Коэффициент корреляции спирмена онлайн калькулятор. Коэффициент корреляции Спирмена

⁰

Коэффициент корреляции Пирсона

Коэффициентr- Пирсона применяется для изучения взаимосвязи двух метрических переменных, измеренных на одной и той же выборке. Существует множество ситуаций, в которых уместно его применение. Влияет ли интеллект на успеваемость на старших курсах университета? Связан ли размер заработной платы работника с его доброжелательностью к коллегам? Влияет ли настроение школьника на успешность решения сложной арифметической задачи? Для ответа на подобные вопросы исследователь должен измерить два интересующих его показателя у каждого члена выборки.

На величину коэффициента корреляции не влияет то, в каких единицах измерения представлены признаки. Следовательно, любые линейные преобразования признаков (умножение на константу, прибавление константы) не меняют значения коэффициента корреляции. Исключением является умножение одного из признаков на отрицательную константу: коэффициент корреляции меняет свой знак на противоположный.

Применение корреляции Спирмена и Пирсона.

Корреляция Пирсона есть мера линейной связи между двумя переменными. Она позволяет определить, насколько пропорциональна изменчивость двух переменных. Если переменные пропорциональны друг другу, то графически связь между ними можно представить в виде прямой линии с положительным (прямая пропорция) или отрицательным (обратная пропорция) наклоном.

На практике связь между двумя переменными, если она есть, является вероятностной и графически выглядит как облако рассеивания эллипсоидной формы. Этот эллипсоид, однако, можно представить (аппроксимировать) в виде прямой линии, или линии регрессии. Линия регрессии - это прямая, построенная методом наименьших квадратов: сумма квадратов расстояний (вычисленных по оси Y) от каждой точки графика рассеивания до прямой является минимальной.

Особое значение для оценки точности предсказания имеет дисперсия оценок зависимой переменной. По сути, дисперсия оценок зависимой переменной Y - это та часть ее полной дисперсии, которая обусловлена влиянием независимой переменной X. Иначе говоря, отношение дисперсии оценок зависимой переменной к ее истинной дисперсии равно квадрату коэффициента корреляции.

Квадрат коэффициента корреляции зависимой и независимой переменных представляет долю дисперсии зависимой переменной, обусловленной влиянием независимой переменной, и называется коэффициентом детерминации. Коэффициент детерминации, таким образом, показывает, в какой степени изменчивость одной переменной обусловлена (детерминирована) влиянием другой переменной.

Коэффициент детерминации обладает важным преимуществом по сравнению с коэффициентом корреляции. Корреляция не является линейной функцией связи между двумя переменными. Поэтому, среднее арифметическое коэффициентов корреляции для нескольких выборок не совпадает с корреляцией, вычисленной сразу для всех испытуемых из этих выборок (т.е. коэффициент корреляции не аддитивен). Напротив, коэффициент детерминации отражает связь линейно и поэтому является аддитивным: допускается его усреднение для нескольких выборок.

Дополнительную информацию о силе связи дает значение коэффициента корреляции в квадрате - коэффициент детерминации: это часть дисперсии одной переменной, которая может быть объяснена влиянием другой переменной. В отличие от коэффициента корреляции коэффициент детерминации линейно возрастает с увеличением силы связи.

Коэффициенты корреляции Спирмена и τ- Кендалла (ранговые корреляции)

Если обе переменные, между которыми изучается связь, представлены в порядковой шкале, или одна из них - в порядковой, а другая - в метрической, то применяются ранговые коэффициенты корреляции: Спирмена или τ- Кенделла. И тот, и другой коэффициент требует для своего применения предварительного ранжирования обеих переменных.

Коэффициент ранговой корреляции Спирмена - это непараметрический метод, который используется с целью статистического изучения связи между явлениями. В этом случае определяется фактическая степень параллелизма между двумя количественными рядами изучаемых признаков и дается оценка тесноты установленной связи с помощью количественно выраженного коэффициента.

Если члены группы численностью были ранжированы сначала по переменной x, затем - по переменной y, то корреляцию между переменными x и y можно получить, просто вычислив коэффициент Пирсона для двух рядов рангов. При условии отсутствия связей в рангах (т.е. отсутствия повторяющихся рангов) по той и другой переменной, формула для Пирсона может быть существенно упрощена в вычислительном отношении и преобразована в формулу, известную как Спирмена.

Мощность коэффициента ранговой корреляции Спирмена несколько уступает мощности параметрического коэффициента корреляции.

Коэффицент ранговой корреляции целесообразно применять при наличии небольшого количества наблюдений. Данный метод может быть использован не только для количественно выраженных данных, но также и в случаях, когда регистрируемые значения определяются описательными признаками различной интенсивности.

Коэффициент ранговой корреляции Спирмена при большом количестве одинаковых рангов по одной или обеим сопоставляемым переменным дает огрубленные значения. В идеале оба коррелируемых ряда должны представлять собой две последовательности несовпадающих значений

Альтернативу корреляции Спирмена для рангов представляет корреляция τ- Кендалла. В основе корреляции, предложенной М.Кендаллом, лежит идея о том, что о направлении связи можно судить, попарно сравнивая между собой испытуемых: если у пары испытуемых изменение по x совпадает по направлению с изменением по y, то это свидетельствует о положительной связи, если не совпадает - то об отрицательной связи.

Коэффициенты корреляции были специально разработаны для численного определения силы и направления связи между двумя свойствами, измеренными в числовых шкалах (метрических или ранговых). Как уже упоминалось, максимальной силе связи соответствуют значения корреляции +1 (строгая прямая или прямо пропорциональная связь) и -1 (строгая обратная или обратно пропорциональная связь), отсутствию связи соответствует корреляция, равная нулю. Дополнительную информацию о силе связи дает значение коэффициента детерминации: это часть дисперсии одной переменной, которая может быть объяснена влиянием другой переменной.

9. Параметрические методы сравнения данных 

Параметрические методы сравнения применяются в том случае, если ваши переменные были измерены в метрической шкале.

Сравнение дисперсий 2- х выборок по критерию Фишера. 

Данный метод позволяет проверить гипотезу о том, что дисперсии 2-х генеральных совокупностей, из которых извлечены сравниваемые выборки, отличаются друг от друга. Ограничения метода - распределения признака в обеих выборках не должны отличаться от нормального.

Альтернативой сравнения дисперсий является критерий Ливена, для которого нет необходимости в проверке на нормальность распределения. Данный метод может применяться для проверки предположения о равенстве (гомогенности) дисперсий перед проверкой достоверности различия средних по критерию Стьюдента для независимых выборок разной численности.

При наличии двух рядов значений, подвергающихся ранжированию, рационально рассчитывать ранговую корреляцию Спирмена.

Такие ряды могут представляться:

парой признаков, определяемых в одной и той же группе исследуемых объектов;
парой индивидуальных соподчиненных признаков, определяемых у 2 исследуемых объектов по одинаковому набору признаков;
парой групповых соподчиненных признаков;
индивидуальной и групповой соподчиненностью признаков.

Метод предполагает проведение ранжирования показателей в отдельности для каждого из признаков.

Наименьшее значение имеет наименьший ранг.

Этот метод относится к непараметрическому статистическому методу, предназначенному для установления существования связи изучаемых явлений:

определение фактической степени параллелизма между двумя рядами количественных данных;
оценка тесноты выявленной связи, выражаемой количественно.

Корреляционный анализ

Статистический метод, предназначенный для выявления существования зависимости между 2 и более случайными величинами (переменными), а также ее силы, получил название корреляционного анализа.

Получил свое название от correlatio (лат.) – соотношение.

При его использовании возможны варианты развития событий:

наличие корреляции (положительная либо отрицательная);
отсутствие корреляции (нулевая).

В случае установления зависимости между переменными речь идет об их коррелировании. Иными словами, можно сказать, что при изменении значения Х, обязательно будет наблюдаться пропорциональное изменение значения У.

В качестве инструментов используются различные меры связи (коэффициенты).

На их выбор оказывает влияние:

способ измерения случайных чисел;
характер связи между случайными числами.

Существование корреляционной связи может отображаться графически (графики) и с помощью коэффициента (числовое отображение).

Корреляционная связь характеризуется такими признаками:

сила связи (при коэффициенте корреляции от ±0,7 до ±1 – сильная; от ±0,3 до ±0,699 – средняя; от 0 до ±0,299 – слабая);
направление связи (прямая или обратная).

Цели корреляционного анализа

Корреляционный анализ не позволяет установить причинную зависимость между исследуемыми переменными.

Он проводится с целью:

установления зависимости между переменными;
получения определенной информации о переменной на основе другой переменной;
определения тесноты (связи) этой зависимости;
определение направления установленной связи.

Методы корреляционного анализа

Данный анализ может выполняться с использованием:

метода квадратов или Пирсона;
рангового метода или Спирмена.

Метод Пирсона применим для расчетов требующих точного определения силы, существующей между переменными. Изучаемые с его помощью признаки должны выражаться только количественно.

Для применения метода Спирмена или ранговой корреляции нет жестких требований в выражении признаков – оно может быть, как количественным, так и атрибутивным. Благодаря этому методу получается информация не о точном установлении силы связи, а имеющая ориентировочный характер.

В рядах переменных могут содержаться открытые варианты. Например, когда стаж работы выражается такими значениями, как до 1 года, более 5 лет и т.д.

Коэффициент корреляции

Статистическая величина характеризующая характер изменения двух переменных получила название коэффициента корреляции либо парного коэффициента корреляции. В количественном выражении он колеблется в пределах от -1 до +1.

Наиболее распространены коэффициенты:

Пирсона – применим для переменных принадлежащих к интервально шкале;
Спирмена – для переменных порядковой шкалы.

Ограничения использования коэффициента корреляции

Получение недостоверных данных при расчете коэффициента корреляции возможно в тех случаях, когда:

в распоряжении имеется достаточное количество значений переменной (25-100 пар наблюдений);
между изучаемыми переменными установлено, например, квадратичное соотношение, а не линейное;
в каждом случае данные содержат больше одного наблюдения;
наличие аномальных значений (выбросов) переменных;
исследуемые данные состоят из четко выделяемых подгрупп наблюдений;
наличие корреляционной связи не позволяет установить какая из переменных может рассматриваться в качестве причины, а какая – в качестве следствия.

Проверка значимости корреляции

Для оценки статистических величин используется понятие их значимости или же достоверности, характеризующей вероятность случайного возникновения величины либо крайних ее значений.

Наиболее распространенным методом определения значимости корреляции является определение критерия Стьюдента.

Его значение сравнивается с табличным, количество степенней свободы принимается как 2. При получении расчетного значения критерия больше табличного, свидетельствует о значимости коэффициента корреляции.

При проведении экономических расчетов достаточным считается доверительный уровень 0,05 (95%) либо 0,01 (99%).

Ранги Спирмена

Коэффициент ранговой корреляции Спирмена позволяет статистически установить наличие связи между явлениями. Его расчет предполагает установление для каждого признака порядкового номера – ранга. Ранг может быть возрастающим либо убывающим.

Количество признаков, подвергаемых ранжированию, может быть любым. Это достаточно трудоемкий процесс, ограничивающий их количество. Затруднения начинаются при достижении 20 признаков.

Для расчета коэффициента Спирмена пользуются формулой:

в которой:

n – отображает количество ранжируемых признаков;

d – не что иное как разность между рангами по двум переменным;

а ∑(d2) – сумма квадратов разностей рангов.

Применение корреляционного анализа в психологии

Статистическое сопровождение психологических исследований позволяет сделать их более объективными и высоко репрезентативными. Статистическая обработка данных полученных в ходе психологических экспериментов способствует извлечению максимума полезной информации.

Наиболее широкое применение в обработке их результатов получил корреляционный анализ.

Уместным является проведение корреляционного анализа результатов, полученных при проведении исследований:

тревожности (по тестам R. Temml, M. Dorca, V. Amen);
семейных взаимоотношений («Анализ семейных взаимоотношений» (АСВ) опросник Э.Г. Эйдемиллера, В.В. Юстицкиса);
уровня интернальности-экстернальности (опросник Е.Ф. Бажина, Е.А. Голынкиной и А.М. Эткинда);
уровня эмоционального выгорания у педагогов (опросник В.В. Бойко);
связи элементов вербального интеллекта учащихся при разно профильном обучении (методика К.М. Гуревича и др.);
связи уровня эмпатии (методика В.В. Бойко) и удовлетворенностью браком (опросник В.В. Столина, Т.Л. Романовой, Г.П. Бутенко);
связи между социометрическим статусом подростков (тест Jacob L. Moreno) и особенностями стиля семейного воспитания (опросник Э.Г. Эйдемиллера, В.В. Юстицкиса);
структуры жизненных целей подростков, воспитанных в полных и неполных семьях (опросник Edward L. Deci, Richard M. Ryan Ryan).

Краткая инструкция к проведению корреляционного анализа по критерию Спирмена

Проведение корреляционного анализа с использованием метода Спирмена выполняется по следующему алгоритму:

парные сопоставимые признаки располагаются в 2 ряда, один из которых обозначается с помощью Х, а другой У;
значения ряда Х располагаются в порядке возрастания либо убывания;
последовательность расположения значений ряда У определяется их соответствием значений ряда Х;
для каждого значения в ряду Х определить ранг — присвоить порядковый номер от минимального значения к максимальному;
для каждого из значений в ряду У также определить ранг (от минимального к максимальному);
вычислить разницу (D) между рангами Х и У, прибегнув к формуле D=Х-У;
полученные значения разницы возводятся в квадрат;
выполнить суммирование квадратов разниц рангов;
выполнить расчеты по формуле:

Пример корреляции Спирмена

Необходимо установить наличие корреляционной связи между рабочим стажем и показателем травматизма при наличии следующих данных:

Наиболее подходящим методом анализа является ранговый метод, т.к. один из признаков представлен в виде открытых вариантов: рабочий стаж до 1 года и рабочий стаж 7 и более лет.

Решение задачи начинается с ранжирования данных, которые сводятся в рабочую таблицу и могут быть выполнены вручную, т.к. их объем не велик:

Рабочий стаж	Число травм	Порядковые номера	(ранги)	Разность рангов	Квадрат разности рангов
				d(х-у)
до 1 года	24	1	5	-4	16
1-2	16	2	4	-2	4
3-4	12	3	2,5	+0,5	0,25
5-6	12	4	2,5	+1,5	2,5
7 и более	6	5	1	+4	16
					Σ d2 = 38,5

Появление дробных рангов в колонке связано с тем, что в случае появления вариант одинаковых по величине находится среднее арифметическое значение ранга. В данном примере показатель травматизма 12 встречается дважды и ему присваиваются ранги 2 и 3, находим среднее арифметическое этих рангов (2+3)/2= 2,5 и помещаем это значение в рабочую таблицу для 2 показателей.
Выполнив подстановку полученных значений в рабочую формулу и произведя несложные расчёты получаем коэффициент Спирмена равный -0,92

Отрицательное значение коэффициента свидетельствует о наличии обратной связи между признаками и позволяет утверждать, что небольшой стаж работы сопровождается большим числом травм. Причем, сила связи этих показателей достаточно большая.
Следующим этапом расчётов является определение достоверности полученного коэффициента:
рассчитывается его ошибка и критерий Стьюдента

Корреляция Пирсона есть мера линейной связи между двумя переменными. Она позволяет определить, насколько пропорциональна изменчивость двух переменных. Если переменные пропорциональны друг другу, то графически связь между ними можно представить в виде прямой линии с положительным (прямая пропорция) или отрицательным (обратная пропорция) наклоном.

На практике связь между двумя переменными, если она есть, является вероятностной и графически выглядит как облако рассеивания эллипсоидной формы. Этот эллипсоид, однако, можно представить (аппроксимировать) в виде прямой линии, или линии регрессии. Линия регрессии - это прямая, построенная методом наименьших квадратов: сумма квадратов расстояний (вычисленных по оси Y) от каждой точки графика рассеивания до прямой является минимальной

Особое значение для оценки точности предсказания имеет дисперсия оценок зависимой переменной. По сути, дисперсия оценок зависимой переменной Y - это та часть ее полной дисперсии, которая обусловлена влиянием независимой переменной X. Иначе говоря, отношение дисперсии оценок зависимой переменной к ее истинной дисперсии равно квадрату коэффициента корреляции.

Квадрат коэффициента корреляции зависимой и независимой переменных представляет долю дисперсии зависимой переменной, обусловленной влиянием независимой переменной, и называется коэффициентом детерминации. Коэффициент детерминации, таким образом, показывает, в какой степени изменчивость одной переменной обусловлена (детерминирована) влиянием другой переменной.

Коэффициент детерминации обладает важным преимуществом по сравнению с коэффициентом корреляции. Корреляция __________не является линейной функцией связи между двумя переменными. Поэтому, среднее арифметическое коэффициентов корреляции для нескольких выборок не совпадает с корреляцией, вычисленной сразу для всех испытуемых из этих выборок (т.е. коэффициент корреляции не аддитивен). Напротив, коэффициент детерминации отражает связь линейно и поэтому является аддитивным: допускается его усреднение для нескольких выборок.

Дополнительную информацию о силе связи дает значение коэффициента корреляции в квадрате - коэффициент детерминации: это часть дисперсии одной переменной, которая может быть объяснена влиянием другой переменной. В отличие от коэффициента корреляции коэффициент детерминации линейно возрастает с увеличением силы связи.

Коэффициенты корреляции Спирмена и τ-Кендалла (ранговые корреляции)

Если обе переменные, между которыми изучается связь, представлены в порядковой шкале, или одна из них - в порядковой, а другая - в метрической, то применяются ранговые коэффициенты корреляции: Спирмена или τ-Кенделла. И тот, и другой коэффициент требует для своего применения предварительного ранжирования обеих переменных.

Коэффициент ранговой корреляции Спирмена - это непараметрический метод, который используется с целью статистического изучения связи между явлениями. В этом случае определяется фактическая степень параллелизма между двумя количественными рядами изучаемых признаков и дается оценка тесноты установленной связи с помощью количественно выраженного коэффициента.

Если члены группы численностью были ранжированы сначала по переменной x, затем – по переменной y, то корреляцию между переменными x и y можно получить, просто вычислив коэффициент Пирсона для двух рядов рангов. При условии отсутствия связей в рангах (т.е. отсутствия повторяющихся рангов) по той и другой переменной, формула для Пирсона может быть существенно упрощена в вычислительном отношении и преобразована в формулу, известную как Спирмена.

Мощность коэффициента ранговой корреляции Спирмена несколько уступает мощности параметрического коэффициента корреляции.

Коэффицент ранговой корреляции целесообразно применять при наличии небольшого количества наблюдений. Данный метод может быть использован не только для количественно выраженных данных, но также и в случаях, когда регистрируемые значения определяются описательными признаками различной интенсивности.

Коэффициент ранговой корреляции Спирмена при большом количестве одинаковых рангов по одной или обеим сопоставляемым переменным дает огрубленные значения. В идеале оба коррелируемых ряда должны представлять собой две последовательности несовпадающих значений.

Альтернативу корреляции Спирмена для рангов представляет корреляция τ-Кендалла. В основе корреляции, предложенной М.Кендаллом, лежит идея о том, что о направлении связи можно судить, попарно сравнивая между собой испытуемых: если у пары испытуемых изменение по x совпадает по направлению с изменением по y, то это свидетельствует о положительной связи, если не совпадает - то об отрицательной связи.

Калькулятор ниже вычисляет коэффициент ранговой корреляции Спирмена между двумя случайными величинами. Теоретическая часть, чтобы не отвлекаться от калькулятора, традиционно размещается под ним.

add import_export mode_edit delete

Изменения случайных величин

	arrow_upward arrow_downward X	arrow_upward arrow_downward Y
			mode_edit

Размер страницы: 5 10 20 50 100 chevron_left chevron_right

Изменения случайных величин

Импортировать данные Ошибка импорта

Для разделения полей можно использовать один из этих символов: Tab, ";" или "," Пример: -50.5;-50.5

Импортировать Назад Отменить

Метод расчета коэффициента ранговой корреляции Спирмена на самом деле описывается очень просто. Это тот же самый Коэффициент корреляции Пирсона , только рассчитанный не для самих результатов измерений случайных величин, а для их ранговых значений .

То есть,

Осталось только разобраться, что такое ранговые значения и для чего все это нужно.

Если элементы вариационного ряда расположить в порядке возрастания или убывания, то рангом элемента будет являться его номер в этом упорядоченном ряду.

Например, пусть у нас есть вариационный ряд {17,26,5,14,21}. Отсортируем его элементы в порядке убывания {26,21,17,14,5}. 26 имеет ранг 1, 21 - ранг 2 и т.д. Вариационный ряд ранговых значений будет выглядеть следующим образом {3,1,5,4,2}.

То есть, при расчете коэффициента Спирмена исходные вариационные ряды преобразуются в вариационные ряды ранговых значений, после чего к ним применяется формула Пирсона.

Есть одна тонкость - ранг повторяющихся значений берется как среднее из рангов. То есть для ряда {17, 15, 14, 15} ряд ранговых значений будет выглядеть как {1, 2.5, 4, 2.5}, так как первый элемент равный 15 имеет ранг 2, а второй - ранг 3, и .

Если же повторяющихся значений нет, то есть все значения ранговых рядов - числа из диапазона от 1 до n, формулу Пирсона можно упростить до

Ну и кстати, эта формула чаще всего и приводится как формула расчета коэффицента Спирмена.

В чем же суть перехода от самих значений к их ранговым значениям?
А суть в том, что исследуя корреляцию ранговых значений можно установить насколько хорошо зависимость двух переменных описывается монотонной функцией.

Знак коэффициента указывает на направление связи между переменными. Если знак положительный, то значения Y имеют тенденцию увеличиваться при увеличении значений X; если знак отрицательный, то значения Y имеют тенденцию уменьшаться при увеличении значений X. Если коэффициент равен 0, то никакой тенденции нет. Если же коэффициент равен 1 или -1, то зависимость между X и Y имеет вид монотонной функции - то есть, при увеличении X, Y также увеличивается, либо наоборот, при увеличении X, Y уменьшается.

То есть, в отличие от коэффициента корреляции Пирсона, который может выявить только линейную зависимость одной переменной от другой, коэффициент корреляции Спирмена может выявить монотонную зависимость, там, где непосредственная линейная связь не выявляется.

Поясню на примере. Предположим, что мы исследуем функцию y=10/x.
У нас есть следующие результаты измерений X и Y
{{1,10}, {5,2}, {10,1}, {20,0.5}, {100,0.1}}
Для этих данных коэффициент корреляции Пирсона равен -0.4686, то есть связь слабая либо отсутствует. А вот коэффициент корреляции Спирмена строго равен -1, что как бы намекает исследователю, что Y имеет строгую отрицательную монотонную зависимость от X.

Ранговая корреляция Спирмена (корреляция рангов). Ранговая корреляция Спирмена - самый простой способ определения степени связи между факторами. Название метода свидетельствует о том, что связь определяют между рангами, то есть рядами полученных количественных значений, ранжированных в порядке убывания или возрастания. Надо иметь в виду, что, во-первых, ранговое корреляцию Не рекомендуется проводить, если связь пар меньше четырех и больше двадцати; во-вторых, ранговая корреляция позволяет определять связь и в другом случае, если значение имеют полуколичественный характер, то есть не имеют числового выражения, отражают четкий порядок следования этих величин; в-третьих, ранговое корреляцию целесообразно применять в тех случаях, когда достаточно получить приблизительные данные. Пример расчета коэффициента ранговой корреляции для определения вопрос: замеряют вопросник X и Y подобные личностные качества испытуемых. С помощью двух вопросников (X и Y), которые требуют альтернативных ответов "да" или "нет", получили первичные результаты - ответы 15 испытуемых (N = 10). Результаты подали в виде суммы утвердительных ответов отдельно для вопросника X и для вопросника В. Эти результаты сведены в табл. 5.19.

Таблица 5.19. Табулирование первичных результатов для расчета коэффициента ранговой корреляции по Спирмену (р) *

Анализ сводной корреляционной матрицы. Метод корреляционных плеяд.

Пример. В табл. 6.18 приведены интерпретации одиннадцати переменных, которые тестируют по методике Векслера. Данные получили на однородной выборке в возрасте от 18 до 25 лет (n = 800).

Перед расслаиванием корреляционную матрицу целесообразно ранжировать. Для этого в исходной матрицы вычисляют средние значения коэффициентов корреляции каждой переменной со всеми остальными.

Затем по табл. 5.20 определяют допустимые уровни расслоение корреляционной матрицы при заданных доверительной вероятности 0,95 и n - количества

Таблица 6.20. Восходящая корреляционная матрица

Переменные	1	2	3	4	бы	0	7	8	0	10	11	M (rij)	Ранг
1	1	0,637	0,488	0,623	0,282	0,647	0,371	0,485	0,371	0,365	0,336	0,454	1
2		1	0,810	0,557	0,291	0,508	0,173	0,486	0,371	0,273	0,273	0,363	4
3			1	0,346	0,291	0,406	0,360	0,818	0,346	0,291	0,282	0,336	7
4				1	0,273	0,572	0,318	0,442	0,310	0,318	0,291	0,414	3
5					1	0,354	0,254	0,216	0,236	0,207	0,149	0,264	11
6						1	0,365	0,405	0,336	0,345	0,282	0,430	2
7							1	0,310	0,388	0,264	0,266	0,310	9
8								1	0,897	0,363	0,388	0,363	5
9									1	0,388	0,430	0,846	6
10										1	0,336	0,310	8
11											1	0,300	10

Обозначения: 1 - общая осведомленность; 2 - понятийнисть; 3 - внимательность; 4 - вдатнисть К обобщения; б - непосредственное запоминание (на цифрах) 6 - уровень освоения родном языке; 7 - скорость овладения сенсомоторном навыками (кодирование символами) 8 - наблюдательность; 9 - комбинаторные способности (к анализу и синтезу) 10 - способность к организации частей в осмысленное целое; 11 - способность к эвристического синтеза; M (rij) - среднее значение коэффициентов корреляции переменной с остальными переменных наблюдений (в нашем случае n = 800): r (0) - значение нулевой "Рассекая" плоскости - минимальная значимая абсолютная величина коэффициента корреляции (n - 120, r (0) = 0,236; n = 40, r (0) = 0,407) | Δr | - допустимый шаг расслоения (n = 40, | Δr | = 0,558) в - допустимое количество уровней расслоения (n = 40, s = 1 ; n = 120, s = 2); r (1), r (2), ..., r (9) - абсолютное значение секущей плоскости (n = 40, r (1) = 0,965).

Для n = 800 находим значение гтип и границ ги после чего Расслаивающая ранжированы корреляционную матрицу, выделяя корреляционные плеяды внутри слоев, или отделяем части корреляционной матрицы, вырисовывая объединения корреляционных плеяд для вышележащих слоев (рис. 5.5).

Содержательный анализ полученных плеяд выходит за пределы математической статистики. Надо отметить два формальные показатели, которые помогают при содержательной интерпретации плеяд. Одним существенным показателем служит степень вершины, то есть количество ребер, примыкающих к вершине. Переменная с наибольшим количеством ребер является "ядром" плеяды и ее можно рассматривать как индикатор остальных переменных этой плеяды. Другой существенный показатель - плотность связи. Переменная может иметь меньше связей в одной плеяде, но теснее, и больше связей в другой плеяде, однако менее тесных.

Предсказания и оценки. Уравнение у = b1x + b0 называется общим уравнением прямой. Оно свидетельствует о том, что пары точек (x, y), которые

Рис. 5.5. Корреляционные плеяды, полученные расслоением матрицы

лежат на некоторой прямой, связанные так, что для любого значения х величину в в находящегося с ним в паре, можно найти, умножив х на некоторое число b1 добавив вторых, число b0 к этому произведению.

Коэффициент регрессии позволяет определить степень изменения следственной фактора при изменении причинного фактора на одну единицу. Абсолютные величины характеризуют зависимость между переменными факторами по их абсолютными значениями. Коэффициент регрессии вычисляют по формуле:

Планирование и анализ экспериментов. Планирование и анализ экспериментов - это третья важная отрасль статистических методов, разработанных для нахождения и проверки причинных связей между переменными.

Для исследования многофакторных зависимостей в последнее время все чаще используют методы математического планирования эксперимента.

Возможность одновременного варьирования всеми факторами позволяет: а) уменьшить количество опытов;

б) свести ошибку эксперимента к минимуму;

в) упростить обработку полученных данных;

г) обеспечить наглядность и легкость по сравнению результатов.

Каждый фактор может приобретать некоторую соответствующее количество различных значений, которые называются уровнями и обозначают -1, 0 и 1. Фиксированный набор уровней факторов определяет условия одного из возможных опытов.

Совокупность всех возможных сочетаний вычисляют по формуле:

Полным факторным экспериментом называется эксперимент, в котором реализуются все возможные сочетания уровней факторов. Полные факторные эксперименты могут обладать свойством ортогональности. При ортогональном планировании факторы в эксперименте является некоррелированными, коэффициенты регрессии, которые высчитывают в итоге, определяют независимо друг от друга.

Важным преимуществом метода математического планирования эксперимента является его универсальность, пригодность во многих областях исследований.

Рассмотрим пример сравнения влияния некоторых факторов на формирование уровня психического напряжения в регулировщиков цветных телевизоров.

В основу эксперимента положен ортогональный План 2 три (три фактора изменяются на двух уровнях).

Эксперимент проводили с полным части 2 +3 с трехкратным повторением.

Ортогональное планирование базируется на построении уравнения регрессии. Для трех факторов оно выглядит так:

Обработка результатов в этом примере включает:

а) построение ортогонального плана 2 +3 таблице для расчета;

б) вычисления коэффициентов регрессии;

в) проверку их значимости;

г) интерпретацию полученных данных.

Для коэффициентов регрессии упомянутого уравнения надо было поставить N = 2 3 = 8 вариантов, чтобы иметь возможность оценить значимость коэффициентов, где количество повторений К равнялось 3.

Составлена матрица планирования эксперимента выглядела.