При изгибе стержни подвергаются воздействию поперечной силы или изгибающего момента. Изгиб называется чистым, если действует только изгибающий момент, и поперечным, если действует нагрузка, перпендикулярная оси стержня. Брус (стержень), работающий на изгиб, обычно называют балкой. Балки являются наиболее часто встречающимися элементами сооружений и машин, воспринимающими нагрузки от других элементов конструкций и, передающими их тем частям, которые поддерживают балку (чаще всего опорам).

В строительных сооружениях и машиностроительных конструкциях чаше всего можно встретить следующие случаи крепления балок: консольные - с одним защемленным концом (с жесткой заделкой), двухопорные - с одной шарнирно-неподвижной опорой и с одной шарнирно-подвижной опорой и многоопорные балки. Если опорные реакции могут быть найдены из одних уравнений статики, то балки называют статически определимыми. Если же число неизвестных опорных реакций больше, чем число уравнений статики, то такие балки называют статически неопределимыми. Для определения реакций в таких балках приходится составлять дополнительные уравнения - уравнения перемещений. При плоском поперечном изгибе все внешние нагрузки перпендикулярны к оси балки.

Определение внутренних силовых факторов, действующих в поперечных сечениях балки, следует начинать с определения опорных реакций. После этого используем метод сечений, мысленно рассекаем, балку на две части и рассматриваем равновесие одной части. Взаимодействие частей балки заменяем внутренними факторами: изгибающим моментом и поперечной силой.

Поперечная сила в сечении равна алгебраической сумме проекций всех сил, а изгибающий момент равен алгебраической сумме моментов всех сил, расположенных по одну сторону от сечения. Знаки действующих сил и моментов следует определять в соответствии с принятыми правилами. Необходимо научиться правильно определять равнодействующую силу и изгибающий момент от равномерно распределенной по длине балки нагрузки.

Следует иметь в виду, что при определении напряжений, возникающих при изгибе, принимают следующие допущения: сечения плоские до изгиба остаются плоскими и после изгиба (гипотеза плоских сечений); продольные соседние волокна не давят одно на другое; зависимость между напряжениями и деформациями линейная.

При изучении изгиба следует обратить внимание на неравномерность распределения нормальных напряжений в поперечном сечении балки. Нормальные напряжения изменяются по высоте поперечного сечения пропорционально расстоянию от нейтральной оси. Следует уметь определять напряжения изгиба, которые зависят от величины действующего изгибающего момента М И и момента сопротивления сечения при изгибе W О (осевой момент сопротивления сечения).

Условие прочности при изгибе: σ = М И / W О £ [σ] . Значение W О зависит от размеров, формы и расположения поперечного сечения относительно оси.

Наличие поперечной силы, действующей на балку, связано с возникновением касательных напряжений в поперечных сечениях, а по закону парности касательных напряжений - и в продольных сечениях. Касательные напряжения определяют по формуле Д. И. Журавского.

Поперечная сила сдвигает рассматриваемое сечение относительно смежного. Изгибающий момент, складывающийся из элементарных нормальных усилий, возникающих в поперечном сечении балки, поворачивает сечение относительно смежного, чем и обусловлено искривление оси балки, т. е. ее изгиб.

Когда балка испытывает чистый изгиб, то по всей длине балки или на отдельном ее участке в каждом сечении действует изгибающий момент постоянной величины, а поперечная сила в любом сечении данного участка равна нулю. При этом в поперечных сечениях балки возникают только нормальные напряжения.

Для того чтобы глубже разобраться в физических явлениях изгиба и в методике решения задач при расчете на прочность и жесткость, необходимо хорошо усвоить геометрические характеристики плоских сечений, а именно: статические моменты сечений, моменты инерции сечений простейшей формы и сложных сечений, определение центра тяжести фигур, главные моменты инерции сечений и главные оси инерции, центробежный момент инерции, изменение моментов инерции при повороте осей, теоремы о переносе осей.

При изучении этого раздела следует научиться правильно строить эпюры изгибающих моментов и поперечных сил, определять опасные сечения и действующие в них напряжения. Помимо определения напряжений следует научиться определять перемещения (прогибы балки) при изгибе. Для этого используется дифференциальное уравнение изогнутой оси балки (упругой линии), записанное в общем виде.

Для определения прогибов проводится интегрирование уравнения упругой линии. При этом следует правильно определять постоянные интегрирования С и D исходя из условий опирания балки (граничных условий). Зная величины С и D , можно определить угол поворота и прогиб любого сечения балки. Изучение сложного сопротивления обычно начинают с косого изгиба.

Явление косого изгиба особенно опасно для сечений со значительно отличающимися друг от друга главными моментами инерции; балки с таким сечением хорошо работают на изгиб в плоскости наибольшей жесткости, но даже при небольших углах наклона плоскости внешних сил к плоскости наибольшей жесткости в балках возникают значительные дополнительные напряжения и деформации. Для балки круглого сечения косой изгиб невозможен, так как все центральные оси такого сечения являются главными и нейтральный слой всегда будет перпендикулярен плоскости внешних сил. Косой изгиб невозможен и для балки квадратного сечения.

При определении напряжений в случае внецентренного растяжения или сжатия необходимо знать положение главных центральных осей сечения; именно от этих осей отсчитывают расстояния точки приложения силы и точки, в которой определяют напряжения.

Приложенная эксцентрично сжимающая сила может вызвать в поперечном сечении стержня растягивающие напряжения. В связи с этим внецентренное сжатие является особенно опасным для стержней из хрупких материалов, которые слабо сопротивляются растягивающим усилиям.

В заключение следует изучить случай сложного сопротивления, когда тело испытывает одновременно несколько деформаций: например, изгиб совместно с кручением, растяжение-сжатие совместно с изгибом и т. д. При этом следует иметь в виду, что изгибающие моменты, действующие в различных плоскостях, могут складываться как векторы.

Расставляем сечения от свободного конца балки — в этом случае можно построить эпюры, не определяя опорных реакций . Рассматривать в каждом случае будем правую часть — справа от сечения . Сечения расставляем на характерных участках (между изменениями). По размерной нитке – 2 участка, 2 сечения.

Сечение 2-2 проходит по участку с , отмечаем размер z 2 вправо от сечения до начала участка . Определяем поперечные силы в сечениях. Правило знаков см. — .

Строим эпюру Q.

Построим эпюру М методом характерных точек . Расставляем точки на балке — это точки начала и конца балки (D,A ), сосредоточенного момента (B ), а также отметим в качестве характерной точки середину равномерно распределенной нагрузки (K ) — это дополнительная точка для построения параболической кривой.

Определяем изгибающие моменты в точках. Правило знаков см. — .

Момент в т. В будем определять следующим образом. Сначала определим:

Точку К возьмем в середине участка с равномерно распределенной нагрузкой.

Строим эпюру M . Участок АВ – параболическая кривая (правило «зонтика»), участок ВD – прямая наклонная линия .

Для балки определить опорные реакции и построить эпюры изгибающих моментов (М ) и поперечных сил (Q ).

1. Обозначаем опоры буквами А и В и направляем опорные реакции R А и R В .

Составляем уравнения равновесия .

Проверка

Записываем значения R А и R В на расчетную схему .

2. Построение эпюры поперечных сил методом сечений . Сечения расставляем на характерных участках (между изменениями). По размерной нитке – 4 участка, 4 сечения .

сеч. 1-1 ход слева .

Сечение проходит по участку с равномерно распределенной нагрузкой , отмечаем размер z 1 влево от сечения до начала участка . Длина участка 2 м. Правило знаков для Q — см.

Строим по найденным значением эпюру Q .

сеч. 2-2 ход справа .

Сечение вновь проходит по участку равномерно распределенной нагрузкой, отмечаем размер z 2 вправо от сечения до начала участка. Длина участка 6 м.

Строим эпюру Q .

сеч. 3-3 ход справа .

сеч. 4-4 ход справа.

Строим эпюру Q .

3. Построение эпюры М методом характерных точек .

Характерная точка – точка, сколь-либо заметная на балке. Это точки А , В , С , D , а также точка К , в которой Q =0 и изгибающий момент имеет экстремум . Также в середине консоли поставим дополнительную точку Е , поскольку на этом участке под равномерно распределенной нагрузкой эпюра М описывается кривой линией, а она строится, как минимум, по 3 точкам.

Итак, точки расставлены, приступаем к определению в них значений изгибающих моментов . Правило знаков — см. .

Участки NA, AD – параболическая кривая (правило «зонтика» у механических специальностей или «правило паруса» у строительных), участки DС, СВ – прямые наклонные линии.

Момент в точке D следует определять как слева, так и справа от точки D . Сам момент в эти выражения не входит . В точке D получим два значения с разницей на величину m – скачок на его величину.

Теперь следует определить момент в точке К (Q =0). Однако сначала определим положение точки К , обозначив расстояние от нее до начала участка неизвестным х .

Т. К принадлежит второму характерному участку, его уравнение для поперечной силы (см. выше)

Но поперечная сила в т. К равна 0 , а z 2 равняется неизвестному х .

Получаем уравнение:

Теперь, зная х , определим момент в точке К с правой стороны.

Строим эпюру М . Построение выполним для механических специальностей, откладывая положительные значения вверх от нулевой линии и используя правило «зонтика».

Для заданной схемы консольной балки требуется построить эпюры поперечной силы Q и изгибающего момента M, выполнить проектировочный расчет, подобрав круглое сечение.

Материал — дерево, расчетное сопротивление материала R=10МПа, М=14кН·м,q=8кН/м

Строить эпюры в консольной балке с жесткой заделкой можно двумя способами — обычным, предварительно определив опорные реакции, и без определения опорных реакций, если рассматривать участки, идя от свободного конца балки и отбрасывая левую часть с заделкой. Построим эпюры обычным способом.

1. Определим опорные реакции .

Равномерно распределенную нагрузку q заменим условной силой Q= q·0,84=6,72 кН

В жесткой заделке три опорные реакции — вертикальная, горизонтальная и момент, в нашем случае горизонтальная реакция равна 0.

Найдем вертикальную реакцию опоры R A и опорный момент М A из уравнений равновесия.

На первых двух участках справа поперечная сила отсутствует. В начале участка с равномерно распределенной нагрузкой (справа) Q=0 , в заделеке — величине реакции R A.

3. Для построения составим выражения для их определения на участках. Эпюру моментов построим на волокнах, т.е. вниз.

(эпюра единичных моментов уже была построена ранее)

Решаем уравнение (1), сокращаем на EI

Статическая неопределимость раскрыта , значение «лишней» реакции найдено. Можно приступать к построению эпюр Q и M для статически неопределимой балки... Зарисовываем заданную схему балки и указываем величину реакции R b . В данной балке реакции в заделке можно не определять, если идти ходом справа.

Построение эпюры Q для статически неопределимой балки

Строим эпюру Q.

Построение эпюры М

Определим М в точке экстремума – в точке К . Сначала определим её положение. Обозначим расстояние до неё как неизвестное «х ». Тогда

Строим эпюру М.

Определение касательных напряжений в двутавровом сечении . Рассмотрим сечение двутавра. S x =96,9 см 3 ; Yх=2030 см 4 ; Q=200 кН

Для определения касательного напряжения применяется формула ,где Q — поперечная сила в сечении, S x 0 – статический момент части поперечного сечения, расположенной по одну сторону от слоя, в котором определяются касательные напряжения, I x – момент инерции всего поперечного сечения, b – ширина сечения в том месте, где определяется касательное напряжение

Вычислим максимальное касательное напряжение:

Вычислим статический момент для верхней полки:

Теперь вычислим касательные напряжения:

Строим эпюру касательных напряжений:

Проектный и проверочный расчеты. Для балки с построенными эпюрами внутренних усилий подобрать сечение в виде двух швеллеров из условия прочности по нормальным напряжениям. Проверить прочность балки, используя условие прочности по касательным напряжениям и энергетический критерий прочности. Дано:

Покажем балку с построенными эпюрами Q и М

Согласно эпюре изгибающих моментов опасным является сечение С, в котором М С =М max =48,3кНм.

Условие прочности по нормальным напряжениям для данной балки имеет вид σ max =M C /W X ≤σ adm . Требуется подобрать сечение из двух швеллеров.

Определим необходимое расчетное значение осевого момента сопротивления сечения:

Для сечения в виде двух швеллеров согласно принимаем два швеллера №20а , момент инерции каждого швеллера I x =1670см 4 , тогда осевой момент сопротивления всего сечения:

Перенапряжение (недонапряжение) в опасных точках посчитаем по формуле: Тогда получим недонапряжение :

Теперь проверим прочность балки, исходя из условия прочности по касательным напряжениям. Согласно эпюре поперечных сил опасными являются сечения на участке ВС и сечение D. Как видно из эпюры, Q max =48,9 кН.

Условие прочности по касательным напряжениям имеет вид:

Для швеллера №20 а: статический момент площади S x 1 =95,9 см 3 , момент инерции сечения I x 1 =1670 см 4 , толщина стенки d 1 =5,2 мм, средняя толщина полки t 1 =9,7 мм, высота швеллера h 1 =20 см, ширина полки b 1 =8 см.

Для поперечного сечения из двух швеллеров:

S x = 2S x 1 =2·95,9=191,8 см 3 ,

I x =2I x 1 =2·1670=3340 см 4 ,

b=2d 1 =2·0,52=1,04 см.

Определяем значение максимального касательного напряжения:

τ max =48,9·10 3 ·191,8·10 −6 /3340·10 −8 ·1,04·10 −2 =27МПа.

Как видно, τ max <τ adm (27МПа<75МПа).

Следовательно, условие прочности выполняется.

Проверяем прочность балки по энергетическому критерию .

Из рассмотрения эпюр Q и М следует, что опасным является сечение С, в котором действуют M C =M max =48,3 кНм и Q C =Q max =48,9 кН.

Проведем анализ напряженного состояния в точках сечения С

Определим нормальные и касательные напряжения на нескольких уровнях (отмечены на схеме сечения)

Уровень 1-1: y 1-1 =h 1 /2=20/2=10см.

Нормальные и касательные напряжения:

Главные напряжения:

Уровень 2−2: y 2-2 =h 1 /2−t 1 =20/2−0,97=9,03см.

Главные напряжения:

Уровень 3−3: y 3-3 =h 1 /2−t 1 =20/2−0,97=9,03см.

Нормальные и касательные напряжения:

Главные напряжения:

Экстремальные касательные напряжения:

Уровень 4−4: y 4-4 =0.

(в середине нормальные напряжения равны нулю, касательные максимальны, их находили в проверке прочности по касательным напряжениям)

Главные напряжения:

Экстремальные касательные напряжения:

Уровень 5−5:

Нормальные и касательные напряжения:

Главные напряжения:

Экстремальные касательные напряжения:

Уровень 6−6:

Нормальные и касательные напряжения:

Главные напряжения:

Экстремальные касательные напряжения:

Уровень 7−7:

Нормальные и касательные напряжения:

Главные напряжения:

Экстремальные касательные напряжения:

В соответствии с выполненными расчетами эпюры напряжений σ, τ, σ 1 , σ 3 , τ max и τ min представлены на рис.

Анализ этих эпюр показывает , что в сечении балки опасными являются точки на уровне 3-3 (или 5-5 ), в которых:

Используя энергетический критерий прочности, получим

Из сравнения эквивалентного и допускаемого напряжений следует, что условие прочности также выполняется

(135,3 МПа<150 МПа).

Неразрезная балка нагружена во всех пролетах. Построить эпюры Q и M для неразрезной балки.

1. Определяем степень статической неопределимости балки по формуле:

n= Соп -3= 5-3 =2, где Соп – число неизвестных реакций, 3 – число уравнений статики . Для решения данной балки требуется два дополнительных уравнения.

2. Обозначим номера опор с нулевой по порядку (0,1,2,3 )

3. Обозначим номера пролетов с первого по порядку (ι 1, ι 2, ι 3 )

4. Каждый пролет рассматриваем как простую балку и строим для каждой простой балки эпюры Q и M. То, что относится к простой балке , будем обозначать с индексом «0 », то, что относится к неразрезной балке, будем обозначать без этого индекса. Таким образом, — это поперечная сила и изгибающий момент для простой балки.

Рассмотрим балку 1 го пролета

Определим фиктивные реакции для балки первого пролета по табличным формулам (см.таблицу «Фиктивные опорные реакции... .»)

Балка 2 го пролета

Балка 3 го пролета

5. Составляем уравнение 3 х моментов для двух точек ­­– промежуточных опор ­– опора 1 и опора 2. Это и будут два недостающих уравнения для решения задачи.

Уравнение 3х моментов в общем виде:

Для точки (опоры) 1 (n=1):

Для точки (опоры) 2 (n=2):

Подставляем все известные величины, учитываем, что момент на нулевой опоре и на третьей опоре равны нулю, M 0 =0; M 3 =0

Тогда получим:

Поделим первое уравнение на сомножитель 4 при M 2

Второе уравнение поделим на сомножитель 20 при M 2

Решим эту систему уравнений:

Из первого уравнения вычтем второе, получим:

Подставляем это значение в любое из уравнений и находим M 2

Итак, нашли опорные моменты:

1. Построение эпюры поперечной силы Q для неразрезной балки

Формула для определения Q в любом сечении неразрезной балки:, где n – пролет

1) Построение эп. Q в первом пролете:

Эта запись означает, что поперечная сила в неразрезной балке в первом пролете будет такая же, как в простой балке с разницей ординат на – 9 .

На эпюрах должны прослеживаться скачки на величину сил.

2) Построение эп. Q во втором пролете:

Поперечная сила в неразрезной балке во втором пролете будет такая же, как в простой балке с разницей ординат на – 9,5.

3) Построение эп. Q в третьем пролете:

Поперечная сила в неразрезной балке в третьем пролете будет такая же, как в простой балке с разницей ординат на +15,3.

Строим эпюру поперечных сил для неразрезной балки.

7. Построение эпюры изгибающего момента для неразрезной балки . Сначала откладываем на опорах значения опорных моментов , соединяем их линией опорных моментов. Это эпюра опорных моментов.

Эпюру М для неразрезной балки можно построить:

1 вариант – методом «подвешивания» . К эпюре опорных моментов "подвешиваем" эпюру M 0 по разницам ординат. К примеру, в середине первого пролета на эпюре M 0 ордината равна 90, а на эпюре опорных моментов -27. В итоге получим 90-27=63. Это значение и откладываем.

2 вариант – формула для определения изгибающего M в любом сечении неразрезной балки:

, где n-пролет, x — расстояние.

Для той же точки первого пролета, которую рассматривали в методе «подвешивания»:

Построение эп. М во 2 ом пролете, загруженном равномерно распределенной нагрузкой

Определим положения т. К . по эпюре Q — это точка экстремума.

Определим М неразрезной балки во 2 ом пролете в этой точке: Теперь нужно определить в этой точке К изгибающий момент М в простой балке:

Таким образом, момент в точке К для неразрезной балки:

Строим эпюру М.

8. Выполним проверку опорных реакций . Покажем реакции на схеме балки на опорах, направив их вверх. Значения этих реакций определим по скачкам эпюры Q. Таким образом получим:

Спроецируем все силы, приложенные к балке, и реакции на вертикальную ось, выполним проверку.

Подставим значения, получим 340-340=0

1.Определение реакций:

Сумма моментов относительно опор:

Опора А :

Опора В :

У (проверка) :

2.Записываем уравнения Q и M для каждого из участков в общем виде, при этом учитываем знаки.

1) Первый участок:

2) Второй участок:

3) Третий участок:

Подобрать стальную балку двутаврового поперечного сечения при R =160 МПа:

С эпюры берем максимальный момент:

По подбираем двутавр № 20 с

Двутавр можно взять чуть меньше, при условии, что перенапряжение составляет меньше 5%:

1.Определение реакций:

Сумма проекций всех сил на ось z :

Сумма проекций всех сил на ось y :

Сумма моментов относительно точки А :

После нахождения опорных реакций следует выполнить проверку, использовав уравнение равновесия (сумма моментов относительно любой выбранной точки должна быть равна нулю).

2. Записываем уравнения Q и M для каждого из участков в общем виде, при этом учитываем знаки.

Q — поперечная сила, считается положительной, если стремится повернуть рассматриваемую часть балки по часовой стрелке .

M — изгибающий момент , считается положительным, если растягивает нижние волокна .

1)Первый участок:

2) Второй участок:

3) Третий участок:

Следует отметить,что на втором и третьем участке для построения плавной кривой потребуются дополнительные точки , в которых следует посчитать значение изгибающего момента.

3.Проектировочный расчет, то есть подбор размеров поперечного сечения.

Подберем деревянную балку круглого поперечного сечения при R u =10 МПа

С эпюры берем максимальный момент и рассчитываем требуемый осевой момент сопротивления , после чего вычисляем необходимый диаметр балки.

Равен 0 .

Если рассмотреть левую часть, то в уравнении будут присутствовать две неизвестные R А и М А . Значит, следует рассмотреть правую часть (из него найдем R В) .

Теперь из него найдем М А

Следующее уравнение из него найдем R А

2. Строим эпюру Q.

Участок первый — АС, смотрим левую часть

Участок второй — СВ, смотрим правую часть

3. Строим эпюру М

Определим момент в точке, где Q=0 (момент имеет экстремум), это момент в точке К, т.е. М К, для этого определим положение точки К .

Это уравнение первого участка, на котором находится точка К

в точке К

Строим эпюры . Задача решена.

Задача 2. Построить эпюры Q и M в балке с шарниром.

1. Определим опорные реакции. Для определения опорных реакций используем свойство шарнира – момент в нем как от левых, так и от правых сил равен 0.

Если рассмотреть правую часть, то в уравнении будут присутствовать две неизвестные Rд и Rв . Значит, следует рассмотреть левую часть.

Знак «-» говорит о том, что реакция R В направлена в обратную сторону.

Проверка :

2. Построение эпюры Q.

Участок первый - ЕА, смотрим левую часть

Участок второй - АС, смотрим левую часть

Участок третий - СВ, смотрим левую часть

Участок четвертый - ВД, смотрим правую часть

3. Построение эпюры М

Т.к. точки экстремума на эп.Q не наблюдается, определяем изгибающий момент в середине участка ВД

Строим эпюры, задача решена.

ПРЯМОЙ ПОПЕРЕЧНЫЙ ИЗГИБ

Прямой поперечный изгиб возникает в случае, когда все нагрузки приложены перпендикулярно оси стержня, лежат в одной плоскости и, кроме того, плоскость их действия совпадает с одной из главных центральных осей инерции сечения. Прямой поперечный изгиб относится к простому виду сопротивления и является плоским напряженным состоянием , т.е. два главных напряжения отличны от нуля. При таком виде деформации возникают внутренние усилия: поперечная сила и изгибающий момент. Частным случаем прямого поперечного изгиба является чистый изгиб , при таком сопротивлении имеются грузовые участки, в пределах которых поперечное усилие обращается в ноль, а изгибающий момент отличен от нуля. В поперечных сечениях стержней при прямом поперечном изгибе возникают нормальные и касательные напряжения. Напряжения являются функцией от внутреннего усилия, в данном случае нормальные – функцией от изгибающего момента, а касательные - от поперечной силы. При прямом поперечном изгибе вводятся несколько гипотез:

1) Поперечные сечения балки, плоские до деформации, остаются плоскими и ортогональными к нейтральному слою после деформации (гипотеза плоских сечений или гипотеза Я. Бернулли). Эта гипотеза выполняется при чистом изгибе и нарушается при возникновении поперечной силы, касательных напряжений, и появлением угловой деформации.

2) Взаимное давление между продольными слоями отсутствует (гипотеза о ненадавливании волокон). Из этой гипотезы следует, что продольные волокна испытывают одноосное растяжение или сжатие, следовательно, при чистом изгибе справедлив закон Гука .

Стержень, испытывающий изгиб, называют балкой . При изгибе одна часть волокон растягивается, другая часть – сжимается. Слой волокон, находящийся между растянутыми и сжатыми волокнами, называют нейтральным слоем , он проходит через центр тяжести сечений. Линию пересечения его с поперечным сечением балки называют нейтральной осью . На основе введенных гипотез при чистом изгибе получена формула для определения нормальных напряжений, которая применяется и при прямом поперечном изгибе. Нормальное напряжение можно найти с помощью линейной зависимости (1), в которой отношение изгибающего момента к осевому моменту инерции (

) в конкретном сечении является величиной постоянной, а расстояние (y ) вдоль оси ординат от центра тяжести сечения до точки, в которой определяют напряжение, меняется от 0 до

.

. (1)

Для определения касательного напряжения при изгибе в 1856г. русским инженером – строителем мостов Д.И. Журавским была получена зависимость

. (2)

Касательное напряжение в конкретном сечении не зависит от отношения поперечной силы к осевому моменту инерции (

), т.к. эта величина в пределах одного сечения не меняется, а зависит от отношения статического момента площади отсеченной части к ширине сечения на уровне отсеченной части (

).

При прямом поперечном изгибе возникают перемещения: прогибы (v ) и углы поворотов (Θ ) . Для их определения используют уравнения метода начальных параметров (3), которые получены путем интегрирования дифференциального уравнения изогнутой оси балки (

).

Здесь v 0 , Θ 0 , М 0 , Q 0 – начальные параметры, x – расстояние от начала координат до сечения, в котором определяется перемещение, a – расстояние от начала координат до места приложения или начала действия нагрузки.

Расчет на прочность и жесткость производят с помощью условий прочности и жесткости. С помощью этих условий можно решать поверочные задачи (выполнять проверку выполнения условия), определять размер поперечного сечения или подбирать допустимое значение параметра нагрузки. Условий прочности различают несколько, некоторые из них приведены ниже. Условие прочности по нормальным напряжениям имеет вид:

, (4)

здесь

– момент сопротивления сечения относительно оси z, R – расчетное сопротивление по нормальным напряжениям.

Условие прочности по касательным напряжениям выглядит как:

, (5)

здесь обозначения те же, что и в формуле Журавского, а R s – расчетное сопротивление срезу или расчетное сопротивление по касательным напряжениям.

Условие прочности по третьей гипотезе прочности или гипотезе наибольших касательных напряжений можно записать в следующем виде:

. (6)

Условия жесткости можно записать для прогибов (v ) и углов поворота (Θ ) :

где значения перемещений в квадратных скобках являются допустимыми.

Пример выполнения индивидуального задания № 4 (срок 2-8 неделя)

Расчет балки на прочность и жесткость при прямом поперечном изгибе

а ) б )

Требуется: для балки, приведенной на рис.1 подобрать размеры поперечного сечения в двух вариантах (а и б ), при R=200МПа, R s =120МПа. Для варианта б также определить размеры сечения из расчета по предельной несущей способности при σ s =240МПа. Выполнить расчет на жесткость для варианта а при [v ]=(1/400)l , где l – длина пролета (расстояние между опорами).

Решение

1) Определение опорных реакций

Назначим глобальную систему координат. Обозначим на чертеже вертикальные составляющие опорных реакций V, горизонтальные – H. Найдем опорные реакции, используя уравнения статики:

∑F x =0 => H А =0

∑m A =0; -М + 2×F + 5×6q + М - 8×V B =0

20 + 80 + 600 + 20 - 8×V B =0

680 - 8×V B =0 => V B =85кН

∑m B =0; -М + 8×V А - 6×F - 3×6q + М =0

20 + 8×V А – 240 – 360 + 20 =0

8×V А - 600=0 => V А =75кН

Проверка: ∑F y =0; V А + V B - F - 6q =0

75 + 85 - 40 - 120 =0

0 = 0 – верно.

Положительные значения опорных реакций подтверждают их верное направление. После выполнения проверки числовые значения опорных реакций выставляют на чертеж.

2) Построение эпюр внутренних усилий. Выделим грузовые участки. Грузовым участком называют часть стержня, в пределах которой внутреннее усилие подчиняется одному закону (описывается одним уравнением). Данную балку можно разбить на четыре грузовых участка (I, II, III, IV).

Определим значения

поперечных сил,

рассматривая равновесие

левой части балки:

Эп.Q y [кН] Q I =0

Q II =75кН – const

Q 4-4 =75-40=35кН

Q 7-7 =75-40-6×20=-85кН

Определим значения

изгибающих моментов,

Эп.М z [кНм] рассматривая левую

часть балки

М I =-20кН – const

М 3-3 =-20+75×2=130кН

Рис. 3 М 4-4 =М 3-3 =130кН

Расстояние до сечения, в котором момент принимает экстремальное значение, находят с помощью уравнения поперечной силы для грузового участка, в пределах которого действует равномерно распределенная нагрузка: Q III =35-20x=0=>x=35/20=1,75м.

М(1,75)=-20+75×3,75-40×1,75-20×1,75 2 /2=160,6кН.

Рассмотрим равновесие правой части: график функции изгибающих моментов на IV грузовом участке парабола, поэтому определим значение момента в начале М 7-7 =0, середине М(1)=85×1-20×1 2 /2=75кН, и в конце участка М 6-6 =85×2-20×2 2 /2=130кН; М 5-5 =85×2-20×2 2 /2-20=110кН.

3) Выбор опасных сечений. Первое опасное сечение - то, в котором возникает наибольший по модулю изгибающий момент, второе – с наибольшим по модулю значением поперечной силы, третье – неблагоприятное сочетание изгибающего момента и поперечной силы.

Опасное сечение I - I

= 160,6кНм;

Опасное сечение II - II

=85кН;

Опасное сечение III - III Q y =75кН, М z = 130кНм.

4) Расчет на прочность

Запишемдля опасного сечения I - I условие прочности по нормальным напряжениям (4):

.Затем приравняем максимальное по модулю нормальное напряжение к расчетному сопротивлению и выразим из условия прочности требуемый для его выполнения момент сопротивления сечения

. Для того, чтобы обеспечивалось выполнение условия прочности, независимо от геометрии сечения, момент сопротивления этого сечения должен быть равен 803 см 3 . Необходимо помнить о том, что геометрическая характеристика сечения

используется только для определения максимального по модулю значения напряжения и связана с осевым моментом инерции сечения зависимостью

, где

- расстояние до наиболее удаленной от нейтральной оси точки (опасная точка 1), в которой и возникает наибольшее напряжение.

а) Подбор сечения из прокатного профиля (швеллер)

Необходимо подобрать по сортаменту поперечное сечение, состоящее из двух швеллеров, тогда для одного швеллера требуемый момент сопротивления сечения составит

. Далее по сортаменту выбираем Рис. 4

наиболее близкое к W z =401,5см 3 значение (в сортаменте он обозначен W x ). В результате для швеллера № 30 W z =387см 3 . Это значение меньше требуемого, но допускается перенапряжение до 5%. Вычислим максимальное по модулю значение нормального напряжения для поперечного сечения, состоящего из двух швеллеров №30. .

Определим процент перенапряжения по формуле:

, подставив в формулу числовые значения, получим

- условие выполняется, перенапряжение меньше допустимого, поэтому принимаем к расчету два швеллера № 30.

Для одного швеллера № 30 : W z =387см 3 , статический момент площади отсеченной части S z отс =224см 3 , осевой момент инерции I z =5810 c м 4 толщина стенки одного швеллера s =6, 5мм, толщина полки t =11мм, высота швеллера в см соответствует его номеру h =300мм, ширина полки b =100мм.

Выполним проверку прочности по касательным напряжениям опасного сечения II - II . Наибольшее по модулю касательное напряжение возникает на нейтральной оси (опасная точка 2), т.к. именно здесь отношение статического момента площади отсеченной части к ширине сечения достигает максимального значения. Для проверки выполнения условия прочности воспользуемся формулой (5), приведенной ранее - очевидно, что условие прочности выполняется.

Выполним проверку опасного сечения III - III в опасной точке 3 по третьей гипотезе прочности (6):

. Для этого требуется определить значения напряжений в точке 3 третьего опасного сечения, воспользуемся формулами (1) и (2).

Полученные значения напряжений подставим в условие прочности - очевидно, что условие прочности выполняется. Окончательно принимаем поперечное сечение из двух швеллеров № 30. Построим эпюры напряжений для всех опасных сечений.

Опасное Опасное Опасное

эп σ x [МПа] эп τ yx [МПа] эп σ x [МПа] эп τ yx [МПа]

Рис. 5

б) Определение размеров сварного сечения

Разобьем сечение сложной формы на простые фигуры (прямоугольники). Через центр тяжести каждой фигуры проведем оси (y , z 1 , z 2 , z 3 ). Очевидно, что сечение симметричное, осью симметрии является ось y , следовательно, центр тяжести сечения находится на оси y . Определим ординату центра тяжести сложного сечения, за начало отсчета выберем ось z 2 . Нанесем на чертеж расстояния от оси z 2 до осей z 1 и z 3 .

Знак «+» свидетельствует о том, что центр тяжести сечения находится выше оси z 2 . Поведем через центр тяжести ось z и нанесем на чертеж расстояния от неё до осей z 2 , z 1 , z 3 . Теперь найдем осевой момент инерции сечения относительно оси z как сумму моментов инерции простых фигур.

Выразим момент сопротивления сечения

приравняем его к требуемому моменту сопротивления сечения, найденному ранее и определим значение параметра δ .

Спомощью сортамента на стальные полосы определим размеры сечения: толщина стенки 0,5δ =8мм , толщина верней и нижней полок 2δ =32мм и т.д. Выставм размеры сечения в см на чертеж, предварительно округлив значения до десятых долей сантиметра. Аналогично предыдущему расчету определим геметрические характеристики сечения с принятыми размерами. Найдем центр тяжести сечения, осевой момент инерции сечения I z и момент сопротивления сечения W z .

за счет округления размеров сечение имеет больший момент сопротивления по сравнению с

.

Условие выполняется, имеет место небольшое недонапряжение, поэтому принимаем к расчету сечение с найденными размерами (рис. 7).

Для опасного сечения II - II выполним проверку прочности по касательным напряжениям. Наибольшее по модулю касательное напряжение возникает на нейтральной оси (опасная точка 2). Воспользуемся формулой (5): - условие прочности выполняется.

Для опасного сечения III - III выполним проверку в опасной точке 3 по третьей гипотезе прочности. Для этого требуется определить значения напряжений в точке 3 третьего опасного сечения.

Полученные значения напряжений подставим в условие прочности - очевидно, что условие прочности выполняется. Построим эпюры напряжений для всех опасных сечений и рассмотрим напряженное состояние в точке 3.

Опасное Опасное Опасное

сечение I-I сечение II-II сечение III-III

эп σ x [МПа] эп τ yx [МПа] эп σ x [МПа] эп τ yx [МПа]

в) Расчет по предельной несущей способности. Определение размеров сварного сечения

В расчете по предельной несущей Опасное

способности ось z делит сечение на две сечение I-I

равновеликие части. Для начала найдем эп σ x [МПа]

площадь всего сечения.

Площадь первого прямоугольника составляет 16δ 2 , т.е. к его площади необходимо добавить еще 1δ 2 = 2δ ×0,5δ, чтобы получить половину площади сечения (17δ 2 ).

Пределу текучести материала σ s =240МПа соответствует предельный момент, который с одной стороны можно выразить как M s =σ s ×W s , а с другой стороны M s =

×k. Здесь W s – пластический момент сопротивления сечения, Рис. 9

k – коэффициент запаса прочности.

Приравняем эти выражения между собой и найдем параметр δ.

Пластический момент сопротивления сечения W s =/S 1 /+/S 2 /, где S 1 – статический момент площади сечения выше оси z , а S 2 – статический момент площади сечения, находящейся ниже оси z .

W s =/S 1 /+/S 2 /=/16δ 2 ×3δ +2δ ×0,5δ ×1δ /+/-8δ 2 ×19δ- 18δ ×0,5δ ×9δ /=282δ 3 .

M s =σ s ×W s =240×10 3 ×282δ 3 = 67680δ 3 ×10 3

M s =

×k=160,6×1,2=192,7кНм.

67680δ 3 =192,7кНм

67680δ 3 ×10 3 =192,7кНм

.

Сравним δ =1,417см , найденный из расчета по несущей способности с δ =1,572см , определенным с помощью условия прочности по нормальным напряжениям. Очевидно, что расчет по предельной несущей способности дает меньшие размеры сечения, что приводит к экономии материала.

5) Расчет на жесткость

Произведем расчет на жесткость сечения из прокатного профиля (вариант а ).

Расчет сводится к построению эпюр перемещений, определению опасных сечений, проверки выполнения условий жесткости, а при их невыполнении - корректировки размеров сечения. В настоящем примере выполним проверку только условия жесткости (7) для прогибов (v ).

Перемещения сечений определяют с помощью уравнений метода начальных параметров. Эти уравнения получены путем интегрирования дифференциального уравнения изогнутой оси балки (

). Для того, чтобы свести количество постоянных интегрирования к минимуму, т.е. к двум (), обязательно выполнение правил Клебша, некоторые из них приведены ниже.

1. Начало координат назначают строго на правом или левом конце балки.

2. При составлении уравнений рассматривают ту часть балки, которая содержит начало координат.

3. В случае, когда равномерно распределенная нагрузка прерывается в каком-то сечении, то часть балки между этим сечением и концом балки, противоположном началу координат, догружают и разгружают (компенсируют) равномерно распределенной нагрузкой той же интенсивности.

4. Если выражение (x-а i ) n < 0, то член, содержащий этот полином, исключается из уравнения.

Определим жесткость поперечного сечения, состоящего из двух швеллеров № 30 (модуль Юнга E=2× 10 5 МПа): EI z =2× 2× 10 8 × 5810× 10 -8 =23240кНм 2 .

Опираясь на формулы (3) и рис. 10 составим уравнения метода начальных параметров для настоящей балки.

- постоянные интегрирования,

- начальные параметры, а именно:

- прогиб и угол поворота в начале координат (определяются с помощью кинематических граничных условий),

- изгибающий момент и поперечная сила в начале координат (находятся с помощью уравнений равновесия, в данном случае они известны).

Знак нагрузок в уравнениях определяется с помощью правила знаков для изгибающих моментов, если нагрузка растягивает верхние волокна знак «-», нижние волокна «+».

Кинематические граничные условия в данном случае имеют вид:

1) x=2м ,

;

2) x=10м ,

.

Используя, первое и второе граничные условия, получим два уравнения прогибов.

Уравнения прогибов составлены для сечений, в которых невозможен прогиб, т.е. прогиб на опоре равен нулю. Решим систему из двух уравнений, приведенных выше, найдем числовые значения

.

Определим прогиб сечения на расстоянии 6м от начала координат (середина пролета балки).

x=6м

Определим углы поворота сечений на опорах.

x=2м

x=10м

Аналогично можно вычислить прогибы и углы поворота любого сечения.

Расчет на ЭВМ по программе « IZGIB » сечения из прокатного профиля

С помощью этой программы можно определить опорные реакции, значения внутренних усилий и перемещения поперечных сечений.

Входные параметры для расчета на ЭВМ.

SH номер группы

L 10 длина балки в метрах

EI z 23240 жесткость поперечного сечения в кНм 2

N 5 число равных отрезков, на которые разбита балка

NO 2 число опор

ПО 0 условие закрепления балки в начале координат (0 – свободный

конец, 1- шарнирная опора, 2 – жесткое защемление)

П N 1 условие закрепления балки на конце, противоположном началу

координат (аналогично предыдущему пункту)

L (i ) D (i ) 2, 0 расстояние от начала координат до опоры, её податливость

10, 0 то же самое, только относительно другой опоры

F x 0 отсутствие продольной силы

NM 2 количество сосредоточенных моментов

NF 1 количество сосредоточенных нагрузок (без опорных реакций)

NQ 1 количество равномерно распределенных нагрузок, включая разгружающие

AM , M 0, -20 расстояние от начала координат до точки приложения

8, 20 сосредоточенного момента и его величина с учетом знака

AF , F 4, -40 расстояние от начала координат до точки приложения

сосредоточенной силы и её значение с учетом знака

AQ , Q 4, -20 расстояние от начала координат до начала действия

равномерно распределенной нагрузки, её значение

Тема 6. Поперечный изгиб бруса. Внутренние усилия, понятие чистого изгиба. Дифференциальные зависимости при изгибе. Эпюры внутренних усилий при плоском изгибе в балках.
6.1. ПОПЕРЕЧНЫЙ ИЗГИБ БРУСА

Одной из распространенных деформаций конструкций является изгиб. Изгибу подвержены стволы деревьев при действии ветровой нагрузки, балки мостов, перекрытий и пр. Такой вид деформации появляется при действии на брус поперечных сил и характеризуется изменением кривизны бруса. В том случае, когда все силы, действующие на брус, располагаются в плоскостях, проходящих через продольную ось стержня, изгиб называется поперечным.

Поперечный изгиб – такой вид деформации, при котором действующая нагрузка расположена в плоскостях, совпадающих с продольной осью стержня (рис. 6.1).

В том случае, когда действующая нагрузка расположена в одной плоскости, проходящей через одну из главных осей поперечного сечения, изгиб называется плоским поперечным или просто плоским.

Таким образом, плоский изгиб (6.2) является частным случаем поперечного изгиба (6.1).

Изгиб стержня в вертикальной плоскости относительно главной центральной оси чаще всего называют просто изгибом. Стержни, подверженные деформации изгиба, называются балками.

Балки прикрепляются к неподвижным основаниям при помощи опорных устройств – внешних связей (1.14), среди которых выделяют четыре основных: шарнирно-подвижная опора (2.3), шарнирно-неподвижная опора (2.4), жесткая заделка (2.5) и ползун.

Для расчета балки необходимо знать всю внешнюю нагрузку как активные силы (1.10) так и реактивные силы (1.11). Поскольку опорные реакции (1.15) чаще всего не задаются, то расчет балки (6.3) нужно начинать с вычисления опорных реакций. Для этого используют условия равновесия тела (2.14). Для системы сил (1.12) на плоскости могут быть составлены лишь три независимых уравнения равновесия тела (1.1). При этом для контроля правильности вычислений рекомендуется определение опорных реакций балок производить по следующему алгоритму.

Алгоритм определения реакций в балке:

1. ΣF z = 0 → H a

2. ΣM a = 0 → R b

3. ΣM b = 0 → R a

4. Требуется доказать ΣF y = 0.

Проиллюстрируем действие алгоритма определения опорных реакций в балке (6.4) на следующем примере.

Пример 6.1. Определить опорные реакции (1.15) балки (6.3) при заданных значениях нагрузки (рис. 6.3): q = 5 кН/м, Р = 20 кН, М =10 кНм,  = 45 0 .

можно заменить силой реакции R В . Определение реакций ведем в соответствии с алгоритмом определения опорных реакций в балке (6.4):

1. ΣF z = 0 , P cos - H a = 0, → H a = P cos = 200,707=14,14 (кН)

2. ΣM А = 0 , - P sin  2- q  4(2+2)+ R B  6+ M =0, →

3. ΣM B = 0 , P sin  4+ q  42 – R A  6 + M =0, →

4. Проверка: ΣF y = R B + R A – P sin – q  4= 16,38+17,76 – 200,707 – 54=31,14 – 31,140.

Реакции определены верно.

^ 6.2. ВНУТРЕННИЕ УСИЛИЯ, ПОНИЯТИЕ ЧИСТОГО ИЗГИБА

Внутренние усилия в балке (6.3) определяются при плоском поперечном изгибе (6.2) общим методом сечений (5.2). Для этого балка разрезается поперечным сечением и рассматривается одна из отсеченных частей в равновесии под действием внешних и внутренних сил, приложенных к отсеченной части. На рис. 6.4 показана балка, загруженная сосредоточенной силой Р . Разрежем ее поперечным сечением m-m на некотором расстоянии z от левой опоры. Внешняя нагрузка на балку, представленная реакцией R A , может быть уравновешена потоком касательных усилий, направленных вниз. Равнодействующая потока касательных усилий в сечении называется поперечной силой. Из условия равновесия получим: , . Однако только поперечной силой Q y обеспечить равновесие левой части балки нельзя, поскольку поперечная сила (6.5) Q y и реакция R A составляют пару силу, момент которой составит R A  z.

Для обеспечения равновесия в поперечном сечении появляются нормальные (перпендикулярные к плоскости сечения) усилия. Очевидно, что нормальные усилия должны быть уравновешены, поскольку

, т.е. одна их часть направлена вправо, другая влево. При этом, не рассматривая закон распределения этих усилий по площади сечения, можно заметить, что они образуют момент равный по величине и противоположный по направлению моменту, образованного силами Q y и R A . Момент внутренних нормальных усилий в сечении балки называется изгибающим моментом.

Из условия равновесия балки получим

.

Аналогично рассмотрим правую часть балки. Из условия равновесия правой части балки следует, что поток касательных усилий в рассматриваемом сечении направлен вверх. Обозначив его также Q y , найдем, что Q y = P - R B . Поскольку P - R B = R A , то получаем, что Q y – это та же самая поперечная сила, которая была приложена к левой части балки вниз, но теперь она приложена к правой части балки вверх. Таким образом, направление поперечной силы зависит от того, какая из отсеченных частей в данный момент рассматривается. Если балку не разрезать, то нельзя ставить вопрос об изображение поперечной силы, поскольку поперечная сила является внутренней силой (1.9), которую можно показать только в месте разреза. Действительно, сложив две части балки, получим целую балку, и поперечные силы при этом будут уравновешены. Поэтому на расчетной схеме балки (6.3) (не разрезанной) поперечные силы не показываются, а есть только внешняя нагрузка.

Таким же образом из условий равновесия правой части балки находим изгибающий момент: M x = R B (a + b - z )- P (a - z ) .

Подставив сюда значение реакции R B = P - R A , получим значение

M x = P (a - z + b )- R А (a + b - z )- P (a - z ) =[P  b - R А (a + b ) ]+ R А  z = R А  z .

(Здесь выражение в квадратных скобках представляет собой момент всех внешних сил (1.8) относительно точки B, который из условия равновесия равен нулю.)

Таким образом, поперечная сила (6.5) равна сумме проекций всех внешних сил, расположенных по одну сторону от сечения, на направление перпендикулярное продольной оси стержня, и взятых с определенным знаком. Необходимо отметить, что при вычислении поперечной силы, нагрузка, направленная вверх слева от сечения, принимается положительной, а при рассмотрении правой части балки отрицательной. С помощью метода сечений эти знаки получаются автоматически. Однако на практике при вычислении внутренних силовых факторов все этапы метода сечений, как правило, выполнять нет необходимости, просто учитывается вся нагрузка с одной стороны от сечения. При этом нужно строго придерживаться правила знаков. Положительные направления поперечных сил при различных расположениях сечения представлены на рис. 6.5а.

Изгибающий момент (6.6) равен сумме моментов всех внешних нагрузок (сил и пар сил), расположенных по одну сторону от сечения и взятых с определенным знаком.

Изгибающий момент считается положительным, если он вызывает растяжение нижних волокон балки. Положительные направления изгибающих моментов при различных расположениях сечения представлены на рис. 6.5б.

Использование правила знаков (рис. 6.5) при определении внутренних силовых факторов в некотором сечении m-m , позволяет сразу (без записи уравнений равновесия) составить выражение суммы проекций сил или суммы моментов сил, расположенных на отсеченной части балки, с учетом их знака. Для этого при рассмотрении левой отсеченной части положительными считают направления поперечных сил и моментов, расположенных по левую сторону от сечения m-m правила знаков. При рассмотрении правой отсеченной части положительными считают направления поперечных сил и моментов, расположенных по правую сторону от сечения m-m правила знаков.

В случае, когда в поперечном сечении балки действует только изгибающий момент, а поперечная сила равна нулю, изгиб называется чистым.
^ 6.3. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ЗАВИСИМОСТИ ПРИ ИЗГИБЕ

Рассмотрим некоторую консольную балку (рис. 6.6), к которой приложена нагрузка, изменяющаяся по произвольному закону. Вырежем из балки бесконечно малый элемент длиной dz , в пределах которого распределенную нагрузку можно считать равномерно распределенной.

На левой и правой грани рассматриваемого элемента действуют положительные внутренние силовые факторы. Под действием приложенной нагрузки и внутренних силовых факторов (5.1) выделенный элемент должен находиться в равновесии. Запишем уравнения статики:

ΣF y = 0; Q y + q(z) dz – (Q y + dQ y ) = 0 →

= ± q (z ) (6.1)

ΣM К = 0; M x + Q z dz + q (z ) dz ·– (M x + dM x ) = 0 →

= ± Q y (6.2)

Знак «+» или «-» в формулах (6.1) и (6.2) зависят от направления оси z . Для правосторонней системы координат берется знак «+».

Первая зависимость (6.1) называется первой теоремой Журавского, вторая (6.2) – второй теоремой Журавского.
^ 6.3. ЭПЮРЫ ВНУТРЕННИХ УСИЛИЙ ПРИ ПЛОСКОМ ИЗГИБЕ В БАЛКАХ

Внутренние силовые факторы (5.1) изменяются в зависимости от положения сечения. Характер изменения изгибающего момента и поперечной силы по длине балки представляют в виде эпюр (5.3).

Построение эпюр внутренних силовых факторов в балках выполняется в определенной последовательности.

1. 
   Вычисляется и показывается на расчетной схеме вся внешняя нагрузка. Обычно активная нагрузка задается, а реакции опор следует определить.
2. 
   Балка разбивается на отдельные участки. Участком балки называют часть балки между точками приложения сосредоточенных нагрузок, точками начала или окончания распределенной нагрузки.
3. 
   На каждом участке вводится "плавающая" система координат, нуль которой совмещается с одной из границ участка балки (6.8) и составляются аналитические выражения для изгибающего момента (6.6) и поперечной силы (6.5).
4. 
   По аналитическим функциям внутренних силовых факторов (5.1) и их значениям на границах участков балки (6.8) строятся эпюры. При этом на эпюре Q y положительная ордината откладывается вверх, а на эпюре M x вниз. Это связано с принятым правилом знаков. Принято говорить, что эпюра M x строится со стороны растянутого волокна балки.
5. 
   Дифференциальные зависимости (6.1) и (6.2) используются для контроля правильности построения эпюр.

		Пример 6.2. Построить эпюры изгибающих моментов и поперечных сил для заданной балки (рис. 6.7). Определяем опорные реакции (см. пример 6.1): R A =17.76кН, H A =0, R B =16.38кН. Разбиваем балку на участки: балка содержит 3 участка – АС, СВ и BD. На участках АС и СВ в произвольном месте проводим сечение соответственно I-I и II-II и рассматриваем левую отсеченную часть балки. Для этого на каждом участке вводим систему координат z 1 и z 2 , совмещая её начало с левой границей участка. На участке ВD проводим сечение III-III и рассматриваем отсеченную правую часть. Нуль системы координат z 3 совмещаем с правой границей участка.
^ СУЩЕСТВЕННОЕ ЗАМЕЧАНИЕ! !	Каждый участок рассматривается независимо от других. Так, рассматривая, например, участок 2 рассеченный сечением II-II, все остальные сечения игнорируют. Т.е. каждое сечение разрезает балку только на две части – правую и левую.

Составляем аналитические зависимости:

Участок 1 0≤z 1 ≤2м.

Q y =R A =17.76 кН.

Получили постоянное значение, не зависящее от координаты z 1.

M x = R A  z 1­­ = 17.76 z 1 .

Получили прямолинейную зависимость момента M x ­ от координаты z 1 . Для построения этой прямой достаточно знать значение функции в 2-ух точках.

M x (0) =17.76 0=0.

M x (2) = 17.76 2= 35.52 кНм.

Участок 2 0≤z 2 ≤4м.

Q y =R A –P – q  z 2 = 17.76 – 14.14 –5z 2 =3.62–5z 2 ­­ кН.

Получили прямолинейную зависимость поперечной силы Q y от координаты z 2. Для построения этой прямой достаточно знать значение функции в 2-ух точках.

Q y (0) = 3.62–50=3.62 кН.

Q y (4) = 3.62–54= –16,38 кН.

Получили квадратичную зависимость момента M x ­ от координаты z 2 . Для построения этой квадратной параболы определим значения функции на границах участка.

M x (0) =35.52+3.620 – 2.50 2 =35.52 кНм.

M x (4) = 35.52+3.624 – 2.54 2 =10 кНм.

Для построения параболы выясним местоположение её вершины. Известно, что положение экстремума любой функции может быть найдено путем приравнивания первой производно к нулю:

, откуда

 – вершина попала на участок

Найдем значение момента в вершине параболы:

M x ,max ­­ = M x (0.724) = 35.52+3.620.724 – 2.50.724 2 =36.83 кНм.

Определим направление выпуклости параболы. Для этого воспользуемся анализом второй производной функции по координате:

– функция выпукла в положительном направлении оси ординат. Однако, поскольку на эпюре моментов положительные ординаты откладывают снизу, то парабола имеет выпуклость вниз. Для уменьшения путаницы, связанной с системой координат, при построении эпюры моментов, говорят, что парабола на эпюре моментов выпукла в направлении распределенной нагрузки на участке.

Участок 3 0≤z 3 ≤2м.

Q y =0.

M x = M=10кНм .

Очевидно, что последний участок балки (6.8) является участком чистого изгиба (6.7).



Также в качестве проверки используют следствие дифференциальных зависимостей (6.1) и (6.2). Так, при q =0, получим, что Q y ­ =const, а M x =f(z) , т.е. на участке, где распределенная нагрузка отсутствует, поперечная сила постоянна и эпюра имеет вид горизонтальной линии, а эпюра моментов имеет вид произвольной прямой. Такими участками на балке являются участок 1 и 3. При q =const, получим, что Q y ­ = f(z) , а M x =f(z 2 ) , т.е. на участке, где есть равномерно распределенная нагрузка, поперечная сила имеет вид произвольной прямой, а эпюра моментов имеет вид квадратной параболы. Таким участком на балке является участок 2.

Для консольной балки, нагруженной распределенной нагрузкой интенсивностью кН/м и сосредоточенным моментом кН·м (рис. 3.12), требуется: построить эпюры перерезывающих сил и изгибающих моментов , подобрать балку круглого поперечного сечения при допускаемом нормальном напряжении кН/см2 и проверить прочность балки по касательным напряжениям при допускаемом касательном напряжении кН/см2. Размеры балки м; м; м.

Расчетная схема для задачи на прямой поперечный изгиб

Рис. 3.12

Решение задачи "прямой поперечный изгиб"

Определяем опорные реакции

Горизонтальная реакция в заделке равна нулю, поскольку внешние нагрузки в направлении оси z на балку не действуют.

Выбираем направления остальных реактивных усилий, возникающих в заделке: вертикальную реакцию направим, например, вниз, а момент – по ходу часовой стрелки. Их значения определяем из уравнений статики:

Составляя эти уравнения, считаем момент положительным при вращении против хода часовой стрелки, а проекцию силы положительной, если ее направление совпадает с положительным направлением оси y.

Из первого уравнения находим момент в заделке :

Из второго уравнения – вертикальную реакцию :

Полученные нами положительные значения для момента и вертикальной реакции в заделке свидетельствуют о том, что мы угадали их направления.

В соответствии с характером закрепления и нагружения балки, разбиваем ее длину на два участка. По границам каждого из этих участков наметим четыре поперечных сечения (см. рис. 3.12), в которых мы и будем методом сечений (РОЗУ) вычислять значения перерезывающих сил и изгибающих моментов.

Сечение 1. Отбросим мысленно правую часть балки. Заменим ее действие на оставшуюся левую часть перерезывающей силой и изгибающим моментом . Для удобства вычисления их значений закроем отброшенную нами правую часть балки листком бумаги, совмещая левый край листка с рассматриваемым сечением.

Напомним, что перерезывающая сила, возникающая в любом поперечном сечении, должна уравновесить все внешние силы (активные и реактивные), которые действуют на рассматриваемую (то есть видимую) нами часть балки. Поэтому перерезывающая сила должна быть равна алгебраической сумме всех сил, которые мы видим.

Приведем и правило знаков для перерезывающей силы: внешняя сила, действующая на рассматриваемую часть балки и стремящаяся «повернуть» эту часть относительно сечения по ходу часовой стрелки, вызывает в сечении положительную перерезывающую силу. Такая внешняя сила входит в алгебраическую сумму для определения со знаком «плюс».

В нашем случае мы видим только реакцию опоры , которая вращает видимую нами часть балки относительно первого сечения (относительно края листка бумаги) против хода часовой стрелки. Поэтому

кН.

Изгибающий момент в любом сечении должен уравновесить момент, создаваемый видимыми нами внешними усилиями, относительно рассматриваемого сечения. Следовательно, он равен алгебраической сумме моментов всех усилий, которые действуют на рассматриваемую нами часть балки, относительно рассматриваемого сечения (иными словами, относительно края листка бумаги). При этом внешняя нагрузка, изгибающая рассматриваемую часть балки выпуклостью вниз, вызывает в сечении положительный изгибающий момент. И момент, создаваемый такой нагрузкой, входит в алгебраическую сумму для определения со знаком «плюс».

Мы видим два усилия: реакцию и момент в заделке . Однако у силы плечо относительно сечения 1 равно нулю. Поэтому

кН·м.

Знак «плюс» нами взят потому, что реактивный момент изгибает видимую нами часть балки выпуклостью вниз.

Сечение 2. По-прежнему будем закрывать листком бумаги всю правую часть балки. Теперь, в отличие от первого сечения, у силы появилось плечо: м. Поэтому

кН; кН·м.

Сечение 3. Закрывая правую часть балки, найдем

кН;

Сечение 4. Закроем листком левую часть балки. Тогда

кН·м.

Сечение 5.

кН·м.

Сечение 6.

.

По найденным значениям строим эпюры перерезывающих сил (рис. 3.12, б) и изгибающих моментов (рис. 3.12, в).

Под незагруженными участками эпюра перерезывающих сил идет параллельно оси балки, а под распределенной нагрузкой q – по наклонной прямой вверх. Под опорной реакцией на эпюре имеется скачок вниз на величину этой реакции, то есть на 40 кН.

На эпюре изгибающих моментов мы видим излом под опорной реакцией . Угол излома направлен навстречу реакции опоры. Под распределенной нагрузкой q эпюра изменяется по квадратичной параболе, выпуклость которой направлена навстречу нагрузке. В сечении 6 на эпюре – экстремум, поскольку эпюра перерезывающей силы в этом месте проходит здесь через нулевое значение.

Определяем требуемый диаметр поперечного сечения балки

Условие прочности по нормальным напряжениям имеет вид:

,

где – момент сопротивления балки при изгибе. Для балки круглого поперечного сечения он равен:

.

Наибольший по абсолютному значению изгибающий момент возникает в третьем сечении балки: кН·см.

Тогда требуемый диаметр балки определяется по формуле

см.

Принимаем мм. Тогда

кН/см2 кН/см2.

«Перенапряжение» составляет

,

что допускается.

Наибольшие касательные напряжения, возникающие в поперечном сечении балки круглого сечения, вычисляются по формуле

,

где – площадь поперечного сечения.

Согласно эпюре , наибольшее по алгебраической величине значение перерезывающей силы равно кН. Тогда

кН/см2 кН/см2,

то есть условие прочности и по касательным напряжениям выполняется, причем, с большим запасом.

Пример решения задачи "прямой поперечный изгиб" №2

Условие примера задачи на прямой поперечный изгиб

Для шарнирно опертой балки, нагруженной распределенной нагрузкой интенсивностью кН/м, сосредоточенной силой кН и сосредоточенным моментом кН·м (рис. 3.13), требуется построить эпюры перерезывающих сил и изгибающих моментов и подобрать балку двутаврового поперечного сечения при допускаемом нормальном напряжении кН/см2 и допускаемом касательном напряжении кН/см2. Пролет балки м.

Пример задачи на прямой изгиб – расчетная схема

Рис. 3.13

Решение примера задачи на прямой изгиб

Определяем опорные реакции

Для заданной шарнирно опертой балки необходимо найти три опорные реакции: , и . Поскольку на балку действуют только вертикальные нагрузки, перпендикулярные к ее оси, горизонтальная реакция неподвижной шарнирной опоры A равна нулю: .

Направления вертикальных реакций и выбираем произвольно. Направим, например, обе вертикальные реакции вверх. Для вычисления их значений составим два уравнения статики:

Напомним, что равнодействующая погонной нагрузки , равномерно распределенной на участке длиной l, равна , то есть равна площади эпюры этой нагрузки и приложена она в центре тяжести этой эпюры, то есть посредине длины.

;

кН.

Делаем проверку: .

Напомним, что силы, направление которых совпадает с положительным направлением оси y, проектируются (проецируются) на эту ось со знаком плюс:

то есть верно.

Строим эпюры перерезывающих сил и изгибающих моментов

Разбиваем длину балки на отдельные участки. Границами этих участков являются точки приложения сосредоточенных усилий (активных и/или реактивных), а также точки, соответствующие началу и окончанию действия распределенной нагрузки. Таких участков в нашей задаче получается три. По границам этих участков наметим шесть поперечных сечений, в которых мы и будем вычислять значения перерезывающих сил и изгибающих моментов (рис. 3.13, а).

Сечение 1. Отбросим мысленно правую часть балки. Для удобства вычисления перерезывающей силы и изгибающего момента , возникающих в этом сечении, закроем отброшенную нами часть балки листком бумаги, совмещая левый край листка бумаги с самим сечением.

Перерезывающая сила в сечении балки равна алгебраической сумме всех внешних сил (активных и реактивных), которые мы видим. В данном случае мы видим реакцию опоры и погонную нагрузку q, распределенную на бесконечно малой длине. Равнодействующая погонной нагрузки равна нулю. Поэтому

кН.

Знак «плюс» взят потому, что сила вращает видимую нами часть балки относительно первого сечения (края листка бумаги) по ходу часовой стрелки.

Изгибающий момент в сечении балки равен алгебраической сумме моментов всех усилий, которые мы видим, относительно рассматриваемого сечения (то есть относительно края листка бумаги). Мы видим реакцию опоры и погонную нагрузку q, распределенную на бесконечно малой длине. Однако у силы плечо равно нулю. Равнодействующая погонной нагрузки также равна нулю. Поэтому

Сечение 2. По-прежнему будем закрывать листком бумаги всю правую часть балки. Теперь мы видим реакцию и нагрузку q, действующую на участке длиной . Равнодействующая погонной нагрузки равна . Она приложена посредине участка длиной . Поэтому

Напомним, что при определении знака изгибающего момента мы мысленно освобождаем видимую нами часть балки от всех фактических опорных закреплений и представляем ее как бы защемленной в рассматриваемом сечении (то есть левый край листка бумаги нами мысленно представляется жесткой заделкой).

Сечение 3. Закроем правую часть. Получим

Сечение 4. Закрываем листком правую часть балки. Тогда

Теперь, для контроля правильности вычислений, закроем листком бумаги левую часть балки. Мы видим сосредоточенную силу P, реакцию правой опоры и погонную нагрузку q, распределенную на бесконечно малой длине. Равнодействующая погонной нагрузки равна нулю. Поэтому

кН·м.

То есть все верно.

Сечение 5. По-прежнему закроем левую часть балки. Будем иметь

кН;

кН·м.

Сечение 6. Опять закроем левую часть балки. Получим

кН;

По найденным значениям строим эпюры перерезывающих сил (рис. 3.13, б) и изгибающих моментов (рис. 3.13, в).

Убеждаемся в том, что под незагруженным участком эпюра перерезывающих сил идет параллельно оси балки, а под распределенной нагрузкой q – по прямой, имеющей наклон вниз. На эпюре имеется три скачка: под реакцией – вверх на 37,5 кН, под реакцией – вверх на 132,5 кН и под силой P – вниз на 50 кН.

На эпюре изгибающих моментов мы видим изломы под сосредоточенной силой P и под опорными реакциями. Углы изломов направлены навстречу этим силам. Под распределенной нагрузкой интенсивностью q эпюра изменяется по квадратичной параболе, выпуклость которой направлена навстречу нагрузке. Под сосредоточенным моментом – скачок на 60 кН ·м, то есть на величину самого момента. В сечении 7 на эпюре – экстремум, поскольку эпюра перерезывающей силы для этого сечения проходит через нулевое значение (). Определим расстояние от сечения 7 до левой опоры.

Перерезывающая сила

м.

Экстремальное значение изгибающего момента в сечении 7 равно:

Определяем требуемый момент сопротивления балки из условия прочности по нормальным напряжениям

Согласно эпюре , максимальный по алгебраической величине изгибающий момент возникает в третьем поперечном сечении балки: кН·см. Тогда

см3.

По сортаменту (см. прил. 1, табл. П1.3) подбираем двутавр № 30а, имеющий см3.

Проверяем прочность балки по наибольшим касательным напряжениям

Наибольшие касательные напряжения, возникающие в поперечном сечении двутавровой балки, вычисляются по формуле