В главе 2 было рассмотрено понятие о тенденции временного ряда, т.е. тенденции динамики развития изучаемого показате­ля. Задача данной главы состоит в том, чтобы рассмотреть ос­новные типы таких тенденций, их свойства, отражаемые с большей или меньшей степенью полноты уравнением линии тренда. Укажем при этом, что в отличие от простых систем ме­ханики тенденции изменения показателей сложных социальных, экономических, биологических и технических систем только с некоторым приближением отражаются тем или иным уравне­нием, линией тренда.

В данной главе рассматриваются далеко не все известные в математике линии и их уравнения, а лишь набор их сравнитель­но простых форм, который мы считаем достаточным для ото­бражения и анализа большинства встречающихся на практике тенденций временных рядов. При этом желательно всегда вы­бирать из нескольких типов линий, достаточно близко выра­жающих тенденцию, более простую линию. Этот «принцип простоты» обоснован тем, что чем сложнее уравнение линии тренда, чем большее число параметров оно содержит, тем при равной степени приближения труднее дать надежную оценку этих параметров по ограниченному числу уровней ряда и тем больше ошибка оценки этих параметров, ошибки прогнозиру­емых уровней.

4.1. Прямолинейный тренд и его свойства

Самым простым типом линии тренда является прямая ли­ния, описываемая линейным (т.е. первой степени) уравнением тренда:

где - выровненные, т.е. лишенные колебаний, уровни тренда для лет с номеромi;

а - свободный член уравнения, численно равный среднему выровненному уровню для момента или периода времени, принятого за начало отсчета, т.е. для

t = 0;

b - средняя величина изменения уровней ряда за единицу из­менения времени;

ti - номера моментов или периодов времени, к которым от­носятся уровни временного ряда (год, квартал, месяц, дата).

Среднее изменение уровней ряда за единицу времени - глав­ный параметр и константа прямолинейного тренда. Следова­тельно, этот тип тренда подходит для отображения тенденции примерно равномерных изменений уровней: равных в среднем абсолютных приростов или абсолютных сокращений уровней за равные промежутки времени. Практика показывает, что та­кой характер динамики встречается достаточно часто. Причи­на близких к равномерному абсолютных изменений уровней ряда состоит в следующем: многие явления, как, например, урожай­ность сельскохозяйственных культур, численность населения региона, города, сумма дохода населения, среднее потребление какого-либо продовольственного товара и др., зависят от боль­шого числа различных факторов. Одни из них влияют в сторо­ну ускоренного роста изучаемого явления, другие - в сторону замедленного роста, третьи - в направлении сокращения уров­ней и т.д. Влияние разнонаправленных и разноускоренных (за­медленных) сил факторов взаимно усредняется, частично взаимно погашается, а равнодействующая их влияний приобре­тает характер, близкий к равномерной тенденции. Итак, равно­мерная тенденция динамики (или застоя) - это результат сложения влияния большого количества факторов на изменение изучаемого показателя.

Графическое изображение прямолинейного тренда - прямая линия в системе прямоугольных координат с линейным (ариф­метическим) масштабом на обеих осях. Пример линейного тренда дан на рис. 4.1.

Абсолютные изменения уровней в разные годы не были точно одинаковыми, но общая тенденция сокращения численности занятых в народном хозяйстве очень хорошо отражает­ся прямолинейным трендом. Его параметры вычислены в гл. 5 (табл. 5.3).

Основные свойства тренда в форме прямой линии таковы:

Равные изменения за равные промежутки времени;

Если средний абсолютный прирост - положительная вели­чина, то относительные приросты или темпы прироста посте­пенно уменьшаются;

Если среднее абсолютное изменение - отрицательная вели­чина, то относительные изменения или темпы сокращения по­степенно увеличиваются по абсолютной величине снижения к предыдущему уровню;

Если тенденция к сокращению уровней, а изучаемая вели­чина является по определению положительной, то среднее изме­нение b не может быть больше среднего уровняа;

При линейном тренде ускорение, т.е. разность абсолютных изменений за последовательные периоды, равно нулю.

Свойства линейного тренда иллюстрирует табл. 4.1. Урав­нение тренда: = 100 +20 *ti.

Показатели динамики при наличии тенденции сокращения уровней приведены в табл. 4.2.

Таблица 4.1

Показатели динамики при линейном тренде к увеличению уровней = 100 +20 *ti.

Номер периода ti			Темпы (цеп­ные), %	Ускоре­ние

Таблица 4.2

Показатели динамики при линейном тренде сокращения уровней: = 200 -20 *ti.

Номер периода ti		Абсолютное изме­нение к предыду­щему периоду	Темп к предыдущему периоду, %	Ускоре­ние

Согласно формуле (9.29) параметры линейного тренда равны а = 1894/11 = 172,2 ц/га; b = 486/110 = 4,418 ц/га. Уравнение линейного тренда имеет вид:

у̂ = 172,2 + 4,418t , где t = 0 в 1987 г Это означает,что средний фактический и выравненный уровень, отнесенный к середине периода, т.е. к 1991 г., равен 172 ц с 1 ra a среднегодовой прирост составляет 4,418 ц/га в год

Параметры параболического тренда согласно (9.23) равны- b = 4,418; a = 177,75; с = -0,5571. Уравнение параболического тренда имеет вид у̃ = 177,75 + 4,418t - 0.5571t 2 ; t = 0 в 1991 г. Это означает, что абсолютный прирост урожайности замедляется в среднем на 2·0,56 ц/га в год за год. Сам же абсолютный прирост уже не является константой параболического тренда, а является средней величиной за период. В год, принятый за начало отсчета т.е. 1991 г., тренд проходит через точку с ординатой 77,75 ц/га; Свободный член параболического тренда не является средним уровнем за период. Параметры экспоненциального тренда вычисляются по формулам(9.32) и (9.33) lnа = 56,5658/11 = 5,1423; потенцируя, получаем а = 171,1; lnk = 2,853:110 = 0,025936; потенцируя, получаем k = 1,02628.

Уравнение экспоненциального тренда имеет вид: y̅ = 171,1·1,02628 t .

Это означает, что среднегодовой темп поста урожайности за период составил 102,63%. В точке принятК начало отсчета, тренд проходит точку с ординатой 171,1 ц/га.

Рассчитанные по уравнениям трендов уровни записаны в трех последних графах табл. 9.5. Как видно по этим данным. расчетные значения уровней по всем трем видам трендов различаются ненамного, так как и ускорение параболы, и темп роста экспоненты невелики. Существенное отличие имеет парабола - рост уровней с 1995 г. прекращается, в то время как при линейном тренде уровни растут и далее, а при экспоненте их ост ускоряется. Поэтому для прогнозов на будущее эти три тренда неравноправны: при экстраполяции параболы на будущие годы уровни резко разойдутся с прямой и экспонентой, что видно из табл. 9.6. В этой таблицепредставлена распечатка решения на ПЭВМ по программе «Statgraphics» тех же трех трендов. Отличие их свободных членов от приведенных выше объясняется тем, что программа нумерует года не от середины, а от начала, так что свободные члены трендов относятся к 1986 г., для которого t = 0. Уравнение экспоненты на распечатке оставлено в логарифмированном виде. Прогноз сделан на 5 лет вперед, т.е. до 2001 г.. При изменении начала координат (отсчета времени) в уравнении параболы меняется и средний абсолютной прирост, параметр b. так как в результате отрицательного ускорения прирост все время сокращается, а его максимум - в начале периода. Константой параболы является только ускорение.

В строке «Data» приводятся уровни исходного ряда; «Forecast summary» означает сводные данные для прогноза. В следующих строках - уравнения прямой, параболы, экспоненты - в логарифмическом виде. Графа ME означает среднее расхождение между уровнями исходного ряда и уровнями тренда (выравненными). Для прямой и параболы это расхождение всегда равно нулю. Уровни экспоненты в среднем на 0,48852 ниже уровней исходного ряда. Точное совпадение возможно, если истинный тренд - экспонента; в данном случае совпадения нет, но различие, мало. Графа МАЕ -это дисперсия s 2 - мера колеблемости фактических уровней относительно тренда, о чем сказано в п. 9.7. Графа МАЕ - среднее линейное отклонение уровней от тренда по модулю (см. параграф 5.8); графа МАРЕ - относительное линейное отклонение в процентах. Здесь они приведены как показатели пригодности выбранного вида тренда. Меньшую дисперсию и модуль отклонения имеет парабола: она за период 1986 - 1996 гг. ближе к фактическим уровням. Но выбор типа тренда нельзя сводить лишь к этому критерию. На самом деле замедление прироста есть результат большого отрицательного отклонения, т. е. неурожая в 1996 г.

Вторая половина таблицы - это прогноз уровней урожайности по трем видам трендов на годы; t = 12, 13, 14, 15 и 16 от начала отсчета (1986 г.). Прогнозируемые уровни по экспоненте вплоть до 16-го года ненамного выше,.чем по прямой. Уровни тренда-параболы - снижаются, все более расходясь с другими трендами.

Как видно в табл. 9.4, при вычислении параметров тренда уровни исходного ряда входят с разными весами - значениями t p и их квадратов. Поэтому влияние колебаний уровней на параметры тренда зависит от того, на какой номер года приходится урожайный либо неурожайный год. Если резкое отклонение приходится на год с нулевым номером (t i = 0 ), то оно никакого влияния на параметры тренда не окажет, а если попадет на начало и конец ряда, то повлияет сильно. Следовательно, однократное аналитическое выравнивание неполно освобождает параметры тренда от влияния колеблемости, и при сильных колебаниях они могут быть сильно искажены, что в нашем примере случилось с параболой. Для дальнейшего исключения искажающего влияния колебаний на параметры тренда следует применить метод многократного скользящего выравнивания.

Этот прием состоит в том, что параметры тренда вычисляются не сразу по всему ряду, а скользящим методом, сначала за первые т периодов времени или моментов, затем за период от 2-го до т + 1, от 3-го до (т + 2)-го уровня и т.п. Если число исходных уровней ряда равно п, а длина каждой скользящей базы расчета параметров равна т, то число таких скользящих баз t или отдельных значений параметров, которые будут по ним определены, составит:

L = п + 1 - т.

Применение методики скользящего многократного выравнивания рассматривать, как видно из приведенных расчетов, возможно только при достаточно большом числе уровней ряда, как правило 15 и более. Рассмотрим эту методику на примере данных табл. 9.4 -динамики цен на нетопливные товары развивающихся стран, что опять же дает возможность читателю участвовать в небольшом научном исследовании. На этом же примере продолжим и методику прогнозирования в разделе 9.10.

Если вычислять в нашем ряду параметры по 11 -летним периодам (по 11 уровням), то t = 17 + 1 - 11 = 7. Смысл многократного скользящего выравнивания в том, что при последовательных сдвигах базы расчета параметров на концах ее и в середине окажутся разные уровни с разными по знаку и величине отклонениями от тренда. Поэтому при одних сдвигах базы параметры будут завышаться, при других - занижаться, а при последующем усреднении значений параметров по всем сдвигам базы расчета произойдет дальнейшее взаимопогашение искажений параметров тренда колебаниями уровней.

Многократное скользящее выравнивание не только позволяет получить более точную и надежную оценку параметров тренда, но и осуществить контроль правильности выбора типа уравнения тренда. Если окажется, что ведущий параметр тренда, его константа при расчете по скользящим базам не беспорядочно колеблется, а систематически изменяет свою величину существенным образом, значит, тип тренда был выбран неверно, данный параметр константой не является.

Что касается свободного члена при многократном выравнивании, то нет необходимости и, более того, просто неверно вычислять его величину как среднюю по всем сдвигам базы, ибо при таком способе отдельные уровни исходного ряда входили бы в расчет средней с разными весами, и сумма выравненных уровней разошлась бы с суммой членов исходного ряда. Свободный член тренда - это средняя величина уровня за период, при условии отсчета времени от середины периода. При отсчете от начала, если первый уровень t i = 1, свободный член будет равен: a 0 = у̅ - b ((N-1)/2). Рекомендуется длину скользящей базы расчета параметров тренда выбирать не менее 9-11 уровней, чтобы в достаточной мере погасить колебания уровней. Если исходный ряд очень длинный, база может составлять до 0,7 - 0,8 его длины. Для устранения влияния долго-периодических (циклических) колебаний на параметры тренда, число сдвигов базы должно быть равно или кратно длине цикла колебаний. Тогда начало и конец базы будут последовательно «пробегать» все фазы цикла и при усреднении параметра по всем сдвигам его искажения от циклических колебаний будут взаимопогашаться. Другой способ - взять длину скользящей базы, равной длине цикла, чтобы начало базы и конец базы всегда приходились на одну и ту же фазу цикла колебаний.

Поскольку по данным табл. 9.4, уже было установлено, что тренд имеет линейную форму, проводим расчет среднегодового абсолютного прироста, т. е. параметра b уравнения линейного тренда скользящим способом по 11-летним базам (см. табл. 9.7). В ней же приведен расчет данных, необходимых для последующего изучения колеблемости в параграфе 9.7. Остановимся подробнее на методике многократного выравнивания по скользящим базам. Рассчитаем параметр b по всем базам:

Когда тип тренда установлен, необходимо вычислить оптимальные значения параметров тренда исходя из фактических уровней. Для этого обычно используют метод наименьших квадратов (МНК). Его значение уже рассмотрено в предыдущих главах учебного пособия, в данном случае оптимизация состоит в минимизации суммы квадратов отклонений фактических уровней ряда от выравненных уровней (от тренда). Для каждого типа тренда МНК дает систему нормальных уравнений, решая которую вычисляют параметры тренда. Рассмотрим лишь три такие системы: для прямой, для параболы 2-го порядка и для экспоненты. Приемы определения параметров других типов тренда рассматриваются в специальной монографической литературе.

Для линейного тренда нормальные уравнения МНК имеют вид:

Нормальные уравнения МНК для экспоненты имеют следующий вид:

По данным табл. 9.1 рассчитаем все три перечисленных тренда для динамического ряда урожайности картофеля с целью их сравнения (см. табл. 9.5).

Таблица 9.5

Расчет параметров трендов

Согласно формуле (9.29) параметры линейного тренда равны а = 1894/11 = 172,2 ц/га; b = 486/110 = 4,418 ц/га. Уравнение линейного тренда имеет вид:

у ̂ = 172,2 + 4,418t , где t = 0 в 1987 г Это означает,что средний фактический и выравненный уровень, отнесенный к середине периода, т.е. к 1991 г., равен 172 ц с 1 ra a среднегодовой прирост составляет 4,418 ц/га в год

Параметры параболического тренда согласно (9.23) равны- b = 4,418; a = 177,75; с = -0,5571. Уравнение параболического тренда имеет вид у̃ = 177,75 + 4,418t - 0.5571t 2 ; t = 0 в 1991 г. Это означает, что абсолютный прирост урожайности замедляется в среднем на 2·0,56 ц/га в год за год. Сам же абсолютный прирост уже не является константой параболического тренда, а является средней величиной за период. В год, принятый за начало отсчета т.е. 1991 г., тренд проходит через точку с ординатой 77,75 ц/га; Свободный член параболического тренда не является средним уровнем за период. Параметры экспоненциального тренда вычисляются по формулам(9.32) и (9.33) lnа = 56,5658/11 = 5,1423; потенцируя, получаем а = 171,1; lnk = 2,853:110 = 0,025936; потенцируя, получаем k = 1,02628.

Уравнение экспоненциального тренда имеет вид: y ̅ = 171,1·1,02628 t .

Это означает, что среднегодовой темп поста урожайности за период составил 102,63%. В точке принятК начало отсчета, тренд проходит точку с ординатой 171,1 ц/га.

Рассчитанные по уравнениям трендов уровни записаны в трех последних графах табл. 9.5. Как видно по этим данным. расчетные значения уровней по всем трем видам трендов различаются ненамного, так как и ускорение параболы, и темп роста экспоненты невелики. Существенное отличие имеет парабола - рост уровней с 1995 г. прекращается, в то время как при линейном тренде уровни растут и далее, а при экспоненте их ост ускоряется. Поэтому для прогнозов на будущее эти три тренда неравноправны: при экстраполяции параболы на будущие годы уровни резко разойдутся с прямой и экспонентой, что видно из табл. 9.6. В этой таблице представлена распечатка решения на ПЭВМ по программе «Statgraphics» тех же трех трендов. Отличие их свободных членов от приведенных выше объясняется тем, что программа нумерует года не от середины, а от начала, так что свободные члены трендов относятся к 1986 г., для которого t = 0. Уравнение экспоненты на распечатке оставлено в логарифмированном виде. Прогноз сделан на 5 лет вперед, т.е. до 2001 г.. При изменении начала координат (отсчета времени) в уравнении параболы меняется и средний абсолютной прирост, параметр b . так как в результате отрицательного ускорения прирост все время сокращается, а его максимум - в начале периода. Константой параболы является только ускорение.

В строке «Data» приводятся уровни исходного ряда; «Forecast summary» означает сводные данные для прогноза. В следующих строках - уравнения прямой, параболы, экспоненты - в логарифмическом виде. Графа ME означает среднее расхождение между уровнями исходного ряда и уровнями тренда (выравненными). Для прямой и параболы это расхождение всегда равно нулю. Уровни экспоненты в среднем на 0,48852 ниже уровней исходного ряда. Точное совпадение возможно, если истинный тренд - экспонента; в данном случае совпадения нет, но различие, мало. Графа МАЕ -это дисперсия s 2 - мера колеблемости фактических уровней относительно тренда, о чем сказано в п. 9.7. Графа МАЕ - среднее линейное отклонение уровней от тренда по модулю (см. параграф 5.8); графа МАРЕ - относительное линейное отклонение в процентах. Здесь они приведены как показатели пригодности выбранного вида тренда. Меньшую дисперсию и модуль отклонения имеет парабола: она за период 1986 - 1996 гг. ближе к фактическим уровням. Но выбор типа тренда нельзя сводить лишь к этому критерию. На самом деле замедление прироста есть результат большого отрицательного отклонения, т. е. неурожая в 1996 г.

Вторая половина таблицы - это прогноз уровней урожайности по трем видам трендов на годы; t = 12, 13, 14, 15 и 16 от начала отсчета (1986 г.). Прогнозируемые уровни по экспоненте вплоть до 16-го года ненамного выше,.чем по прямой. Уровни тренда-параболы - снижаются, все более расходясь с другими трендами.

Как видно в табл. 9.4, при вычислении параметров тренда уровни исходного ряда входят с разными весами - значениями t p и их квадратов. Поэтому влияние колебаний уровней на параметры тренда зависит от того, на какой номер года приходится урожайный либо неурожайный год. Если резкое отклонение приходится на год с нулевым номером (t i = 0 ), то оно никакого влияния на параметры тренда не окажет, а если попадет на начало и конец ряда, то повлияет сильно. Следовательно, однократное аналитическое выравнивание неполно освобождает параметры тренда от влияния колеблемости, и при сильных колебаниях они могут быть сильно искажены, что в нашем примере случилось с параболой. Для дальнейшего исключения искажающего влияния колебаний на параметры тренда следует применить метод многократного скользящего выравнивания.

Этот прием состоит в том, что параметры тренда вычисляются не сразу по всему ряду, а скользящим методом, сначала за первые т периодов времени или моментов, затем за период от 2-го до т + 1, от 3-го до (т + 2)-го уровня и т.п. Если число исходных уровней ряда равно п, а длина каждой скользящей базы расчета параметров равна т, то число таких скользящих баз t или отдельных значений параметров, которые будут по ним определены, составит:

L = п + 1 - т.

Применение методики скользящего многократного выравнивания рассматривать, как видно из приведенных расчетов, возможно только при достаточно большом числе уровней ряда, как правило 15 и более. Рассмотрим эту методику на примере данных табл. 9.4 -динамики цен на нетопливные товары развивающихся стран, что опять же дает возможность читателю участвовать в небольшом научном исследовании. На этом же примере продолжим и методику прогнозирования в разделе 9.10.

Если вычислять в нашем ряду параметры по 11 -летним периодам (по 11 уровням), то t = 17 + 1 - 11 = 7. Смысл многократного скользящего выравнивания в том, что при последовательных сдвигах базы расчета параметров на концах ее и в середине окажутся разные уровни с разными по знаку и величине отклонениями от тренда. Поэтому при одних сдвигах базы параметры будут завышаться, при других - занижаться, а при последующем усреднении значений параметров по всем сдвигам базы расчета произойдет дальнейшее взаимопогашение искажений параметров тренда колебаниями уровней.

Многократное скользящее выравнивание не только позволяет получить более точную и надежную оценку параметров тренда, но и осуществить контроль правильности выбора типа уравнения тренда. Если окажется, что ведущий параметр тренда, его константа при расчете по скользящим базам не беспорядочно колеблется, а систематически изменяет свою величину существенным образом, значит, тип тренда был выбран неверно, данный параметр константой не является.

Что касается свободного члена при многократном выравнивании, то нет необходимости и, более того, просто неверно вычислять его величину как среднюю по всем сдвигам базы, ибо при таком способе отдельные уровни исходного ряда входили бы в расчет средней с разными весами, и сумма выравненных уровней разошлась бы с суммой членов исходного ряда. Свободный член тренда - это средняя величина уровня за период, при условии отсчета времени от середины периода. При отсчете от начала, если первый уровень t i = 1, свободный член будет равен: a 0 = у ̅ - b ((N-1)/2). Рекомендуется длину скользящей базы расчета параметров тренда выбирать не менее 9-11 уровней, чтобы в достаточной мере погасить колебания уровней. Если исходный ряд очень длинный, база может составлять до 0,7 - 0,8 его длины. Для устранения влияния долго-периодических (циклических) колебаний на параметры тренда, число сдвигов базы должно быть равно или кратно длине цикла колебаний. Тогда начало и конец базы будут последовательно «пробегать» все фазы цикла и при усреднении параметра по всем сдвигам его искажения от циклических колебаний будут взаимопогашаться. Другой способ - взять длину скользящей базы, равной длине цикла, чтобы начало базы и конец базы всегда приходились на одну и ту же фазу цикла колебаний.

Поскольку по данным табл. 9.4, уже было установлено, что тренд имеет линейную форму, проводим расчет среднегодового абсолютного прироста, т. е. параметра b уравнения линейного тренда скользящим способом по 11-летним базам (см. табл. 9.7). В ней же приведен расчет данных, необходимых для последующего изучения колеблемости в параграфе 9.7. Остановимся подробнее на методике многократного выравнивания по скользящим базам. Рассчитаем параметр b по всем базам:

Таблица 9.7

Многократное скользящее выравнивание по прямой

Уравнение тренда: у ̂ = 104,53 - 1,433t ; t = 0 в 1987 г. Итак, индекс цен в среднем за год снижался на 1,433 пункта. Однократное выравнивание по всем 17 уровням может исказить этот параметр, ибо начальный уровень содержит значительное отрицательное отклонение, а конечный уровень - положительное. В самом деле, однократное выравнивание дает величину среднегодового изменения индекса всего на 0,953 пункта.

9.7. Методика изучения и показатели колеблемости

Если при изучении и измерении тенденции динамики колебания уровней играли лишь роль помех, «информационного шума», от которого следовало по возможности абстрагироваться, то в дальнейшем сама колеблемость становится предметом статистического исследования. Значение изучения колебаний уровней динамического ряда очевидно: колебания урожайности, продуктивности скота, производства мяса экономически нежелательны, так как потребность в продукции агрокомплекса постоянна. Эти колебания следует уменьшать, применяя прогрессивную технологию и другие меры. Напротив, сезонные колебания объемов производства зимней и летней обуви, одежды, мороженого, зонтиков, коньков - необходимы и закономерны, так как спрос на эти товары тоже колеблется по сезонам и равномерное производство требует лишних затрат на хранение запасов. Регулирование рыночной экономики как со стороны государства, так и производителей в значительной мере состоит в регулировании колебаний экономических процессов.

Типы колебаний статистических показателей весьма разнообразны, но все же можно выделить три основных: пилообразную или маятниковую колеблемость, циклическую долгопериодическую и случайно распределенную во времени колеблемость. Их свойства и отличия друг от друга хорошо видны при графическом изображении рис. 9.2.

Пилообразная или маятниковая колеблемость состоит в попеременных отклонениях уровней от тренда в одну и в другую сторону. Таковы автоколебания маятника. Такие автоколебания можно наблюдать в динамике урожайности при невысоком уровне агротехники: высокий урожай при благоприятных условиях погоды выносит из почвы больше питательных веществ, чем их образуется естественным путем за год; почва обедняется, что вызывает снижение следу- ющего урожая ниже тренда, он выносит меньше питательных веществ, чем образуется за год, плодородие возрастает и т.д.

Рис. 9.2. Виды колебаний

Циклическая долгопериодическая колеблемость свойственна, например, солнечной активности (10-11-летние циклы), а значит, и связанным с ней на Земле процессам - полярным сияниям, грозовой деятельности, урожайности отдельных культур в ряде районов, некоторым заболеваниям людей, растений. Для этого типа характерны редкая смена знаков отклонений от тренда и кумулятивный (накапливающийся) эффект отклонений одного знака, который может тяжело отражаться на экономике. Зато колебания хорошо прогнозируются.

Случайно распределенная во времени колеблемость - нерегулярная, хаотическая. Она может возникать при наложении (интерференции) множества колебаний с разными по длительности циклами. Но может возникать в результате столь же хаотической колеблемости главной причины существования колебаний, например суммы осадков за летний период, температуры воздуха в среднем за месяц в разные годы.

Для определения типа колебаний применяются графическое изображение, метод «поворотных точек» М. Кендэла, вычисление коэффициентов автокорреляции отклонений от тренда. Эти методы будут рассмотрены далее.

Основными показателями, характеризующими силу колеблемости уровней, выступают уже известные по главе 5 показатели, характеризующие вариацию значений признака в пространственной совокупности. Однако вариация в пространстве и колеблемость во времени принципиально различны. Прежде всего различны их основные причины. Вариация значений признака у одновременно существующих единиц возникает из-за различий в условиях существования единиц совокупности. Например, разная урожайность картофеля в совхозах области в 1990 г. вызвана различиями в плодородии почв, в качестве семян, в агротехнике. А вот суммы эффективных температур за вегетационный период и осадков не являются причинами пространственной вариации, так как в одном и том же году на территории области эти факторы почти не варьируют. Напротив, главными причинами колебания урожайности картофеля в области за ряд лет как раз являются колебания метеорологических факторов, а качество почв колебаний почти не имеет. Что же касается общего прогресса агротехники, то он является причиной тренда, но не колеблемости.

Второе коренное отличие состоит в том, что значения варьирующего признака в пространственной совокупности можно считать в основном не зависимыми друг от друга, напротив, уровни динамического ряда, как правило, являются зависимыми: это показатели развивающегося процесса, каждая стадия которого связана с предыдущими состояниями.

В-третьих, вариация в пространственной совокупности измеряется отклонениями индивидуальных значений признака от среднего значения, а колеблемость уровней динамического ряда измеряется не их отличиями от среднего уровня (эти отличия включают и тренд, и колебания), а отклонениями уровней от тренда.

Поэтому лучше использовать разные термины: различия признака в пространственной совокупности называть только вариацией, но не колебаниями: никто же не станет называть различия численности населения Москвы, Петербурга, Киева и Ташкента «колебаниями числа жителей»! Отклонения уровней динамического ряда от тренда будем называть всегда колеблемостью. Колебания всегда происходят во времени, не может существовать колебаний вне времени, в фиксированный момент.

На основе качественного содержания понятия колеблемости строится и система ее показателей. Показателями силы колебании уровней являются: амплитуда отклонений уровней отдельных периодов или моментов от тренда (по модулю), среднее абсолютное отклонение уровней от тренда (по модулю), среднее квадратическое откло;-нение уровней от тренда. Относительные меры колеблемости: относительное линейное отклонение от тренда и коэффициент колеблемости - аналог коэффициента вариации.

Особенностью методики вычисления средних отклонений от тренда является необходимость учета потерь степеней свободы колебаний на величину, равную числу параметров уравнения тренда. Например, прямая линия имеет два параметра, и, как известно из геометрии, через любые две точки можно провести прямую линию. Значит, имея лишь два уровня, мы проведем линию тренда точно через эти два уровня, и никаких отклонений уровней от тренда не окажется, хотя на самом деле и эти два уровня включали колебания, не были свободны от действия факторов колеблемости. Парабола второго порядка пройдет точно через любые три точки и т.п.

Учитывая потерю степеней свободы, основные абсолютные показатели колеблемости вычисляются по формулам (9.34) и (9.35):

среднее линейное отклонение

(9.34)

среднее квадратичное отклонение

(9.35)

где y i - фактический уровень;

y ̂ i - выравненный уровень, тренд;

n - число уровней;

р - число параметров тренда.

Знак времени «t » в скобках после показателя означает, что это показатель не обычной пространственной вариации, как в главе V, а показатель колеблемости во времени.

Относительные показатели колеблемости вычисляются делением абсолютных показателей на средний уровень за весь изучаемый период. Расчет показателей колеблемости проведем по результатам анализа динамики индекса цен (см. табл. 9.7). Тренд примем по результатам многократного скользящего выравнивания, т. е. у ̂ = 104,53 - 1,433t ; t = 0 в 1987 г.

1. Амплитуда колебаний составила от -14,0 в 1986 г. до +15,2 в 1984 г., т.е. 29,2 пункта.

2. Среднее линейное отклонение по модулю найдем, сложив модули |u i | (их сумма равна 132,3), и разделив на (п - р), согласно формуле (9.34):

=8,82 пункта.

3. Среднее квадратическое отклонение уровней от тренда по формуле (9.35) составило:

= 9,45 пункта.

Небольшое превышение среднего квадратического отклонения над линейным указывает на отсутствие среди отклонений резко выделяющихся по абсолютной величине.

4. Коэффициент колеблемости: или 9,04%. Колеблемость умеренная, не сильная. Для сравнения приводим показатели (без расчета) по колебаниям урожайности картофеля, данные таблиц 9.1 и 9.5 - отклонение от линейного тренда:

s (t ) = 14,38 ц с 1 га, v (t ) = 8,35%.

Для выявления типа колебаний воспользуемся приемом, предложенным М. Кендэлом. Он состоит в подсчете так называемых «поворотных точек» в ряду отклонений от тренда и i т. е. локальных экстремумов. Отклонение, либо большее по алгебраической величине, либо меньшее двух соседних, отмечается точкой. Обратимся к рис. 9.2. При маятниковой колеблемости все отклонения, кроме двух крайних, будут «поворотными», следовательно, их число составит п - 1. При долгопериодических циклах на цикл приходятся один минимум и один максимум, а общее число точек составит 2(n : l ), где l - длительность цикла. При случайно распределенной во времени колеблемости, как доказал М. Кендэл, число поворотных точек в среднем составит: 2/3 (n - 2). В нашем примере при маятниковой колеблемости было бы 15 точек, при связанной с 11-летним циклом было бы 2-(17: 11) ≈ 3 точки, при случайно распределенной во времени в среднем было бы (2/3)·(17-2) =10 точек.

Фактическое число точек 6 выходит за границы двукратного среднего квадратического отклонения числа поворотных точек, которое по Кендэлу равно , в нашем случае .

Наличие 6 точек, при 2 точках за цикл, означает, что в ряду могут быть примерно 3 цикла, продолжительность периода которых 5,5 - 6 лет. Возможно сочетание таких циклических колебаний со случайными.

Другой метод анализа типа колеблемости и поиска длины цикла основан на вычислении коэффициентов автокорреляции отклонений от тренда.

Автокорреляция - это корреляция между уровнями ряда или отклонениями от тренда, взятыми со сдвигом во времени: на 1 период (год), на 2, на 3 и т. д., поэтому говорят о коэффициентах автокорреляции разных порядков: первого, второго и т. д. Рассмотрим сначала коэффициент автокорреляции отклонений от тренда первого порядка.

Одна из основных формул для расчета коэффициента автокорреляции отклонений от тренда имеет вид:

(9.36)

Как легко видеть по табл. 9.7, первое и последнее в ряду отклонения участвуют только в одном произведении в числителе, а все прочие отклонения от второго до (п - 1)-го - в двух. Поэтому и в знаменателе квадраты первого и последнего отклонений следует взять с половинным весом, как в хронологической средней. По данным табл. 9.7 имеем:

Теперь обратимся к рис. 9.2. При маятниковой колеблемости все произведения в числителе будут отрицательными величинами, и коэффициент автокорреляции первого порядка будет близок к -1. При долголериодических циклах будут преобладать положительные произведения соседних отклонений, а смена знака происходит лишь дважды за цикл. Чем длиннее Цикл, тем больше перевес положительных произведений в числителе, и коэффициент автокорреляции первого порядка ближе к +1. При случайно распределенной во времени колеблемости знаки отклонений чередуются хаотически, число положительных произведений близко к числу отрицательных, ввиду чего коэффициент автокорреляции близок к нулю. Полученное значение говорит о наличии как случайно распределенных во времени колебаний, так и циклических. Коэффициенты автокорреляции следующих порядков: II = - 0,577; Ш = -0,611; IV == -0,095; V = +0,376; VI = +0,404; VII = +0,044. Следовательно, противофаза цикла ближе всего кЗ годам (наибольший отрицательный коэффициент при сдвиге на 3 года), а совпадающие фазы ближе к б годам, что и дает длину цикла колебаний. Эти максимальные по абсолютной величине коэффициенты не близки к единице. Это означает, что циклическая колеблемость смешана со значительной случайной колеблемостью. Таким образом, подробный автокорреляционный анализ в целом дал те же результаты, что и выводы по автокорреляции первого порядка.

Если динамический ряд достаточно длинен, можно поставить и решить задачу об изменении показателей колеблемости с течением времени. Для этого рассчитывают эти показатели по подпериодам, но длительностью не менее 9-11 лет, иначе измерения колеблемости ненадежны. Кроме того, можно рассчитывать показатели колеблемости скользящим способом, а затем произвести их выравнивание, т. е. вычислить тренд показателей колеблемости. Это полезно, чтобы сделать вывод о действенности мер, применявшихся для уменьшения колебаний урожайности и других нежелательных колебаний, а также для того, чтобы по тренду сделать прогноз ожидаемых в будущем размеров колебаний.

9.8. Измерение устойчивости в динамике

Понятие «устойчивость» используется в весьма различных смыслах. По отношению к статистическому изучению динамики мы рассмотрим два аспекта этого понятия: 1) устойчивость как категория, противоположная колеблемости; 2) устойчивость направленности изменений, т. е. устойчивость тенденции.

В первом понимании показатель устойчивости, который может быть только относительным, должен изменяться от нуля до единицы (100%). Это разность между единицей и относительным показателем колеблемости. Коэффициент колеблемости составил 9,0%. Следовательно, коэффициент устойчивости равен 100% - 9,0% = 91,0%. Этот показатель характеризует близость фактических уровней к тренду и совершенно не зависит от характера последнего. Слабая колеблемость и высокая устойчивость уровней в данном смысле могут существовать даже при полном застое в развитии, когда тренд выражен горизонтальной прямой.

Устойчивость во втором смысле характеризует не сами по себе уровни, а процесс их направленного изменения. Можно узнать, например, насколько устойчив процесс сокращения удельных затрат ресурсов на производство единицы продукции, является ли устойчивой тенденция снижения детской смертности и т. д. С этой точки зрения полной устойчивостью направленного изменения уровней динамического ряда следует считать такое изменение, в процессе которого каждый следующий уровень либо выше всех предшествующих (устойчивый рост), либо ниже всех предшествующих (устойчивое снижение). Всякое нарушение строго ранжированной последовательности уровней свидетельствует о неполной устойчивости изменений.

Из определения понятия устойчивости тенденции вытекает и метод построения ее показателя. В качестве показателя устойчивости можно использовать коэффициент корреляции рангов Ч. Спирмэна (Spearman) - r x .

где п - число уровней;

Δ i - разность рангов уровней и номеров периодов времени.

При полном совпадении рангов уровней, начиная с наименьшего, и номеров периодов (моментов) времени по их хронологическому порядку коэффициент корреляции рангов равен +1. Это значение соответствует случаю полной устойчивости возрастания уровней. При полной противоположности рангов уровней рангам лет коэффициент Спирмэна равен -1, что означает полную устойчивость процесса сокращения уровней. При хаотическом чередовании рангов уровней коэффициент близок к нулю, это означает неустойчивость какой-либо тенденции. Приведем расчет коэффициента корреляции Спирмэна по данным о динамике индекса цен (табл. 9.7) в табл. 9.8.

Таблица 9.8

Расчет коэффициентов корреляции рангов Спирмена

		Ранг лет, Р x	Ранг уровней, Р у	Р x -Р y	(P x -P y ) 2

Ввиду наличия трех пар «связанных рангов» применяем формулу (8.26):

Отрицательное значение r x указывает на наличие тенденции снижения уровней, причем устойчивость этой тенденции ниже средней.

При этом следует иметь в виду, что даже при 100%-ной устойчивости тенденции в ряду динамики может быть колеблемость уровней, и коэффициент их устойчивости будет ниже 100%. При слабой колеблемости, но еще более слабой тенденции, напротив, возможен высокий коэффициент устойчивости уровней, но близкий к нулю коэффициент устойчивости тренда. В целом же оба показателя связаны, конечно, прямой зависимостью: чаще всего большая устойчивость уровней наблюдается одновременно с большей устойчивостью тренда.

Устойчивость тенденции развития или комплексная устойчивость, в динамике может быть охарактеризована соотношением между среднегодовым абсолютным изменением и средним квадратическим (либо линейным) отклонением уровней от тренда:

Если, как нередко бывает, распределение отклонений уровней ряда от тренда близко к нормальному, то с вероятностью 0,95 отклонение от тренда вниз не превысит 1,645s (t ) по величине. Следовательно, если в ряду динамики

с > 1,64, то уровни, более низкие, чем предыдущие, в среднем будут встречаться менее 5раз за 100 периодов, или 1 раз из 20, т. е. устойчивость тренда будет высока. При с = 1 нарушения ранжированности уровней будут встречаться в среднем 16 раз из 100, а при с = 0,5 – уже 31 раз из 100, т. е. устойчивость тенденции будет низкой. Можно также пользоваться отношением среднего темпа прироста к коэффициенту колеблемости, что дает показатель, близкий к с - показателю устойчивости. Этот показатель более пригоден для экспоненциального тренда. О показателях устойчивости нелинейных трендов и об общих проблемах устойчивости экономических и социальных процессов можно подробнее прочесть в рекомендуемой к данной главе литературе .

6.Статистическая сводка и группировка. Виды группировок.

7.Абсолютные статистические величины: понятия, виды.

8.Относительные статистические величины: понятия, виды.

9.Средние величины: понятия, виды. (степенные, структурные) Средние величины.

Степенные средние

Структурные средние

10.Средняя арифметическая и средняя гармоническая величины. Средняя арифметическая

Средняя гармоническая.

11.Основные свойства средней арифметической.

12.Показатели вариации признака и способы их расчета.

Абсолютные и средние показатели вариации и способы их расчета.

13.Экономические индексы: понятия, виды. Индивидуальные индексы цен, физического объема реализации, товарооборота. Понятие индексов

Индивидуальные индексы

Сводные индексы

Индекс цены товарооборота Индекс физического объема товарооборота Проблема выбора весов

Цепные и базисные индексы с постоянными и переменными весами

Индексы постоянного состава, переменного состава и структурных сдвигов

Территориальные индексы

14.Агрегатные индексы цен, физического объема, товарооборота, их взаимосвязь. Агрегатные индексы.

15.Средние арифметический и средние гармонический индексы физического объема продукции. Средние индексы.

16.Выборочное наблюдение, виды выработки (повторная, бесповторная).

17.Средняя и предельная ошибки выборки. Расчет доверительного интервала.

18.Расчет необходимой численности выборки, обеспечивающий с определенной вероятностью заданную точность наблюдения.

19.Ряды динамики: понятия, виды (моментальные, интервальные). Показатели ряда

20.Среднии показатели ряда динамики. Определение среднего уровня ряда динамики.

21.Методы сглаживания рядов динамики.

22.Виды взаимосвязей между явлениями (функциональные, корреляционные). Классификация корреляционных взаимосвязей.

23.Расчет параметров линейного тренда.

24.Линейный коэффициент корреляции.

25.Расчет параметров линейной парной регрессии.

26.Понятие и формирование снс.

27.Система национальных счетов: стандартный набор счетов для секторов экономики.

28.Основные макроэкономические показатели снс.

29.Методы расчета валового внутреннего продукта.

30.Показатели естественного движения населения и методы их расчета.

31.Показатели миграции населения и методы их расчета.

32.Расчет перспективной численности населения.

33.Система показателей уровня жизни. Индекс развития человеческого потенциала.

34.Категория людей, относящимся к занятым. Расчет коэффициента занятости и нагрузке на оного занятого в экономике.

35.Категория людей, относящимся к безработным. Расчет коэффициента безработицы.

36.Статистика численности работников предприятия.

37.Фонды рабочего времени и методы их расчета.

38Коэффициенты использования фондов рабочего времени и методы их расчета.

39.Статистика национального богатства: состав нефинансовых производственных активов.

40.Статистика национального богатства: состав нефинансовых непроизводственных активов.

41.Статистика национального богатства: состав финансовых активов.

Структура национального богатства. Элементы национального богатства* (на начало года; без учета стоимости земли, недр и лесов)

42.Статистика международной торговли.

43.Статистика госбюджета.

44.Статистика основных фондов.

45.Статистика оборотных фондов.

46.Статистика производительности труда.

47.Статистика заработной платы.

48.Статистика себестоимости продукции.

49.Расчет индексов, используемых для изучения динамики средних цен, индекса постоянного состава, индекса структурных сдвигов, индекса переменного состава.

50.Агрегатные индексы цен ласпейреса, пааше, фишера, маршалла.

Индексы Пааше, Ласпейреса и "идеальный индекс" Фишера

23.Расчет параметров линейного тренда.

Основной тенденцией развития (трендом) называется плавное и устойчивое изменение уровня явления во времени, свободное от случайных колебаний.

Задача состоит в том, чтобы выявить общую тенденцию в изменении уровней ряда, освобожденную от действия различ­ных случайных факторов. С этой целью ряды динамики подвергаются обработке методами укрупнения ин­тервалов, скользящей средней и аналитического выравнивания.

*Одним из наиболее простых методов изучения основной тенденции в рядах динамики является укрупнение интервалов. Он основан на укрупнении периодов времени, к которым отно­сятся уровни ряда динамики (одновременно уменьшается коли­чество интервалов). Например, ряд ежесуточного выпуска про­дукции заменяется рядом месячного выпуска продукции и т.д. Средняя, исчисленная по укрупненным^ интервалам, позволяет выявлять направление и характер (ускорение или замедление роста) основной тенденции развития.

* Выявление основной тенденции может осуществляться также методом скользящи (подвижной) средней. Сущность его заключается в том, что исчисляется средний уровень из опреде­ленного числа, обычно нечетного (3, 5, 7 и т.д.), первыхтю сче­ту уровней ряда, затем - из такого же числа уровней, но начи­ная со второго по счету, далее - начиная с третьего и т.д. Таким образом, средняя как бы «скользит» по ряду динамики, пере­двигаясь на один срок.

на два члена в начале и конце ряда. Он меньше, чем фактиче­ский подвержен колебаниям из-за случайных причин, и четче, в виде некоторой плавной линии на графике, выражает основную тенденцию роста урожайности за изучаемый период, связанную с действием долговременно существующих причин и условий развития.

Недостатком сглаживания ряда является «укорачивание» сглаженного ряда по сравнению с фактическим, а следователь­но, потеря информации.

Рассмотренные приемы сглаживания динамических рядов (укрупнение интервалов и метод скользящей средней) дают воз­можность определить лишь общую тенденцию развития явле­ния, более или менее освобожденную от случайных и волнооб­разных колебаний. Однако получить обобщенную статистиче­скую модель тренда посредством этих методов нельзя.

*Для того чтобы дать количественную модель, выражающую основную тенденцию изменения уровней динамического ряда во вре­мени, используется аналитическое выравнивание ряда динамики.

где yt - уровни динамического ряда, вычисленные по соответст­вующему аналитическому уравнению на момент времени t.

Определение теоретических (расчетных) уровней yt произ­водится на основе так называемой адекватной математической модели, которая наилучшим образом отображает (аппроксимиру­ет) основную тенденцию ряда динамики. Выбор типа модели зависит от цели исследования и должен быть основан на теоретическом анализе, выявляющем характер развития явления, а также на графическом изображении ряда динамики (линейной диаграмме).

Например, простейшими моделями (формулами), выражаю­щими тенденцию развития, являются:

линейная функция - прямая yt = a0 + a1t,

где a0,a1 - параметры уравнения; t - время;

показательная функция yt = A0A1t

степенная функция - кривая второго порядка (парабола)

В тех случаях, когда требуется особо точное изучение тен­денции развития (например, модели тренда для прогнозирова­ния), при выборе вида адекватной функции можно использовать специальные критерии математической статистики.

Расчет параметров функции обычно производится методом наименьших квадратов, в котором в качестве решения принима­ется точка минимума суммы квадратов отклонений между тео­ретическими и эмпиричесими уровнями:

где yt - выравненные (расчетные) уровни; yt - фактические уровни.

Параметры уравнения а,-, удовлетворяющие этому условию, могут быть найдены решением системы нормальных уравнений. На основе найденного уравнения тренда вычисляются выравненные уровни. Таким образом, выравнивание ряда динамики заключается в замене фактических уровней у,- плавно изменяю­щимися уровнями У(, наилучшим образом аппроксимирующилми статистические данные.

Выравнивание по прямой используется, как правило, в тех случаях, когда абсолютные приросты практически постоянны, т. е. когда уровни изменяются в арифметической прогрессии (или близко к ней).

Выравнивание по показательной функции используется в тех случаях, когда ряд отражает развитие в геометриче­ской прогрессии, т. е. когда цепные коэффициенты рос­та практически постоянны.

Рассмотрим «технику» выравнивания ряда динамики по прямой: yt=a0+a1t

Параметры а0, а1 согласно методу наименьших квадратов находятся решением следующей системы нор­мальных уравнений, полученной путем алгебраического преобразования условия

где у - фактические (эмпирические) уровни ряда; t - время (порядковый номеа периода или момента времени).

Является тренд . Одним из наиболее популярных способов моделирования тенденции временного ряда является нахождение аналитической функции, характеризующей зависимость уровней ряда от времени. Этот способ называется аналитическим выравниванием временного ряда.

Зависимость показателя от времени может принимать разные формы, поэтому находят различные функции: линейную, гиперболу, экспоненту, степенную функцию, полиномы различных степеней. Временной ряд исследуют аналогично линейной регрессии.

Параметры любого тренда можно определить обычным методом наименьших квадратов, используя в качестве фактора время t = 1, 2,…, n, а в качестве зависимой переменной используют уровни временного ряда. Для нелинейных трендов сначала проводят процедуру линеаризации.

К числу наиболее распространенных способов определения типа тенденции относят качественный анализ изучаемого ряда , построение и анализ графика зависимости уровней ряда от времени, расчет основных показателей динамики. В этих же целях можно часто используют и .

Линейный тренд

Тип тенденции определяют путем сравнения коэффициентов автокорреляции первого порядка. Если временной ряд имеет линейный тренд, то его соседние уровни yt и yt-1 тесно коррелируют. В таком случае коэффициент автокорреляции первого порядка уровней исходного ряда должен быть максимальный. Если временной ряд содержит нелинейную тенденцию, то чем сильнее выделена нелинейная тенденция во временном ряду, тем в большей степени будут различаться значения указанных коэффициентов.

Выбор наилучшего уравнения в случае, если ряд содержит , можно осуществить перебором основных видов тренда, расчета по каждому уравнению коэффициента корреляции и выбора уравнения тренда с максимальным значением коэффициента.

Параметры тренда

Наиболее простую интерпретацию имеют параметры экспоненциального и линейного трендов.

Параметры линейного тренда интерпретируют так: а — исходный уровень временного ряда в момент времени t = 0; b - средний за период абсолютный прирост уровней рада.

Параметры экспоненциального тренда имеют такую интерпретацию. Параметр а - это исходный уровень временного ряда в момент времени t = 0. Величина exp(b) - это средний в расчете на единицу времени коэффициент роста уровней ряда.

По аналогии с линейной моделью расчетные значения уровней рада по экспоненциальному тренду можно определить путем подстановки в уравнение тренда значений времени t = 1,2,…, n, либо в соответствии с интерпретацией параметров экспоненциального тренда: каждый последующий уровень такого ряда есть произведение предыдущего уровня на соответствующий коэффициент роста

При наличии неявной нелинейной тенденции нужно дополнять описанные выше методы выбора лучшего уравнения тренда качественным анализом динамики изучаемого показателя, для того, чтобы избежать ошибок спецификации при выборе вида тренда. Качественный анализ предполагает изучение проблем возможного наличия в исследуемом ряду поворотных точек и изменения темпов прироста, начиная с определенного момента времени под влиянием ряда факторов, и т. д. В том случае если уравнение тренда выбрано неправильно при больших значениях t, результаты прогнозирования динамики временного ряда с использованием исследуемого уравнения будут недостоверными по причине ошибки спецификации.

Иллюстрация возможного появления ошибки спецификации приведем на рисунке

Если оптимальной формой тренда является парабола, в то время как на самом деле имеет место линейная тенденция, то при больших t парабола и линейная функция естественно будут по разному описывать тенденцию в уровнях ряда.