Обобщение опыта. Текстовые задачи в школьном курсе математики

Департамент образования

Государственное учреждение Ярославской области

«Центр оценки и контроля качества образования»

«Арифметические способы

решения текстовых задач

по математике в 5-6 классах»

Методическая разработка

Ореховой Елены Юрьевны,

учителя математики

МОУ Крюковской ООШ

Мышкинского МО

Ярославской области.

Научный руководитель:

кандидат педагогических наук,

Ярославль, 2006

ВВЕДЕНИЕ………………………………………………………………….

ГЛАВА І Текстовые задачи и их типология…………………………… ..

1.1. Определение текстовой задачи………………………………………..

1.2 Роль текстовых задач в школьном курсе математики……………….

1.3. Различные подходы к классификации текстовых задач…………….

1.4. Этапы решения текстовых задач……………………………………...

ГЛАВА ІІ Методика обучения учащихся решению текстовых задач арифметическим методом…………………………………………………..

2.1. Знания, умения учащихся по решению текстовых задач по

окончании начальной школы…………………………………………..

2.2. Планирование работы учителя по обучению учащихся решению

текстовых задач арифметическим способом…………………………

2.3. Организация работы учителя на каждом этапе решения задачи…….

2.3.1 Организация работы учителя над условием задачи……………..

2.3.2. Организация работы учителя по составлению плана решения…

2.3.3. Реализация плана решения……………………………………….

2.3.4. Анализ найденного решения и работа по поиску других

вариантов решения………………………………………………………….

2.4. Формирование приёмов решения задач «на процессы»……………..

2.4.1. Формирование понятия о времени протекания процесса………

2.4.2 Формирование понятий о скорости протекания процесса

и его продукте (результате)………………………………………

2.4.3. Формирование понятия совместного действия………………….

2.5. Составление задач учащимися…………………………………………

ЗАКЛЮЧЕНИЕ………………………………………………………………

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ …………………………………………………..

ПРИЛОЖЕНИЕ ……………………………………………………………..

Введение.

В последние годы большие затруднения у детей на уроках математики вызывает задание: решите задачу. Почему так происходит? Зачем надо обучать детей решению текстовых задач и как это делать? – вот вопросы, которые я затронула в этой работе.

В традиционном российском школьном обучении математике текстовые задачи занимали особое место. Исторически долгое время математические знания передавались из поколения в поколение в виде списка задач практического содержания с их решениями. Обученным считался тот, кто умел решать задачи определённых типов, встречавшихся на практике.

Со временем работа с задачами совершенствовалась, она была выстроена в систему, оказывающую определённое воздействие на развитие мышления и речи учащихся, развивающую их смекалку и сообразительность, показывающую связь изучаемого с практикой.

С помощью задач формируются важные общеучебные умения, связанные с анализом текста, выделением условий задачи и главного вопроса, составлением плана решения, поиском условий, из которых можно получить ответ на главный вопрос, проверкой полученного результата. Использование арифметических способов решения задач способствовало общему развитию учащихся, развитию не только логического, но и образного мышления, лучшему усвоению естественного языка, а это повышало эффективность обучения математике и других дисциплин.

Пересматривая роль и место арифметики в системе школьных предметов, стремясь повысить научность изложения математики за счёт более раннего введения уравнений и функций, методисты-математики посчитали, что на обучение арифметическим способам решения задач тратится слишком много времени. Но арифметические способы решения текстовых задач как раз и готовят ребёнка к овладению алгеброй. А когда это произойдёт, то алгебра доставит ученику более простые, чем арифметические, способы решения некоторых задач.

«Наше традиционное отечественное преподавание математики имело более высокий уровень и базировалось на культуре арифметических задач. Ещё два десятка лет в семьях сохранялись старинные «купеческие» задачи. Теперь это утрачено. Алгебраизация последней реформы преподавания математики (конца 60-х годов) превращает школьников в автоматы. А именно арифметический подход демонстрирует содержательность математики, которой мы учим.», - писал академик.

Тем не менее, в методической литературе мало внимания уделяется арифметическим методам решения задач, поэтому целью моей работы является разработка методических материалов обучения учащихся 5-6 классов решению текстовых задач арифметическим способом.

Для достижения этой цели передо мной встали следующие задачи:

Ø изучить психолого-педагогическую литературу по данной проблеме;

Ø познакомиться с опытом работы учителей математики, использующих арифметический метод решения текстовых задач и проанализировать свой опыт работы в этом направлении;

Ø обосновать необходимость обучения учащихся решению текстовых задач в 5-6 классах;

Ø показать преимущество арифметических способов решения текстовых задач;

Ø разработать и представить методику обучения решению текстовых задач;

Ø представить анализ результатов обучения с использованием данного метода.

Методическая разработка состоит из введения, двух глав, заключения, приложения. Во введении обосновывается актуальность выбранной темы, определяется цель работы и ставятся задачи. В 1-й главе даётся определение текстовой задачи, различные подходы к классификации задач, показана роль текстовых задач в курсе математики, а также раскрываются этапы решения задач арифметическим методом. Во 2-й главе даются методические рекомендации по обучению решению текстовых задач арифметическим методом; представляется работа учителя на каждом этапе решения задачи, более подробно раскрывается организация работы учителя по обучению решению задач «на процессы».

ГЛАВА І.

ТЕКСТОВЫЕ ЗАДАЧИ И ИХ ТИПОЛОГИЯ.

1.1. Определение текстовой задачи.

Для того чтобы научиться решать задачи, надо разобраться в том, что собой они представляют. Что же такое задача?

С точки зрения любая задача представляет собой требование или вопрос, на который надо найти ответ, опираясь и учитывая те условия, которые указаны в задаче.

Задачи, в которых зависимость между условием и требованием сформулирована словами, называются текстовыми. При этом главным отличием задачи от примера является не только наличие текста, но и наличие части условия или требования, выраженного на естественном (нематематическом) языке. По определению задачи, в которых хотя бы один объект есть реальный предмет, называются практическими (житейскими, текстовыми, сюжетными).

Под текстовой задачей я понимаю такую задачу, в которой речь идёт о реальных объектах, процессах, связях и отношениях. Реальные процессы – это движение, работа, наполнение и освобождение бассейнов, покупки, смеси, сплавы и др. Такой терминологии придерживается, кандидат педагогических наук, автор учебников и учебно-методических пособий по математике

1.2 . Роль текстовых задач в школьном курсе математики.

Можно кратко определить значение текстовых задач в школьном курсе математики. Работа над задачей:

Развивает логическое мышление;

Помогает осмысливать и закреплять вычислительные навыки;

Имеет большое жизненно-практическое и воспитательное значение.

так определяет роль текстовых задач в курсе математики:

1. Текстовые задачи являются важным средством обучения математике. С их помощью учащиеся получают опыт работы с величинами, постигают взаимосвязи между ними, получают опыт применения математики к решению практических задач.

2. Использование арифметических способов решения задач развивает смекалку и сообразительность, умение ставить вопросы, отвечать на них, то есть развивает естественный язык, готовит школьников к дальнейшему обучению.

3. Арифметические способы решения текстовых задач позволяют развивать умение анализировать задачные ситуации, строить план решения с учётом взаимосвязей между известными и неизвестными величинами (с учётом типа задачи), истолковывать результат каждого действия в рамках условия задачи, проверять правильность решения с помощью обратной задачи, то есть формулировать и развивать важные общеучебные умения.

4. Арифметические способы решения текстовых задач приучают детей к первым абстракциям , позволяют воспитывать логическую культуру, могут способствовать созданию благоприятного эмоционального фона обучения, развитию у школьников эстетического чувства применительно к решению задачи (красивое решение!) и изучению математики, вызывая интерес сначала к процессу поиска решения задачи, а потом к изучаемому предмету.

5. Обучение и воспитание ребёнка во многом напоминает этапы развития человечества, поэтому использование старинных задач и разнообразных арифметических способов их решения позволяет вести обучение математике в историческом контексте, что повышает мотивацию учения, развивает творческий потенциал.

Пока мы будем учить детей на русском языке – не только великом и могучем, но и достаточно трудном, пока мы хотим учить их сравнивать, выбирать наиболее простой путь достижения поставленной цели, пока мы не отказались от воспитания гибкости и критичности мышления, пока мы стараемся увязывать обучение математики с жизнью, нам будет трудно обойтись без текстовых задач – традиционного для отечественной методики средства обучения математике.

1.3. Различные подходы к классификации текстовых задач.

Существуют различные подходы к классификации текстовых задач. Можно говорить о типологии задач по методам решения: арифметический (по действиям или составлением выражения), алгебраический (составлением уравнения, системы уравнений или неравенств), геометрический (использование подобия, площадей фигур и т. п.). Но эта типология, как и любая другая, условна, так как одна и та же задача может быть решена и алгебраическим, и арифметическим методами.

К середине ХХ века в СССР сложилась развитая типология задач, включавшая: задачи на части, на нахождение двух чисел по их сумме и разности, по их отношению и сумме (разности), на дроби, на проценты, на совместную работу и др. Методика обучения решению задач была разработана достаточно хорошо, но её реализация на практике не была свободна от недостатков. Вот как описывал академик практику обучения решению задач, сложившуюся в нашей стране в то время: «Учеников – в том или ином порядке - знакомят с соответствующими «типами» задач, причём обучение решению задач сплошь и рядом сводится к рецептуре и «натаскиванию», к пассивному запоминанию учениками небольшого числа стандартных приёмов решения и узнаванию по тем или иным признакам, какой из них надо применить в том или ином случае… В итоге – полная беспомощность и неспособность ориентироваться в самых простых арифметических ситуациях, при решении чисто практических задач…» Но менять необходимо было не методику, а негодную практику её применения.

Анализируя содержание арифметических задач, связанных с различными процессами – работа, движение, расход энергии, наполнение и освобождение бассейнов и др. – можно увидеть в них ориентировку на три взаимосвязанные величины: скорость процесса, время его протекания и продукт (результат). Указанные величины составляют сущность всех названных задач.

В самом деле, сравним следующие задачи:

1) В одном колхозе для корма коров и лошадей заготовлено 2400 центнеров сена. На сколько дней хватит сена, если в день расходуется по 8 ц на коров и по 4 ц на лошадей?

2) Из двух городов, расстояние между которыми 760 км, одновременно отправляются навстречу друг другу два поезда, один со скоростью 50 км/ч, а другой со скоростью 45 км/ч. Через сколько часов они встретятся?

3) Двум слесарям, которые работают одновременно, дано задание изготовить 120 деталей. Через сколько времени это задание будет выполнено, если один слесарь изготовляет 7 деталей в час, а другой – 5 деталей в час?

4) Одновременно открыты три крана, каждый из них пропускает по 150 литров в час. Через сколько времени надо закрыть краны, если нужно набрать 1350 литров нефти?

Все 4 задачи различного предметного содержания, но имеют одинаковую математическую структуру. Во всех задачах требуется узнать время протекания какого-то процесса в ситуации совместного действия.

Таким образом, как писала в статье «Формирование общих приёмов решения арифметических задач»: «В основу типизации арифметических задач должны быть положены особенности отношений величин, представленных в условии задачи, а не сюжет.

Предварительный анализ показал, что задачи на «процессы» и задачи на «куплю-продажу» имеют идентичную систему отношений, что разница лишь в конкретно-предметном плане, что в данном случае не является существенным. Может быть найден способ анализа, позволяющий учащимся подходить к этим двум большим классам арифметических задач как к разновидностям одного и того же типа

С другой стороны, открывается возможность перенести рассмотренный приём в курс физики, где он успешно может быть применён не только при изучении движения, но и при определении давления, плотности, механической мощности и др.»

1.3 Этапы решения текстовых задач.

Под решением задачи будем понимать процесс, представляющий собой поиск необходимой последовательности действий на основе анализа условия и требования задачи, направленных на определение результата задачи; выполнение этих действий и получение результата, анализа и оценки последних.

В методике обучения математике выделены

4 основных этапа процесса решения задачи:

1) осмысление текста задачи и анализ её содержания;

2) осуществление поиска решения и составление плана решения;

3) реализация плана решения;

4) анализ найденного решения, поиск других способов решения.

При работе с текстовой задачей на первом этапе предполагается первоначальная работа с целью понимания сюжета, выявление величин, которыми описывается ситуация, установление различных зависимостей между этими величинами, определение отношений, заданных условием задачи. Результаты такого предварительного анализа часто бывает удобно зафиксировать в схематической записи. Обычно говорят: «Сделать краткую запись». Для различных видов задач краткие записи могут быть разными. Это можно сделать в виде таблицы, отрезочных или столбчатых диаграмм, схематического чертежа, рисунков и т. д. Такая запись служит схематизации материала, даёт возможность одновременно видеть все связи между данными.

Второй этап работы над задачей является самым трудным для учащихся. Его результатом должна являться математическая модель ситуации. Поиск способа решения может занимать по времени самое большое место в общем процессе решения. При этом довольно часто поиск способа решения приходится производить не один раз, когда в процессе выполнения найденного способа решения мы убеждаемся в его ошибочности или сложности. Очень важно каждый раз в случае неудачи поиска решения возвращаться к анализу условия задачи.

Составление плана решения производится двумя методами: аналитическим и синтетическим. Анализ способа решения удобно начинать с вопроса к задаче и производить его по схеме: чтобы узнать – надо знать… Такой метод является аналитическим. Иногда поиск решения осуществляется синтетическим путём. Исходя из данных условия составляют первую простую задачу. Полученный при её решении результат и одна из величин основной задачи позволяют составить новую простую задачу; так поступают до тех пор, пока ответ на последнюю простую задачу не будет ответом на вопрос основной задачи.

В процессе поиска решения обычно одновременно используют и анализ и синтез, то есть аналитико-синтетический метод . При этом ученик должен уметь:

1) переводить отношения между величинами на язык равенств;

2) записывать зависимости между величинами с помощью формул известных процессов и выражать величины из формул.

Таблица 1.

Основные отношения и их перевод на язык равенств.

При арифметическом способе решения необходимо умение учеником найти в задаче три взаимосвязанные величины и по двум известным из них найти неизвестную.

Так успешное решение задач на «процессы» предполагает понимание отношений между величинами: скорость процесса (v) , время его протекания (t) и продукт или результат работы (s).

s=v t v=s:t t=s:v

Причём важно разбираться в отношениях между этими величинами как в условиях одного участника процесса, так и в условиях нескольких участников.

Третий этап работы с задачей предполагает решение построенной математической модели, интерпретацию результата решения математической модели в заданную ситуацию. Объяснение решения задачи может иметь такие формы:

1. Составление всего плана перед решением задачи и затем производство действий к каждому пункту плана.

2. Краткий вопрос и следующее за ним действие.

3. Краткое пояснение полученных результатов действий.

4. Производство всех действий с последующим подробным устным объяснением всего решения задачи.

5. Постановка полных вопросов с последующим решением.

На практике чаще всего используются первые три вида объяснения.

На четвёртом этапе работы с задачей необходимо выполнить проверку результата решения, сравнить результат с условиями задачи, проверить его на достоверность. На этом этапе можно предложить другие варианты решения. Поиск наиболее рационального способа решения будят мысль ученика, развивают сообразительность и уводят его от шаблона, повышая в то же время интерес к работе.

Наконец, если ученик научится внимательно, вдумчиво анализировать задачу, вдумчиво решать каждую задачу, фиксируя в своей памяти все приёмы, с помощью которых были найдены решения, способы решения, то постепенно у него выработается умение решать любую задачу, пусть незнакомую. Известный математик, профессор Московского университета на вопрос «Что значит решить задачу?» дала короткий ответ: «Решить задачу – значит свести её к уже решённым.»

ГЛАВА ІІ

МЕТОДИКА ОБУЧЕНИЯ УЧАЩИХСЯ РЕШЕНИЮ

ТЕКСТОВЫХ ЗАДАЧ АРИФМЕТИЧЕСКИМ СПОСОБОМ.

2.1. Знания, умения, навыки учащихся по решению текстовых задач по окончании начальной школы.

К началу 5-го класса учащиеся должны знать связи между такими величинами, как цена, количество, стоимость; время, скорость, путь при равномерном движении; уметь применять к решению текстовых задач знание изученных зависимостей. Таковы основные требования к знаниям, умениям и навыкам обучающихся, обеспечивающие преемственную связь с курсом математики 5 класса , предъявляемые программой.

Основная цель обучения решению текстовых задач в начальной школе – осознанное усвоение детьми смысла арифметических действий , отношений «больше» - «меньше» (на несколько единиц и в несколько раз), «столько же» (или «равно»), взаимосвязи между компонентами и результатами действий, использованию действий вычитания (деления) для сравнения чисел.

Поэтому можно выделить следующие ключевые задачи, которые должны уметь решать выпускники начальной школы:

§ нахождение суммы величин, если эти величины известны с использованием сравнений «на…больше», «на…меньше», «в..раз больше», «в… раз меньше» в прямой и косвенной форме;

§ нахождение разницы между величинами с использованием действий вычитания и деления;

цена-количество-стоимость, норма расхода материала на 1 вещь-количество вещей-расход материала всего, скорость-время-расстояние;

§ нахождение одной из трёх величин в задачах на зависимости:

2.2. Планирование работы учителя по обучению решению текстовых задач арифметическим способом.

Несмотря на требования к знаниям, умениям учащихся, предъявляемые программой начальной школы, опыт моей работы показывает, что большинство учащихся начальной школы приходят в 5-й класс с небольшим багажом знаний и умений именно по решению текстовых задач. Поэтому основная цель моей работы на первых уроках математики в 5 классе во время повторения учебного материала – определить пробелы в знаниях и умениях учащихся, в том числе и по решению текстовых задач. Простейшие задачи в одно действие можно включить в тренировочные упражнения для устного счёта (см. приложение 1). При решении таких задач следует обращать внимание учащихся на те числовые данные, которые выражены не только числами, но и словами.

Иногда при анализе задач обнаруживается неумение некоторыми учащимися переводить на математический язык слова для сравнения величин. В таких случаях я пользуюсь таблицей, которую составляем вместе с учениками на первых уроках математики.

Таблица 2

Как было сказано выше, существуют различные подходы к определению типов задач. Несмотря на то, что любая классификация условна, обойтись без неё невозможно. В своей работе при планировании учебного материала и подготовке к урокам я выделяю некоторые так называемые ключевые задачи , приёмы решения которых должны освоить учащиеся 5 и 6 классов .

1. Задачи на процессы (на движение, на работу, на бассейны)

2. Задачи на нахождение двух или нескольких чисел по их сумме и разности; задачи на нахождение двух или нескольких чисел по их сумме (разности) и отношению.

3. Задачи на предположение.

4. Задачи на проценты.

5. Задачи на нахождение части от числа и числа по его части.

6. Задачи на пропорциональные зависимости.

Все эти задачи содержат новые приёмы решения. Поэтому требуется серьёзная подготовка к обучению.

В учебниках «Математика 5» и «Математика 6» автора, по которым я работаю, задачи разных видов «разбросаны», не систематизированы ни по сложности, ни по приёмам решения. Очевидно, для того, чтобы разрушить формирующиеся стереотипы решения, разнообразить способы деятельности учащихся. Но, на мой взгляд, при освоении нового приёма решения такого разнообразия лучше избегать и следовать «от простого к сложному». И только после того, как приём освоен и сформирован навык по его применению, его можно использовать и при решении составных задач разных видов.

Наиболее целенаправленно арифметический подход к решению текстовых задач раскрывается в учебниках «Арифметика 5», «Арифметика 6» и «Математика 5», «Математика 6» .

Поскольку я работаю по учебнику, который нацеливает учащихся на раннее введение уравнений и решение текстовых задач алгебраическим способом, то в тематическое планирование я внесла некоторые коррективы по использованию задачного материала (см. приложение 2).

2.3. Организация работы учителя на каждом этапе решения задачи.

Как было сказано выше, работа над задачей включает 4 основных этапа. Причём все четыре этапа одинаково важны. Поэтому рассмотрим работу учителя и учащихся на каждом отдельном этапе при решении задач разных видов.

2.3.1 Организация работы учителя над условием задачи.

На первом этапе необходимо добиться того, чтобы учащиеся «приняли задачу», то есть поняли её смысл, сделав целью своей деятельности. С этой целью оформляется краткая запись. Для разных видов задач это можно сделать по-разному.

1. С одной и той же станции в одно и то же время вышли в противоположных направлениях два поезда. Скорость одного поезда 50 км/ч, а другого 85 км/ч. Какое расстояние будет между поездами через 3 часа?

Краткую запись к данной задаче (и любой задаче на движение) удобно выполнить в виде схематического чертежа.

Графическая иллюстрация создаёт перед учениками пространственный образ, помогает в задачах на движение правильно расположить те неподвижные точки, с которыми условие связывает движущийся объект.

В задачах на нахождение двух или нескольких величин по их отношению и сумме (или разности), а также в задачах на части удобно краткую запись оформить в виде отрезков. Учащиеся должны научиться принимать подходящую величину за 1 часть, определять, сколько таких частей приходится на другую величину, на их сумму (разность).

Например:

2. За рубашку и галстук заплатили 40 р. Рубашка дороже галстука в 4 раза. Сколько стоит галстук?

3. В первой пачке было на 10 тетрадей больше, чем во второй, а всего 70 тетрадей. Сколько тетрадей было во второй пачке?

К этой задаче краткую запись можно выполнить в виде столбчатой диаграммы.

4. Для санатория купили 12 кресел и 50 стульев на общую сумму 9880 руб. Сколько стоит одно кресло, если один стул стоит 86 руб .

Оформить краткую запись можно с помощью таблицы:

		Количество	Стоимость

5. В двух комнатах было 56 человек. Когда в первую пришли ещё 12 человек, а во вторую – 8 человек, то людей в комнатах стало поровну. Сколько человек было в каждой комнате первоначально?

Правильно составленная краткая запись указывает на сознательный анализ учеником условия и требования задачи и намечает план дальнейшего решения.

2.3.2. Организация работы учителя по составлению плана решения.

Чаще всего при организации поиска решения задачи применяется аналитико - синтетический метод.

Рассмотрим план рассуждений на примере задачи 1.

1. С одной и той же станции в одно и то же время вышли в противоположных направлениях два поезда. Скорость одного поезда 50 км/ч, а другого 85 км/ч. Какое расстояние будет между поездами через 3 часа?

В задаче требуется узнать расстояние между поездами через 3 часа.

Что для этого надо знать?

S, которое прошёл 1-й поезд за 3 часа, и s, которое прошёл 2-й поезд за 3 часа.

Что необходимо знать для определения этих расстояний?

- скорость каждого поезда, а это в задаче известно.

План решения следующий:

1) находим s, которое прошёл 1-й поезд за 3 часа

2) находим s, которое прошёл 2-й поезд за 3 часа

3) находим общее расстояние.

Рассмотренный метод составления плана решения задачи является аналитическим. Иногда поиск решения осуществляется синтетическим путём. Например, задача:

2. Молодой рабочий выполнил задание за 8 часов, изготовляя в час по 18 деталей. За сколько часов выполнит то же задание его наставник, если в час он делает на 6 деталей больше, чем молодой рабочий ?

Краткая запись

	Количество деталей в час	Время работы	Всего деталей
			одинаковое
Наставник	на 6 дет. больше - часть 1 Когда не следует пользоваться шаблонными приемами вычислений

Низкопоклонная Мария, Брянцева Людмила

Работа показывает способы решения текстовых задач.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Муниципальное образовательное учреждение средняя общеобразовательная школа № 64 г. Волгограда

Городской конкурс учебно-исследовательских работ

« Я и Земля» им. В.И. Вернадского

(районный этап)

АРИФМЕТИЧЕСКИЙ СПОСОБ РЕШЕНИЯ

ТЕКСТОВЫХ ЗАДАЧ ПО МАТЕМАТИКЕ

Секция « Математика»

Выполнили: Брянцева Людмила,

Обучающаяся 9 А класса МОУ СОШ № 64,

Низкопоклонная Мария,

Обучающаяся 9 А класса МОУ СОШ № 64.

Руководитель: Носкова Ирина Анатольевна,

Учитель математики МОУ СОШ № 64

Волгоград 2014

Введение …………………………………………………………… 3

Глава 1. Нестандартные способы решения задач

1. Задачи по теме « Натуральные числа» ………………….. 5

1. . Задачи « на части и проценты» …………………………... 8
2. Задачи на движение……………………………………...... 11
3. Задачи на совместную работу…………………………… 14

Заключение ………………………………………………………. 16

Литература ………………………………………………………. 16

Введение.

Известно, что исторически долгое время математические знания передавались из поколения в поколение в виде списка задач практического содержания вместе с их решениями. Первоначально обучение математике велось по образцам. Ученики, подражая учителю, решали задачи на определённое « правило». Таким образом, в давние времена обученным считался тот, кто умел решать задачи определённых типов, встречавшихся в практике (в торговых расчётах и пр.).

Одна из причин этого заключалась в том, что исторически долгое время целью обучения детей арифметике было освоение ими определённого набора вычислительных умений, связанных с практическими расчётами. При этом линия арифметики – линия числа – ещё не была разработана, а обучение вычислениям велось через задачи. В «Арифметике» Л.Ф. Магницкого, например, дроби рассматривались как именованные числа(не просто , а рубля, пуда и т.п.), а действия с дробями изучались в процессе решения задач. Эта традиция сохранялась довольно долго. Даже много позже встречались задачи с неправдоподобными числовыми данными, например: « Продано кг сахара по рубля за килограмм…», которые были вызваны к жизни не потребностями практики, а потребности обучения вычислениям.

Вторая причина повышенного внимания к использованию текстовых задач в России заключается в том, что в России не только переняли и развили старинный способ передачи с помощью текстовых задач математических знаний и приёмов рассуждений. Научились формировать с помощью задач важные общеучебные умения, связанные с анализом текста, выделением условий задачи и главного вопроса, составлением плана решения, поиском условий, из которых можно получить ответ на главный вопрос, проверкой полученного результата. Немаловажную роль играло также приучение школьников переводу текста на язык арифметических действий, уравнений, неравенств, графических образов.

Ещё один момент, который невозможно обойти, когда мы говорим о решении задач. Обучение и развитие во многом напоминает развитие человечества, поэтому использование старинных задач, разнообразных арифметических способов их решения позволяет идти в историческом контексте, что развивает творческий потенциал. Кроме того, разнообразные способы решения будят фантазию детей, позволяют организовать поиск решения каждый раз новым способом, что создаёт благоприятный эмоциональный фон для обучения.

Таким образом, актуальность данной работы можно обобщить в нескольких положениях:

Текстовые задачи являются важным средством обучения математике. С помощью их учащиеся получают опыт работы с величинами, постигают взаимосвязи между ними, получают опыт применения математики к решению практических задач;

Использование арифметических способов решения задач развивает смекалку и сообразительность, умение ставить вопросы, отвечать на них, то есть развивает естественный язык;

Арифметические способы решения текстовых задач позволяют развивать умение анализировать задачные ситуации, строить план решения с учётом взаимосвязей между известными и неизвестными величинами, истолковывать результат каждого действия, проверять правильность решения с помощью составления и решения обратной задачи;

Арифметические способы решения текстовых задач приучают к абстракциям, позволяют воспитывать логическую культуру, могут способствовать созданию благоприятного эмоционального фона обучения, развитию эстетического чувства применительно к решению задачи и изучению математики, вызывая интерес к процессу поиска решения, а затем и к самому предмету;

Использование исторических задач и разнообразных старинных (арифметических) способов их решения не только обогащает опыт мыслительной деятельности, но и позволяет осваивать важный культурно-исторический пласт истории человечества, связанный с поиском решения задач. Это важный внутренний стимул к поиску решений задач и изучению математики.

Из всего вышесказанного, мы делаем следующие выводы:

предметом исследования является блок текстовых задач по математике 5-6 классов;

объектом исследования является арифметический способ решения задач.

целью исследования является рассмотрение достаточного количества текстовых задач школьного курса математики и применение к их решению арифметического способа решения;

задачами для реализации цели исследования являются разбор и решение текстовых задач по основным разделам курса « Натуральные числа», « Рациональные числа», «Пропорции и проценты», « Задачи на движение»;

методом исследования является практико - поисковый.

Глава 1. Нестандартные способы решения задач.

1. Задачи по теме « Натуральные числа ».

На данном этапе работы с числами арифметические способы решения задач имеют преимущество над алгебраическими уже потому, что результат каждого отдельного шага в решении по действиям имеет совершенно наглядное и конкретное истолкование, не выходящее за рамки жизненного опыта. Поэтому быстрее и лучше усваиваются различные приёмы рассуждений, опирающиеся на воображаемые действия с известными величинами, чем единый для задач с различной арифметической ситуацией способ решения, основанный на применении уравнения.

1. Задумали число, увеличили его на 45 и получили 66. Найдите задуманное число.

Для решения можно использовать схематичный рисунок, помогающий наглядно представить взаимосвязь операций сложения и вычитания. Особенно эффективной помощь рисунка окажется при большем числе действий с неизвестной величиной. Задумали число 21.

2. Летом у меня целые сутки было открыто окно. В первый час влетел 1 комар, во второй – 2 комара, в третий – 3 и т.д. Сколько комаров влетело за сутки?

Здесь используется метод разбивания всех слагаемых на пары (первое с последним; второе с предпоследним и т.д.), найти сумму каждой пары слагаемых и умножить на количество пар.

1 + 2 + 3 + … + 23 + 24 = (1 + 24) + (2 + 23) + …. + (12 + 13) = 25 · 12 = 300.

Влетело 300 комаров.

3. Гости спросили: сколько лет исполнилось каждой из сестёр? Вера ответила, что ей и Наде вместе 28 лет; Наде и Любе вместе 23 года, а всем троим 38 лет. Сколько лет каждой сестре?

1. 38 – 28 = 10 (лет) – Любе;

2. 23 – 10 = 13 (лет) – Наде;

3.28 – 13 = 15 (лет) – Вере.

Любе 10 лет, Наде 13 лет, Вере 15 лет.

4. В нашем классе 30 учащихся. На экскурсию в музей ходили 23 человека, в кино – 21 ,а 5 человек не ходили ни на экскурсию, ни в кино. Сколько человек ходили и на экскурсию, и в кино?

Рассмотрим решение задачи, на рисунке отражены этапы рассуждения.

1. 30 – 5 = 25(чел.) – ходили в кино, или на

Экскурсию;

1. 25 – 23 = 2 (чел.) – ходили только в кино;
2. 21 – 2 = 19 (чел.) – ходили и в кино, и на

Экскурсию.

19 человек ходили и в кино, и на экскурсию.

5. Некто имеет 24 купюры двух видов – по 100 и 500 рублей на сумму 4000 рублей. Сколько у него купюр по 500 рублей?

Поскольку полученная сумма, число «круглое», то следовательно, количество купюр по 100 рублей кратно 1000. Таким образом, количество купюр по 500 рублей тоже кратно 1000. Отсюда имеем – по 100 рублей 20 купюр; по 500 рублей – 4 купюры.

У некто 4 купюры по 500 рублей.

6. Дачник пришёл от своей дачи на станцию через 12 минут после отхода электрички. Если бы он на каждый километр тратил на 3 минуты меньше, то пришёл бы как раз к отходу электрички. Далеко ли от станции живёт дачник?

Тратя на каждый километр на 3 минуты меньше, дачник мог бы сэкономить 12 минут на расстоянии 12: 3 = 4 км.

Дачник живёт в 4 км от станции.

7. Родник в 24 минут даёт бочку воды. Сколько бочек воды даёт родник в сутки?

Поскольку надо обойти дроби, то не надо находить, какую часть бочки наполняют за 1 минуту. Узнаем, за сколько минут наполнится 5 бочек: за 24 · 5 = 120 минут, или 2 часа. Тогда за сутки наполнится в 24: 2 = 12 раз больше бочек, чем за 2 часа, то есть 5· 12 = 60 бочек.

Родник даёт в сутки 60 бочек.

8. На некотором участке меняют старые рельсы длиной 8м на новые длиной 12 м. Сколько потребуется новых рельсов вместо 240 старых?

На участке длиной 24 м вместо 3 старых рельсов положат 2 новых. Рельсы заменят на 240: 3 =80 таких участках, а положат на них 80 · 2 = 160 новых рельсов.

Потребуется 160 новых рельсов.

9. В булочной было 654 кг чёрного и белого хлеба. После того как продали 215 кг чёрного и 287 кг белого хлеба, того и другого сорта хлеба осталось поровну. Сколько килограммов чёрного и белого хлеба в отдельности было в булочной?

1) 215 + 287 = 502 (кг) – продали хлеба;

2) 654 – 502 = 152 (кг) – хлеба осталось продать;

3) 152: 2 = 76 (кг) белого (и чёрного) хлеба осталось продать;

4) 215 + 76 = 291 (кг) – чёрного хлеба было первоначально;

5) 287 + 76 = 363 (кг) – белого хлеба было первоначально.

291 кг чёрного хлеба было первоначально и 363 кг белого хлеба было первоначально.

1. Задачи « на части и проценты».

В результате работы с задачами данного раздела необходимо принимать подходящую величину за 1 часть, определять сколько таких частей приходится на другую величину, на их сумму (разность), затем получить ответ на вопрос задачи.

10. Первая бригада может выполнить задание за 20ч, а вторая – за 30ч. Сначала бригады выполнили при совместной работе ¾ задания, а остальная часть задания выполнила одна первая бригада. За сколько часов было выполнено задание?

Задачи на производительность труда менее понятны, чем задачи на движение. Поэтому здесь необходим детальный анализ каждого шага.

1)Если первая бригада работает одна, то она выполнит задание за 20ч – это означает, что каждый час она выполняет всего задания.

2)Аналогично рассуждая, получаем производительность труда для второй бригадой - всего задания.

3)Сначала, работая вместе, бригады выполнили всего задания. А сколько же времени они затратили? . То есть, за один час совместной работы обе бригады выполняют двенадцатую часть задания.

4)Тогда задания они выполнят за 9 часов, так как (по основному свойству дроби).

5)Осталось выполнить задания, но уже только первой бригаде, которая за 1 час выполняет всего задания. Стало быть первой бригаде надо работать 5 часов , чтобы довести дело до конца, так как .

6)Окончательно имеем, 5 + 9 = 14 часов.

За 14 часов будет выполнено задание.

11 . Объёмы ежегодной добычи из первой, второй, и третьей скважины относятся как 7: 5: 13. Планируется уменьшить годовую добычу нефти из первой скважины на 5% и из второй – на 6 % . На сколько процентов нужно увеличить годовую добычу нефти из третьей скважины, чтобы суммарный объём добываемой за год нефти не изменился ?

Задачи на части и проценты ещё более трудоёмкая и непонятная область задач. Поэтому конкретнее всего нам их было понять на числовых примерах. Пример 1. Пусть годовая добыча нефти составляет 1000 баррелей. Тогда, зная, что эта добыча разбита на 25 частей (7+5+13=25, т.е. одна часть составляет 40 баррелей) имеем: первая вышка качает 280 баррелей, вторая – 200 баррелей, третья – 520 баррелей в год. При снижении добычи на 5% первая вышка теряет 14 баррелей (280·0,05 = 14), то есть её добыча составит 266 баррелей. При снижении добычи на 6% вторая вышка теряет 12 баррелей (200·0,06 = 12), то есть её добыча составит 188 баррелей.

Всего за год они вместе будут качать 454 баррелей нефти, тогда третьей вышке вместо 520 баррелей необходимо будет добывать 546 баррелей.

Пример 2. Пусть годовая добыча нефти составляет 1500 баррелей. Тогда, зная, что эта добыча разбита на 25 частей (7+5+13=25, т.е. одна часть составляет 60 баррелей) имеем: первая вышка качает 420 баррелей, вторая – 300 баррелей, третья – 780 баррелей в год. При снижении добычи на 5% первая вышка теряет 21 баррелей (420·0,05 = 21), то есть её добыча составит 399 баррелей. При снижении добычи на 6% вторая вышка теряет 18 баррелей (300·0,06 = 18), то есть её добыча составит 282 баррелей.

Всего за год они вместе будут качать 681 баррелей нефти, тогда третьей вышке вместо 780 баррелей необходимо будет добывать 819 баррелей.

Это на 5% больше прежней добычи, так как .

На 5% нужно увеличить годовую добычу нефти из третьей скважины, чтобы суммарный объём добываемой за год нефти не изменился.

Можно рассмотреть и другой вариант подобной задачи. Здесь мы вводим некоторую переменную, которая является лишь «символом» единиц объёма.

12. Объём ежегодной добычи нефти из первой, второй и третьей скважин относятся как 6:7:10. Планируется уменьшить годовую добычу нефти из первой скважины на 10% и из второй на 10%. На сколько процентов нужно увеличить годовую добычу нефти из третьей скважины, чтобы суммарный объём добываемой нефти не изменился?

Пусть объёмы ежегодной добычи нефти из первой, второй и третьей скважин равны соответственно 6х, 7х, 10х некоторых единиц объёма.

1) 0,1 ·6х = 0,6х (единиц) – снижение добычи на первой скважине;

2)0,1 ·7х = 0,7х (единиц) – снижение добычи на второй скважине;

3)0,6х + 0,7х= 1,3х (единиц) – должно составить повышение объёма добычи нефти на третьей скважине;

На столько процентов нужно увеличить годовую добычу нефти из третьей скважины.

Годовую добычу нефти из третьей скважины нужно увеличить на 13%.

13. Купили 60 тетрадей – в клетку было в 2 раза больше, чем в линейку. Сколько частей приходится на тетради в линейку; на тетради в клетку; на все тетради? Сколько купили тетрадей в линейку? Сколько в клетку?

При решении задачи лучше опираться на схематический рисунок, легко воспроизводимый в тетради и дополняемый по ходу решения нужными записями. Пусть тетради в линейку составляют 1 часть, тогда тетради в клетку составляют 2 части.

1) 1 + 2 = 3(части) – приходится на все тетради;

2) 60: 3 = 20 (тетрадей) – приходится на 1 часть;

3) 20 · 2 = 40 (тетрадей) – тетради в клетку;

4) 60 – 40 = 20 (тетрадей) – в линейку.

Купили 20 тетрадей в линейку и 40 тетрадей в клетку.

14. В 1892 году некто думает провести в Петербурге столько минут, сколько часов проведёт в деревне. Сколько времени некто проведёт в Петербурге?

Так как 1час равен 60 минутам и число минут равно числу часов, то некто в деревне проведёт в 60 раз больше времени, чем в Петербурге (время на переезд здесь не учитывается). Если число дней, проведённых в Петербурге, составляет 1 часть, то число дней, проведённых в деревне, составляет 60 частей. Так как речь идёт о високосном годе, то на 1 часть приходится 366: (60 + 1) = 6 (дней).

Некто проведёт в Петербурге 6 дней.

15. Яблоки содержат 78% воды. Их немного подсушили, и теперь они содержат 45% воды. Сколько процентов своей массы яблоки потеряли при сушке?

Пусть х кг – масса яблок, тогда в ней содержится 0,78х кг воды и х – 0,78х = 0, 22х (кг) сухого вещества. После подсушки сухое вещество составляет 100 – 45 = 55(%) массы сухих яблок, поэтому масса сухих яблок равна 0,22х: 0,55 = 0,46х(кг).

Итак, яблоки при сушке потеряли х – 0,46х = 0,54х, то есть 54%.

При сушке яблоки потеряли 54% своей массы.

16. Трава содержит 82% воды. Её немного подсушили, и теперь она содержит 55% воды. Сколько своей массы трава потеряла при сушке?

При начальных условиях живая масса травы составляла 100% - 82% = 18%.

После сушке эта величина увеличилась до 45%, но при этом общая масса травы уменьшилась на 40 % (45: 18 ·10% = 40%).

40% своей массы трава потеряла при сушке.

1. Задачи на движение.

Эти задачи считаются традиционно трудными. Поэтому есть необходимость более детально разобрать арифметический способ решения такого типа задач.

17. Из пункта А в пункт В одновременно выезжают два велосипедиста. Скорость одного из них на 2 км/ч меньше другого. Велосипедист, который первый прибыл в В, сразу же повернул обратно и встретил другого велосипедиста через 1ч 30 мин. после выезда из А. На каком расстоянии от пункта В произошла встреча?

Эта задача также решается на примере предметных образов и ассоциаций.

После того как рассмотрен ряд примеров, и число - расстояние 1,5 км ни у кого не вызывает сомнений, необходимо обосновать его нахождение из данных представленной задачи. А, именно, 1.5 км – это разность в отставании 2 от 1велосипедиста пополам: за 1,5 ч второй отстанет от первого на 3 км, поскольку 1 возвращается, то оба велосипедиста сближаются друг с другом на половину разницы пройденного пути, то есть на 1,5 км. Отсюда вытекает ответ задачи и метод решения такого рода текстовых задач.

Встреча произошла на расстоянии 1,5 км от пункта В.

18. Из Москвы в Тверь вышли одновременно два поезда. Первый проходил в час 39 верст и прибыл в Тверь двумя часами раньше второго, который проходил в час 26 вёрст. Сколько вёрст от Москвы до Твери?

1) 26 · 2 = 52 (версты) – на сколько второй поезд отстал от первого;

2) 39 – 26 = 13 (вёрст) – столько второй поезд отставал от первого за 1 час;

3) 52: 13 = 4 (ч) – столько времени был в пути первый поезд;

4) 39 · 4 = 156 (вёрст) – расстояние от Москвы до Твери.

От Москвы до Твери 156 вёрст.

1. Задачи на совместную работу.

19. Одна бригада может выполнить задание за 9 дней, а вторая – за 12 дней. Первая бригада работала над выполнением этого задания 3 дня, потом вторая бригада закончила работу. За сколько дней было выполнено задание?

1) 1: 9 = (задания) – выполнит первая бригада за один день;

2 ) · 3 = (задания) - выполнила первая бригада за три дня;

3) 1 - = (задания) – выполнила вторая бригада;

4) 1: 12 = (задания) – выполнит вторая бригада за один день;

5) 8 (дней) – работала вторая бригада;

6) 3 + 8 = 11 (дней) – затрачено на выполнение задания.

Задание было выполнено за 11 дней.

20. Лошадь съедает воз сена за месяц, коза – за два месяца, овца – за три месяца. За какое время лошадь, коза и овца вместе съедят такой же воз сена?

Пусть лошадь, коза и овца едят сено 6 месяцев. Тогда лошадь съест 6 возов, коза – 3 воза, овца – 2 воза. Всего 11 возов, значит, в месяц они воза, а один воз съедят за 1: = (месяца).

Лошадь, коза, овца съедят воз сена за месяца.

21. Четыре плотника хотят построить дом. Первый плотник может построить дом за 1 год, второй – за 2 года, третий – за 3 года, четвёртый - за 4 года. За сколько времени они построят дом при совместной работе?

За 12 лет каждый в отдельности плотник может построить: первый – 12 домов; второй – 6 домов; третий – 4 дома; четвёртый – 3 дома. Таким образом, за 12 лет они могут построить 25 домов. Следовательно, один двор, работая вместе, они сумеют построить за 175,2 дней.

Плотники смогут построить дом, работая вместе за 175, 2 дня.

Заключение.

В заключении следует сказать, что представленные в исследовании задачи лишь небольшой пример применения арифметических способов при решении текстовых задач. Надо сказать об одном важном моменте – выборе фабулы задач. Дело в том, что невозможно предусмотреть всех трудностей при решении задач. Но тем не менее, в момент первоначального усвоения приёма решения какого-либо типа задач их фабула должна быть как можно проще.

Приведённые образцы представляют особый случай, но они отражают направление – приближение школы к жизни.

Литература

1.Вилейтнер Г. Хрестоматия по истории математики. – Вып.I.Арифметика и алгебра/ перев. с нем. П.С. Юшкевича. – М.-Л.:1932.

2.Тоом А.Л. Текстовые задачи: приложения или умственные манипулятивы //Математика,2004.

3.Шевкин А.В. Текстовые задачи в школьном курсе математики.М, 2006.

§ 1 Способы решения текстовых задач

Существует несколько способов решения текстовых задач:

· арифметический способ - это способ решения текстовой задачи с помощью чисели знаков арифметических действий сложения, вычитания, умножения и деления, то есть с помощью нескольких действий над числами, связанных между собой;

· алгебраический способ - это способ решения текстовой задачи с помощьювведения переменных и составления соответствующего уравнения или неравенства, или системы уравнений или неравенств;

· геометрический способ - это способ решения текстовой задачи с помощью применения геометрических знаний;

· схематический способ - это способ решения текстовой задачи с помощью схем;

· графический способ - это способ решения текстовой задачи с помощью графиков в прямоугольной системе координат.

Каждый из этих способов предполагает перевод условий задачи на язык математики. Это действие математики называют математическим моделированием. Результат этого действия называют математической моделью. При применении различных способов решения получаются различные математические модели. В арифметическом способе математической моделью является числовое выражение, то есть числовой пример с несколькими действиями, а конечный результат вычислений будет решением задачи. В алгебраическом способе математической моделью чаще всего является уравнение, а решение уравнения даёт решение задачи. В геометрическом способе математической моделью может выступать геометрическая фигура, а решение задачи - например, один из найденных элементов этой фигуры. В схематическом способе математической моделью является схема, с помощью которой находят решение задачи. В графическом способе математической моделью является график, построенный по условию задачи. При этом способе решением задачи могут быть координаты определённых точек графиков.

§ 2 Пример решения текстовой задачи арифметическим способом

В этом уроке более подробно рассмотрим арифметический способ решения задачи.

Решить задачу арифметическим способом - это значит найти ответ на главный вопрос задачи посредством выполнения арифметических действий над числовыми данными из условия задачи. Одну и ту же задачу можно решить различными арифметическими способами. Они отличаются друг от друга количеством действий и последовательностью выполнения этих действий в процессе решения задачи.

Например. Рассмотрим следующую задачу. Три друга Саша, Коля и Витя собирали в лесу грибы. Коля собрал в 2 раза меньше грибов, чем Саша, Витя - на 6 грибов больше, чем Коля. Сколько грибов собрали три друга вместе, если Саша собрал 22 гриба?

Помогает определить правильный ход логических рассуждений краткая запись условий задачи в форме таблицы.

Решим эту задачу по действиям или так называемым способом решения задач по вопросам. Для начала ответим на первый вопрос «Сколько грибов собрал Коля?».

По условию задачи «Коля собрал в 2 раза меньше грибов, чем Саша», значит, чтобы ответить на вопрос, надо 22 разделить на 2. В результате получилось, что Коля собрал 11 грибов. (22:2=11(грибов) - собрал Коля).

Следующим действием ответим на второй вопрос задачи «Сколько грибов собрал Витя?». По условию задачи «Витя собрал на 6 грибов больше, чем Коля», значит, для ответа на вопрос надо к 11-ти прибавить 6. В результате получилось, что Витя собрал 17 грибов.

22+22:2+(22:2+6)=50 грибов собрали три друга вместе.

Умение решать задачи арифметическим способом с помощью числовых выражений говорит о более высоком уровне математической подготовки по сравнению с умением решать текстовые задачи по действиям.

Список использованной литературы:

1. Г.Н. Тимофеев Математика для поступающих в вузы. Учебное пособие. Текстовые задачи.– Йошкар-Ола: Мар. гос. ун-т, 2006г.
2. В. Булынин Применение графических методов при решении текстовых задач. – Еженедельная учебно-методическая газета «Математика», №14, 2005г.
3. Н.И. Попов, А.Н. Марасанов Задачи на составление уравнений. Учебное пособие. Йошкар-Ола: Мар. гос. ун-т, 2003г.
4. Н.А. Зарипова Программа элективного курса "Текстовые задачи". http://festival.1september.ru/articles/310281/
5. Н.А. Зарипова Методика решения задач группы vts. Материалы к проведению элективного курса "Решение текстовых задач" http://festival.1september.ru/articles/415044/

Использованные изображения:

Арифметический способ решения текстовых задач

«…пока мы стараемся увязывать обучение математике с жизнью, нам будет трудно обойтись без текстовых задач – традиционного для отечественной методики средства обучения математике».

А.В.Шевкин

Умение решать текстовые задачи – один из основных показателей математического развития учащихся, глубины усвоения ими учебного материала, четкости в рассуждениях, понимания логических аспектов различных вопросов.

Текстовые задачи для большинства школьников – трудный, а поэтому нелюбимый учебный материал. Однако, в школьном курсе математики ему придается большое значение, так как задачи способствуют развитию прежде всего логического мышления, пространственного воображения, практического применения математических знаний в деятельности человека.

В процессе решения задач учащиеся получают опыт работы с величинами, постигают взаимосвязи между ними, получают опыт применения математики в решении реальных жизненных задач. Решение текстовых задач развивает логическую культуру, вызывая интерес сначала к процессу поиска решения задачи, а потом и к изучаемому предмету.

Традиционная российская школа всегда уделяла особое внимание обучению детей решению текстовых задач. Исторически сложилось так, что достаточно долгое время математические знания из поколения в поколение передавались в виде текстовых задач с решениями. Значимость их заключалась еще в прикладном значении, так как по своему содержанию это были задачи практической направленности (расчеты банковские, торговые, земельные и др.). Образованным в России считался тот, кто умел решать эти типовые задачи, очень важные в повседневной жизни.

Необходимо отметить, что бучение решению практических задач давалось нелегко. Часто наблюдалось заучивание наизусть способа решения без осознанного понимания условия. Главное – определить тип задачи и найти правило для ее решения, понимание было не важно.

К середине XX века была разработана хорошая методика обучению решению задач. Но, к сожалению, часто наблюдалось со стороны преподавателей натаскивание учащихся на решение типовых задач, запоминание стандартных приемов. Но невозможно научиться решать задачи по заученной схеме.

В конце 60-х годов реформа школьного математического образования предполагала раннее введение уравнений с целью по-новому организовать обучение решению задач. Однако, роль алгебраического способа решения текстовых задач в 5-6 классах была преувеличена именно потому, что из школьной программы были удалены арифметические способы. И практика доказала, что без достаточной подготовки мышления учащихся решать задачи с помощью уравнений нецелесообразно. Ученик должен уметь рассуждать, представлять действия, которые происходят с предметами.

В 5-6 классах арифметическому способу решения текстовых задач необходимо уделять достаточно внимания и не торопиться переходить к алгебраическому способу – решению задач с помощью уравнения. Как только ученик научился алгебраическому способу, его практически невозможно вернуть к «решению по действиям». Составив уравнение, главное – правильно его решить, не допустить вычислительной ошибки. И совсем не нужно задумываться над тем, какие производятся арифметические действия по ходу решения, к чему они приводят. А если проследить по шагам решение уравнения, мы увидим те же действия, что в арифметическом способе. Только над этим вряд ли задумывается ученик.

Очень часто мы наблюдаем, что ребенок не готов к решению задачи алгебраическим способом, когда вводим абстрактную переменную и появляется фраза «пусть икс…». Откуда взялся этот «икс», какие слова надо рядом с ним написать – на данном этапе ученику непонятно. И происходит это потому, что необходимо учитывать возрастные особенности детей, у которых на этот момент развито наглядно-образное мышление. Абстрактные модели им пока не под силу

Что же мы понимаем под требованием – решить задачу. Это значит найти такую последовательность действий, которая в результате анализа условия приведет к ответу на поставленный в задаче вопрос. Чтобы прийти к ответу, нужно проделать серьезный путь, начиная с момента понимания текста, уметь выделять главное, «перевести» задачу на язык математики, заменяя слова «скорее», «медленнее» на «меньше» или «больше», составлять графическую модель или таблицу, облегчающие понимание условия задачи, сопоставлять величины, устанавливая логические отношения между данными по условию и искомыми. И дается это детям очень нелегко.

Важно отметить, что текст задач должен составляться таким образом, чтобы ребенок понимал и представлял, о чем идет речь. Зачастую, прежде чем приступить к решению задачи, затрачивается много времени на разбор условия, когда учащимся приходится объяснять, что такое чугунная болванка, чем она отличается от детали, а также железобетонная опора, станок-автомат, жилая площадь и т.д. Текст задачи должен соответствовать уровню его восприятия. Конечно же, текст задачи необходимо приблизить к реальной жизни, чтобы можно было увидеть практическое применение данной модели.

Приступая к решению задачи необходимо не только представить ситуацию, о которой идет речь, но и изобразить ее на рисунке, схеме, в виде таблицы. Невозможно качественно решить задачу без составления краткой записи условия. Именно схематичное составление условия позволяет при обсуждении решения выявить все действия, которые необходимо выполнить, чтобы ответить на вопрос задачи.

Рассмотрим некоторые примеры решения текстовых задач

Задачи на движение

Данный тип задач широко распространен в школьном курсе математики. В них рассматриваются разные виды движения: навстречу, в противоположных направлениях, в одном направлении (один догоняет другого).

Для понимания этих задач удобно изобразить схему. Но, если учащийся составляет таблицу, не нужно переубеждать его в том, что данный способ краткой записи условия не очень хорош. Мы по-разному воспринимаем информацию. Может, ребенок в таком отображении лучше «видит» задачу.

Пример 1. Два велосипедиста одновременно выехали навстречу друг другу из двух посёлков и встретились через 3 часа. Первый велосипедист ехал со скоростью 12 км/ч, а второй – 14 км/ч. На каком расстоянии находятся посёлки?

Составим схему к задаче, которая достаточно полно отражает условие (указаны направления движения, скорости велосипедистов, время в пути до встречи, ясен вопрос):

Рассмотрим два способа решения этой задачи:

1 способ:

Традиционно мы любим решать эти задачи, вводя понятие «скорость сближения», и находим ее как сумму (или разность) скоростей участников движения. При движении навстречу друг другу – скорости складываем:

1)12 + 14 = 26 (км/ч) – скорость сближения

Зная, что время движения одинаково, второе действие позволяет по формуле пути (S = vt ) рассчитать искомое расстояние и ответить на поставленный в задаче вопрос.

2) 26 3 = 78 (км)

Составим выражение:

3(12 + 14) = 78(км)

Ответ : 78 км.

Но не все дети понимают, что это за абстрактная величина – скорость сближения. Почему можно складывать, а в других случаях вычитать скорости двух различных участников движения, объединяя их общим названием. Если ваши ученики решают эту задачу другим способом, не старайтесь их перетянуть на свою сторону. Для кого-то еще не настало время это понять, а кому-то первый способ вообще никогда не будет доступным.

2 способ:

1)12 3 = 36 (км) – путь первого велосипедиста до встречи

2)14 3 = 42 (км) – путь второго велосипедиста до встречи

3)36 + 42 = 78 (км) – расстояние между посёлками

Составим выражение:

12 3 + 14 3 = 78 (км)

Ответ : 78 км.

Постепенно, когда ребенок научится понимать такие задачи, сравнивая числовые выражения, можно показать, что оба способа взаимосвязаны, а заодно вспомнить распределительное свойство умножения:

12 3 + 14 3 = 3(12 + 14) = 78

Пример 2. В двух пачках было 54 тетради. Когда из первой пачки убрали 10 тетрадей, а из второй - 14 тетрадей, то в обеих пачках стало тетрадей поровну. Сколько было тетрадей в каждой пачке первоначально?

Как можно отобразить условие?

1.Составить таблицу:

Было

Убрали

Стало

1 пачка - ? 54 тет.

2 пачка – ?

10 тет.

14 тет.

поровну

2. Сделать рисунок

Забрали 14 шт.

Забрали 10 шт.

Поровну

Всего 54 шт.

Проанализируем решение задачи, обращая внимание на то, на какие вопросы мы даем ответы, выполняя каждое арифметическое действие:

1) Сколько всего тетрадей убрали из обеих пачек?

10 + 14 = 24 (шт.);

2) Сколько стало тетрадей в двух пачках?

– 24 = 30 (шт.);

3) Сколько стало в каждой пачке тетрадей?

30: 2 = 15 (шт.);

4) Сколько было тетрадей в первой пачке первоначально?

10 = 25 (шт.);

5) Сколько было тетрадей во второй пачке первоначально?

54 – 25 = 29 (шт.).

В 5 классе, вероятнее всего, ученик выберет именно такой способ решения задачи. А предложите ему решить эту задачу в 6 ил 7 классе. Возможно, ситуация изменится, и ученик будет решать ее с помощью уравнения. Выполняя те же действия, он не будет задумываться над многочисленными вопросами. Выбирая уравнение как средство решения задачи, очень быстро придет к тому же ответу.

Как же тогда будет выглядеть решение?

Пусть х тетрадей стало в каждой пачке после перекладывания,

тогда (х + 10) тетрадей было первоначально в первой пачке, а

(х + 14) тетрадей было первоначально во второй пачке.

Зная, что в двух пачках было 54 тетради, можно составить уравнение:

х + 10 + х + 14 = 54

В уравнении прослеживаются все те же действия, которые выполняются при арифметическом способе решения задачи.

х + х + (10 + 14) = 54; (1 действие арифметического способа)

2х = 54 – 24; (2 действие)

х = 30:2; (3 действие)

15 + 10 = 25 (шт.) (4 действие)

15 + 14 = 29 (шт.) (5 действие)

Ответ: 25 тетрадей, 29 тетрадей.

Но при этом никто не задает вопросов, что мы находим при выполнении каждого шага.

Своим ученикам я всегда показываю, что текст задач для 5-х или 9-х классов зачастую одинаков по смыслу. И практика показывает, что пятиклассники в состоянии разобраться с условием из задачника для 9 класса и даже составить уравнение. Решить такое уравнение, конечно же, пока не хватает знаний. Но при этом не каждому девятикласснику удается решить арифметическим способом задачу для 5 класса.

Школьники, обычно, выбирают алгебраический способ решения текстовых задач, к арифметическому они практически никогда не возвращаются. Они просто перестают видеть этот способ, увлекаясь введением переменных и составлением уравнений.

За что же мы ценим арифметический способ решения текстовых задач? Первое и главное за то, что при выполнении каждого арифметического действия учащийся задумывается над тем: «А что я нашел в результате?» Он представляет, о чем идет речь в задаче, так как каждое действие имеет наглядное и конкретное истолкование. В результате активно развивается логическое мышление. В процессе вычислений, измерений, поиска решения задач у ученика формируются познавательные универсальные учебные действия, формирование которых является важнейшей задачей современной системы основного общего образования.

Текстовые задачи изучаются в течение всего школьного курса математики. Но научить понимать задачи, анализировать условие, рассуждать и находить рациональные способы решения необходимо именно в 5-6 классах, пока уровень сложности их невелик, а сама задача является одной из самых важных категорий. На легком постигается сложное.

Использование арифметических способов решения задач развивает смекалку и сообразительность, умение ставить вопросы, отвечать на них, то есть, развивает естественный язык, готовит школьников к дальнейшему обучению.

Арифметические способы решения текстовых задач позволяют строить план решения с учетом взаимосвязей между известными и неизвестными величинами (с учетом типа задачи), истолковывать результат каждого действия в рамках условия задачи, проверять правильность решения с помощью составления и решения обратной задачи, то есть, формировать и развивать важные общеучебные умения и навыки.

Если ученик справляется с текстовыми задачами на уроках математики, то есть может проследить и пояснить логическую цепочку своего решения, дать характеристику всех величин, то он также успешно может решать задачи по физике и химии, он умеет сравнивать и анализировать, преобразовывать информацию на всех учебных предметах школьного курса.

Великий Д.Пойа сказал: “Если вы хотите научиться плавать, то смело входите в воду, а, если хотите научиться решать задачи, то решайте их”. Если мы научим детей решать задачи - мы не только повысим интерес к самому предмету, окажем значительное влияние на формирование их математического мышления, что способствует успешному освоению новых знаний в других областях.

В настоящее время одним из инновационных подходов в управлении школой, позволяющий эффективно использовать имеющиеся в системе образования ресурсы и успешно противостоять негативным внешним и внутренним факторам, является кластерный подход. Подтверждением этого положения является и опыт других исследователей кластерного подхода .

1. Семыкина Е.Н., Блохин В.В. Концепция инновационной ядерной сетевой экспериментальной площадки «Жизнедеятельность образовательного учреждения для гражданско-нравст-венного и эстетического становления личности школьников в рамках единого образовательного комплекса (кластера)». М., 2008.

2. Шамова Т.И. Возможности применения кластерной организационной технологии в образовании // Очерки системной педагогики / под ред. Р. А. Лачашвили. М., 2008. С. 231-238.

3. Шамова Т.И. Кластерный подход к развитию образовательных систем // Взаимодействия образовательных учреждений и институтов социума в обеспечении эффективности, доступности и качества образования региона / отв. ред. Т.М. Давыденко, Т.И. Шамова. Белгород, 2006. Ч. I. С. 24-29.

4. Семыкина Е.Н. Интеграционные гуманитарные технологии для гражданско-нравственного становления личности школьника // Методика духовно-нравственного воспитания детей в учреждениях общего и дополнительного образования / под ред. И.П. Воропаевой, Г.Ф. Гаврилычевой. М., 2007. С. 173-192.

5. Игнатова И., Екимова Н. Кластерный подход в управлении учреждением образования // Народное образование. 2009. № 8. С. 62-66.

6. Взаимодействие школы и социальных партнеров: кластерный подход. Белгород, 2008.

Поступила в редакцию 11.11.2009 г.

Semykina E.N. Cluster approach as the administrative resource in education and up-bringing.

Between 2005 and 2009 we have been perfecting and still continue to work on improvements of the conceptual and practical aspects of an educational model “Vital activity of the educational Institution for civil-moral and aesthetic up-bringing of the schoolchild’s personality within the limits of a uniform educational complex (cluster)”. Contribution attributable to this model is the implementation of the cluster approach to the educational environment. The cluster approach ensures concentration of management efforts of specific educational establishments on solving personality formation issues.

Key words: cluster approach; cluster; civil-moral formation of the schoolchild’s personality.

УДК 373.1.02:372.8

АРИФМЕТИЧЕСКИЙ И АЛГЕБРАИЧЕСКИЙ СПОСОБЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ: ПСИХОЛОГО-ДИДАКТИЧЕСКИЙ ДИСКУРС

© М.А. Мацыгин

Статья посвящена преимуществам арифметического способа решения задач в 5-6 классах средней общеобразовательной школы. Такой способ решения задач развивает интеллектуальные способности школьников в большей степени, чем алгебраический способ решения задач.

Ключевые слова: арифметический способ решения задач; алгебраический способ решения задач; текстовые задачи; интеллектуальные способности; логическое мышление.

Одной из основных тенденций развития отечественной образовательной системы является развивающий характер образования, под которым понимается переход от процесса усвоения знаний, умений и навыков к процессу развития способностей, самостоятельности ребенка. Сегодня приоритет развития «способностей к самоопределению личности, создание условий для ее самореализации» стал нормой Закона об образова-

нии, т. е. нормой деятельности каждого учителя . При этом самостоятельная деятельность ребенка, рассматриваемая как основной фактор его развития, обусловливается развитостью его мышления, уровнем развития его познавательных способностей. Самым значительным потенциалом для развития мышления, интеллектуальных способностей среди школьных предметов, несомненно, обладает математика. В этом состоит ее

универсальный характер и этим же обусловлено ее проникновение в другие школьные предметы. Важнейшим же средством развития математической культуры, математического мышления являются текстовые задачи.

Значение текстовых задач не исчерпывается возможностью применять полученные знания в своей практической деятельности. В процессе решения задач у детей развиваются способности не только математические, но и общие, интеллектуальные, которые, в свою очередь, необходимы для развития личности ребенка в целом, способствуя успеваемости детей почти по всем школьным предметам. Поэтому очень важно, чтобы учащиеся имели глубокие представления о текстовой задаче и ее решении различными способами.

Наиболее распространенный вид текстовых задач определяется как описание на естественном языке некоторой ситуации (ситуаций) с требованием выявить количественную характеристику определенного компонента этой ситуации. Основными способами решения таких задач являются арифметический и алгебраический.

Арифметический способ решения заключается в нахождении ответа задачи путем арифметических действий над числами.

Алгебраический способ состоит в получении ответа на вопрос задачи с помощью составления уравнения и последующего его решения.

Арифметический способ решения задач долгое время являлся доминирующим в отечественной средней школе, вплоть до конца 60-х гг. XX в. Этому способствовала богатая историческая традиция использования в обучении задач практического характера. С давних времен обучение решению арифметических задач сводилась к усвоению правил. Например, в «Арифметике» Л.Ф. Магницкого (1703), являющейся первым отечественным печатным учебником по математике, давались арифметические задачи на строго определенные правила, которые имели соответствующие названия «тройное», «пятерное», «семиричное» и т. д. Это объясняется строго практической необходимостью выполнения торговых расчетов. Деятельность учащихся сводилась к усвоению стандартно -го набора правил решения определенных типов задач, причем понимание учащимися механизма решения совершенно не являлось

необходимым. И.В. Арнольд так описывает ситуацию в образовании в своей статье, вышедшей в 1946 г.: «Учеников - в том или ином порядке - знакомят с соответствующими «типами» задач, причем обучение решению задач сплошь и рядом сводится к рецептуре и «натаскиванию», к пассивному запоминанию учениками небольшого числа стандартных приемов решения и узнаванию по тем или иным признакам, какой из них надо применить в том или ином случае» .

Несмотря на указанные недостатки в обучении, к середине XX столетия в отечественном образовании методика использования арифметических задач была хорошо проработана, задачи были систематизированы. Однако при проведении реформы математического образования конца 1960-х гг., предпочтение все-таки получил алгебраический метод решения задач. Этому способствовало также то, что арифметические задачи многими считались недостаточно связанными с жизненной практикой того времени. Кроме этого, преобладало мнение, что обучение решению задач арифметическим методом нецелесообразно и мешает овладению алгебраическим методом. В частности, Г.П. Щед-ровицкий в начале 1960-х гг. пишет: «... арифметические приемы есть анахронизм, искусственные, крайне замысловатые способы, выработанные еще до того, как появилась алгебра с ее простым аппаратом. Но зачем тогда мы детям забиваем головы этими ненужными приемами и отнимаем время и силы в течение стольких лет?» .

В результате реформы математического образования, как отмечает А. В. Шевкин, арифметический способ решения задач был в значительной степени вытеснен алгебраическим: «. роль алгебраического способа решения задач в учебном процессе в последующие годы была явно преувеличена именно потому, что из школьной практики были удалены арифметические способы их решения... «метод уравнений» на долгое время стал единственным известным учащимся методом решения текстовых задач» .

В настоящее время арифметический способ используется в школе лишь для решения несложных задач в начальном курсе математики, вплоть до 5-6-х классов, в которых происходит переход к алгебраическому способу: единственному, изучаемому в курсе

алгебры. Однако такая практика не является в полной мере научно обоснованной и экспериментально подтвержденной в психологопедагогических исследованиях. К тому же в настоящее время среди исследователей не существует единого мнения по вопросам соотношения в школьном обучении арифметического и алгебраического методов и их роли в развитии мышления учащихся.

Исследователи Б.В. Гнеденко, М.А. Лаврентьев, А.И. Маркушевич и другие считали, что тратится слишком много времени на решение арифметических задач, которые, по их мнению, должны решаться алгебраическими методами. Сегодня, как и в 1960-е гг., методистами отстаивается тезис о том, что арифметические методы требуют от учащихся и учителей слишком много напрасных усилий.

Так, в последние годы появились психо-лого-педагогические исследования, в которых утверждается возможность введения буквенной символики «в дочисловом периоде» (В.В. Давыдов), а также предлагается практика обучения алгебраическому способу решения задач без предварительного изучения арифметического способа (Ф.Г. Боданский).

Другая часть исследователей (И.К. Андронов, И.П. Богуславский, А.Н. Левин,

М.В. Потоцкий, А.С. Пчелко и др.) разделяли иную точку зрения. Арифметический способ решения задач ими признавался первостепенным в развитии мышления и, соответственно, в успешном овладении курсом математики. Это согласуется с современным утверждением о том, что арифметические способы решения не только простых, но и достаточно сложных задач должны предшествовать использованию алгебраического метода. Исследователи Н.А. Менчинская, М.И. Моро, А.В. Скрипченко считают, что именно арифметический способ приучает учащихся к анализу, синтезу, упражняет в нахождении математических зависимостей. Ими подчеркивается значение арифметического способа для лучшего понимания задачи и процесса нахождения ее решения, а также роль арифметических задач в развитии общеинтеллектуальных способностей.

В связи с этим Н.Ф. Талызина отмечает, что «формирование уже самых начальных знаний должно быть организовано так, чтобы это было одновременно и формированием мышления, определенных умственных спо-

собностей учащихся» . При решении

арифметических задач, по мнению исследователя, формируются такие познавательные умения, которые выходят за рамки изучаемого предмета - математики, но тем не менее обеспечивают успех в его овладении.

Проблема разработки оптимальных методик использования алгебраического и арифметического способов потребовала рассмотрения особенностей умственной деятельности учащихся в процессе решения текстовых задач, что нашло свое отражение в исследованиях Н.А. Менчинской, Л.Я. Юр-цевой и др.

Умственная деятельность в процессе арифметического и алгебраического решения задач, по мнению этих исследователей, связана с особенностями этих способов, а именно с использованием различного математического языка. В зависимости от выбора соответствующего способа изменяются возможности переработки и преобразования заключенной в условии исходной информации.

Так, алгебраический способ позволяет с помощью буквенных символов обозначить выбранное неизвестное, записать предписываемые задачей операции в виде уравнения и построить процесс преобразования исходных данных задачи в виде алгоритмического преобразования алгебраических выражений. В процессе решения не рассматривается смысловое значение промежуточных алгебраических выражений. Поэтому, используя алгебраический способ, возможно решить задачу, ограничиваясь осмысливанием только исходных данных и конечного результата.

В процессе решения учащемуся не нужно удерживать в сознании обозначенное буквой неизвестное. Нет необходимости также в нахождении смысла получаемого на каждом шаге преобразований уравнения. Решение алгебраическим способом может быть найдено на разных, в т. ч. и ранних, этапах анализа условия задачи, при этом синтез данных в процессе алгебраического решения основывается на исходных зависимостях между величинами и не опирается на глубокий и всесторонний анализ связей.

Арифметический способ требует осмысления всех арифметических действий на каждом шаге решения, соотнесение каждого шага решения с искомым и с описанной в задаче проблемной ситуацией в целом. При

этом процесс решения требует высокого уровня анализа, в процессе которого исходные данные включаются в новые связи, благодаря чему выявляются новые по сравнению с исходной формулировкой сведения о значении величин и отношениях между ними. Синтез в процессе арифметического решения задач имеет эвристический, поисковый характер, приводит к постоянному исследованию зависимостей между исходными данными и получаемыми на промежуточных этапах решениями. В арифметическом способе синтез данных опирается на выявление новых связей, т. е. постоянный процесс переформулирования условия задачи.

Указанные психологические особенности решения алгебраическим и арифметическим способом были подтверждены в исследовании Л.Я. Юрцевой . Было установлено, что в процессе алгебраического решения задач реальная ситуация может представляться без достаточно отчетливого вычленения математических соотношений. Поэтому, даже после успешного алгебраического решения эти соотношения рассматривались вне связи с проведенными операциями или искажались.

При решении задачи арифметическим методом осмысливание всех преобразований, соотнесение каждого шага с проблемной ситуацией в целом приводит к более полному ее представлению, пониманию. В процессе решения выделяются важнейшие стороны этой ситуации - математические соотношения. По этой причине даже безуспешные попытки арифметического решения задачи повышают уровень анализа и синтеза. Более высокий уровень анализа подтверждает дополнительный анализ задачи, который часто проводят учащиеся после успешного алгебраического решения в связи с переходом к арифметическому способу решению этой же задачи.

Таким образом, сложность арифметического способа решения связана с высоким уровнем анализа и синтеза, который необходим для успешного решения задачи этим способом. Поэтому решение сложных задач арифметическим способом более доступно учащимся старших классов, а в рамках каждого класса - учащимся с повышенным уровнем математической подготовки.

Алгебраический способ решения задач доступен различным категориям учащихся, в т. ч. и с невысоким уровнем математической подготовки. Однако те акты мышления, которые при этом совершают учащиеся, могут только внешне совпадать с деятельностью математически развитого человека, соответствуя в то же время той ступени развития, на которой находится ученик.

Доступность алгебраического способа решения задач объясняется возможностью успешного их решения этим способом при различных уровнях анализа и синтеза (в т. ч. и при низком). Однако эта доступность имеет свою отрицательную сторону, поскольку не стимулирует перехода к более высоким уровням интеллектуальной деятельности, позволяя слабым в математике учащимся создавать видимость достаточно высокого уровня математического мышления.

Именно поэтому при использовании алгебраического способа решения задач в школе необходимо дополнять деятельность учащихся теми ее видами, которые упражняют в более сложных формах анализа и синтеза, которые используются при арифметическом решении задач.

Арифметический и алгебраический способы решения задач играют различную роль в умственной деятельности учащихся. Использование алгебраического способа не компенсирует тех качеств мышления, которые формируются арифметическим способом решения задач. Необходимо отметить также нестандартность арифметической логики решения задач, в ходе решения которых у учащихся развиваются способности к эвристическому, креативному мышлению.

Исходя из вышесказанного, можно сделать вывод о том, что сочетание алгебраического и арифметического способов решения задач при обучении математике в школе предположительно будет способствовать развитию интеллектуальных способностей учащихся. При этом не следует ограничивать решение задач арифметическим способом младшими классами, в которых используются сравнительно простые текстовые задачи. Более сложные задачи, которые решаются в старших классах традиционно алгебраическим методом, также в большинстве случаев могут быть успешно решены и арифметическим методом. Решение одной и той же зада-

чи арифметическим и алгебраическим методами позволяет найти наиболее рациональное из них в каждом конкретном случае.

Использование арифметических способов решения задач наряду с алгебраическим способствует общему развитию учащихся, развитию не только логического, но и образного мышления, лучшему освоению естественного языка, а это повышает эффективность обучения математике и смежных дисциплин. Нельзя забывать и о том, что в процессе решения задач различными способами формируются важные общеучебные умения, связанные с анализом текста, выделением условий задачи и главного вопроса, составлением плана решения, постановкой вопроса и поиском условий, из которых можно получить на него ответ, проверкой полученного результата. К концу периода обучения в школе выпускник должен иметь в своем арсенале различные способы решения задач, а также практический опыт нахождения решения задачи нестандартными способами.

Можно предположить, что наибольшими перспективами для исследования роли арифметического и алгебраического методов решения задач в формировании интеллектуальных способностей учащихся являются 5-6 классы, в которых по существующей программе и происходит переход от арифметического к алгебраическому способу. При этом можно попытаться повысить умственные способности учащихся путем изменения практики текстовых задач в этих классах, внедрив в школьную программу по математике небольшой комплекс арифметических задач. Дореволюционные учебники дают нам благодатный материал для разработки системы арифметических задач, направленных на развитие интеллектуальных способностей школьников. Задачи, решаемые методом фальшивого правила, тройного правила и другие будут, кроме того, и интересны школьникам. В этом плане представляют интерес идеи таких дореволюционных методистов, как, например, Д. Д. Галанина. Как утверждают О.А. Саввина и О.А. Коломникова: «Психологические основы обучения математике, развивающее обучение, деятельностный подход и лабораторные работы в начальной школе - все эти внешне злободневные сюжеты уже сто лет назад являлись предметом глубочайших изысканий педаго-

га-исследователя начала ХХ в. Дмитрия Дмитриевича Галанина» . Используя адаптированные к современным условиям арифметические задачи, использовавшиеся на протяжении веков в отечественной средней школе, и опираясь на методические разработки, внедренные еще в начале - середине прошлого века, мы тем самым попытаемся добиться не только обогащения мыслительной деятельности учащихся, но и развития интеллектуальных способностей в процессе освоения культурно-исторического наследия человечества в целом и русской научной культуры в частности, связанных с поиском решения задач.

В качестве примеров приведем две арифметические задачи, подходящие для изучения в 5-6 классах.

Методику решения первой задачи, использовавшейся при обучении математики еще в древнем Китае, приводит А.В. Шевкин:

«В клетке находится неизвестное число фазанов и кроликов. Известно, что вся клетка содержит 35 голов и 94 ноги. Узнать число фазанов и число кроликов» .

А.В. Шевкин отмечает, что, естественно. эта задача успешно может быть решена алгебраическим путем, например, составив уравнение:

4х + 2 ■ (35 - х) = 94, где х - число кроликов, и решив его.

Однако если при решении этой задачи, мы зададимся целью не просто получить правильный ответ, но и развивать мышление, воображение у детей, то в этом случае целесообразно применить следующую методику арифметического решения этой задачи.

Учитель предлагает ученикам вообразить, что на верх клетки, в которой сидят фазаны и кролики, положили морковку. При этом все кролики в клетке встанут на задние лапки, чтобы дотянуться до морковки. Отсюда вопрос: сколько ног в этот момент будет стоять на земле?

Дети легко замечают, что остальные ноги не посчитаны (это передние лапы кроликов). Вычисление их количества не представляет сложности: 94 - 70 = 24 ноги.

Представляет интерес тот факт, что аналогичная задача приводится в учебнике математики для 5 классов И.И. Зубаревой и А.Г. Мордковича под номером 615 . Авторы, придерживающиеся системы развивающего обучения Л.В. Занкова, предлагают учащимся ознакомиться как с арифметическим способом ее решения (рассмотренным выше), так и с алгебраическим (решение уравнения с двумя неизвестными методом подбора).

Другая задача также представляет собой адаптированный вариант задачи из «Арифметики» Л.Ф. Магницкого (опубликованный в сборнике старинных задач С.Н. Олехника ): «Прохожий, идущий из одной деревни в другую, спросил у другого прохожего, долго ли ему осталось идти? Он получил ответ, что уже прошел треть расстояния между деревнями, а через 2 версты будет ровно половина пути. Сколько верст прохожему еще осталось пройти?»

Задача решается очень просто арифметическим путем, если учесть, что 2 версты -это разность 1/2 и 1/3 расстояния между деревнями. Отсюда получаем, что 2 версты это 1/6 всего расстояния, следовательно расстояние между деревнями 12 верст. Путник уже прошел треть, то есть 4 версты и осталось ему еще идти 8 верст. Для большей наглядности можно нарисовать схему.

В завершении сделаем несколько выводов из проделанного исследования об использовании арифметического и алгебраического методов решения текстовых задач в школьном курсе математики:

1) алгебраический способ решения задач представляет собой прежде всего удобный и эффективный инструмент решения большинства (но не всех) текстовых задач, способствующий развитию абстрактного мышления;

2) арифметический же метод ценен тем, что способствует пониманию условия задачи, процесса ее решения; развивает не только математическое мышление, но и общие интеллектуальные способности; развивает самостоятельность и креативность мышления;

3) в школьном курсе математики необходимо разумно сочетать оба метода решения задач, не ограничиваясь использованием арифметического способа младшими класса-

ми, а использовать его вместе с алгебраическим в средних и старших классах;

4) алгебраическому способу можно начинать учить и в начальной школе, но не следует позиционировать его как наилучший способ решения;

5) поскольку для многих задач существует несколько арифметических (и даже алгебраических) способов решений, то, по возможности, следует находить решение одной текстовой задачи не одним, а несколькими частными способами. Целесообразно выбирать из нескольких способов решения наиболее красивое - это позволит развивать у учащихся эстетические чувства применительно к математическим явлениям и повысит интерес к процессу решения текстовых задач;

6) исходя из требований существующей школьной программы по математике, можно предположить, что сейчас наибольшими перспективами для исследования роли арифметического и алгебраического методов решения задач в формировании интеллектуальных способностей учащихся являются 5-6 классы, в которых по существующей программе и происходит переход от арифметического к алгебраическому способу. Это можно сделать путем введения небольшого комплекса арифметических задач, которые будут применять учителя 5-6 классов.

1. Об образовании: федеральный закон РФ. М., 1999. С. 9.

2. Арнольд И.В. Принципы отбора и составления арифметических задач / Вопросы методики математики. Известия АПН РСФСР. М., 1946. Вып. 6. С. 7-28.

3. Щедровицкий Г. П. Технология мышления // Некоммерческий научный Фонд «Институт развития им. Г.П. Щедровицкого». 2008. иКЬ: http://www.fondgp.rU/gp/biblio/rus/7 (дата обращения: 24.08.2009).

4. Шевкин А.В. Текстовые задачи в школьном курсе математики // Роль текстовых задач в школьном курсе математики. М., 2006. С. 12-14.

5. Талызина Н.Ф. Педагогическая психология. М., 1998. С. 50.

6. Юрцева Л.Я. Особенности умственной деятельности учащихся в процессе решения задач алгебраическим и арифметическим способами: автореф. дис. ... канд. пед. наук. М., 1971. С. 1-6.

7. Саввина О.А., Коломникова О.А. Методические идеи Д. Д. Галанина (к 150-летию со дня

рождения) // Начальная школа. 2007. № 10. С. 106-112.

8. Зубарева Н.И., Мордкович А.Г. Математика. 5 кл. М., 2005. С. 170-171.

9. Олехник С.Н., Нестеренко Ю.В., Потапов М. К. Старинные занимательные задачи. М., 1988. С. 15-16.

Поступила в редакцию 6.11.2009 г.

Matsygin M.A. Arithmetic and algebraic ways of the exercise solution: psychological-didactic discourse.

The article is devoted to advantages of an arithmetic way of the exercise solution in 5-6 grades of an average comprehensive school. Such way of the exercise solution develops mental abilities of schoolboys more than an algebraic way of the exercise solution.

Key words: arithmetic way of the exercise solution; algebraic way of the exercise solution; textual exercises; mental abilities; logic thinking.

СИСТЕМАТИЗАЦИЯ УЧЕБНОГО МАТЕРИАЛА В ИНТЕГРИРОВАННОМ ОБУЧЕНИИ МЛАДШИХ ШКОЛЬНИКОВ

© Л.З. Цветанова-Чурукова

Статья посвящена определению видов и функций систематизации учебного материала в интегрированном процессе обучения младших школьников. На основе опытно-экспериментальной работы намечены перспективы совершенствования знаний учащихся начальных классов.

Ключевые слова: систематизация; интеграция; дифференциация; обучение; учебный материал; экспертные оценки.

Процесс формирования системы знаний и алгоритмических моделей у младших школьников, который в педагогике принято называть систематизацией, до конца не изучен . Под систематизацией мы понимаем рациональную обработку учебного материала, связанную с объединением изучаемых объектов в систему. Благодаря систематизации вновь усвоенные знания формируются в понятийный аппарат личности, интегрируются в хорошо структурированную гносеологическую целостность. Происходит иерар-хизация учебного материала, т. е. формируется ядро знаний, которое включает главные, ключевые фрагменты учебного содержания, на фоне того, что является второстепенным и несущественным.

Необходимая предпосылка для полноценного усвоения знаний учениками - это оперирование ими, различное их вариативное использование посредством многообразных интеллектуальных и практических действий. Следовательно, за системой знаний стоит система логических действий, посредством которых можно реконструировать содержание учебного материала и достичь его более совершенной организации. В этом смысле мы не в состоянии оторвать содержа-

тельную сторону от операционной стороны процесса овладения знаниями.

Систематизация выполняет функцию обобщения, осуществляет высший синтез знаний и является переходом к более глубокому пониманию материала как некой целостности, состоящей из структурных частей. При систематизации опыта, накопленного личностью, осуществляется его индуктивное и дедуктивное редуцирование. Так можно реализовать сложные познавательные взаи-мопереходы - системно-дифференцирующие и системно-интегрирующие.

При системно-дифференцирующем подходе основная операция - декомпозиция. Посредством этой операции систему как целое можно разделить на подсистемы, на части, на виды. При системно-интегрирующем подходе движение осуществляется в противоположном направлении - от отдельных элементов к композиции системы как некоего целого. Ведущей здесь является операция композиции .

В процессе систематизации знаний осуществляется своеобразное формирование системы учебных моделей, представляющих обобщенную копию действительности. Уровень абстрактно-логической деятельности по сравнению с первыми двумя этапами процес-