Перемещения при изгибе балки малой кривизны. Определение перемещений в балках при изгибе

Имеем закон Гука при изгибе: , где r(х) - радиус кривизны изогнутой оси балки в сечении х, М(х) - изгибающий момент в том же сечении, EJ - жесткость балки. Из высшей математики известно: - дифференциальное уравнение изогнутой оси балки. - тангенс угла между осью х и касательной к изогнутой оси. Эта величина очень мала (прогибы балки малы) Þ ее квадратом пренебрегают и угол поворота сечения приравнивают тангенсу. Приближенное дифференциальное ур-ние изогнутой оси балки : . Если ось y направлена вверх, то знак (+). В некоторых вузах ось y направляется вниз Þ(-). Интегрируя дифф. уравнение, получаем: - ур-ние углов поворота , интегрируем второй раз: - получаем ур-ние прогибов . Постоянные интегрирования С и D находятся из граничных условий, которые зависят от способов закрепления балки.

Метод начальных параметров . Начало координат выбирают в крайней левой точке. При включении в уравнение момента М, который приложен на расстоянии "а" от начала координат, его умножают на множитель (х - а) 0 , который равен 1. Любую распределенную нагрузку продлевают до конца балки, а для ее компенсации прикладывают нагрузку обратного направления.

EJ = M(x) = R A ×x – – M(x – a) 0 + – P(x – a – b); интегрируем:

EJ = EJq 0 + R A × – – M(x – a) + – P ;

EJy =EJy 0 + EJq 0 x + R A × – – M + – P .

Начальные параметры - то, что мы имеем в начале координат, т.е. для рис.: М 0 =0, Q 0 =R A , прогиб y 0 =0, угол поворота q 0 ¹0. q 0 находим из подстановки во второе уравнение условия закрепления правой опоры: x=a+b+c; y(x)=0.

Дифференциальные зависимости при изгибе :

Определение перемещений способом фиктивной нагрузки . Сопоставляя уравнения:

И имеем аналогию, Þ определение прогибов можно свести к определению моментов от некоторой фиктивной (условной) нагрузки в фиктивной балке: . Момент от фиктивной нагрузки М ф после деления на EJ равен прогибу "y" в заданной балке от заданной нагрузки. Учитывая, что и , получаем, что угол поворота в заданной балке численно равен фиктивной поперечной силе в фиктивной балке. , . При этом должна быть полная аналогия в граничных условиях двух балок. Каждой заданной балке соответствует своя фиктивная балка.

Закрепление фиктивных балок выбирается из того условия, чтобы на концах балки и на опорах имелось полное соответствие между "y" и "q" в заданной балке и М ф и Q ф в фиктивной балке. Если эпюры моментов как в действительной, так и в фиктивной балках строить со стороны растянутого волокна (т.е. положительный момент откладывать вниз), то линии прогибов в заданной балке совпадает с эпюрой моментов в фиктивной балке.

Статически неопределимые балки.

Статически неопределимыми называются системы, реакции в которых не могут быть определены из уравнений равновесия твердого тела. В таких системах больше связей, чем это необходимо для равновесия. Степень статической неопределимости балки (не имеющей промежуточных шарниров – неразрезные балки ) равна избыточному (лишнему) числу внешних связей (более трех).

Раскрытие статической неопределимости с помощью дифф-ного урав-ния изогнутой оси балки. Записываем дифф-ное урав-ние куда входит в качестве неизвестной реакция R B и дважды его интегрируем: EJ = R В ×x – ; EJ = R В × – + С;

EJy = R В × – + С×х + D. Используем условия закрепления балки: х=0, y=0, =0; x=L, y=0. Подставляем их в два последних уравнения, находи постоянные интегрирования С и D и неизвестную реакцию R B . Далее из урав-ний статики: H A =0; R A – q×L + R B =0; R B ×L – + M A =0; находятся R A и M A .

Уравнение совместности перемещений . Статически определимая балка, которая получается из статически неопределимой при удалении "лишнего" закрепления, называется основной системой . За "лишнюю" неизвестную можно взять любую из реакций. Приложив к основной системе заданные нагрузки добавляем условие, которое обеспечивает совпадение заданной балки и основной – уравнение совместности перемещений. Для рис.: y B =0, т.е. прогиб в точке В = 0. Решение этого уравнения возможно разными способами.

Способ сравнения перемещений . Определяется прогиб точки В (рис.) в основной системе под действием заданной нагрузки (q): y В q = . Далее рассматривается основная система под действием "лишней" неизвестной R B , и находится прогиб от действия R B: . Подставляем в уравнение совместности перемещений: y B = y В q + = 0, т.е. + = 0, откуда R B = , далее остальные реакции находятся из уравнений статики.

Теорема о трех моментах . Используется при расчете неразрезных балок - балок на многих опорах, одна из которых неподвижна, остальные подвижны. Для перехода от статически неопределимой балки к статически определимой основной системе над –лишними опорами вставляются шарниры. Лишними неизвестные: моменты M n , приложенные к концам пролетов над лишними опорами.

Строятся эпюры моментов для каждого пролета балки от заданной нагрузки, рассматривая каждый пролет, как простую балку на двух опорах. Для каждой промежуточной опоры "n" составляется уравнение трех моментов :

W n ,w n +1 –площади эпюр, a n – расстояние от центра тяжести левой эпюры до левой опоры, b n +1 – расстояние от центра тяжести правой эпюры до правой опоры. Число уравнений моментов равно числу промежуточных опор. Совместное их решение позволяет найти неизвестные опорные моменты. Зная опорные моменты, рассматриваются отдельные пролеты и из уравнений статики находятся неизвестные опорные реакции. Если пролета всего два, то левый и правый моменты известны, т.к. это либо заданные моменты, либо они равны нулю. В результате получаем одно уравнение с одним неизвестным М 1 .

Общие методы определения перемещений

Работа постоянных сил: А=Р×D Р, Р – обобщенная сила – любая нагрузка (сосредоточенная сила, сосредоточенный момент, распределенная нагрузка), D Р – обобщенное перемещение (прогиб, угол поворота). Обозначение D mn означает перемещение по направлению обобщенной силы "m" , которое вызвано действием силы обобщенной "n". Полное перемещение, вызванное несколькими силовыми факторами: D Р =D Р P +D Р Q +D Р M . Перемещения вызванные единичной силой или единичным моментом: d – удельное перемещение . Если единичная сила Р=1 вызвала перемещение d Р, то полное перемещение вызванное силой Р, будет: D Р =Р×d Р. Если силовые факторы, действующие на систему, обозначить Х 1 ,Х 2 ,Х 3 и т.д., то перемещение по направлению каждого из них:

где Х 1 d 11 =+D 11 ; Х 2 d 12 =+D 12 ; Х i d m i =+D m i . Размерность удельных перемещений: , Дж- джоули размерность работы 1Дж = 1Нм.

Работа внешних сил, дейст-щих на упругую систему: .

– действительная работа при статическом действии обобщенной силы на упругую систему равна половине произведения окончательного значения силы на окончательное значение соответствующего перемещения. Работа внутренних сил (сил упругости) в случае плоского изгиба: ,

k – коэффициент, учитывающий неравномерность распределения касательных напряжений по площади поперечного сечения, зависит от формы сечения.

На основании закона сохранения энергии: потенциальная энергия U=A.

Теорема о взаимности работ (теорема Бетли). Два состояния упругой ситемы:

D 11 – перемещение по направл. силы Р 1 от действия силы Р 1 ;

D 12 – перемещение по направл. силы Р 1 от действия силы Р 2 ;

D 21 – перемещение по направл. силы Р 2 от действия силы Р 1 ;

D 22 – перемещение по направл. силы Р 2 от действия силы Р 2 .

А 12 =Р 1 ×D 12 – работа силы Р 1 первого состояния на перемещении по ее направлению, вызванном силой Р 2 второго состояния. Аналогично: А 21 =Р 2 ×D 21 – работа силы Р 2 второго состояния на перемещении по ее направлению, вызванном силой Р 1 первого состояния. А 12 =А 21 . Такой же результат получается при любом числе сил и моментов. Теорема о взаимности работ: Р 1 ×D 12 =Р 2 ×D 21 .

Работа сил первого состояния на перемещениях по их направлениям, вызванных силами второго состояния, равна работе сил второго состояния на перемещениях по их направлениям, вызванных силами первого состояния.

Теорема о взаимности перемещений (теорема Максвелла) Если Р 1 =1 и Р 2 =1, то Р 1 d 12 =Р 2 d 21 , т.е. d 12 =d 21 , в общем случае d mn =d nm .

Для двух единичных состояний упругой системы перемещение по направлению первой единичной силы, вызванное второй единичной силой, равно перемещению по направлению второй единичной силы, вызванному первой силой.

Универсальный метод определения перемещений (линейных и углов поворота) – метод Мора. К системе прикладывают единичную обобщенную силу в точке, для которой ищется обобщенное перемещение. Если определяется прогиб, то единичная сила представляет собой безразмерную сосредоточенную силу, если определяется угол поворота, то – безразмерный единичный момент. В случае пространственной системы действуют шесть компонентов внутренних усилий. Обобщенное перемещение определяется формулой (формула или интеграл Мора):

Черта над М, Q и N указывает на то, что эти внутренние усилия вызваны действием единичной силы. Для вычисления входящих в формулу интегралов надо перемножить эпюры соответствующих усилий. Порядок определения перемещения: 1) для заданной (действительной или грузовой) системы находят выражения M n , N n и Q n ; 2) по направлению искомого перемещения прикладывают соответствующую ему единичную силу (силу или момент); 3) определяют усилия от действия единичной силы; 4) найденные выражения подставляют в интеграл Мора и интегрируют по заданным участкам. Если полученное D mn >0, то перемещение совпадает с выбранным направлением единичной силы, если <0, то противоположно.

Для плоской конструкции:

Обычно при определении перемещений пренебрегают влиянием продольных деформаций и сдвигом, которые вызываются продольной N и поперечной Q силами, учитываются только перемещения, вызываемые изгибом. Для плоской системы будет: .

Вычисление интеграла Мора способом Верещагина. Интеграл для случая, когда эпюра от заданной нагрузки имеет произвольное очертание, а от единичной – прямолинейное удобно определять графо-аналитическим способом, предложенным Верещагиным. , где W – площадь эпюры М р от внешней нагрузки, y c – ордината эпюры от единичной нагрузки под центром тяжести эпюры М р. Результат перемножения эпюр равен произведению площади одной из эпюр на ординату другой эпюры, взятой под центром тяжести площади первой эпюры. Ордината должна быть обязательно взята из прямолинейной эпюры. Если обе эпюры прямолинейны, то ординату можно взять из любой.

.

6.1.2.1. Перемещения при изгибе. Условия жесткости

При прямом изгибе балки ее ось, искривляясь, остается в силовой плоскости. Изогнутая ось балки, представляющая собой геометрическое место центров тяжести поперечных сечений деформированной балки, называется упругой линией. Деформация балки в плоскости характеризуется двумя перемещениями (рис. 6.3):

1) прогибом

- линейным перемещением точек оси балки по нормали к ее первоначально прямой оси;

2) углом поворота сечения

- углом, на который поворачивается поперечное сечение балки относительно его первоначального положения, так как по гипотезе Бернулли поперечное сечение остается плоским и перпендикулярным изогнутой оси балки. Из этой же гипотезы следует, что

, где

- уравнение упругой линии (см. рис.6.3).

При эксплуатации элементов конструкций перемещения идолжны быть ограничены по величине и удовлетворять условиям жесткости

; (6.5)

, (6.6)

где и– допускаемые значения прогиба и угла поворота, задаваемые из конструктивных и технологических соображений. Из условий жесткости (6.6) выполняют те же виды расчетов, что и из условия прочности (6.4).

6.1.2.2. Определение перемещений интегрированием

дифференциального уравнения упругой линии балки.

Метод начальных параметров

Дифференциальное уравнение упругой линии балки при малых перемещениях

(6.7)

где

- изгибающий момент,

- жесткость балки.

Уравнение углов поворота

(6.8)

Уравнение упругой линии

(6.9)

Если балка состоит из n участков, то уравнения углов поворота и упругой линии представляются в виде

(6.10)

(6.11)

где k = 1,2,…,n.

Постоянные

число которых равно 2n, определяют из условий закрепления (два условия для статически определимых балок) и условия непрерывности и плавности упругой линии балки. Отсюда следует, что в смежных точках участков (число которых n – 1) должны быть равны прогибы и углы поворота.

Если балка состоит из участков постоянной жесткости

, дифференциальное уравнение упругой линии можно записать в виде

. (6.12)

Число постоянных интегрирования уравнения (6.12) сводится к двум, если при составлении выражений для

и интегрировании (5.12) используются следующие приемы.

Выполнение п.п. 1 – 4 приводит к автоматическому выполнению условий равенства прогибов и углов поворота в смежных точках участков и равенствам

где

угол поворота и прогиб начального сечения, которые называют начальными параметрами.

Полученные после интегрирования уравнения прогибов и углов поворота для

го участка при

; (6.14)

, (6.15)

где

абсцисса началаj – го участка,

,- сосредоточенный момент и сила, приложенные в началеj – го участка, - интенсивность равномерно распределенной нагрузки, абсцисса начала которой. При этом положительными считают

,,, изгибающие балку выпуклостью вниз. Начало координат можно брать на любом из крайних сечений балки, если начальное сечение левое, то  0 означает, что сечение поворачивается против часовой стрелки, если правое – по часовой.

Среди сосредоточенных нагрузок могут быть реакции связей. Если балка статически определима, то реакции определяют из уравнений равновесия. Начальные параметры определяют из условий закрепления.

6.1.2.3. Определение перемещений методом Мора

Метод Мора представляет собой универсальный метод определения линейных и угловых перемещений в любых плоских и пространственных системах.

Для того чтобы определить методом Мора перемещение (прогиб или угол поворота) в некотором сечении балки или рамы необходимо:

(6.16)

где n – число участков; k – номер участка;

длина участка;

изгибная жесткостьk – го участка.

Если  0, то направление искомого перемещения совпадает с направлением единичного силового фактора, если  0, то противоположно ему.

Иметь представление о касательных напряжениях при изги­бе, об упругой линии балки, о деформациях при изгибе и методах определения линейных и угловых перемещений.

Знать один из методов определения линейных и угловых пере­мещений.

Поперечный изгиб. Внутренние силовые факторы.Напряжения.

Рассмотрим изгиб балки, защемленной справа и нагруженной сосредоточенной силой F (рис. 33.1).

В поперечном сечении возникает изгибающий момент, меняю­щийся по длине балки, и постоянная поперечная сила Q.

Рассмотрим участок балки длиной dz (рис. 33.15).

Изгибающий момент, как известно, является равнодействующим элементарных моментов, возникающих в результате действия про­дольных сил упругости. Связь между нормальными напряжениями в точках поперечного сечения и изгибающим моментом уже рассмат­ривалась:

Поперечная сила представляет собой равнодействующую ка­сательных сил упругости, возникающих в поперечных сечениях (рис. 33.1 в), и связана с касательными напряжениями зависимостью

В силу парности касательных напряжений в продольных сече­ниях балок, параллельных нейтральному слою, возникают такие же по величине касательные напряжения (рис. 33.1 г).

Появление касательных напряжений в продольных слоях балок подтверждается следующим опытом. Рассмотрим поперечный изгиб двух балок, одна - цельная, другая - составленная из нескольких положенных друг на друга слоев (рис. 33.2). Цельная балка изогнет­ся (рис. 33.2а), брусья второй балки сдвинутся (рис. 33.2б). Каждый из брусьев деформируется независимо. В цельной балке сдвигу слоев препятствуют возникающие касательные напряжения.

На поверхности касательные напряжения равны нулю.

Формула для расчета касательных напряжений для балки квад­ратного сечения была получена в 1855 году русским инженером Д. И. Журавским,

где Q y - поперечная сила в сечении; S x - статический момент отсе­ченной части относительно оси х, S x = А отс у с, А 0ТС – площадь попе­речного сечения отсеченной части (рис. 33.3); J x - момент инерции сечения; b - ширина балки.

Наибольшее значение каса­тельного напряжения достигается на нейтральной оси:

А - площадь сечения.

Максимальное напряжение при поперечном изгибе в полтора раза больше среднего значения

Обнаруживается, что макси­мальные нормальные напряжения в сечении не совпадают с максимальны­ми касательными (рис. 33.4).

Для длинных балок расчет про­водят только по нормальным напряжениям, т. к. касательные здесь незначительны. Для коротких балок, нагруженных значительными попереч­ными силами вблизи опор, проводят расчет по касательным напряжениям. Однако для тонкостенных профилей (двутавр, швеллер) необходимо проверять прочность балки в точках, где полка сочленяется со стен­кой. Здесь и нормальные, и касательные напряжения значительны (рис. 33.5).

Понятия о линейных и угловых перемещениях при изгибе

Под действием поперечных нагрузок продольная ось искривля­ется (рис. 33.6). Если материал подчиняется закону Гука, после сня­тия нагрузок брус выпрямляется, поэтому изогнутую ось бруса назы­вают упругой линией. По форме упругой линии балки можно судить о перемещениях при изгибе.

При прямом поперечном изгибе бруса его ось, искривляясь, оста­ется в силовой плоскости. В результате деформации бруса каждое из его поперечных сечений получает вертикальное и горизонтальное перемещение, а само сечение поворачивается на некоторый угол Θ.

Деформации должны иметь упругий характер, они достаточно малы. В этом случае горизонталь­ные перемещения сечений ничтожно малы и не учитываются. Рассмат­ривают вертикальные перемещения центра тяжести сечения, называе­мые прогибами (у ). Максимальные прогибы обозначают f = у та x . Для обеспечения нормальной работы устанавливаемого на балках оборудования проводят расчет на жесткость.

Условие жесткости выражается неравенством

где f - максимальный расчетный прогиб балки; [f ] - допускаемый прогиб. Иногда проверяется угол поворота сечения Θ < [Θ]. Допускаемый прогиб невелик: от 1/200 до 1/1000 пролета балки; допускаемый угол поворота 1*10 -3 рад.

Существует несколько методов определения перемещений сече­ний при изгибе. Один из них основан на дифференцировании урав­нения упругой линии, более рациональный способ - использование интегралов Мора. Метод Мора - универсальный способ определения линейных и угловых перемещений в любых системах.

Для облегчения расчетов на жесткость можно использовать формулы прогибов и углов поворота сечений балок для простейших случаев нагружений. Наиболее распространенные случаи нагружения и расчетные формулы приведены в таблице.

При решении используем принцип независимости действия сил. Заданный случай нагружения делится на составляющие, для кото­рых прогибы рассчитываются по известным табличным формулам, результаты расчетов суммируются.

Ограничение угла поворота вводится для обеспечения нормаль­ной работы подшипников скольжения и роликовых подшипников.

В этом случае проверяется дополнительное условие жесткости:

Таблица 33.1.Формулы для определения прогибов и углов поворота сечений балок

Примеры решения задач

Пример 1. Проверить жесткость двутавровой балки (рис. 33.7). Принять

Сечение балки - двутавр № 45.

Решение

Используем принцип независимости действия сил. По приведен­ным в таблице формулам рассчитываем прогиб балки в точке от каждого вида нагружения отдельно (рис. 33.7 (1, 2, 3)).

Поскольку все действующие нагрузки прогибают балку вниз, результаты дей­ствия нагрузок можно сложить. Получен­ный суммарный прогиб сравним с допус­каемым прогибом.

Допускаемый прогиб

Суммарный прогиб

q = 4кН/ м = 4Н/мм; l = 5м = 5-10 3 мм.

Для двутавра № 45 ГОСТ 8239-89

J x = 27696 см 4 = 27,7 10 7 мм 4 .

21,33 < 25 - условие жесткости выполняется.

Максимальный прогиб не превышает допускаемого значения.

Пример 2. Определить угол поворота и прогиб свободного конца консольной балки, изображенной на рис. 2.61.

Решение

Поместим начало координат на левом конце балки и составим обобщенные уравнения упругой линии и углов поворота:

у 0 и ф 0 исходя из условий опорных закреплений:

Из второго условия находим φ 0:

Знак минус перед значением угла поворота показы­вает, что поворот начального сечения происходит по ча­совой стрелке. Из второго условия находим у 0:

Знак минус перед значением прогиба показывает, что он направлен вниз, противоположно положительному на­правлению оси у.

Пример 3. Определить прогиб посередине пролета балки, нагруженной равномерно распределенной нагруз­кой (см. рис. 2.51, а).

Решение

Поместим начало координат на левой опоре балки и составим обобщенные уравнения упругой линии и углов поворота:

Определяем начальные параметры y 0 и φ 0 исходя из условия опорных закреплений:

Из первого условия находим у 0 = 0.

Из второго условия определяем φ 0:

Подставляя у 0 и φ 0 в уравнение прогибов, получаем

В середине пролета при z = 0,5l прогиб принимает максимальное значение

Знак минус перед значением прогиба показывает, что он направлен вниз, т. е, в сторону, противоположную по­ложительному направлению оси у .

Пример 4. Для балки, изображенной на рис. 2.62, опре­делить прогиб под точкой при­ложения силы и углы поворота на опорах А и В.

Решение

Поместим начало координат на опоре A . Раз­обьем балку на два участка и составим обобщенные уравне­ния упругой линии и углов по­ворота для каждого из них, предварительно определив опорные реакции:

для первого участка

для второго участка

Определяем начальные параметры исходя из условий опорных закреплений:

Из первого уравнения находим у 0:

Из уравнения прогибов для второго участка находим угол поворота φ 0 сечения на левой опоре:

Подставив значение φ 0 в уравнение прогибов первого участка, получим

При z = a найдем прогиб сечения под точкой прило­жения силы Р :

Используя уравнение углов поворота для второго участка

найдем при z = l угол поворота сечения на правой опоре В:

Угол поворота φ В положителен, следовательно, он в отличие от угла поворота φ А направлен против часовой стрелки.

При приложении силы Р посередине пролета балки, т. е. при а = b = l /2, углы поворота опорных сечений и про­гиб под точкой приложения силы примут значения:

Пример 5. Определить максимальный прогиб двухопорной балки, нагруженной равномерно распределенной по всему пролету нагрузкой интенсивностью q и сосредоточенной силой Р посередине пролета.

Решение

Наибольший прогиб при симметричном нагружёный балки возникает посередине пролета, под точ­кой приложения силы Р . Этот прогиб может быть найден на основе принципа независимости действия сил как сумма прогибов от распределенной нагрузки интенсивностью q и сосредоточенной силы Р :

Составляющие части полного прогиба были вычислены в предыдущих примерах. Подставляя их значения, полу­чаем

Оба составляющих прогиба направлены вниз и входят поэтому со знаком минус.

При расчёте конструкции вычисляются не только напряжения, но и перемещения. Причём методы определения перемещений играют важную роль как в общей оценке жёсткости конструкции, так и при решении многих прикладных задач (расчёт статически неопределимых систем, динамическое нагружение конструкций, колебания упругих систем и др.).

Дадим общие понятия о перемещениях в балках, рассматривая прямой изгиб балки. Для определённости принимается общая система координат Oyz (рисунок 7), начало которой выбирается в центре площади какого-либо сечения, а ось z направлена по оси балки. (При этом следует иметь в виду, что с каждым сечением связана местная система центральных осей, параллельных исходным.) Для поперечных сечений балок различают два вида перемещений:

Рисунок 7

1) прогиб v(z) - линейное перемещение сечения (центра площади сечения) в направлении, перпендикулярном оси балки;

2) угол поворота и (z) - угловое перемещение сечения по отношению к первоначальному положению (поворот сечения относительно нейтральной линии).

Принимая, что положительное направление и совпадает с положительным направлением изгибающего момента M в сечении, а положительное направление оси Oy - вверх (рисунок 7) получим. В большинстве практических случаев перемещения в балках относительно малы, так что можно считать tgи?и. Поэтому дифференциальное соотношение между прогибом и углом поворота сечения получается в виде:

Рассмотрим некоторые методы определения перемещений.

> Дифференциальное уравнение упругой линии балки

Ось изогнутой балки часто называют упругой линией. В случае

прямого изгиба балки, учитывая соотношения

для определения перемещений можно использовать систему дифференциальных уравнений в виде:

Исключая второе уравнение из системы (3), получаем дифференциальное уравнение упругой линии балки:

Уравнение (4) (или система уравнений (3) может применяться для определения как перемещений отдельных сечений, так и формы оси изогнутой балки. Последовательным интегрированием уравнений в системе (3) или уравнения (4) получаем:

Постоянные, определяются из граничных условий, число которых равно двум (порядку дифференциального уравнения). Граничные условия могут составляться для и =и в зависимости от типа закрепления балки. Например, для шарнирно опертой балки (рис. 6а) граничные условия имеют вид: v(0) = 0, v(l) = 0; для консольной балки (рис.6 б): v(0) = 0, v(0) = 0.

Рисунок 8

> Метод единичной нагрузки. Интеграл Мора

Общие методы определения перемещений в упругих системах основаны на использовании вариационных принципов механики. Наиболее часто применяется принцип возможных перемещений (принцип Лагранжа): если упругая система находится в равновесии, то сумма работ всех внешних и внутренних сил на возможных бесконечно малых перемещениях равна нулю. В математической форме это можно записать так:

где - внешняя сила; -возможное перемещение точки приложения силы; U - возможная работа внутренних сил.

Под возможными понимаются такие перемещения, которые могут быть осуществлены для данной системы в соответствии с имеющимися опорами, не нарушая сплошности системы. Чем меньше перемещения, тем точнее соблюдается принцип Лагранжа. Учитывая малость перемещений в реальных упругих системах, такие перемещения можно принимать в качестве возможных. Работа внешних и внутренних сил на возможных перемещениях называется возможной работой.

Пусть криволинейный брус испытывает плоскую деформацию под действием произвольной нагрузки, которую символически обозначим силой Р (рисунок 9а). Требуется определить перемещение сечении К в заданном i-ом направлении.

Рассмотрим два состояния заданной системы. Исходное состояние системы при действии реальной нагрузки, в котором возникает искомое перемещение, называется действительным или грузовым состоянием. Вспомогательное состояние системы определяется действием соответствующей единичной нагрузки и называется единичным состоянием (рисунок 9б). Термин «перемещение» понимается в обобщённом смысле: линейное или угловое перемещение. Вводимая единичная нагрузка должна соответствовать искомому перемещению: прикладывается в заданном сечении и в заданном направлении; прикладывается единичная сила (P1 =l) если определяется линейное перемещение, или единичный момент (M1 =l) если определяется угол поворота.

Рисунок 9

В рассматриваемом методе принцип возможных перемещений записывается для единичного состояния. При действии единичной нагрузки в поперечных сечениях бруса возникают внутренние силовые факторы: нормальная сила N1, изгибающий момент M 1 и поперечная сила Q1. Возможные перемещения определяются дополнительным деформированным состоянием, которое накладывается на упругую систему, до того находившуюся в равновесии под действием приложенной нагрузки. В качестве возможных принимаются реальные перемещения бруса в грузовом состоянии, при котором в поперечных сечениях бруса возникают внутренние силовые факторы N, M , Q.

Для единичного состояния внешней силой является только P=l, которая совершает работу на искомых перемещениях; поэтому возможная работа внешних сил равна. При составлении работы внутренних сил рассматривается деформация элемента бруса длиной ds (рисунок 9). Условно считая левое сечение неподвижным, правое сечение получит такие смещения: при растяжении (сжатии) - осевое перемещение е ds; при изгибе- поворот d=kds; при сдвиге - поперечное перемещение гds (рисуснок 9а) . Работа dU внутренних сил для элемента бруса всегда отрицательная, т.к. эти силы являются силами упругого сопротивления и препятствуют развитию деформации. Поэтому получим:

dU= е ds - kds - гds

Перемещения за счёт сдвига записаны при условии равномерного распределения касательных напряжений в сечении. Учитывая неравномерность их распределения при изгибе вводится поправочный коэффициент - коэффициент формы сечения (для прямоугольного сечения = 6/5, для сплошного круглого сечения и т.д).

Для бруса в целом работа внутренних сил получается интегрированием выражения для dU по длине l. Подстановка полученных выражений в формулу (5) даёт уравнение:

еds -kds-ds=0 (6)

Откуда выражение для искомого перемещения получается в виде

Подставляя в выражение (7) ранее полученные зависимости для деформаций е, k, г через внутренние силовые факторы (е=N/EF, k=M/, г=Q/GF), получаем расчётную формулу для определения перемещений:

В случае расчёта бруса, имеющего несколько участков, формула (8) может быть представлена в следующем виде:

где m - количество участков бруса.

Вклад каждого из интегралов в формулу (8) различный, что обычно учитывается при расчёте конкретного бруса. Для бруса при растяжении-сжатии учитывается только первый интеграл. При плоском изгибе прямолинейного бруса обычно учитывается только второй интеграл:

Определение перемещений по методу единичной нагрузки проводится в следующем порядке.

1. Брус разбивается на участки в соответствии с действующей нагрузкой и характером изменения жесткости.

2. На каждом участке для грузового состояния составляются выражения для N, Q, M в произвольном сечении бруса.

3. Рассматривается единичное состояние бруса, определяемого действием соответствующей единичной нагрузки: в направлении искомого перемещения при определении линейного перемещения прикладывается сила P = 1, при определении углового перемещения момент M =1.

4. На каждом участке бруса для единичного состояния составляются выражения для N1, M 1, Q1 в произвольном сечении бруса.

5. Положительное значение показывает, что перемещение происходит по направлению приложенной единичной нагрузки, отрицательное - в направлении, противоположном единичной нагрузки.