Дать определение вариационного ряда. Вариационный ряд

Таблица 1. Общий вид дискретного вариационного ряда частот

Таблица 2. Общий вид интервального вариационного ряда частот

Таблица 3. Графические изображения вариационного ряда

Ряд	Полигон или гистограмма		Эмпирическая функция распределения
Дискретный
Интервальный

В табл. 2.3 (Группировка населения России по размеру среднедушевого дохода в апреле 1994г.) представлен интервальный вариационный ряд .
Удобно ряды распределения анализировать при помощи графического изображения, позволяющего судить и о форме распределения. Наглядное представление о характере изменения частот вариационного ряда дают полигон и гистограмма .
Полигон используется при изображении дискретных вариационных рядов .
Изобразим, например графически распределение жилого фонда по типу квартир, (табл. 2.10).
Таблица 2.10 - Распределение жилого фонда городского района по типу квартир (цифры условные).

Рис. Полигон распределения жилого фонда

Рис. 2.2. Гистограмма распределения семей по размеру жилой площади, приходящейся на одного человека

Рис. 2.3. Кумулята распределения семей по размеру жилой площади, приходящейся на одного человека

Для графического изображения вариационных рядов может также использоваться кумулятивная кривая . При помощи кумуляты (кривой сумм) изображается ряд накопленных частот. Накопленные частоты определяются путём последовательно суммирования частот по группам и показывают, сколько единиц совокупности имеют значения признака не больше, чем рассматриваемое значение.

Рис. 2.4. Огива распределения семей по размеру жилой площади, приходящейся на одного человека

При построении кумуляты интервального вариационного ряда по оси абсцисс откладываются варианты ряда, а по оси ординат накопленные частоты.

Вариационными называют ряды распределения, построенные по количественному признаку. Значения количественных признаков у отдельных единиц совокупности непостоянны, более или менее различаются между собой.

Вариация - колеблемость, изменяемость величины признака у единиц совокупности. Отдельные числовые значения признака, встречающиеся в изучаемой совокупности, называют вариантами значений. Недостаточность средней величины для полной характеристики совокупности заставляет дополнять средние величины показателями, позволяющими оценить типичность этих средних путем измерения колеблемости (вариации) изучаемого признака.

Наличие вариации обусловлено влиянием большого числа факторов на формирование уровня признака. Эти факторы действуют с неодинаковой силой и в разных направлениях. Для описания меры изменчивости признаков используют показатели вариации.

Задачи статистического изучения вариации:

• 1) изучение характера и степени вариации признаков у отдельных единиц совокупности;
• 2) определение роли отдельных факторов или их групп в вариации тех или иных признаков совокупности.

В статистике применяются специальные методы исследования вариации, основанные на использовании системы показателей, с помощью которых измеряется вариация.

Исследование вариаций имеет важное значение. Измерение вариаций необходимо при проведении выборочного наблюдения, корреляционном и дисперсионном анализе и т. д. Ермолаев О.Ю. Математическая статистика для психологов: Учебник [Текст]/ О.Ю. Ермолаев. - М.: Изд-во Флинта Московского психолого-социального института, 2012. - 335с.

По степени вариации можно судить об однородности совокупности, об устойчивости отдельных значений признаков и типичности средней. На их основе разрабатываются показатели тесноты связи между признаками, показатели оценки точности выборочного наблюдения.

Различают вариацию в пространстве и вариацию во времени.

Под вариацией в пространстве понимают колеблемость значений признака у единиц совокупности, представляющих отдельные территории. Под вариацией во времени подразумевают изменение значений признака в различные периоды времени.

Для изучения вариации в рядах распределения проводят расположение всех вариантов значений признака в возрастающем или убывающем порядке. Этот процесс называют ранжированием ряда.

Самыми простыми признаками вариации являются минимум и максимум - самое наименьшее и наибольшее значение признака в совокупности. Число повторений отдельных вариантов значений признаков называют частотой повторения (fi). Частоты удобно заменять частостями - wi. Частость - относительный показатель частоты, который может быть выражен в долях единицы или процентах и позволяет сопоставлять вариационные ряды с различным числом наблюдений. Выражается формулой:

где Хmax, Хmin - максимальное и минимальное значения признака в совокупности; n - число групп.

Для измерения вариации признака применяются различные абсолютные и относительные показатели. К абсолютным показателям вариации относятся размах вариации, среднее линейное отклонение, дисперсия, среднее квадратическое отклонение. К относительным показателям колеблемости относят коэффициент осцилляции, относительное линейное отклонение, коэффициент вариации.

Пример нахождения вариационного ряда

Задание. По данной выборке:

• а) Найти вариационный ряд;
• б) Построить функцию распределения;

№=42. Элементы выборки:

1 5 1 8 1 3 9 4 7 3 7 8 7 3 2 3 5 3 8 3 5 2 8 3 7 9 5 8 8 1 2 2 5 1 6 1 7 6 7 7 6 2

Решение.

• а) построение ранжированного вариационного ряда:
  • 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 4 5 5 5 5 5 6 6 6 7 7 7 7 7 7 7 8 8 8 8 8 8 9 9
• б) построение дискретного вариационного ряда.

Вычислим число групп в вариационном ряду пользуясь формулой Стерджесса:

Примем число групп равным 7.

Зная число групп, рассчитаем величину интервала:

Для удобства построения таблицы примем число групп равным 8, интервал составит 1.

Рис. 1 Объем продаж магазином товара за определенный промежуток времени

Совокупность значений изученного в данном эксперименте или наблюдении параметра, проранжированных по величине (возрастания или убывания) называется вариационным рядом.

Предположим, что мы измерили артериальное давление у десяти пациентов с целью получить верхний порог АД: систолическое давление, т.е. только одно число.

Представим, что серия наблюдений (статистическая совокупность) артериального систолического давления в 10-ти наблюдениях имеет следующий вид (табл. 1):

Таблица 1

Составляющие вариационного ряда называются вариантами. Варианты представляют собой числовое значение изучаемого признака.

Построение из статистической совокупности наблюдений вариационного ряда - только первый шаг к осмыслению особенностей всей совокупности. Далее необходимо определить средний уровень изучаемого количественного признака (средний уровень белка крови, средний вес пациентов, среднее время наступления наркоза и т.д.)

Средний уровень измеряют с помощью критериев, которые носят название средних величин. Средняя величина - обобщающая числовая характеристика качественно однородных величин, характеризующая одним числом всю статистическую совокупность по одному признаку. Средняя величина выражает то общее, что характерно для признака в данной совокупности наблюдений.

Общеупотребительными являются три вида средних величин: мода (), медиана () и среднеарифметическая величина ().

Для определения любой средней величины необходимо использовать результаты индивидуальных наблюдений, записав их в виде вариационного ряда (табл. 2).

Мода - значение, наиболее часто встречающееся в серии наблюдений. В нашем примере мода = 120. Если в вариационном ряду нет повторяющихся значений, то говорят, что мода отсутствует. Если несколько значений повторяются одинаковое количество раз, то в качестве моды берут наименьшее из них.

Медиана - значение, делящее распределение на две равные части, центральное или срединное значение серии наблюдений, упорядоченных по возрастанию или убыванию. Так, если в вариационном ряду 5 значений, то его медиана равна третьему члену вариационного ряда, если в ряду четное количество членов, то медиана представляет собой среднее арифметическое двух его центральных наблюдений, т.е. если в ряду 10 наблюдений, то медиана равна среднему арифметическому 5 и 6 наблюдения. В нашем примере.

Заметим важную особенность моды и медианы: на их величины не оказывают влияние числовые значения крайних вариант.

Средняя арифметическая величина рассчитывается по формуле:

где - наблюденная величина в -том наблюдении, а - число наблюдений. Для нашего случая.

Средняя арифметическая величина обладает тремя свойствами:

Средняя занимает серединное положение в вариационном ряду. В строго симметричном ряду.

Средняя является обобщающей величиной и за средней не видны случайные колебания, различия в индивидуальных данных. Она отражает то типичное, что характерно для всей совокупности.

Сумма отклонений всех вариант от средней равна нулю: . Отклонение вариант от средней обозначается.

Вариационный ряд состоит из вариант и соответствующих им частот. Из десяти полученных значений цифра 120 встретилась 6 раз, 115 - 3 раза, 125 - 1 раз. Частота () - абсолютная численность отдельных вариант в совокупности, указывающая, сколько раз встречается данная варианта в вариационном ряду.

Вариационный ряд может быть простым (частоты = 1) или сгруппированным укороченным, по 3-5 вариант. Простой ряд используется при малом числе наблюдений (), сгруппированный - при большом числе наблюдений ().

Вариация определяет различия в значениях какого-либо признака у разных единиц данной совокупности в один и тот же период (момент времени). Причиной вариации бывают разные условия существования разных единиц совокупности. Например, даже близнецы в процессе жизни приобретают различия в росте, весе, а также в таких признаках, как уровень образования, доход, количество детей и т.д.

Вариация возникает в результате того, что сами значения признака складываются под суммарным влиянием разнообразных условий, которые разным образом сочетаются в каждом отдельном случае. Таким образом, величина любого варианта объективна.

Вариация характерна всем без исключения явлениям природы и общества, кроме законодательно закрепленных нормативных значений отдельных социальных признаков. Исследования вариации в статистике имеют огромное значение, помогают познать сущность изучаемого явления. Нахождение вариации, выяснение ее причин, выявление влияния отдельных факторов дают важную информацию для внедрения научно обоснованных управленческих решений.

Средняя величина дает обобщенную характеристику признака совокупности, но она не раскрывает её строения. Среднее значение не показывает, как располагаются вокруг нее варианты осредненного признака, распределены ли они вблизи средней или отклоняются от нее. Средняя в двух совокупностях может быть одинаковой, но в одном варианте все индивидуальные значения отличаются от нее незначительно, а в другом - эти отличия велики, т.е. в первом случае вариация признака мала, а во втором - велика, это имеет очень важное значение для характеристики значимости средней величины.

Для того, чтобы руководитель организации, управляющий, научный работник могли изучать вариацию и управлять ей, статистикой разработаны специальные методы исследования вариации (система показателей). С их помощью вариация находится, характеризуются ее свойства. К показателям вариации относятся : размах вариации, среднее линейное отклонение, коэффициент вариации.

Вариационный ряд и его формы

Вариационный ряд - это упорядоченное распределение единиц совокупности чаще по возрастающим (реже убывающим) значениям признака и подсчет числа единиц с тем или иным значением признака. Когда численность единиц совокупности большая, ранжированный ряд становится громоздким, его построение занимает длительное время. В такой ситуации вариационный ряд строится с помощью группировки единиц совокупности по значениям изучаемого признака.

Существуют следующие формы вариационного ряда :

1. Ранжированный ряд представляет собой, перечень отдельных единиц совокупности в порядке возрастания (убывания) изучаемого признака.
2. Дискретный вариационный ряд - это таблица, состоящая из двух строк или граф: конкретных значений варьирующего признака х и числа единиц совокупности с данным значение f - признака частот. Он строится тогда, когда признак принимает наибольшее число значений.
3. Интервальный ряд .

Размах вариации определяется как абсолютная величина разности между максимальными и минимальными значениями (вариантами) признака:

Размах вариации показывает только крайние отклонения признака и не отражает отдельных отклонений всех вариантов в ряду. Он характеризует пределы изменения варьирующего признака и зависим от колебаний двух крайних вариантов и абсолютно не связан с частотами в вариационном ряду, т. е. с характером распределения, что придает этой величине, случайный характер. Для анализа вариации нужен показатель, который отражает все колебания вариационного признака и даёт общую характеристику. Простейший показатель такого вида — среднее линейное отклонение.

Вариационные ряды: определение, виды, основные характеристики. Методика расчета
моды, медианы, средней арифметической в медико-статистических исследованиях
(показать на условном примере).

Вариационный ряд – это ряд числовых значений изучаемого признака, отличающихся друг от друга по своей величине и расположенных в определенной последовательности(в восходящем или убывающем порядке). Каждое числовое значение ряда называют вариантой (V), а числа, показывающие, как часто встречается та или иная варианта в составе данного ряда, называется частотой (р).

Общее число случаев наблюдений, из которых вариационный ряд состоит, обозначают буквой n. Различие в значении изучаемых признаков называется вариацией. В случае если варьирующий признак не имеет количественной меры, вариацию называют качественной, а ряд распределения – атрибутивным (например, распределение по исходу заболевания, по состоянию здоровья и т.д.).

Если варьирующий признак имеет количественное выражение, такую вариацию называют количественной, а ряд распределения – вариационным.

Вариационные ряды делятся на прерывные и непрерывные – по характеру количественного признака, простые и взвешенные – по частоте встречаемости вариант.

В простом вариационном ряду каждая варианта встречается только один раз (р=1), во взвешенном – одна и та же варианта встречается несколько раз (р>1). Примеры таких рядов будут рассмотрены далее по тексту. Если количественный признак носит непрерывный характер, т.е. между целыми величинами имеются промежуточные дробные величины, вариационный ряд называется непрерывным.

Например: 10,0 – 11,9

14,0 – 15,9 и т.д.

Если количественный признак носит прерывный характер, т.е. отдельные его значения (варианты) отличаются друг от друга на целое число и не имеют промежуточных дробных значений, вариационный ряд называют прерывным или дискретным.

Используя данные предыдущего примера о частоте пульса

у 21 студентов, построим вариационный ряд (табл. 1).

Таблица 1

Распределение студентов-медиков по частоте пульса (уд/мин)

Таким образом, построить вариационный ряд – означает имеющиеся числовые значения (варианты) систематизировать, упорядочить, т.е. расположить в определенной последовательности (в восходящем или убывающем порядке) с соответствующими им частотами. В рассматриваемом примере варианты расположены в восходящем порядке и выражены в виде целых прерывных (дискретных) чисел, каждая варианта встречается несколько раз, т.е. мы имеем дело со взвешенным, прерывным или дискретным вариационным рядом.

Как правило, если число наблюдений в изучаемой нами статистической совокупности не превышает 30, то достаточно все значения изучаемого признака расположить в вариационном ряду в нарастающем, как в табл. 1, или убывающем порядке.

При большом количестве наблюдений (n>30) число встречающихся вариант может быть очень большим, в этом случае составляется интервальный или сгруппированный вариационный ряд, в котором для упрощения последующей обработки и выяснения характера распределения варианты объединены в группы.

Обычно число групповых вариант колеблется от 8 до 15.

Их должно быть не меньше 5, т.к. иначе это будет слишком грубое, чрезмерное укрупнение, что искажает общую картину варьирования и сильно сказывается на точности средних величин. При числе групповых вариант более 20-25 увеличивается точность вычисления средних величин, но существенно искажаются особенности варьирования признака и усложняется математическая обработка.

При составлении сгруппированного ряда необходимо учесть,

− группы вариант должны располагаться в определенном порядке (в восходящем или нисходящем);

− интервалы в группах вариант должны быть одинаковыми;

− значения границ интервалов не должны совпадать, т.к. неясно будет, в какие группы относить отдельные варианты;

− необходимо учитывать качественные особенности собираемого материала при установлении пределов интервалов (например, при изучении веса взрослых людей интервал 3-4 кг допустим, а для детей первых месяцев жизни он не должен превышать 100 г.)

Построим сгруппированный (интервальный) ряд, характеризующий данные о частоте пульса (число ударов в минуту) у 55 студентов-медиков перед экзаменом: 64, 66, 60, 62,

64, 68, 70, 66, 70, 68, 62, 68, 70, 72, 60, 70, 74, 62, 70, 72, 72,

64, 70, 72, 76, 76, 68, 70, 58, 76, 74, 76, 76, 82, 76, 72, 76, 74,

79, 78, 74, 78, 74, 78, 74, 74, 78, 76, 78, 76, 80, 80, 80, 78, 78.

Для построения сгруппированного ряда необходимо:

1. Определить величину интервала;

2. Определить середину, начало и конец групп вариант вариационного ряда.

● Величина интервала (i) определяется по числу предполагаемых групп (r), количество которых устанавливается в зависимости от числа наблюдений (n) по специальной таблице

Число групп в зависимости от числа наблюдений:

В нашем случае, для 55 студентов, можно составить от 8 до 10 групп.

Величина интервала (i) определяется по следующей формуле –

i = V max-V min/r

В нашем примере величина интервала равна 82- 58/8= 3.

Если величина интервала представляет собой дробное число, полученный результат следует округлить до целого числа.

Различают несколько видов средних величин:

● средняя арифметическая,

● средняя геометрическая,

● средняя гармоническая,

● средняя квадратическая,

● средняя прогрессивная,

● медиана

В медицинской статистике наиболее часто пользуются средними арифметическими величинами.

Средняя арифметическая величина (М) является обобщающей величиной, которая определяет то типичное, что характерно для всей совокупности. Основными способами расчета М являются: среднеарифметический способ и способ моментов (условных отклонений).

Среднеарифметический способ применяется для вычисления средней арифметической простой и средней арифметической взвешенной. Выбор способа расчета средней арифметической величины зависит от вида вариационного ряда. В случае простого вариационного ряда, в котором каждая варианта встречается только один раз, определяется средняя арифметическая простая по формуле:

где: М – средняя арифметическая величина;

V – значение варьирующего признака (варианты);

Σ – указывает действие – суммирование;

n – общее число наблюдений.

Пример расчета средней арифметической простой. Частота дыхания (число дыхательных движений в минуту) у 9 мужчин в возрасте 35 лет: 20, 22, 19, 15, 16, 21, 17, 23, 18.

Для определения среднего уровня частоты дыхания у мужчин в возрасте 35 лет необходимо:

1. Построить вариационный ряд, расположив все варианты в возрастающем или убывающем порядке Мы получили простой вариационный ряд, т.к. значения вариант встречаются только один раз.

M = ∑V/n = 171/9 = 19 дыхательных движений в минуту

Вывод. Частота дыхания у мужчин в возрасте 35 лет в среднем равна 19 дыхательным движениям в минуту.

Если отдельные значения вариант повторяются, незачем выписывать в линию каждую варианту, достаточно перечислить встречающиеся размеры вариант (V) и рядом указать число их повторений (р). такой вариационный ряд, в котором варианты как бы взвешиваются по числу соответствующих им частот, носит название – взвешенный вариационный ряд, а рассчитываемая средняя величина – средней арифметической взвешенной.

Средняя арифметическая взвешенная определяется по формуле: M= ∑Vp/n

где n – число наблюдений, равное сумме частот – Σр.

Пример расчета средней арифметической взвешенной.

Длительность нетрудоспособности (в днях) у 35 больных острыми респираторными заболеваниями (ОРЗ), лечившихся у участкового врача на протяжении I-го квартала текущего года составила: 6, 7, 5, 3, 9, 8, 7, 5, 6, 4, 9, 8, 7, 6, 6, 9, 6, 5, 10, 8, 7, 11, 13, 5, 6, 7, 12, 4, 3, 5, 2, 5, 6, 6, 7 дней.

Методика определения средней длительности нетрудоспособности у больных с ОРЗ следующая:

1. Построим взвешенный вариационный ряд, т.к. отдельные значения вариант повторяются несколько раз. Для этого можно расположить все варианты в возрастающем или убывающем порядке с соответствующими им частотами.

В нашем случае варианты расположены в возрастающем порядке

2. Рассчитаем среднюю арифметическую взвешенную по формуле: M = ∑Vp/n = 233/35 = 6,7 дней

Распределение больных с ОРЗ по длительности нетрудоспособности:

Вывод. Длительность нетрудоспособности у больных с острыми респираторными заболеваниями составила в среднем 6,7 дней.

Мода (Мо) – наиболее часто встречающаяся варианта в вариационном ряду. Для распределения, представленного в таблице, моде соответствует варианта, равная 10, она встречается чаще других – 6 раз.

Распределение больных по длительности пребывания на больничной койке (в днях)

Иногда точную величину моды установить трудно, поскольку в изучаемых данных может существовать несколько наблюдений, встречающихся «наиболее часто».

Медиана (Ме) – непараметрический показатель, делящий вариационный ряд на две равные половины: в обе стороны от медианы располагается одинаковое число вариант.

Например, для распределения, указанного в таблице, медиана равна 10, т.к. по обе стороны от этой величины располагается по 14 вариант, т.е. число 10 занимает центральное положение в этом ряду и является его медианой.

Учитывая, что число наблюдений в этом примере четное (n=34), медиану можно определить таким образом:

Me = 2+3+4+5+6+5+4+3+2/2 = 34/2 = 17

Это означает, что середина ряда приходится на семнадцатую по счету варианту, которой соответствует медиана, равная 10. Для распределения, представленного в таблице, средняя арифметическая равна:

M = ∑Vp/n = 334/34 = 10,1

Итак, для 34 наблюдений из табл. 8, мы получили: Мо=10, Ме=10, средняя арифметическая (М) равна 10,1. В нашем примере все три показателя оказались равными или близкими друг к другу, хотя они совершенно различны.

Средняя арифметическая является результативной суммой всех влияний, в формировании ее принимают участие все без исключения варианты, в том числе и крайние, часто нетипичные для данного явления или совокупности.

Мода и медиана, в отличие от средней арифметической, не зависят от величины всех индивидуальных значений варьирующего признака (значений крайних вариант и степени рассеяния ряда). Средняя арифметическая характеризует всю массу наблюдений, мода и медиана – основную массу