положительными, то направление перемещения совпадает с направлением действия единичной нагрузки. В противоположном случае (знак минус) выбранное направление для единичной нагрузки не совпадает с направлением перемещения.

Вопрос № 39.Как правильно выбрать единичную силу для определения перемещений. В случае определения линейного, углового перемещений, а также при определении взаимного сближения (удаления) точек,взаимного поворота сечений.

а) В случае определения линейного перемещения, нужно приложить в данном сечении единичную сосредоточенную силу.

б) В случае определения углового перемещения, нужно в сечении приложить единичный изгибающий момент.

в) В случае определения взаимного линейного сближения (удаления) точек, нужно приложить к этим точкам две, лежащие на одной примой и направленные в разные стороны единичные силы.

г) В случае определения взаимного поворота сечений, нужно приложить в этих сечениях два разнонаправленных единичных момента.

Первый и второй случай

Третий случай (силы, я думаю можно направить горизонтально, что бы избежать лишних вопросов).

Четвёртый случай.

Кать, а это на всякий случай два вопроса из темы которую мы не проходили.Эти вопросы отработаны хорошо.

Вопрос № 31.Теоремма Бетти о взаимности работ.

Теорема Бетти: работа первой силы на перемещении по ее направлению от действия второй силы равна работе второй силы на перемещении по ее направлению от действия первой силы или ,где

Первая сила, -вторая сила,-перемещение по направлению первой силы от действия второй силы,-перемещение по направлению второй силы от действия первой силы.

О том как такой абсурдный вывод получается смотри в учебнике Варданяна стр.207-208

Вопрос № 32.Теорема Максвелла о взаимности обобщённых единичных перемещений.

Теорема Максвелла: Перемещение по направлению действия второй силы в первом единичном состоянии равно перемещению по направлению действия первой силы во втором единичном состоянии.

или ,гдеи-перемещения вызванные действием единичных нагрузок.

Получается если обе силы из теоремы Бетти равны единице:.

Подробнее смотри в Варданяне стр.208.

А эти два вопроса не из нашей темы я подготовил кое как.Просто на всякий случай.

Вопрос №27.Что называется перемещением точки, как они обозначаются..Для чего нужны перемещения.

Перемещение- изменение положения точки в пространстве относительно выбранной системы отсчёта. Нужно знать для того чтобы знать способна ли конструкция дальше функционировать (не разрушится ли она).(?)

Вопрос № 28.Какова зависимость между перемещениями и нагрузкой для линейно деформируемых систем.Напишите выражение Обобщённого закона Гука для таких систем.

Зависимость между перемещениями и нагрузкой прямо пропорциональная (?)

Это обобщённый закон Гука.

При этом школьнику, особенно мечтающему стать писателем или водителем, труднее всего объяснить, зачем эти самые функции, графики и прочие абстракции ему нужны, если после экзаменов он больше никогда в жизни о них не вспомнит? Во всяком случае до тех пор, пока у него самого не появятся дети, которым снова нужно будет выучить эти понятия и термины.

Между тем с инженерами, физиками и представителями прочих точных наук дело обстоит иначе. Так например студенты строительных специальностей на втором году обучения с удивлением узнают, что у абстрактных функций и их графиков, а также производных и дифференциалов есть вполне конкретный смысл. А в чем этот смысл заключается, мы ниже и рассмотрим на примере балок.

Примечание : перед продолжением чтения данной статьи настоятельно рекомендую ознакомиться с основами теории сопротивления материалов.

Эпюры распределенной нагрузки

Это может показаться странным, но когда мы изображаем равномерно распределенную нагрузку, действующую по всей длине балки, например такую:

Рисунок 545.1 . Равномерно распределенная нагрузка, а) общепринятое изображение, б) график функции - равномерно распределенной нагрузки

То это с одной стороны вроде бы просто нагрузка q = 3 кг/м, равномерно распределенная по всей длине балки (рис.545.1.а)), а с другой стороны - это график функции у , показывающий изменение значения функции в зависимости от изменения значения аргумента х (рис.545.1.б)). Соответственно функциональное уравнение в данном случае будет иметь вид:

у = - 3 = const (545.1)

q = - 3 = const (545.1.2)

А смысл этих достаточно простых уравнений в том, что значение нагрузки является постоянной величиной и не зависит от значения аргумента функции, в данном случае от положения рассматриваемого поперечного сечения .

Примечание : В данном случае знак "-" используется потому, что нагрузка направлена вниз.

Вроде бы ничего сложного, но это и есть основные принципы построения эпюр для распределенной нагрузки.

Конечно же распределенная нагрузка может быть не только равномерно распределенной, действующей по всей длине балки, но и линейно или нелинейно изменяющейся, или действующей не по всей длине балки, а также может быть направлена не вниз, а вверх. Некоторые возможные варианты распределенных нагрузок показаны на рисунке 545.2:

Рисунок 545.2 . Распределенные нагрузки: а) линейно изменяющаяся, б) линейно изменяющаяся, действующая не по всей длине балки, в) линейно изменяющаяся, описываемая двумя уравнениями, г) нелинейно изменяющаяся.

Но общего принципа построения эпюр нагрузок и составления соответствующего уравнения или уравнений это ни как не меняет.

Так функциональное уравнение для нагрузки, показанной на рисунке 545.2.а):

y = - x/2 (545.2)

По той простой причине, что максимальное значение нагрузки q = 2 кг/м будет в конце балки длиной l = 4 м. Другими словами значение функции у = 2 при аргументе функции х = 4.

Для нагрузки, показанной на рисунке 545.2.в) на участке от начала балки до середины:

y = x (545.3.1)

на участке от середины до конца балки:

у = 2 - х (545.3.2)

Одним словом почти для любой распределенной нагрузки можно составить уравнение, описывающее характер изменения этой нагрузки. А если нагрузка уж слишком мудреная или на балку действуют несколько распределенных нагрузок, то можно воспользоваться принципом суперпозиции, но об этом чуть позже.

Все это хорошо, скажете вы, но зачем нам строить эпюры нагрузки, ведь они у нас и так как бы есть? Действительно от студентов строительных вузов не требуют строить эпюры нагрузок. Считается, что это и так понятно. Не спорю, для тех, кому и так понятно, могут эту часть статьи пропустить (хотя уже поздно), а всем остальным это новое знание должно пригодиться, так как дальше мы будем работать именно с уравнениями функций.

Построение эпюр поперечных сил

Расчет строительных конструкций, в частности балок, основан на общих принципах статического равновесия системы. Исходя из этих принципов, мы можем заменить любые опоры балки сосредоточенными силами - опорными реакциями, при этом балка все равно останется в состоянии статического равновесия .

Но и это еще не все, теоретически мы можем отсечь любую часть балки, а вместо отсеченной части приложить в месте полученного сечения еще некоторые силы или даже моменты сил так, чтобы балка опять оставалась в состоянии статического равновесия. На этой теоретической предпосылке основан метод сечений , упоминавшийся выше.

Конечно же поперечные силы (действие продольных сил мы пока не рассматриваем) и изгибающие моменты, которые необходимо приложить в различных сечениях балки для сохранения статического равновесия системы, могут иметь разные значения. При этом эпюры поперечных сил и изгибающих моментов как раз и показывают нам, как изменяются значения поперечных сил и изгибающих моментов в поперечных сечениях по длине балки.

Собственно именно для этого эпюры и нужны, так как позволяют даже визуально определить сечение в котором действуют максимальные нормальные и(или) касательные напряжения. Весь остальной расчет на прочность - дело техники. Но вернемся к эпюрам, в частности рассмотрим равномерно распределенную нагрузку показанную на рисунке 545.1, как наиболее простую.

Когда мы рассекаем балку, и рассматриваем оставшуюся часть, то часть нагрузки, действующей на балку, также отсекается:

Рисунок 545.3 . Отсечние части балки вместе с нагрузкой, метод сечений

Так, если мы рассматриваем сечение на расстоянии 1 м от начала балки, то общая нагрузка, действующая на рассматриваемую часть балки, составит 3 кг, на расстоянии 2 м - 6 кг и так далее.

Получается, что чем больше расстояние от точки А до рассматриваемого сечения (или от начала координат до точки х), тем большую силу нужно приложить в рассматриваемом сечении, чтобы отсеченная часть балки оставалась в равновесии. Более того, мы видим здесь явную закономерность, которую можно выразить следующим уравнением:

Q = - 3x (545.4.1)

А если присмотреться к формулам (545.1.2) и (545.4.1) повнимательнее, то мы увидим, что поперечная сила есть ничто иное, как дифференциал функции нагрузки. Другими словами, чтобы определить значение поперечных сил в том или ином поперечном сечении, нам нужно проинтегрировать уравнение (545.1.2):

Q = ∫qdx = - ∫3dx + A = - 3x + A (545.4.2)

где А - некая постоянная величина, как это следует из общих правил интегрирования . В данном случае А - это значение опорной реакции. Как именно определяются опорные реакции в зависимости от нагрузки на балку - это отдельная большая тема . Здесь просто отметим, что при равномерно распределенной нагрузке на балку А = В = ql/2. В данном случае при значении нагрузки q = 3 кг/м опорные реакции составят A = B = 3·4/2 = 6 кг.

Теперь у нас есть все необходимые данные для построения эпюры поперечных сил при действии на балку равномерно распределенной нагрузки:

Рисунок 545.4 . Равномерно распределенная нагрузка: а) общепринятое обозначение, опорные реакции, б) график функции - равномерно распределенной нагрузки, в) график функции - поперечных сил, действующих в сечениях балки.

Сразу отметим важную особенность эпюр поперечных сил, из которой вытекает одно из общих правил построения эпюр:

1. В местах приложения сосредоточенных сил, будь то опорные реакции или любые другие сосредоточенные силы, направленные вертикально, на эпюре "Q" всегда будет резкое изменение. При этом разница значений, определяемая по эпюре, будет равна значению приложенной сосредоточенной силы, а направление изменения будет такое же, как и у приложенной силы.

Подтверждение этой особенности мы видим и на рисунке 545.4.в), где в начале и в конце балки наблюдается скачкообразное изменение значений поперечных сил, равное значению опорных реакций.

Это правило действует для всех балок вне зависимости от степени статической неопределимости, количества и вида опор. Более того, это правило действует и при построении эпюр поперечных сил для рам.

Построение эпюр изгибающих моментов

Как тонко подметил Архимед, любая сила, приложенная с некоторым плечом относительно рассматриваемой точки, создает вращающий момент. И чем больше плечо, тем больше значение вращающего момента при одном и том же значении приложенной силы.

Это правило рычага действительно и при построении эпюр изгибающих моментов. Вот только моменты называются не вращающими, а изгибающими, но суть от этого не меняется. Так предполагается, что в любом поперечном сечении балки, находящемся на расстоянии х от начала балки (начала координат) могут действовать изгибающие моменты.

Например в нашем случае в начале балки приложена сосредоточенная сила - опорная реакция А = 6 кг, соответственно эта сила будет создавать изгибающий момент Ах , где х - плечо действия силы. При этом равномерно распределенная нагрузка также будет создавать изгибающий момент. А чтобы определить значение этого момента, сначала определяется общее значение нагрузки -qx , что мы и делали при построении эпюры поперечных сил. Общее значение распределенной нагрузки в рассматриваемом сечении можно рассматривать как равнодействующую сосредоточенную силу, а прикладывается эта сила в центре тяжести эпюры нагрузки. Т.е. в этом случае мы рассматриваем эпюру нагрузки, как некое физическое тело, имеющее плотность и соответственно центр тяжести. Впрочем с точки зрения теории сопротивления материалов в этом нет ничего удивительного.

Определить положение центра прямоугольной эпюры нагрузки несложно. Подобными упражнениями мы занимались в школе, когда определяли центр тяжести линейки. И находится этот центр тяжести посредине длины линейки, а в данном случае посредине рассматриваемой части эпюры нагрузки и составляет х/2.Таким образом плечо действия равнодействующей сосредоточенной силы при равномерно распределенной нагрузке составляет х/2. При этом функциональное уравнение изгибающих моментов, необходимое для построения эпюры моментов, будет иметь следующий вид:

M = Ax - qx·x/2 = Ax - qx 2 /2 (545.5.1)

Примерно такой же результат мы получим, если проинтегрируем уравнение поперечных сил:

M = ∫(A - qx)dx = M 0 + Ax - qx 2 /2 (545.5.2)

Где М 0 = 0 - это опять же постоянная интегрирования. В данном случае - значение момента на опоре А. Так как мы рассматриваем однопролетную безконсольную балку на шарнирных опорах, то в этом частном случае значение момента на опоре А равно нулю. Кроме того значение момента на опоре В для шарнирной безконсольной балки также равно нулю, так как шарнирные опоры повороту сечений ни как не препятствуют. Эта особенность в частности используется при определении опорных реакций однопролетной безконсольной балки на шарнирных опорах. Другими словами, зная, что момент на опоре В равен нулю, мы можем определить значение опорной реакции А из уравнения (45.5.2):

М В = 0 = Аl - ql 2 /2 (545.5.3)

A = (ql 2 /2)/l = ql/2 (545.5.4)

В общем случае значение момента в начале координат может быть не равно 0.

А теперь рассмотрим еще одну особенность изгибающих моментов: для рассматриваемого сечения не имеет принципиального значения, какой будет знак у момента, положительный или отрицательный, так как при любом знаке в сечении будет как растягиваемая, так и сжимаемая зона сечения. А вот какая именно зона сечения будет растягиваемой, верхняя или нижняя - имеет большое значение, потому что не все материалы имеют равное сопротивление растяжению и сжатию, а кроме того форма сечения далеко не всегда бывает прямоугольной.

В связи с этим при построении эпюр изгибающих моментов принято следующее правило:

2. Эпюра моментов строится с той стороны, где будет растянутая зона сечения. При этом момент, пытающийся вращать рассматриваемое сечение по часовой стрелке, считается положительным, а против часовой стрелки - отрицательным.

Примечание : это правило не является общепринятым. В некоторых справочниках и учебниках по теории сопротивления материалов положительный момент строится сверху от оси х , что в общем то логично, но при этом получается, что положительный момент там, где сжатая зона сечения. В других он строится с той стороны, где растянутая зона сечения, но при этом может показываться со знаком "-", если строится снизу от оси х . Но как я уже говорил выше, принципиального значения это не имеет, главное понимать общий смысл изгибающих моментов.

Если мы посмотрим на направление действия опорной реакции А и распределенной нагрузки q (рисунок 545.4), то увидим, что относительно любого из рассматриваемых сечений опорная реакция А пытается вращать это сечение по часовой стрелке, а распределенная нагрузка q - против. Это означает, что функциональное уравнение, описывающее изменение изгибающих моментов по длине балки, составлено у нас правильно.

При этом растянутой будет нижняя зона сечения балки по той причине, что балка прогнется вниз при таком действии нагрузки. Следовательно эпюру моментов в данном случае следует строить снизу от оси координат х .

Теперь у нас есть все данные для построения эпюры изгибающих моментов. Судя по уравнению (545.5.2) это будет квадратная парабола, а максимальное значение изгибающего момента будет посредине балки, так как нагрузка у нас симметричная, и составит М = 6·2 -3·2 2 /2 = 6 кгм.

Рисунок 545.5.г) эпюра изгибающих моментов, как график функции у = 6х - 3х 2 /2

В общем случае, когда нагрузка несимметричная, как показано на рисунках 545.2.а) и б) или на балку действуют несколько распределенных нагрузок, то определить сечение в пролете балки, в котором действует максимальный изгибающий момент. можно, воспользовавшись следующим общим правилом:

3.1. При действии распределенных нагрузок максимальный момент в пролете балки будет в том сечении, в котором значение поперечных сил равно нулю.

Если мы посмотрим на рисунки 545.5.в) и г), то увидим, что это так и есть. Если на балку действуют только сосредоточенные силы, то следует использовать другое правило:

3.2. При действии на балку сосредоточенных сил максимальный момент будет в точке приложения как минимум одной из таких сил.

А вообще в ряде случаев при действии нескольких сосредоточенных сил на балку их, для упрощения расчетов, можно привести к эквивалентной равномерно распределенной нагрузке.

У многопролетных статически неопределимых балок на шарнирных опорах, у балок с жестким защемлением на опорах и у балок с относительно большой длиной консоли максимальный момент может быть не в пролете, а на одной из опор. Тем не менее правило определения момента в пролете по поперечным силам действует и для таких балок.

При построении эпюр изгибающих моментов можно выделить еще несколько общих правил.

4. В точке приложения сосредоточенных сил к балке всегда резко изменяется угол наклона касательной к эпюре моментов "М".

В нашем случае сосредоточенные силы - опорные реакции приложены в начале и в конце балки и если мысленно рассматривать ось х до начала и после конца балки как все ту же балку, то действительно в начале и конце балки мы видим резкое изменение угла наклона касательных, которые можно провести к кривой эпюры моментов в этих точках.

Это правило действует даже в тех случаях, когда эпюра моментов - не кривая, а ломаная линия. Например, при действии на балку только сосредоточенных сил.

5. В местах приложения к балке внешних изгибающих моментов на эпюре "М" всегда будет резкое изменение. При этом разница значений, определяемая по эпюре, будет равна значению приложенного изгибающего момента.

Как видим данное правило подобно правилу 1, используемому при построении эпюр поперечных сил и в этом нет ничего удивительного, так как закономерности построения графиков функций общие.

Примечание : Касательные и нормальные напряжения, действующие в рассмариваемых поперечных сечениях балки, распределяются не равномерно по высоте сечения балки. Формально для определения максимальных касательных и нормальных напряжений в рассматриваемом сечении требуется дополнительное построение эпюр касательных и нормальных напряжений, но как правило большой необходимости в этом нет, особенно если балка имеет прямоугольное сечение. Какой эти эпюры могут иметь вид, можно посмотреть . Тут лишь упомянем, что на вид эпюры нормальных напряжений геометрическая форма поперечного сечения ни как не влияет, а на вид эпюры касательных напряжений геометическая форма сечения влияет значительно.

Построение эпюр углов поворота и прогибов

Для дальнейшего расчета балки по второй группе предельных состояний - расчета по деформациям часто требуется построить эпюры углов поворота и прогибов. Начнем с эпюры углов поворота.

Вообще-то более правильно данную эпюру называть "эпюрой тангенсов углов поворота поперечных сечений балки", тем не менее в специализированной литературе принято упрощенное название для этой эпюры, мы тоже не будем нарушать традицию.

В целом значение и углов поворота и прогибов зависит от жесткости балки. Чем больше жесткость ЕI, тем меньше будут углы поворота и прогибы. Более подробно эта тема рассматривается отдельно , здесь лишь отметим, что угол поворота - это дифференциал функции изгибающих моментов:

θ = ∫Мdx (545.6.1)

В нашем случае при действии равномерно распределенной нагрузки на однопролетную балку на шарнирных опорах:

θ = - θ 0 + Ах 2 /2EI - qx 3 /6EI (545.6.2)

где θ 0 - постоянная интегрирования, в данном случае θ 0 - угол поворота на опоре А (начальный угол поворота) не равен нулю, так как шарнирные опоры не препятствуют повороту поперечных сечений балки на опорах.

Примечание : Тут может возникнуть вопрос, а почему в данном случае перед начальным углом поворота стоит знак "-". Объяснение этому можно найти в статье, ссылка на которую дана выше. Здесь лишь сформулируем еще одно правило, используемое при построении эпюр углов поворотов

6. Знак "-" перед начальным углом поворота означает, что угол между касательной к эпюре "θ " и осью х откладывается вниз от оси х (по часовой стрелке).

Соответственно в начале и в конце безконсольной балки с шарнирными опорами мы можем наблюдать резкое изменение значений углов поворота, но это уже даже не правило, а так, общая закономерность. Пойдем дальше.

Прогиб балки - это дифференциал функции углов поворота:

f = ∫θdx (545.7.1)

В данном случае

f = - θх + Ах 3 /6EI - qx 4 /24EI (545.7.2)

Хотя шарнирные опоры не препятствуют повороту поперечных сечений на опорах, но они препятствуют перемещениям этих сечений вдоль оси у, поэтому в данном случае f 0 = 0 и эта постоянная интегрирования в формуле (545.7.2) не приводится. Более того, если нагрузка на балку несимметричная, т.е. углы поворота поперечных сечений на опорах разные, то начальный угол поворота определяется, исходя из того, что прогиб и на опоре А и на опоре В равен нулю, тогда в нашем случае точке В:

f B = 0 = -θ 0 l + Al 3 /6EI - ql 4 /24EI (545.7.3)

θ 0 = (ql·l 3 /(2·6EI) - ql4/24EI)/l = ql 3 /24EI (545.7.4)

Примечательно, что при определении опорных реакций однопролетной шарнирной балки мы использовали похожую особенность - значения моментов на опорах А и В равны нулю.

На основании этих данных мы можем построить эпюры углов поворота и прогиба балки. При этом значения углов поворота и прогибов будут зависеть, как уже говорилось, от жесткости балки, но в данном случае нас интересует только общий вид эпюр:

Рисунок 545.6 . а) эпюра углов поворота, б) эпюра прогибов - как графики функции.

Как видим, между эпюрами углов поворота и прогибов существует такая же связь, как и между эпюрами поперечных сил и изгибающих моментов. Опять же в этом нет ничего удивительного - это общая закономерность. Тем не не менее одну из этих закономерностей выделим особо:

7. Максимальный прогиб балки на шарнирных опорах будет в том сечении, в котором значение угла поворота равно нулю.

Вот собственно и все, что мне хотелось сказать по поводу построения эпюр для балки.