Эпюры кручения онлайн. Если главные оси проходят через центр тяжести площади фигуры, то их называют главными центральными осями. Моменты инерции относительно главных центральных осей называют главным и центральными моментами инерции. Определяем реактивный

Кручением называется такой вид деформации стержня, при котором в его поперечных сечениях возникает только один внутренний силовой фактор – крутящий момент . Все остальные внутренние усилия – нормальная и поперечная силы, изгибающи й момент при кручении отсутствуют. Кручение испытывают многие детали машин и сооружений: валы двигателей и станков, оси моторных вагонов и двигателей, элементы пространственных конструкций и т.д. Как показали исследования, характер деформации скручиваемого стержня зависит от формы его поперечного сечения. Особое место среди стержней, подвергаемых кручению, принадлежит стержням с круглым поперечным сечением. Такие стержни, испытывающие кручение, называют валами.

К скручиваемому стержню в разных его сечениях может быть приложено несколько внешних моментов. Рассмотрим случай, когда все внешние моменты взаимно уравновешены и действуют в плоскостях, прерпендикулярных оси стержня (Рис.11.9,а):

Для определения крутящего момента в каком-либо сечении стержня воспользуемся правилом, полученном при использовании метода сечений, изложенном в теме №1. На основании этого правила главный вектор и главный момент всех внутренних сил, действующих в рассматриваемом сечении на оставшуюся часть тела, равняются соответственно главному вектору и главному моменту всех внешних сил, приложенных к отброшенной части тела.

Таким образом, чтобы определить крутящий момент

, необходимо просуммировать все внешние моменты, действующие по одну сторону от рассматриваемого сечения. Слева от сеченияIII, в котором определяется крутящий момент, действуют внешние моменты

и

. Следовательно, крутящий момент в сеченииIII будет равен:

Здесь и в дальнейшем при построении эпюр крутящих моментов следует пользоваться следующим правилом знаков: если смотреть на отброшенную часть со стороны сечения, в котором определяется крутящий момент, то при вращении внешним моментом стержня по часовой стрелке его следует брать со знаком “минус”, и наоборот – при вращении внешним моментом вала против часовой стрелки его следует брать со знаком “плюс”.

Рассмотрим пример построения эпюры крутящих моментов.

Пример 11.1. Построить эпюру крутящих моментов для стержня, изображенного на рис.11.10а.

1. Разобьем вал на участки: I, II, III, IV и V.

2. Пользуясь правилом для определения крутящих моментов, изложенным выше, находим:

;

кНм;кНм;

кНм;

.

Крутящие моменты на участках I, II, III опредеделялись слева, на участках IV, V  справа.

3. Откладываем полученные моменты от базисной линии и строим эпюру крутящих моментов (Рис.11.10б).

11.9. Вывод формул для напряжений и деформаций при кручении валов

Рассмотрим стержень круглого поперечного сечения, на поверхности которого нанесена сетка, образованная системой образующих и окружностей, сотавляющих внешние контуры сечений (Рис.11.11).

Наблюдения показывают, что после закручивания прямоугольники, образованные сеткой, перекашиваются, ось стержня остается прямолинейной, контуры поперечных сечения, круглые и плоские до деформации, не меняют своих очертаний и после деформации. При кручении происходит поворот одного сечения по отношению к другому на угол, называемый углом закручивания. Расстояние между поперечными сечениями практически не меняется, а это указывает на отсутствие продольных деформаций. Если провести прямую линию вдоль радиуса поперечного сечения стержня в торцовом сечении, то в процессе закручивания эта прямая линия не искривляется.

Приведенные наблюдения отражают лишь те деформации, которые происходят на поверхности стержня, но не позволяют делать какие-либо заключения о деформации внутренних волокон. В связи с этим сформулируем ряд гипотез, которые затем положим в основу последующих выводов. Эти гипотезы следующие:

1. Сечения плоские до закручивания, остаются плоскими после закручивания.

2. Радиусы, проведенные мысленно в любом поперечном сечении, в процессе кручения не искривляются.

3. Поперечные сечения, не удаляясь друг от друга в процессе деформации, лишь скользят одно относительно другого, в связи с чем при кручении наблюдается деформация чистого сдвига.

Принятые гипотезы позволяют предположить, что при кручении круглого стержня в результате сдвига возникают только касательные напряжения, а нормальные равны нулю.

Для вывода формулы для касательных напряжений при кручении валов рассмотрим стержень радиуса , заделанный одним концом (Рис.11.12), на свободном конце которого приложим пару сил с моментом

.

На боковой поверхности стежня проведем образующую AD, которая после кручения займет положение АD 1 . Под действием скручивающего момента

сечениеI – I повернется на угол относительно жесткой заделки. СечениеII – II повернется на угол

. Таким образом, взаимный угол поворота сеченийI – I и II – II составит

.

Рассмотрим отдельно элемент стержня длиной

. Левое сечение элемента будем считать неподвижным (Рис.11.13). Образующая ВС наклонится на малый уголи займет положение ВС 1 . Угол сдвига волокна, принадлежащего поверхности вала, найдем из равенства:

.

Для произвольного волокна, отстоящего от центра тяжести на расстоянии угол сдвига будет равен:

.

Применяя для двух точек С 1 и D 1 закон Гука при сдвиге (11.6), запишем выражения для касательных напряжений:

; (11.26)

. (11.27)

Сравнивая формулы (11.26) и (11.27), приходим к выводу, что касательные напряжеения при кручении вала пропорциональны расстоянию от оси вала. Наибольшие напряжения будут в точках, наиболее удаленных от центра тяжести сечения.

Формула (11.27) представляет собой закон изменения касательных напряжений в поперечном сечении вала. На рис.11.14 представлен график изменения касательных напряжений.

Выделим вокруг точки на расстоянии от центра тяжести площадку

и вычислим момент силы, действующей на этой площадке

, относительно оси стержня:

.

Полный крутящий момент будет равен:

. (11.28)

Подставляя в формулу (11.28) значение из формулы (11.27), получим:

. (11.29)

В формуле (11.29) величина для всех точек поперечного сечения одинакова, поэтому ее можно вынести за знак интеграла. Под знаком интеграла останется величина

, представляющая собой полярный момент инерции поперечного сечения. Тогда выражение (11.29) преобразуется к виду:

. (11.30)

Подставляя выражение для в формулу (11.27), получим:

. (11.31)

Выражение (11.31) представляет собой закон распределения касательных напряжений вдоль радиуса сечения и позволяет определить касательное напряжение в любой точке поперечного сечения. При

, т.е. в центре тяжести поперечного сечения, касательные напряжения равны нулю.

Максимальные напряжения в сечении возникают в наиболее удаленных точках сечения при

:

. (11.32)

Выражение (11.31) так же, как и выражение (11.27) устанавливают прямо пропорциональную зависимость величины касательных напряжений от расстояния точки до центра тяжести сечения. Графически этот закон представлен на рис.11.14.

Величина

называетсяполярным моментом сопротивления круглого сечения при кручении и характеризуетвлияние размеров сечения на способность скручиваемого элемента сопротивляться внешним нагрузкам, не разрушаясь .

Угол закручивания поперечного сечения можно определить из формулы (11.30):

.

Интегрируя это выражение по всей длине стержня, получим:

. (11.33)

Если вал имеет постоянный диаметр, а крутящий момент по всей длине стержня не меняется, то после интегрирования выражения (11.33), угол закручивание будет иметь вид:

. (11.34)

Величина

называется жесткостью поперечного сечения вала при кручении и характеризует влияние геометрических размеров поперечного сечения и физических характеристик материала на способность вала сопротивляться закручиванию.

Для ступенчатых стержней или же стержней, у которых крутящий момент меняется по длине скачкообразно, угол закручивания между начальным и конечным сечениями вала определяется как сумма углов закручивания с постоянным отношением :

, (11.35)

где число участков вала.

Полный угол закручивания не всегда может характеризовать жесткость вала при кручении. Если на протяжении длины вала крутящие моменты имеют разные знаки, то полный угол закручивания может оказаться небольшим, в то время как на отдельных участках угол закручивания может быть значительным. В связи с этим для оценки жесткости скручиваемого стержня применяется другая мера – относительный угол закручивания

. (11.36)

Размерность относительного угла закручивания

или

.

Кручение стержня круглого сечения – условие задачи

К стальному валу постоянного поперечного сечения (рис. 3.8) приложены четыре внешних скручивающих момента: кН·м; кН·м; кН·м; кН·м. Длины участков стержня: м; м, м, м. Требуется: построить эпюру крутящих моментов, определить диаметр вала при кН/см2 и построить эпюру углов закручивания поперечных сечений стержня.

Кручение стержня круглого сечения – расчетная схема

Рис. 3.8

Решение задачи кручение стержня круглого сечения

Определяем реактивный момент, возникающий в жесткой заделке

Обозначим момент в заделке и направим его, например, против хода часовой стрелки (при взгляде навстречу оси z).

Запишем уравнение равновесия вала. При этом будем пользоваться следующим правилом знаков: внешние скручивающие моменты (активные моменты, а также реактивный момент в заделке), вращающие вал против хода часовой стрелки (при взгляде на него навстречу оси z), считаем положительными.

Знак «плюс» в полученном нами выражении говорит о том, что мы угадали направление реактивного момента , возникающего в заделке.

Строим эпюру крутящих моментов

Напомним, что внутренний крутящий момент , возникающий в некотором поперечном сечении стержня, равен алгебраической сумме внешних скручивающих моментов, приложенных к любой из рассматриваемых частей стержня (то есть действующих левее или правее сделанного сечения). При этом внешний скручивающий момент, вращающий рассматриваемую часть стержня против хода часовой стрелки (при взгляде на поперечное сечение), входит в эту алгебраическую сумму со знаком «плюс», а по ходу – со знаком «минус».

Соответственно, положительный внутренний крутящий момент, противодействующий внешним скручивающим моментам, направлен по ходу часовой стрелки (при взгляде на поперечное сечение), а отрицательный – против ее хода.

Разбиваем длину стержня на четыре участка (рис. 3.8, а). Границами участков являются те сечения, в которых приложены внешние моменты.

Делаем по одному сечению в произвольном месте каждого из четырех участков стержня.

Cечение 1 – 1. Мысленно отбросим (или закроем листком бумаги) левую часть стержня. Чтобы уравновесить скручивающий момент кН·м, в поперечном сечении стержня должен возникнуть равный ему и противоположно направленный крутящий момент . С учетом упомянутого выше правила знаков

кН·м.

Сечения 2 – 2 и 3 – 3:

Сечение 4 – 4. Чтобы определить крутящий момент, в сечении 4 – 4 отбросим правую часть стержня. Тогда

кН·м.

Легко убедиться в том, что полученный результат не изменится, если мы отбросим теперь не правую, а левую часть стержня. Получим

Для построения эпюры крутящих моментов проводим тонкой линией ось, параллельную оси стержня z (рис. 3.8, б). Вычисленные значения крутящих моментов в выбранном масштабе и с учетом их знака откладываем от этой оси. В пределах каждого из участков стержня крутящий момент постоянен, поэтому мы как бы «заштриховываем» вертикальными линиями соответствующий участок. Напомним, что каждый отрезок «штриховки» (ордината эпюры) дает в принятом масштабе значение крутящего момента в соответствующем поперечном сечении стержня. Полученную эпюру обводим жирной линией.

Отметим, что в местах приложения внешних скручивающих моментов на эпюре мы получили скачкообразное изменение внутреннего крутящего момента на величину соответствующего внешнего момента.

Определяем диаметр вала из условия прочности

Условие прочности при кручении имеет вид

,

где – полярный момент сопротивления (момент сопротивления при кручении).

Наибольший по абсолютному значению крутящий момент возникает на втором участке вала: кН·см.

Тогда требуемый диаметр вала определяется по формуле

см.

Округляя полученное значение до стандартного, принимаем диаметр вала равным мм.

Определяем углы закручивания поперечных сечений A, B, C, D и E и строим эпюру углов закручивания

Сначала вычисляем крутильную жесткость стержня , где G – модуль сдвига, а – полярный момент инерции. Получим

Углы закручивания на отдельных участках стержня равны.

2. Кручение.

2.1. Построение эпюр крутящих моментов.

Стержень испытывает кручение, если в его поперечных сечениях возникают крутящие моменты, т.е. моменты, лежащие в плоскости сечения. Обычно эти крутящие моменты Тк возникают под действием внешних моментов Т (рис. 2.1). Внешние моменты передаются на вал, как правило, в местах посадки на него шкивов, зубчатых колес и т.п.

Однако и поперечная нагрузка, смещенная относительно оси стержня, вызывает крутящие моменты (рис. 2.2), но в указанном слечае

В поперечных сечениях наряду с крутящими моментами возникают и другие внутренние усилия - поперечные силы и изгибающие моменты.

Вращающиеся и работающие на кручение стержни называют валами.

Вместо аксонометрического изображения будем применять главным образом плоское, как более простое. Внешние скручивающие моменты и внутренние крутящие моменты будем изображать в виде линии с двумя кружочками. В одном из них будем ставить точку, обозначающую начало стрелки (на нас), в другом - крестик, обозначающий конец стрелки, направленный от нас (рис. 2.3).

Для определения крутящих моментов Тк возникающих в сечениях вала под действием внешних скручивающих моментов или поперечной нагрузки, будем применять метод сечений. Сделаем мысленный разрез стержня (рис. 2.3), например по а - а, отбросим одну часть стержня, в данном случае левую, и рассмотрим равновесие оставшейся правой части.

Взаимодействие частей стержня заменим крутящим моментом Тк , уравновешивающим внешний момент Т. Для равновесия отсеченной части необходимо, чтобы алгебраическая сумма всех моментов, действующих на нее, была равна нулю. Отсюда в рассматриваемом случае получим, что Тк = Т. Если на отсеченную часть будет действовать несколько внешних моментов, то, проведя аналогичное рассуждения, можно убедиться, что крутящий момент в сечении численно равен алгебраической сумме внешних скручивающих моментов, действующих по одну сторону от сечения.

Для наглядного представления о характере распределения и величине крутящих моментов по длине стержня строят эпюры (графики) этих моментов. Построение их вполне аналогично построению эпюр продольных сил при растяжении или сжатии. Для построения эпюр необходимо условиться о правиле знаков. Общепринятого правила знаков для крутящих моментов не существует. Может быть принято любое правило знаков. Важно лишь принятое правило выдержать на всем протяжении эпюры.

Примем следующее правило знаков (рис. 2.4). Крутящий момент в сечении а - а считается положительным, когда внешний момент вращает отсеченную часть против часовой стрелки, если смотреть на отсеченную часть со стороны сечения. Если же внешний момент вращает отсеченную часть по часовой стрелке (при взгляде со стороны сечения), то крутящий момент в сечении будем считать отрицательным.

Построение эпюры крутящих моментов поясним на следующем примере (рис. 2.5): рассмотрим вал CD, опирающийся на подшипники B и A и находящийся в равновесии под действием приложенных к нему в сечениях E, K и L моментов. Сделав сечение а - а где-либо на участке DL и рассмотрев равновесие правой отсеченной части, убедимся, что Тк = 0. Если мы сделаем затем сечение b - b в любом месте участка LK, то из условия равновесия правой от сечения части получим Тк = 20 кН * м.

Момент считаем положительным в соответствии с принятым правилом знаков. Сделав сечение с - с на участке KE из условия равновесия правой части, получаем 20 - 30 - Тк = 0. Откуда Тк = -10 кН * м.

Получившаяся эпюра имеет форму двух прямоугольников. Важно заметить, что в местах приложения внешних моментов ординаты эпюры скачкообразно изменяюися на величину приложенного здесь внешнего момента.

Если заданы поперечные нагрузки, вызывающие кручение стержня (рис. 2.2), то предварительно вычисляют внешние скручивающие моменты, создаваемые этими силами. В случае, представленном на рис. 2.2, внешний скручивающий момент от силы F равен T = Fr . После определения внешних моментов определяют внутренние крутящие моменты и строят эпюры, как указано выше.

Полезные ресурсы по теме "Построение эпюр"

1. , которая выдаст расписанное решение любой балки. .
Кроме построения эпюр эта программа так же подбирает профиль сечения по условию прочности на изгиб, считает прогибы и углы поворота в балке.

2. , которая строит 4 вида эпюр и рассчитывает реакции для любых балок (даже для статически неопределимых).

На стальной вал посажены четыре шкива. Мощность, передаваемая ведомыми шкивами, составляет N 1 =10кВт, N 2 = 20кВт; N 3 = 30кВт. Расстояние а=0,5м. Количество оборотов вала n = 300 об/мин. Определить:

1. Вычертить в масштабе расчётную схему вала.

2. Определить величину мощности, подводимой к ведущему шкиву.

3. Определить величину скручивающих моментов, приложенных к шкивам 1, 2, 3, 4.

4. Определить крутящие моменты по участкам вала и построить их эпюру.

5. Определить положение опасного сечения и найти диаметр вала из условий прочности.

6. Определить касательные напряжения по участкам и построить их эпюру.

7. Определить углы закручивания по участкам и построить их эпюру.

Сделать выводы.

1. Мощность N 0 на ведущем шкиве равна сумме мощностей ведомых шкивов.

2. Угловая скорость вращения вала

3. Скручивающие моменты передаваемые на вал от отдельных шкивов.

4. Величину крутящих моментов на участках вала определяем методом сечений и строим эпюру.

5. Диаметр вала определяем из условий прочности на кручение.

Принимаем ;

Принимаем ;

6. Определяем касательные напряжения по участкам и строим их эпюру.

Касательные напряжения в любом сечении вала выражаются зависимостью

Задание

Для стального вала круглого поперечного сечения определить значения внешних моментов, соответствующих передаваемым мощ­ностям, и уравновешенный момент (табл.7.1 и табл.7.2).

Построить эпюру крутящих моментов по длине вала.

Определить диаметры вала по сечениям из расчетов на проч­ность и жесткость. Полученный больший результат округлить до ближайшего четного или оканчивающегося на 5 числа.

При расчете использовать следующие данные: вал вращается с угловой скоростью 25 рад/с; материал вала - сталь, допуска­емое напряжение кручения 30 МПа, модуль упругости при сдвиге 8 10 4 МПа; допускаемый угол закручивания = 0,02 рад/м.

Провести расчет для вала кольцевого сечения, приняв с = 0,9. Сделать выводы о целесообразности выполнения вала круглого или кольцевого сечения, сравнив площади поперечных сечений.

Цель работы - научиться выполнять проектировочные и проверочные расчеты круглого бруса для статически определимых систем, проводить проверку на жесткость.

Теоретическое обоснование

Кручением называется нагружение, при котором в поперечном сечении бруса возникает только один внутренний силовой фактор – крутящий момент. Внешними нагрузками также являются две противоположно направленные пары сил.

Распределение касательных напряжений по сечению при кручении(рис. 7.1)

Касательное напряжение в точке А:

Рис.7.1

(7.1)

где - расстояние от точки А до

центра сечения.

Условие прочности при кручении

; (круг), (7.2)

(кольцо), (7.3)

где М к - крутящий момент в сечении, Н-м, Н-мм;

W p - момент сопротивления при кручении, м 3 , мм 3 ;

[т к ] - допускаемое напряжение при кручении, Н/м 2 , Н/мм 2 .

Проектировочный расчет, определение размеров по­перечного сечения

(7.4)

где d - наружный диаметр круглого сечения;

d B n - внутренний диаметр кольцевого сечения; с = d BK /d.

Определение рационального расположения колесна валу

Рациональное расположение колес - расположение, при кото­ром максимальное значение крутящего момента на валу - наи­меньшее из возможных.

Условие жесткости при кручении

; G ≈ 0,4E (7.5)

где G - модуль упругости при сдвиге, Н/м 2 , Н/мм 2 ;

Е - модуль упругости при растяжении, Н/м 2 , Н/мм 2 .

[φо ] - допускаемый угол закручивания, [φо] = 0, 54-1 град/м;

J p - полярный момент инерции в сечении, м 4 , мм 4 .

(7.6)

Проектировочный расчет, определение наружное диаметра сечения

Порядок выполнения работы

1. Построить эпюру крутящих моментов по длине вала для пред­ложенной в задании схемы.

2. Выбрать рациональное расположение колес на валу и даль­нейшие расчеты проводить для вала с рационально расположенными шкивами.

3. Определить потребные диаметры вала круглого сечения из расчета на прочность и жесткость и выбрать наибольшее из полу­ченных значений, округлив величину диаметра.

4. Сравнить затраты металла для случая круглого и кольцево­го сечений. Сравнение провести по площадям поперечных сечений валов.

Контрольные вопросы

1. Какие деформации возникают при кручении?

2. Какие гипотезы выполняются при деформации кручения?

3. Изменяются ли длина и диаметр вала после скручивания?

4. Какие внутренние силовые факторы возникают при кручении?

5. Что такое рациональное расположение колос на валу?

6. Что такое полярный момент инерции? Какой физический смысл имеет эта величина?

7. В каких единицах измеряется?

Пример выполнения

Для заданного бруса (рис.7.1) построить эпюры крутящих моментов, рациональным расположением шкивов на валу добиться уменьшения значения максимального крутящего момента. Построить эпюру крутящих моментов при рациональном расположении шкивов. Из условия прочности определить диаметры валов для сплошного и кольцевого сечений, приняв с = . Сравнить полученные результаты по полученным площадям поперечных сечений. [τ] = 35 МПа.

Решение

Сечение 2 (рис.7.2б):

Сечение 3 (рис.7.3в):

Рис.7.2

А б в

Рис.7.3

1. Строим эпюру крутящих моментов. Значения крутящих моментов откладываем вниз от оси, т.к. моменты отрицательные. Максимальное значение крутящего момента на валу в этом случае 1000 Н·м (рис.7.1).
2. Выберем рациональное расположение шкивов на валу. Наиболее целесообразно такое размещение шкивов, при котором наибольшие положительные и отрицательные значения крутящих моментов на участках будут по возможности одинаковыми. Из этих соображений ведущий шкив, передающий момент 1000 Н·м, помещают ближе к центру вала, ведомые шкивы 1 и 2 размещают слева от ведущего с моментом 1000 Н·м, шкив 3 остается на том же месте. Строим эпюру крутящих моментов при выбранном расположении шкивов (рис.7.3).

Максимальное значение крутящего момента на валу при выбранном расположении шкивов – 600 Н*м.

Рис.7.4

Момент сопротивления кручению: