Как выглядит равнобедренный треугольник. Равнобедренный треугольник и его свойства

⁰

Свойства равнобедренного треугольника выражают следующие теоремы.

Теорема 1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Теорема 2. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой.

Теорема 3. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой.

Теорема 4. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является биссектрисой и медианой.

Докажем одну из них, например теорему 2.5.

Доказательство. Рассмотрим равнобедренный треугольник ABC с основанием ВС и докажем, что ∠ В = ∠ С. Пусть AD - биссектриса треугольника ABC (рис.1). Треугольники ABD и ACD равны по первому признаку равенства треугольников (АВ = АС по условию, AD - общая сторона, ∠ 1 = ∠ 2, так как AD - биссектриса). Из равенства этих треугольников следует, что ∠ В = ∠ С. Теорема доказана.

С использованием теоремы 1 устанавливается следующая теорема.

Теорема 5. Третий признак равенства треугольников. Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны (рис. 2).

Замечание. Предложения, установленные в примерах 1 и 2, выражают свойства серединного перпендикуляра к отрезку. Из этих предложений следует, что серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке .

Пример 1. Доказать, что точка плоскости, равноудаленная от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку.

Решение. Пусть точка М равноудалена от концов отрезка АВ (рис. 3), т. е. AM = ВМ.

Тогда Δ АМВ равнобедренный. Проведем через точку М и середину О отрезка АВ прямую р. Отрезок МО по построению есть медиана равнобедренного треугольника АМВ, а следовательно (теорема 3), и высота, т. е. прямая МО, есть серединный перпендикуляр к отрезку АВ.

Пример 2. Доказать, что каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от его концов.

Решение. Пусть р - серединный перпендикуляр к отрезку АВ и точка О - середина отрезка АВ (см. рис. 3).

Рассмотрим произвольную точку М, лежащую на прямой р. Проведем отрезки AM и ВМ. Треугольники АОМ и ВОМ равны, так как у них углы при вершине О прямые, катет ОМ общий, а катет ОА равен катету ОВ по условию. Из равенства треугольников АОМ и ВОМ следует, что AM = ВМ.

Пример 3. В треугольнике ABC (см. рис. 4) АВ = 10 см, ВС = 9 см, АС = 7 см; в треугольнике DEF DE = 7 см, EF = 10 см, FD = 9 см.

Сравнить треугольники ABC и DEF. Найти соответственно равные углы.

Решение. Данные треугольники равны по третьему признаку. Соответственно равные углы: А и Е (лежат против равных сторон ВС и FD), В и F (лежат против равных сторон АС и DE), С и D (лежат против равных сторон АВ и EF).

Пример 4. На рисунке 5 АВ = DC, ВС = AD, ∠B = 100°.

Найти угол D.

Решение. Рассмотрим треугольники ABC и ADC. Они равны по третьему признаку (АВ = DC, ВС = AD по условию и сторона АС - общая). Из равенства этих треугольников следует, что ∠ В = ∠ D, но угол В равен 100°, значит, и угол D равен 100°.

Пример 5. В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC внешний угол при вершине C равен 123°. Найдите величину угла ABC . Ответ дайте в градусах.

Видео-решение.

Проверка домашнего задания

№ 111.

Дано: CD = BD , 1 = 2

Доказать: А B С - равнобедренный

№ 107.

сторона A С в 2 раза меньше АВ

Р = 50 см,

Р = 50 см

х + 2х + 2х = 50

х = 10

2 х

АС = 10 см,

АВ = ВС = 20 см

Какие из треугольников являются равнобедренными? Для равнобедренных треугольников назовите основание и боковые стороны.

Дано: AD - биссектриса ∆ BAC , BAC = 74 0 . Найти: BA D. (Рис.1)

Дано: КL - высота ∆ KMN. Найти: KLN . (Рис.2)

Дано: QS - медиана ∆ PQR , PS = 5,3см. Найти: PR. (Рис.3)

Дано: ∆ АВС равнобедренный с основанием АС, ВК биссектриса, АС = 46см. Найти: АК. (Рис.4)
Дано: ∆ АВС равнобедренный с основанием АС, ВК высота, АВС=46 0 . Найти: АВК. (Рис.5)
Дано: ∆ С BD равнобедренный с основанием B С, DA медиана, ВDС=120 0 . Найти: ADB . (Рис.6)

7 класс

Свойства равнобедренного треугольника

Три пути ведут к знанию:

Путь размышления – это путь самый благородный,

Путь подражания – это путь самый легкий,

И путь опыта – это путь самый горький.

Конфуций.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Дано: АВС равнобедренный

Доказать:

Доказательство:

1. Проведем биссектрису BD угла В.

2. Рассмотрим ∆ АВ D и ∆ CBD:

AB = BC (по условию),

В D – общая сторона,

∠ А BD = ∠ С BD

∆ АВD = ∆CBD (по 1 признаку равенства треугольников)

3. В равных треугольниках соответственные углы равны ∠ А= ∠ С.

В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой.

Дано: АВС равнобедренный,

А D – биссектриса .

Доказать: А D – высота,

А D – медиана.

Доказательство:

1) Рассмотрим и:

∆ BAD = ∆CAD (по 1 признаку равенства треугольников).

2) В равных треугольниках соответственные стороны и углы равны

1 = 2 = 90° (смежные углы).

Поэтому AD – медиана и высота ∆ АВС.

Решение задач.

Саврасова С.М., Ястребинецкий Г.А. «Упражнения по планиметрии на готовых чертежах»

110

Решение задач.

Дано: АВ = В C , 1=130 0 .

Л. С. Атанасян. «Геометрия 7-9» № 112.

Решение задач.

Найти: АВ D .

Треугольник

АВС - равнобедренный

В D – медиана

Значит, В D – биссектриса

40 0

С.М. Саврасова, Г.А. Ястребинецкий «Упражнения на готовых чертежах»

Домашнее задание:

п. 19 (стр. 35 – 36), № 109, 112, 118.

Треугольник, у которого две стороны равны между собой, называется равнобедренным. Эти его стороны называют боковыми, а третью сторону называют основанием. В этой статье мы расскажем Вам о том, какие бывают свойства равнобедренного треугольника.

Теорема 1

Углы возле основания равнобедренного треугольника равны между собой

Доказательство теоремы.

Допустим, мы имеем равнобедренный треугольник ABC, основание которого AB. Давайте рассмотрим треугольник BAC. Эти треугольники, по первому признаку, равны между собой. Так и есть, ведь BC = AC, AC = BC, угол ACB = углу ACB. Отсюда вытекает, что угол BAC = углу ABC, ведь это соответствующие углы наших равных между собой треугольников. Вот Вам и свойство углов равнобедренного треугольника.

Теорема 2

Медиана в равнобедренном треугольнике, которую провели к его основанию, является также высотой и биссектрисой

Доказательство теоремы.

Допустим, мы имеем равнобедренный треугольник ABC, основание которого AB, а CD - это медиана, которую мы провели к его основанию. В треугольниках ACD и BCD угол CAD = углу CBD, как соответствующие углы при основании равнобедренного треугольника (Теореме 1). А сторона AC = стороне BC (по определению равнобедренного треугольника). Сторона AD = стороне BD, Ведь точка D делит отрезок AB на равные части. Отсюда выходит, что треугольник ACD = треугольнику BCD.

Из равенства этих треугольников мы имеем равенство соответствующих углов. То есть угол ACD = углу BCD и угол ADC = углу BDC. Из равенства 1 выходит, что CD - это биссектриса. А угол ADC и угол BDC - смежные углы, и из равенства 2 выходит, что они оба прямые. Получается, что CD - это высота треугольника. Это и есть свойство медианы равнобедренного треугольника.

А теперь немного о признаках равнобедренного треугольника.

Теорема 3

Если в треугольнике два угла равны между собой, то такой треугольник равнобедренный

Доказательство теоремы.

Допустим, мы имеем треугольник ABC, в котором угол CAB = углу CBA. Треугольник ABC = треугольнику BAC по второму признаку равенства между треугольниками. Так и есть, ведь AB = BA; угол CBA = углу CAB, угол CAB = углу CBA. Из такого равенства треугольников мы имеем равенство соответствующих сторон треугольника - AC = BC. Тогда выходит, что треугольник ABC равнобедренный.

Теорема 4

Если в любом треугольнике его медиана является также и его высотой, то такой треугольник равнобедренный

Доказательство теоремы.

В треугольнике ABC мы проведем медиану CD. Она также будет являться и высотой. Прямоугольный треугольник ACD = прямоугольному треугольнику BCD, так как катет CD общий для них, а катет AD = катету BD. С этого следует, что их гипотенузы равны между собой, как соответственные части равных треугольников. Это значит, что AB = BC.

Теорема 5

Если три стороны треугольника равны трем сторонам другого треугольника, то эти треугольники равны

Доказательство теоремы.

Допустим, мы имеем треугольник ABC и треугольник A1B1C1 такие, в которых стороны AB = A1B1, AC = A1C1, BC = B1C1. Рассмотрим доказательство этой теоремы от противного.

Допустим, что эти треугольники не равны между собой. Отсюда имеем, что угол BAC не равен углу B1A1C1, угол ABC не равен углу A1B1C1, угол ACB не равен углу A1C1B1 одновременно. В противном случае, эти треугольники были бы равны по вышерассмотренному признаку.

Допустим, что треугольник A1B1C2 = треугольнику ABC. У треугольника вершина C2 лежит с вершиной C1 относительно прямой A1B1 в одной полуплоскости. Мы предположили, что вершины C2 и C1 не совпадают. Допустим, что точка D - это середина отрезка C1C2. Так мы имеем равнобедренные треугольники B1C1C2 и A1C1C2, у которых есть общее основание C1C2. Выходит, что их медианы B1D и A1D - это также и их высоты. А это значит, что прямая B1D и прямая A1D перпендикулярны прямой C1C2.

B1D и A1D имеют разные точки B1 и A1, и соответственно, не могут совпадать. Но ведь через точку D прямой C1C2 мы можем провести всего одну перпендикулярную ей прямую. У нас получилось противоречие.

Теперь Вы знаете, какие бывают свойства равнобедренного треугольника!