Сложение и вычитание положительных и отрицательных чисел. Записи с меткой "сложение чисел с разными знаками"

Правило сложения чисел с разными знаками

Примеры сложения чисел с разными знаками

Вопросы для самопроверки

Выполните упражнения

⁰

Если температура воздуха была равна 9°С, а потом она изменилась на -6°С (т. е. понизилась на 6°С), то она стала равной 9 + (-6) градусам (рис. 83).

Рис. 83

Чтобы сложить числа 9 и -6 с помощью координатной прямой, надо точку A(9) переместить влево на 6 единичных отрезков (рис. 84). Получим точку В(3).

Рис. 84

Значит, 9 + (-6) = 3. Число 3 имеет тот же знак, что и слагаемое 9, а его модуль равен разности модулей слагаемых 9 и -6.

Действительно, |3| = 3 и |9| - |-6| = 9 - 6 = 3.

Если та же температура воздуха 9°С изменилась на -12°С (т. е. понизилась на 12°С), то она стала равной 9 + (-12) градусам (рис. 85).

Рис. 85

Сложив числа 9 и -12 с помощью координатной прямой (рис. 86), получим 9 + (-12) = -3. Число -3 имеет тот же знак, что и слагаемое -12, а его модуль равен разности модулей слагаемых -12 и 9.

Рис. 86

Действительно, |-3| = 3 и |-12| - |-9| = 12 - 9 = 3.

Обычно сначала определяют и записывают знак суммы, а потом находят разность модулей.

Например:

При сложении положительных и отрицательных чисел можно использовать микрокалькулятор. Чтобы ввести отрицательное число в микрокалькулятор, надо ввести модуль этого числа, потом нажать клавишу «изменение знака» . Например, чтобы ввести число -56,81, надо последовательно нажимать клавиши: . Операции над числами любого знака выполняются на микрокалькуляторе так же, как над положительными числами. Например, сумму -6,1 + 3,8 вычисляют по программе

Короче эту программу пишут так: .

Числа а и b имеют разные знаки. Какой знак будет иметь сумма этих чисел, если больший модуль имеет отрицательное число? если меньший модуль имеет отрицательное число? если больший модуль имеет положительное число? если меньший модуль имеет положительное число?
Сформулируйте правило сложения чисел с разными знаками.
Как ввести в микрокалькулятор отрицательное число?

1061. Число 6 изменили на -10. С какой стороны от начала отсчёта расположено получившееся число? На каком расстоянии от начала отсчёта оно находится? Чему равна сумма 6 и -10?

1062. Число 10 изменили на -6. С какой стороны от начала отсчёта расположено получившееся число? На каком расстоянии от начала отсчёта оно находится? Чему равна сумма 10 и -6?

1063. Число -10 изменили на 3. С какой стороны от начала отсчёта расположено получившееся число? На каком расстоянии от начала отсчёта оно находится? Чему равна сумма -10 и 3?

1064. Число -10 изменили на 15. С какой стороны от начала отсчёта расположено получившееся число? На каком расстоянии от начала отсчёта оно находится? Чему равна сумма -10 и 15?

1065. В первую половину дня температура изменилась на -4°С, а во вторую - на +12 °С. На сколько градусов изменилась температура в течение дня?

1066. Выполните сложение:

а) 26 + (-6);
б) -70 + 50;
в) -17 + 30;
г) 80 + (-120);
д) -6,3 + 7,8;
е) -9 + 10,2;
ж) 1 + (-0,39);
з) 0,3 + (-1,2);

1067. Прибавьте:

а) к сумме -6 и -12 число 20;
б) к числу 2,6 сумму -1,8 и 5,2;
в) к сумме -10 и -1,3 сумму 5 и 8,7;
г) к сумме 11 и -6,5 сумму -3,2 и -6.

1068. Какое из чисел 8; 7,1; -7,1; -7; -0,5 является корнем уравнения -6 + х = -13,1?

1069. Угадайте корень уравнения и выполните проверку:

а) х + (-3) = -11;
б) -5 + у = 15;
в) т + (-12) = 2;
г) 3 + п = -10.

1070. Найдите значение выражения:

1071. Выполните действия с помощью микрокалькулятора:

а) -3,2579 + (-12,308);
б) 7,8547 + (-9,239);
в) -0,00154 + 0,0837;
г) -3,8564 + (-0,8397) + 7,84;
д) -0,083 + (-6,378) + 3,9834;
е) -0,0085 + 0,00354 + (-0,00921).

1072. Найдите значение суммы:

1073. Найдите значение выражения:

1074. Сколько целых чисел расположено между числами:

а) 0 и 24;
б) -12 и -3;
в) -20 и 7?

1075. Представьте число -10 в виде суммы двух отрицательных слагаемых так, чтобы:

а) оба слагаемых были целыми числами;
б) оба слагаемых были десятичными дробями;
в) одно из слагаемых было правильной обыкновенной дробью.

1076. Каково расстояние (в единичных отрезках) между точками координатной прямой с координатами:

а) 0 и а;
б) -а и а;
в) -а и 0;
г) а и -За?

1077. Радиусы географических параллелей земной поверхности, на которых расположены города Афины и Москва, соответственно равны 5040 км и 3580 км (рис. 87). На сколько параллель Москвы короче параллели Афин?

Рис. 87

1078. Составьте уравнение для решения задачи: «Поле площадью 2,4 га разделили на два участка. Найдите площадь каждого участка, если известно, что один из участков:

1079. Решите задачу:

В первый день путешественники проехали 240 км, во второй день 140 км, в третий день они проехали в 3 раза больше, чем во второй, а в четвёртый день они отдыхали. Сколько километров они проехали в пятый день, если за 5 дней они проезжали в среднем по 230 км в день?
Фермер с двумя сыновьями собранные яблоки поместили в 4 контейнера, в среднем по 135 кг в каждый. Фермер собрал 280 кг яблок, а младший сын - в 4 раза меньше. Сколько килограммов яблок собрал старший сын?

1080. Выполните действия:

(2,35 + 4,65) 5,3: (40 - 2,9);
(7,63 - 5,13) 0,4: (3,17 + 6,83).

1081. Выполните сложение:

1082. Представьте в виде суммы двух равных слагаемых каждое из чисел: 10; -8; -6,8; .

1083. Найдите значение а + b, если:

1084. На одном этаже жилого дома было 8 квартир. Жилую площадь по 22,8 м 2 имели 2 квартиры, по 16,2 м 2 - 3 квартиры, по 34 м 2 - 2 квартиры. Какую жилую площадь имела восьмая квартира, если на этом этаже в среднем на каждую квартиру приходилось по 24,7 м 2 жилой площади?

1085. В составе товарного поезда было 42 вагона. Крытых вагонов было в 1,2 раза больше, чем платформ, а число цистерн составляло числа платформ. Сколько вагонов каждого вида было в составе поезда?

1086. Найдите значение выражения

В этой статье мы разберемся со сложением чисел с разными знаками . Здесь мы приведем правило сложения положительного и отрицательного числа, и рассмотрим примеры применения этого правила при сложении чисел с разными знаками.

Навигация по странице.

Сам/работа

Инд/ работа

Рассмотрим примеры сложения чисел с разными знаками по правилу, разобранному в предыдущем пункте. Начнем с простого примера.

Пример.

Сложите числа −5 и 2 .

Решение.

Нам нужно сложить числа с разными знаками. Выполним все шаги, предписанные правилом сложения положительного и отрицательного числа.

Сначала находим модули слагаемых, они равны 5 и 2 соответственно.

Модуль числа −5 больше, чем модуль числа 2 , поэтому запоминаем знак минус.

Осталось поставить запомненный знак минус перед полученным числом, получаем −3 . На этом сложение чисел с разными знаками завершено.

Ответ:

(−5)+2=−3 .

Чтобы сложить рациональные числа с разными знаками, которые не являются целыми, их следует представить в виде обыкновенных дробей (можно работать и с десятичными дробями , если это удобно). Разберем этот момент при решении следующего примера.

Пример.

Сложите положительное число и отрицательное число −1,25 .

Решение.

Представим числа в виде обыкновенных дробей, для этого выполним переход от смешанного числа к неправильной дроби : , и переведем десятичную дробь в обыкновенную : .

Теперь можно воспользоваться правилом сложения чисел с разными знаками.

Модули складываемых чисел равны 17/8 и 5/4 . Для удобства выполнения дальнейших действий, приведем дроби к общему знаменателю , в результате имеем 17/8 и 10/8 .

Сейчас нам нужно выполнить сравнение обыкновенных дробей 17/8 и 10/8 . Так как 17>10 , то . Таким образом, слагаемое со знаком плюс имеет больший модуль, поэтому, запоминаем знак плюс.

Теперь из большего модуля вычитаем меньший, то есть, выполняем вычитание дробей с одинаковыми знаменателями : .

Осталось перед полученным числом поставить запомненный знак плюс, получаем , но - это есть число 7/8 .

«Сложение чисел с разными знаками» — Учебник по математике 6 класс (Виленкин)

Краткое описание:

В этом разделе Вы выучите правила сложения чисел с разными знаками: то есть научитесь складывать отрицательные и положительные числа.
Вы уже умеете их складывать на координатной прямой, но ведь в каждом примере не будете рисовать прямую и по ней считать? Поэтому нужно научиться складывать без нее.
Давайте попробуем с Вами к положительному числу добавить отрицательное, например восемь добавить минус шесть: 8+(-6). Вы уже знаете, что добавление отрицательного числа ведет к уменьшению первоначального на значение отрицательного. Это означает, что восемь необходимо уменьшить на шесть, то есть от восьми отнять шесть: 8-6=2, получается два. В этом примере вроде все понятно, от восьми отнимаем шесть.
А если взять такой пример: к отрицательному числу добавить положительное. Например, минус восемь добавить шесть: -8+6. Суть остается та же: положительное число уменьшаем на значение отрицательного, получаем шесть отнять восемь будет минус два: -8+6=-2.
Как Вы заметили, и в первом и во втором примере с числами выполняется действие вычитание. Почему? Потому что они имеют разные знаки (плюс и минус). Чтобы не делать ошибок при сложении чисел с разными знаками следует выполнять такой алгоритм действий:
1. найдите модули чисел;
2. от большего модуля отнимите меньший модуль;
3. перед полученным результатом поставьте знак числа с большим модулем (обычно ставится только знак минус, а знак плюс не ставится).
Если вы будете складывать числа с разными знаками, следуя этому алгоритму, то шансов ошибиться у Вас будет намного меньше.

Сложение отрицательных чисел.

Сумма отрицательных чисел есть число отрицательное. Модуль суммы равен сумме модулей слагаемых .

Давайте разберемся, почему же сумма отрицательных чисел будет тоже отрицательным числом. Поможет нам в этом координатная прямая, на которой мы выполним сложение чисел -3 и -5. Отметим на координатной прямой точку, соответствующее числу -3.

К числу -3 нам нужно прибавить число -5. Куда мы пойдем от точки, соответствующей числу -3? Правильно, влево! На 5 единичных отрезков. Отмечаем точку и пишем число ей соответствующее. Это число -8.

Итак, при выполнении сложения отрицательных чисел с помощью координатной прямой мы все время находимся слева от начала отсчета, поэтому, понятно, что результат сложения отрицательных чисел есть число тоже отрицательное.

Примечание. Мы складывали числа -3 и -5, т.е. находили значение выражения -3+(-5). Обычно при сложении рациональных чисел просто записывают эти числа с их знаками, как бы перечисляют все числа, которые нужно сложить. Такую запись называют алгебраической суммой. Применяют (в нашем примере) запись: -3-5=-8.

Пример. Найти сумму отрицательных чисел: -23-42-54. (Согласитесь, что эта запись короче и удобнее вот такой: -23+(-42)+(-54))?

Решаем по правилу сложения отрицательных чисел: складываем модули слагаемых: 23+42+54=119. Результат будет со знаком «минус».

Записывают обычно так: -23-42-54=-119.

Сложение чисел с разными знаками.

Сумма двух чисел с разными знаками имеет знак слагаемого с большим модулем. Чтобы найти модуль суммы, нужно из большего модуля вычесть меньший .

Выполним сложение чисел с разными знаками с помощью координатной прямой.

1) -4+6. Требуется к числу -4 прибавить число 6. Отметим число -4 точкой на координатной прямой. Число 6 — положительное, значит от точки с координатой -4 нам нужно идти вправо на 6 единичных отрезков. Мы оказались справа от начала отсчета (от нуля) на 2 единичных отрезка.

Результат суммы чисел -4 и 6 — это положительное число 2:

— 4+6=2. Как можно было получить число 2? Из 6 вычесть 4, т.е. из большего модуля вычесть меньший. У результата тот же знак, что и у слагаемого с большим модулем.

2) Вычислим: -7+3 с помощью координатной прямой. Отмечаем точку, соответствующую числу -7. Идем вправо на 3 единичных отрезка и получаем точку с координатой -4. Мы были и остались слева от начала отсчета: ответ — отрицательное число.

— 7+3=-4. Этот результат мы могли получить так: из большего модуля вычли меньший, т.е. 7-3=4. В результате поставили знак слагаемого, имеющего больший модуль: |-7|>|3|.

Примеры. Вычислить: а) -4+5-9+2-6-3; б) -10-20+15-25.

План урока:

I. Организационный момент

Проверка индивидуального домашнего задания.

II. Актуализация опорных знаний учащихся

1. Взаимотренаж. Контрольные вопросы (парная организационная форма работы – взаимопроверка).
2. Устная работа с комментированием (групповая организационная форма работы).
3. Самостоятельная работа (индивидуальная организационная форма работы, самопроверка).

III. Сообщение темы урока

Групповая организационная форма работы, выдвижение гипотезы, формулирование правила.

1. Выполнение тренировочных заданий по учебнику (групповая организационная форма работы).
2. Работа сильных обучающихся по карточкам (индивидуальная организационная форма работы).

VI. Физпауза

IX. Домашнее задание.

Цель: формирование навыка сложения чисел с разными знаками.

Задачи:

Сформулировать правило сложения чисел с разными знаками.
Отрабатывать умение складывать числа с разными знаками.
Развивать логическое мышление.
Воспитывать умение работать в паре, взаимоуважение.

Материал к уроку: карточки для взаимотренажа, таблицы результатов работы, индивидуальные карточки на повторение и закрепление материала, девиз для индивидуальной работы, карточки с правилом.

ХОД УРОКА

I. Организационный момент

– Начнём урок с проверки индивидуального домашнего задания. Девизом нашего урока будут слова Яна Амоса Каменского. Дома вам нужно было подумать над его словами. Как вы его понимаете? («Считай несчастным тот день или тот час, в который ты не усвоил ничего нового и ничего не прибавил к своему образованию»)
– Как вы понимаете слова автора? (Если мы не узнаём ничего нового, не получаем новые знания, то этот день можно считать пропавшим или несчастным. Надо стремиться к получению новых знаний).
– И сегодняшний день не будет несчастным потому, что мы опять будем узнавать что-то новое.

II. Актуализация опорных знаний учащихся

– Для того чтобы изучать новый материал, надо повторить пройденный.
Дома было задание – повторить правила и сейчас вы покажете свои знания, поработав с контрольными вопросами.

(Контрольные вопросы по теме «Положительные и отрицательные числа»)

Работа в паре. Взаимопроверка. Результаты работы отмечают в таблице)

Как называются числа расположенные справа от начала координат?	Положительные
Какие числа называют противоположными?	Два числа, отличающиеся друг от друга только знаками, называют противоположными
Что называют модулем числа?	Расстояние от точки А(а) до начала отсчёта, т. е. до точки О(0), называют модулем числа
Как обозначают модуль числа?	Прямыми скобками
Сформулируй правило сложения отрицательных чисел?	Чтобы сложить два отрицательных числа надо: сложить их модули и поставить знак минус
Как называются числа расположенные слева от начала координат?	Отрицательные
Какое число противоположно нулю?	0
Может ли модуль какого-нибудь числа быть отрицательным числом?	Нет. Расстояние не бывает отрицательным
Назови правило сравнения отрицательных чисел	Из двух отрицательных чисел больше то, модуль которого меньше и меньше то, у которого модуль больше
Чему равна сумма противоположных чисел?	0

Ответы на вопросы «+» правильно, «–» неправильно Критерии оценки: 5 – «5»; 4 – «4»;3 – «3»

– Какие вопросы были наиболее трудными?
– Что нужно для успешной сдачи контрольных вопросов? (Знать правила)

2. Устная работа с комментированием

– 45 + (– 45) = (– 90)
– 100 + (– 38) = (– 138)
– 3, 5 + (–2, 4) = (– 5,9)
– 17/70 + (– 26/70) = (– 43/70)
– 20 + (– 15) = (– 35)

– Какие знания вам были нужны для решения 1-5 примеров?

3. Самостоятельная работа

– 86, 52 + (– 6, 3) =	– 92,82
– 49/91 + (– 27/91) =	– 76/91
– 76 + (– 99) =	– 175
– 14 + (– 47) =	– 61
– 123,5 + (– 25, 18) =	– 148,68
6 + (– 10) =

(Самопроверка. Открыть во время проверки ответы)

– Почему последний пример вызвал у вас затруднение?
– Сумму каких чисел нужно найти, а сумму каких чисел мы знаем, как находить?

III. Сообщение темы урока

– Сегодня на уроке мы узнаем правило сложения чисел с разными знаками. Будем учиться складывать числа с разными знаками. Самостоятельная работа в конце урока покажет ваши успехи.

IV. Изучение нового материала

– Откроем тетради, запишем дату, классная работа, тему урока «Сложение чисел с разными знаками».
– Что изображено на доске? (Координатная прямая)

– Докажите, что это координатная прямая? (Есть начало отсчёта, направление отсчёта, единичный отрезок)
– Сейчас мы с вами вместе будем учиться складывать числа с разными знаками с помощью координатной прямой.

(Объяснение обучающихся под руководством учителя.)

– Найдём на координатной прямой число 0. К 0 надо прибавить число 6. Делаем 6 шагов в правую сторону от начала координат, т.к. число 6 – положительное (ставим цветной магнитик на получившееся число 6). К 6 прибавим число (– 10), делаем 10 шагов в левую сторону от начала координат, т. к. (– 10) число отрицательное (ставим цветной магнитик на получившееся число (– 4).)
– Какой получили ответ? (– 4)
– Как получили число 4? (10 – 6)
Сделайте вывод: Из числа с большим модулем вычли число с меньшим модулем.
– Как в ответе получили знак минус?
Сделайте вывод: Взяли знак у числа с большим модулем.
– Запишем пример в тетрадь:

6 + (–10) = – (10 – 6) = – 4
10 + (–3) = + (10 – 3) = 7 (Аналогично решаем)

Принята запись:

6 + (– 10) = – (10 – 6) = – 4
10 + (– 3) = + (10 – 3) = 7

– Ребята, вы сейчас сами сформулировали правило сложения чисел с разными знаками. Ваши предположения мы назовём гипотезой . Вы выполнили очень важную интеллектуальную работу. Подобно учёным выдвинули гипотезу и открыли новое правило. Сверим вашу гипотезу с правилом (листок с отпечатанным правилом лежит на парте). Прочитаем хором правило сложения чисел с разными знаками

– Правило очень важное! Оно позволяет сложить числа разных знаков без помощи координатной прямой.
– Что не понятно?
– Где можно сделать ошибку?
– Для того чтобы правильно и без ошибок вычислять задания с положительными и отрицательными числами, надо знать правила.

V. Закрепление изученного материала

– Сможете ли вы найти сумму этих чисел на координатной прямой?
– С помощью координатной прямой такой пример решить трудно, поэтому будем использовать при решении открытое вами правило.
Задание написано на доске:
Учебник – с. 45; № 179 (в, г); № 180 (а, б); № 181 (б, в)
(Сильный ученик работает на закрепление данной темы с дополнительной карточкой.)

VI. Физпауза (Выполняют стоя)

– Человек обладает положительными и отрицательными качествами. Распределите эти качества на координатной прямой.
(Положительные качества – справа от начала отсчёта, отрицательные – слева от начала отсчёта.)
– Если качество отрицательное – хлопаем один раз, положительное – два раза. Будьте внимательны!
– Доброта , злость, жадность, взаимовыручка , взаимопонимание , грубость, и, конечно же, сила воли и стремление к победе , которые вам сейчас потребуются, так как впереди у вас самостоятельная работа)
VII. Индивидуальная работа с последующей взаимопроверкой

Вариант 1	Вариант 2
– 100 + (20) =	– 100 + (30) =
100 + (– 20) =	100 + (– 30) =
56 + (– 28) =	73 + (– 28) =
4,61 + (– 2,2) =	5, 74 + (– 3,15) =
– 43 + 65 =	– 43 + 35 =

Индивидуальная работа (для сильных обучающихся) с последующей взаимопроверкой

Вариант 1	Вариант 2
– 100 + (20) =	– 100 + (30) =
100 + (– 20) =	100 + (– 30) =
56 + (– 28) =	73 + (– 28) =
4,61 + (– 2,2) =	5, 74 + (– 3,15) =
– 43 + 65 =	– 43 + 35 =
100 + (– 28) =	100 + (– 39) =
56 + (– 27) =	73 + (– 24) =
– 4,61 + (– 2,22) =	– 5, 74 + (– 3,15) =
– 43 + 68 =	– 43 + 39 =

VIII. Подведение итогов урока. Рефлексия

– Я считаю, что вы поработали активно, старательно, участвовали в открытии новых знаний, высказывали свое мнение, сейчас я могу оценить вашу работу.
– Скажите, ребята, что эффективнее: получать готовую информацию или размышлять самим?
– Что нового мы узнали на уроке? (Научились складывать числа с разными знаками.)
– Назовите правило сложения чисел с разными знаками.
– Скажите, наш урок сегодня не зря прошёл?
– Почему? (Получили новые знания.)
– Вернемся к девизу. Значит, Ян Амос Каменский был прав, когда сказал: «Считай несчастным тот день или тот час, в который ты не усвоил ничего нового и ничего не прибавил к своему образованию».

IX. Домашнее задание

Выучить правило (карточка), с.45, №184.
Индивидуальное задание – как вы понимаете слова Роджера Бэкона: «Человек, не знающий математику, не способен ни к каким другим наукам. Более того, он даже не способен оценить уровень своего невежества?