Способы решения системы показательных уравнений и неравенств. Показательные уравнения
а x = b - простейшее показательное уравнение. В нем a больше нуля и а не равняется единице.
Решение показательных уравнений
Из свойств показательной функции знаем, что ее область значений ограничена положительными вещественными числами. Тогда если b = 0, уравнение не имеет решений. Такая же ситуация имеет место быть, в уравнении где b
Теперь положим, что b>0. Если в показательной функции основание a
больше единицы, то функция будет возрастающей на всей области определения. Если в показательной функции для основания а
выполнено следующее условие 0
Исходя из этого и применяя теорему о корне, получим, что уравнение a x = b иметь один единственный корень, при b>0 и положительном a
не равном единице. Чтобы его найти, необходимо представить b в виде b = a c . Рассмотрим следующий пример: решить уравнение 5 (x 2 - 2*x - 1) = 25. Представим 25 как 5 2 , получим: 5 (x 2 - 2*x - 1) = 5 2 . Или что равносильно: x 2 - 2*x - 1 = 2. Решаем полученное квадратное уравнение любым из известных способов. Получаем два корня x = 3 и x = -1. Ответ: 3;-1. Решим уравнение 4 x - 5*2 x + 4 = 0. Сделаем замену: t=2 x и получим следующее квадратное уравнение: t 2 - 5*t + 4 = 0. Теперь решаем уравнения 2 x = 1 и 2 x = 4. Ответ: 0;2. Решение простейших показательных неравенств основывается тоже на свойствах возрастания и убывания функции. Если в показательной функции основание a больше единицы, то функция будет возрастающей на всей области определения. Если в показательной функции для основания а
выполнено следующее условие 0, то данная функция будет убывающей на всем множестве вещественных чисел. Рассмотрим пример: решить неравенство (0.5) (7 - 3*x) < 4. Заметим, что 4 = (0.5) 2 . Тогда неравенство примет вид (0.5)(7 - 3*x) < (0.5) (-2) . Основание показательной функции 0.5 меньше единицы, следовательно, она убывает. В этом случае надо поменять знак неравенства и не записывать только показатели. Получим: 7 - 3*x>-2. Отсюда: х<3. Ответ: х<3. Если бы в неравенстве основание было больше единицы, то при избавлении от основания, знак неравенства менять было бы не нужно. Дополнительные материалы
Обучающие пособия и тренажеры в интернет-магазине "Интеграл" для 11 класса
Определение. Уравнения вида: $a^{f(x)}=a^{g(x)}$, где $a>0$, $a≠1$ называются показательными уравнениями.
Вспомнив теоремы, которые мы изучали в теме "Показательная функция", можно ввести новую теорему: Б) $\sqrt{\frac{2}{3}}={(\frac{2}{3})}^{\frac{1}{5}}$. В) Исходное уравнение равносильно уравнению:
$x^2-6x=-3x+18$. Пример. Пример. Давайте составим памятку способов решения показательных уравнений: Пример. Теорема. Если $а>1$, то показательное неравенство $a^{f(x)}>a^{g(x)}$ равносильно неравенству $f(x)>g(x)$. Пример. Б) ${(\frac{1}{4})}^{2x-4}
${(\frac{1}{4})}^{2x-4}
В нашем уравнении основание при степени меньше 1, тогда при замене неравенства на эквивалентное необходимо поменять знак. В) Наше неравенство эквивалентно неравенству:
Тогда очевидно, что с
будет являться решением уравнения a x = a c .
Решаем это уравнение любым из известных способов. Получаем корни t1 = 1 t2 = 4Решение показательных неравенств
Урок и презентация на тему: "Показательные уравнения и показательные неравенства"
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания! Все материалы проверены антивирусной программой.
Интерактивное пособие для 9–11 классов "Тригонометрия"
Интерактивное пособие для 10–11 классов "Логарифмы"
Определение показательных уравнений
Ребята, мы изучили показательные функций, узнали их свойства и построили графики, разобрали примеры уравнений, в которых встречались показательные функции. Сегодня мы будем изучать показательные уравнения и неравенства.
Теорема. Показательное уравнение $a^{f(x)}=a^{g(x)}$, где $a>0$, $a≠1$ равносильно уравнению $f(x)=g(x)$.
Примеры показательных уравнений
Пример.
Решить уравнения:
а) $3^{3x-3}=27$.
б) ${(\frac{2}{3})}^{2x+0,2}=\sqrt{\frac{2}{3}}$.
в) $5^{x^2-6x}=5^{-3x+18}$.
Решение.
а) Мы хорошо знаем, что $27=3^3$.
Перепишем наше уравнение: $3^{3x-3}=3^3$.
Воспользовавшись теоремой выше, получаем, что наше уравнение сводится к уравнению $3х-3=3$, решив это уравнение, получим $х=2$.
Ответ: $х=2$.
Тогда наше уравнение можно переписать:
${(\frac{2}{3})}^{2x+0,2}={(\frac{2}{3})}^{\frac{1}{5}}={(\frac{2}{3})}^{0,2}$.
$2х+0,2=0,2$.
$х=0$.
Ответ: $х=0$.
$x^2-3x-18=0$.
$(x-6)(x+3)=0$.
$x_1=6$ и $x_2=-3$.
Ответ: $x_1=6$ и $x_2=-3$.
Решить уравнение: $\frac{{(0,25)}^{x-0,5}}{\sqrt{4}}=16*{(0,0625)}^{x+1}$.
Решение:
Последовательно выполним ряд действий и приведем обе части нашего уравнения к одинаковым основаниям.
Выполним ряд операций в левой части:
1) ${(0,25)}^{x-0,5}={(\frac{1}{4})}^{x-0,5}$.
2) $\sqrt{4}=4^{\frac{1}{2}}$.
3) $\frac{{(0,25)}^{x-0,5}}{\sqrt{4}}=\frac{{(\frac{1}{4})}^{x-0,5}}{4^{\frac{1}{2}}}=
\frac{1}{4^{x-0,5+0,5}}=\frac{1}{4^x}={(\frac{1}{4})}^x$.
Перейдем к правой части:
4) $16=4^2$.
5) ${(0,0625)}^{x+1}=\frac{1}{{16}^{x+1}}=\frac{1}{4^{2x+2}}$.
6) $16*{(0,0625)}^{x+1}=\frac{4^2}{4^{2x+2}}=4^{2-2x-2}=4^{-2x}=\frac{1}{4^{2x}}={(\frac{1}{4})}^{2x}$.
Исходное уравнение равносильно уравнению:
${(\frac{1}{4})}^x={(\frac{1}{4})}^{2x}$.
$x=2x$.
$x=0$.
Ответ: $х=0$.
Решить уравнение: $9^x+3^{x+2}-36=0$.
Решение:
Перепишем наше уравнение:
${(3^2)}^x+9*3^x-36=0$.
${(3^x)}^2+9*3^x-36=0$.
Давайте сделаем замену переменных, пусть $a=3^x$.
В новых переменных уравнение примет вид:
$a^2+9a-36=0$.
$(a+12)(a-3)=0$.
$a_1=-12$ и $a_2=3$.
Выполним обратную замену переменных: $3^x=-12$ и $3^x=3$.
На прошлом уроке мы узнали, что показательные выражения могут принимать только положительные значения, вспомните график. Значит, первое уравнение не имеет решений, второе уравнение имеет одно решение: $х=1$.
Ответ: $х=1$.
1. Графический метод.
Представляем обе части уравнения в виде функций и строим их графики, находим точки пересечений графиков. (Этим методом мы пользовались на прошлом уроке).
2. Принцип равенства показателей.
Принцип основан на том, что два выражения с одинаковыми основаниями равны, тогда и только тогда, когда равны степени (показатели) этих оснований.
$a^{f(x)}=a^{g(x)}$ $f(x)=g(x)$.
3. Метод замены переменных.
Данный метод стоит применять, если уравнение при замене переменных упрощает свой вид и его гораздо легче решить.
Решить систему уравнений: $\begin {cases} {27}^y*3^x=1, \\ 4^{x+y}-2^{x+y}=12. \end {cases}$.
Решение.
Рассмотрим оба уравнения системы по отдельности:
$27^y*3^x=1$.
$3^{3y}*3^x=3^0$.
$3^{3y+x}=3^0$.
$x+3y=0$.
Рассмотрим второе уравнение:
$4^{x+y}-2^{x+y}=12$.
$2^{2(x+y)}-2^{x+y}=12$.
Воспользуемся методом замены переменных, пусть $y=2^{x+y}$.
Тогда уравнение примет вид:
$y^2-y-12=0$.
$(y-4)(y+3)=0$.
$y_1=4$ и $y_2=-3$.
Перейдем к начальным переменным, из первого уравнения получаем $x+y=2$. Второе уравнение не имеет решений.
Тогда наша начальная система уравнений, равносильна системе: $\begin {cases} x+3y=0, \\ x+y=2. \end {cases}$.
Вычтем из первого уравнения второе, получим:
$\begin {cases} 2y=-2, \\ x+y=2. \end {cases}$.
$\begin {cases} y=-1, \\ x=3. \end {cases}$.
Ответ: $(3;-1)$.Показательные неравенства
Перейдем к неравенствам. При решении неравенств необходимо обращать внимание на основание степени. Возможны два варианта развития событий при решении неравенств.
Если $0a^{g(x)}$ равносильно неравенству $f(x)
Решить неравенства:
а) $3^{2x+3}>81$.
б) ${(\frac{1}{4})}^{2x-4}
в) ${0,3}^{x^2+6x}≤{0,3}^{4x+15}$.
Решение.
а) $3^{2x+3}>81$.
$3^{2x+3}>3^4$.
Наше неравенство равносильно неравенству:
$2x+3>4$.
$2x>1$.
$x>0,5$.
$2x-4>2$.
$x>3$.
$x^2+6x≥4x+15$.
$x^2+2x-15≥0$.
$(x-3)(x+5)≥0$.
Воспользуемся интервальным методом решения:
Ответ: $(-∞;-5]U}