Напряженным состоянием в точке называется совокупность. Внутненние силы в поперечном сечении

⁰

Напряжением называется интенсивность действия внутренних сил в точке тела , то есть, напряжение - это внутреннее усилие, приходящееся на единицу площади. По своей природе напряжение - это поверхностная нагрузка, возникающая на внутренних поверхностях соприкасания частей тела.

Деформацией называется изменение размеров и формы тела под действием приложенных сил.

Напряжением называется отношение действующего усилия к площади поперечного сечения тела или образца σ = P/F . В зависимости от направления действия силы нормальные напряжения подразделяют на растягивающие и сжимающие . Различают временные и остаточные напряжения. Временные напряжения возникают под действием внешней нагрузки и исчезают после ее снятия, остаточные - остаются в теле после прекращения действия нагрузки.

Если после прекращения действия внешних сил изменения формы, структуры и свойств тела полностью устраняются, то такая деформация называется упругой .

При возрастании напряжений выше предела упругости деформация становится необратимой. При снятии нагрузки устраняется лишь упругая составляющая деформации, оставшаяся часть называется пластической деформацией .

Норм напряжение:

Составляющая напряжений, направленных по нормали к площадке ее действия.

Касат напряжение:

Составляющая напряжений, лежащих в плоскости сечения.

Правила знаков:

Нормальные напряжения σ принимаются положительными (т.е. σ>0), если они растягивают выделенный элемент бруса.

Касательные напряжения τ принимаются положительными (т.е. τ>0), если они стремятся повернуть рассматриваемый элемент бруса по ходу часовой стрелки.

При растяжении-сжатии

Внутренняя продольная сила N , которая стремится растянуть рассматриваемую частьбруса , считается положительной. Сжимающая продольная сила имеет отрицательный знак.

При кручении

Внутренний скручивающий момент T считается положительным, если он стремится повернуть рассматриваемую часть бруса против хода часовой стрелки, при взгляде на него со стороны внешней нормали.

При изгибе

Внутренняя поперечная сила Q считается положительной, в случае, когда она стремится повернуть рассматриваемую часть бруса по ходу часовой стрелки.

Внутренний изгибающий момент M положителен, когда он стремится сжать верхние волокна бруса.

Деформация при растяжении-сжатии Δl считается положительной, если длина стержняпри этом увеличивается.

При плоском поперечном изгибе

Вертикальное перемещение сечения бруса принимается положительным, если оно направлено вверх от начального положения.

Правило знаков при составлении уравнений статики

- для проекций сил на оси системы координат

Проекции внешних сил на оси системы координат принимаются положительными, если их направление совпадает с положительным направлением соответствующей оси.

- для моментов

Сосредоточенные моменты и моменты сил в уравнениях статики записываются с положительным знаком, если они стремятся повернуть рассматриваемую систему против хода часовой стрелки.

Правило знаков при составлении уравнений статики для неподвижных систем

При составлении уравнений равновесия статичных (неподвижных) систем (например, приопределении опорных реакций ), последние два правила упрощаются до вида:

Проекции сил и моменты, имеющие одинаковое направление принимаются положительными, а соответственно проекции сил и моменты обратного направления – отрицательными.

ПЛОСКОЕ НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ

Если все векторы напряжений параллельны одной и той же плоскости, напряженное состояние называется плоским (рис. 1). Иначе: напряженное состояние является плоским, если одно из трех главных напряжений равно нулю.

Рисунок 1.

Плоское напряженное состояние реализуется в пластине, нагруженной по ее контуру силами, равнодействующие которых расположены в ее срединной плоскости (срединная плоскость - плоскость, делящая пополам толщину пластины).

Направления напряжений на рис. 1 приняты за положительные. Угол α положителен, если он откладывается от оси х к оси у. На площадке с нормалью n:

Нормальное напряжение σ n положительно, если оно растягивающее. Положительное напряжение показано на рис. 1. Правило знаков дляпо формуле (1) то же самое, что для напряженийпо формуле (1).

Данное здесь правило знаков относится к наклонным площадкам. В статье «Объёмное напряженное состояние» сформулировано правило знаков для компонентов напряжений в точке, т. е. для напряжений на площадках, перпендикулярных осям координат. Это правило знаков принято в теории упругости.

Главные напряжения на площадках, перпендикулярных плоскости напряжений:

Наибольшее и наименьшее касательные напряжения

Эти напряжения действуют на площадках, расположенных под углом 45° к первой и второй главным площадкам.

Мерой интенсивности внутренних сил, распределенных по сечениям, служат напряжения – усилия, приходящиеся на единицу площади сечения. Выделим в окрестности точки B малую площадку Δ F (рис. 3.1). Пусть Δ R - равнодействующая внутренних сил, действующих на эту площадку. Тогда среднее значение внутренних сил, приходящихся на единицу площади Δ F рассматриваемой площадки, будет равно:

Рис. 3.1. Среднее напряжение на площадке

Величина p m называется средним напряжением . Она характеризует среднюю интенсивность внутренних сил. Уменьшая размеры площади, в пределе получим

Величина p называется истинным напряжением или просто напряжением в данной точке данного сечения.

Единица напряжения – паскаль, 1 Па = 1 Н/м 2 . Так как реальные значения напряжений будут выражаться очень большими числами, то следует применять кратные значения единиц, например МПа (мегапаскаль) 1 МПа= 10 6 Н/м 2 .

Напряжения, как и силы, являются векторными величинами. В каждой точке сечения тела полное напряжение p можно разложить на две составляющие (рис. 3.2):

1) составляющую, нормальную к плоскости сечения. Эта составляющая называется нормальным напряжением и обозначается σ ;

2) составляющую, лежащую(в плоскости сечения. Эта составляющая обозначается τ и называется касательным напряжением . Касательное напряжение в зависимости от действующих сил может иметь любое направление в плоскости сечения. Для удобства τ представляют в виде двух составляющих по направлению координатных осей. Принятые обозначения напряжений показаны ни рис. 3.2

У нормального напряжения ставится индекс, указывающий какой координатной оси параллельно данное напряжение. Растягивающее нормальное напряжение считается положительным, сжимающее – отрицательным . Обозначения касательных напряжений имеют два индекса: первый из них указывает, какой оси параллельна нормаль к площадке действия данного напряжения, а второй – какой оси параллельно само напряжение. Разложение полного напряжения на нормальное и касательное имеет определенный физический смысл. Нормальное напряжение возникает, когда частицы материала стремятся отдалиться друг от друга или, наоборот, сблизиться. Касательные напряжения связаны со сдвигом частиц материала по плоскости сечения.

Рис. 3.2. Разложение вектора полного напряжения

Если мысленно вырезать вокруг какой-нибудь точки тела элемент в виде бесконечно малого кубика, то по его граням в общем случае будут действовать напряжения, представленные на рис. 3.3. Совокупность напряжений на всех элементарных площадках, которые можно провести через какую-либо точку тела называется напряженным состоянием в данной точке .

Вычислим сумму моментов всех элементарных сил, действующих на элемент (рис.3.3), относительно координатных осей, так, например, для оси x с учетом равновесия элемента, имеем:

Напряжением называется интенсивность действия внутренних сил в точке тела , то есть, напряжение - это внутреннее усилие, приходящееся на единицу площади. По своей природе напряжение - это поверхностная нагрузка, возникающая на внутренних поверхностях соприкасания частей тела. Напряжение, так же как и интенсивность внешней поверхностной нагрузки, выражается в единицах силы, отнесенных к единице площади:Па=Н/м 2 (МПа = 10 6 Н/м 2 , кгс/см 2 =98 066 Па ≈ 10 5 Па, тс/м 2 и т. д.).

Рассечем тело произвольным сечением Выделим небольшую площадку ∆A . Внутреннее усилие, действующее на нее, обозначим∆R . Полное среднее напряжение на этой площадке р =∆R ∆A . Найдем предел этого отношения при ∆A 0 . Это и будет полным напряжение на данной площадке (точке) тела.

p =lim A 0 A R

Полное напряжение p , как и равнодействующая внутренних сил, приложенных на элементарной площадке, является векторной величиной и может быть разложено на две составляющие: перпендикулярное к рассматриваемой площадке – нормальное напряжение σ n и касательное к площадке – касательное напряжение n . Здесь n – нормаль к выделенной площадке1.

Касательное напряжение, в свою очередь, может быть разложено на две составляющие, параллельные координатным осям x, y , связанным с поперечным сечением – nx ny . В названии касательного напряжения первый индекс указывает нормаль к площадке,второй индекс - направление касательного напряжения.

p = n nx nx . Отметим, что в дальнейшем будем иметь дело главным образом не с полным напряжением p , а с его составляющимиσx xy xz . В общем случае на площадке могут возникать два вида напряжений: нормальное σ и касательное τ .

Тензор напряжений

При анализе напряжений в окрестности рассматриваемой точки выделяется бесконечно малый объемный элемент (параллелепипед со сторонами dx, dy, dz ), по каждой грани которого действуют, в общем случае, три напряжения, например, для грани, перпендикулярной оси x (площадка x) – σx xy xz

Компоненты напряжений по трем перпендикулярным граням элемента образуют систему напряжений, описываемую специальной матрицей –тензором напряжений T = x xy xz yx y yz zx zy z

Здесь первый столбец представляет компоненты напряжений на площадках,
нормальных к оси x, второй и третий – к оси y и z соответственно. При повороте осей координат, совпадающих с нормалями к граням выделенного
элемента, компоненты напряжений изменяются. Вращая выделенный элемент вокруг осей координат, можно найти такое положение элемента, при котором все касательные напряжения на гранях элемента равны нулю.

Площадка, на которой касательные напряжения равны нулю, называется главной площадкой . Нормальное напряжение на главной площадке называется главным напряжением Нормаль к главной площадке называется главной осью напряжений .

В каждой точке можно провести три взаимно-перпендикулярных главных площадки.

При повороте осей координат изменяются компоненты напряжений, но не меняется напряженно-деформированное состояние тела (НДС). Связь внутренних усилий и напряжений

Внутренние усилия есть результат приведения к центру поперечного сечения внутренних сил, приложенных к элементарным площадкам. Напряжения – мера, характеризующая распределение внутренних сил по сечению.

Предположим, что нам известно напряжение в каждой элементарной площадке. Тогда можно записать:

Продольное усилие на площадке dA : dN = σ z dA
Поперечная сила вдоль оси х: dQ x = zx dA
Поперечная сила вдоль оси y: dQ y = zy dA
Элементарные моменты вокруг осей x,y,z:

dMx =σzdA y dMy =σzdA x dMz =dMk = zydA x − zxdA y

Выполнив интегрирование по площади поперечного сечения получим:

То есть, каждое внутренне усилие есть суммарный результат действия напряжений по всему поперечному сечению тела.

Напряжение полное, нормальное, касательное.

p =lim A 0 A R

p = n nx nx

Отметим, что в дальнейшем будем иметь дело главным образом не с полным напряжением p , а с его составляющими σx xy xz . В общем случае на площадке могут возникать два вида напряжений: нормальное σ и касательное τ .

Растяжение, сжатие. Продольные силы и их эпюры.

Относительное продольное растяжение (сжатие) твердого тела сопровождается его относительным сужением (расширением) M / d, где d - поперечный размер образца. [1 ]

Отношение продольного растяжения р к относительному продольному удлинению 8Х называется коэффициентом Е упругости при растяжении. [2 ]

Коэффициент продольного растяжения - величина, обратная модулю Юнга. [3 ]

Деформация продольного растяжения или сжатия сопровождается изменением поперечных размеров деформируемого стержня. [4 ]

Характеристики продольного растяжения менее чувствительны к прочности связи, чем другие механические свойства. Бэйкер и Крэтчли показали, что для оптимизации усталостных характеристик композита Al - Si02 необходима много более прочная вязь, чем для оптимизации продольных. Проблема оптимизации связи наиболее актуальна, для систем псевдопервого класса, и для полного понимания их поведения многое еще предстоит сделать. [5 ]

При продольном растяжении (рис. 5.1) процесс деформации прекращается, когда упругие силы становятся равными растягивающей силе F. [6 ]

Растяжение и сжатие

Растяжением или сжатием называют вид нагружения, при котором в поперечном сечении бруса возникает только один внутренний силовой фактор -продольная сила.
Продольные силы меняются по длине бруса. При расчётах после определения величин продольных сил по сечениям строится график - эпюра продольных сил.
Условно назначают знак продольной силы Если продольная сила направлена от сечения, то брус растянут. Растяжение считают положительной деформацией.
Если продольная сила направлена к сечению, то брус сжат. Сжатие считают отрицательной деформацией. Примеры построения эпюр

Рассмотрим брус, нагруженный внешними силами вдоль оси. Брус закреплён в стене (закрепление «заделка») (рис. 30.)
Делим брус на участки закрепления.

Участком закрепления считают часть бруса между внешними силами.
На представленном рисунке 3 участка нагружения.
Расчёт начинаем со свободного конца бруса, чтобы не определять величины реакции в опорах.
Участок 1:

Продольная сила положительна, участок 1 растянут. Участок 2:

F. Продольная сила положительна, участок 2 растянут.
Участок."
Продольная сила отрицательна, участок з сжат. Полученное значение равно реакции в заделке.
Под схемой бруса строим эпюру продольной силы (рис.31.).
Эпюра продольной силы строится только под брусом.

Эпюрой продольной силы называется график распределения продольной силы вдоль от бруса.
Ось эпюры параллельна продольной оси. Нулевая линия проводится тонкой линией. Значения чисел откладывают от оси, положительные - вверх, отрицательные вниз.
В пределах одного участка значение силы не меняется, поэтому эпюра очерчивается отрезками прямых линий, параллельными оси Oz.
Правило контроля: в месте приложения внешней силы на эпюре должен быть скачек на величину приложенной силы.
На эпюре проставляют значения Nz. Величины продольных сил откладывают в заранее выбранном масштабе.
Эпюра по контуру обводится толстой линией и обводится поперёк оси.
Принцип смягчения граничных условий гласит: в точках тела, удалённых от мест нагрузки, модуль внутренних сил мало зависит от способа закрепления. Поэтому при решении задач не уточняют способ закрепления.

Продольное сжатие

Разрушение при продольном сжатии может происходить в различных формах, которые показаны на рис.1:

Микровыпучивание волокон при упругом или пластическом состоянии матрицы;

Микровыпучивание волокон после нарушения адгезионной связи

между ними и матрицей;

Расслаивание;

Выпучивание слоя;

Сдвиговое разрушение слоя;

Разделение слоев из-за поперечного растяжения в направлении

толщины слоя (поперечное расслаивание от растяжения).

Микровыпучивание волокон при упругих напряжениях в матрице возникает в слоях с весьма малой объемной долей волокон. Переход матрицы в пластическое состояние и отслаивание волокон от матрицы возникает, как правило, при объемной доле волокон y ? 0,4.

Экспериментальные данные по продольному сжатию показывают, что слой не может выдерживать достаточно высокую сжимающую нагрузку, чтобы достигнуть полной прочности. При разрушении слоя от сжимающей нагрузки напряжение в волокнах значительно меньше их ожидаемой прочности на сжатие.

а – микровыпучивание; б – отслаивание волокна от матрицы;

в – выпучивание слоя; г – сдвиговые разрушения

3.1. Общие сведения о напряженном состоянии в точке тела

В ~ 2.5 были даны первичные понятия о напряженном состоянии в точке деформируемого тела и проведено исследование напряженного состояния для точек растянутого (сжатого) бруса. Здесь, не приводя пока никаких доказательств, рассмотрим основные положения общей теории напряженного состояния.

Напомним, что напряженное состояние в данной точке тела характеризуется совокупностью нормальных и касательных напряжений, возникающих на бесчисленном множестве различно ориентированных в пространстве площадок, которые можно провести через эту точку. Предположим, что в окрестности исследуемой точки выделен бесконечно малый элемент, имеющий форму прямоугольного параллелепипеда, и напряжения, возникающие на его гранях, известны. Каждое из этих напряжений может быть разложено на три составляющих, параллельных координатным осям. Таким образом, в общем случае на трех исходных площадках возникают девять составляющих напряжений, показанных на рис. 3.1,а (напряжения на невидимых гранях элемента не изображаем). Правило индексов для напряжений было дано на с. 22. Указанные девять величин называют компонентами напряженного состояния в данной точке.

Из условия равновесия выделенного элемента следует, что составляющие касательных напряжений, возникающих на любых двух взаимно перпендикулярных площадках, перпендикулярные общему ребру этих площадок, равны по абсолютному значению, т. е.

Это положение называют законом парности касательных напряжений. Следовательно, из девяти компонентов напряженного состояния независимы лишь шесть.

В некоторых случаях оказывается более удобным выделить элемент в виде бесконечно малой четырехгранной пирамиды (тетраэдра), как показано на рис. 3.1,б. Три грани пирамиды, совпадающие с координатными плоскостями,- это исходные площадки, а четвертую грань (площадку) проводят произвольно и возникающие на ней напряжения определяют из трех уравнений равновесия, составленных для сил, действующих на тетраэдр. Итак, первое положение теории напряженного состояния может быть сформулировано следующим образом: напряженное состояние в точке тела задано, если известны напряжения на любых трех проходящих через нее взаимно перпендикулярных площадках.

Имея зависимости, позволяющие найти напряжения по любой площадке, далее исследуют вопрос о наибольших нормальных и наибольших касательных напряжениях для рассматриваемой точки.

Среди бесчисленного множества площадок, которые можно провести через исследуемую точку, имеются три взаимно перпендикулярные площадки, касательные напряжения на которых отсутствуют. Эти площадки н возникающие на них нормальные напряжения называют главными.

Главные напряжения обозначают; при этом индексы расставляют лишь после того, как эти напряжения вычислены, так чтобы выполнялись алгебраические неравенства

Для данной точки тела о, - наибольшее (в алгебраическом смысле), а - наименьшее напряжение. Напряжения растяжения считают положительными. О напряжении а говорят, что это промежуточное главное напряжение. В частных случаях, когда два (или все три) главных напряжения равны между собой, число главных площадок бесконечно велико. Итак, в общем случае главных площадок три, в частных случаях их бесконечно много.

Если главные напряжения в данной точке известны (заданы или определены), то наиболее удобно принять их за исходные. Классификацию видов напряженного состояния ведут по главным напряжениям.

Если все три главных напряжения отличны от нуля, напряженное состояние называютобъемным, пространственным или трехосным. В случае если одно из главных напряжений равно нулю, напряженное состояние называют плоским или двухосным, и, наконец, если лишь одно из главных напряжений отлично от нуля, напряженное состояние линейное, или одноосное. Элементы, выделенные главными площадками, для различных частных случаев напряженного состояния показаны на рис. 3.2: а - трехосное растяжение; б - трехосное сжатие; в - трехосное смешанное напряженное состояние; г - двухосное растяжение; д - двухосное сжатие; е - частный случай двухосного смешанного напряженного состояния - чистый сдвиг; ж - одноосное растяжение; з - одноосное сжатие. Площадки, свободные от напряжений, так называемые нулевые главные площадки, покрыты точками.

Максимальное для данной точки тела касательное напряжение т „возникает на площадке, параллельной вектору и делящей пополам прямой угол между площадками действия

Это напряжение равно полуразности максимального и минимального главных напряжений.

Площадка, на которой возникает напряжение отмечена на рис. 3.3 штриховкой. На площадке, перпендикулярной отмеченной (для того чтобы не усложнять чертеж, эта вторая площадка не показана), возникает такое же по значению касательное напряжение.