5.Внутренние силы. Метод мысленных сечений. Напряжение полное, нормальное и касательное. Размерность напряжения.

6.Деформации и перемещения. Деформации линейные и угловые.

7.Принцип независимости действия сил.

2. Растяжение и сжатие прямого бруса

2. Осевой, полярный и центробежный моменты инерции. Моменты инерции для квадрата, прямоугольника, треугольника и круга.

3) Определение моментов инерции относительно параллельных и повёрнутых координатных осей.

Напряжения по наклонным площадкам

2. Внутренние силы в поперечных сечениях бруса при изгибе: изгибающие моменты и поперечные силы. Чистый изгиб и поперечный изгиб. Дифференциальные зависимости при изгибе.

3. Построение эпюр внутренних усилий для балок, брусьев ломанного и криволинейного очертания.

4. Правила контроля правильности построения эпюр внутренних усилий при изгибе.

5. Нормальные напряжения при чистом изгибе. Основные гипотезы. Формула нормальных напряжений. Эпюра распределения нормальных напряжений по высоте поперечного сечения.

6. Касательные напряжения при изгибе (формула Журавского). Эпюра распределения касательных напряжений по высоте поперечного сечения.

7. Анализ напряжённого состояния при изгибе. Главные напряжения при изгибе. Траектория главных напряжений.

8. Расчет на прочность при изгибе. Подбор сечения. Рациональное сечение балок.

9. Определение перемещений при изгибе, универсальные уравнения углов поворота сечения и прогибов.

6. Сдвиг

1. Напряжения и деформации при сдвиге. Закон Гука при сдвиге, модуль сдвига.

2. Зависимость между относительным сдвигом и относительными линейными деформациями. Зависимость между g, e, µ для изотропного тела

3) Расчёт на прочность заклёпочных и сварных соединений.

7. Кручение

1.Внешние силы, вызывающие кручение прямого бруса. Эпюры крутящих моментов.

2. Кручение прямого бруса круглого поперечного сечения. Основные гипотезы. Определение касательных напряжений. Эпюры распределения касательных напряжений.

Основные гипотезы:

Эпюры распределения касательных напряжений

Ip - полярный момент инерции

3.Определение угла закручивания при кручении. Жесткость при кручении. Главные напряжения и главные площадки. Закон Гука при кручении.

4. Особенности разрушения пластичных и хрупких материалов при растяжении и кручении.

5. Статически неопределимые задачи при кручении.

6. Расчеты на прочность и жесткость при кручении.

8. Сложное сопротивление

1. Расчет на прочность при косом изгибе

1) Сравнить любое напряженное состояние с простым растяжением или сжатием;

2) Установить причины разрушения материала элементов конструкций в реальных условиях.

2. Классические критерии прочности и пластичности

Критерий наибольших нормальных напряжений (1-ая теория прочности).

2. Действительный вид зависимости критического напряжения от гибкости.

3. Практический метод расчета на устойчивость.

По этой формуле можно решать два типа задач:

10. Действие динамических нагрузок

1) Учет сил инерции при поступательном, равноускоренном и равномерном движении по окружности. Принцип Даламбера

2) Ударные действия нагрузок.

3) Расчеты на прочность, при напряжениях, переменных во времени.

5. Нормальные напряжения при чистом изгибе. Основные гипотезы. Формула нормальных напряжений. Эпюра распределения нормальных напряжений по высоте поперечного сечения.

Гипотезы:

1) гипотеза плоских сечений (гипотеза Бернулли), согласно которой поперечные сечения балки, плоские и перпендикулярные к геометрической оси балки до деформации, остаются плоскими после деформации;

2) гипотеза об отсутствии боковых давлений, согласно которой отдельные продольные волокна балки испытывают только одноосное растяжение или сжатие;

3) гипотеза постоянства напряжений по ширине поперечного сечения, согласно которой напряжения для точек, равноудаленных от нейтрального слоя равны между собой.

σ max =M/W xH ; σ min =M/W xB , W xH =I x /h H W xB =I x /h B (W xH W xB – моменты сопротивления относительно оси Ох для нижних и верхних волокон.

6. Касательные напряжения при изгибе (формула Журавского). Эпюра распределения касательных напряжений по высоте поперечного сечения.

S x - статический момент отсеченной части относительно оси ОХ

7. Анализ напряжённого состояния при изгибе. Главные напряжения при изгибе. Траектория главных напряжений.

Согласно формулам, в поперечных сечениях, работающих на изгиб, возникают нормальные и касательные напряжения:

Следовательно, в произвольной точке балки при изгибе имеет место плоское напряженное состояние. Определим главные напряжения, действующие по главным площадкам.

Величиной нормальных напряжений, действующих по горизонтальны площадкам, пренебрегаем, поэтому формулы главных напряжений примут следующий вид:

; ; ;

Наглядное представление о направлении внутренних усилий в нагруженном теле дают траектории главных напряжений. Траектория главных напряжений – линия, в каждой точке которой касательная совпадает с направлением главного напряжения в этой точке. На рисунке сплошными линиями показаны траектории главных растягивающих напряжений σ 1 , а пунктирными – главных сжимающих напряжений σ 3 . По траекториям σ 1 можно судить о том, где и в каком направлении могут появиться трещины, если материал балки плохо работает на растяжение. При армировании железобетонных балок арматуру целесообразно располагать по направлению растягивающих напряжений. Эту задачу помогает решать определение траекторий главных напряжений.

8. Расчет на прочность при изгибе. Подбор сечения. Рациональное сечение балок.

Метод предельных состояний:

σ max ≤γ c R (для пластичных материалов)

σ р max ≤γ c R р; σ с max ≤γ c R с (для хрупких)

γ c - коэффициент условий работы.

Метод допускаемых напряжений:

σ max ≤[σ],(для пластич. мат-лов)

σ р max ≤[σ p ]; σ c max ≤[σ c ](для хрупких)

[σ] - допуск. напряжение;

Подбор сечения:

β - коэффициент [сечение: круглое - 8, прямоугольное - 6, двутар - 3]

9. Определение перемещений при изгибе, универсальные уравнения углов поворота сечения и прогибов.

Прогиб v - это перемещение центра тяжести поперечного сечения перпендикулярно к исходному положению геометрической оси балки. Угол поворота сечения γ-это угол между плоскостью поперечного сечения до деформации и плоскостью поп. сечения после деформации. γ=dv/dz.

Универсальные уравнения

Контрольная работа

Материал: сталь 40.

n = 4, a = 1,4 м

P = 1,7qa т, q = 3 т/м

М 0 = 2,3qa 2 т·м

1. Построение эпюр поперечных сил и изгибающих моментов

Определим расчетную нагрузку:

Р р = Р · n = 1,7 · 3 · 1,4 · 4 = 28,56 т

q p = q · n = 3 · 4 = 12 т/м

М р = М 0 · n = 2,3 · 3 · 1,4 2 · 4 = 54,1 т · м

Q p = q p · a = 12 · 1,4 = 16,8 т

Схему нагружения балки заменим ее моделью, в которой действующие на балку связи заменим силами.

Определим реакции опор. Составим следующие уравнения:

Q p · 0,5a + M p – P p · 2a + Q p · 2,5a + P p · 3a – R E · 4a = 0

R E = (Q p · 3a + M p + P p · a) / 4a = (16,8 · 3 · 1,4 + 54,1 + 28,56 · 1,4) / 4 · 1,4 = 29,4 т

R А · 4a - Q p · 3,5a + M p + P p · 2a - Q p · 1,5a - P p · a = 0

R А = (Q p · 5a - M p - P p · a) / 4a = (16,8 · 5 · 1,4 - 54,1 - 28,56 · 1,4) / 4 · 1,4 = 4,2 т

Проверка:

R А - Q p + P p - Q p - P p + R E = 0

4,2 – 16,8 + 28,56 – 16,8 – 28,56 + 29,4 = 0 – равенство верно.

Построим эпюру поперечных сил методом характерных точек, ходом слева:

F A пр = R А = 4,2 т

F В лев = F A пр - q p · а = 4,2 – 12 · 1,4 = -12,6 т

F В пр = F В лев = -12,6 т

F С лев = F В пр = -12,6 т

F С пр = F С лев + Р р = -12,6 + 28,56 = 15,96 т

F D лев = F С пр - q p · а = 15,96 - 12 · 1,4 = -0,84 т

F D пр = F D лев - Р р = -0,84 – 28,56 = -29,4 т

F Е лев = F D пр = -29,4 т

Строим эпюру изгибающих моментов, методом характерных точек ходом слева (рис. 1). Правую часть до рассматриваемого сечения мысленно отбрасываем. Находим сумму моментов всех сил, действующих слева от сечения относительно рассматриваемой точки.

М В лев = R A · a – q p · a · 0,5a = 4,2 · 1,4 – 12 · 1,4 · 0,5 · 1,4 = -5,88 т · м

М В пр = R A · a – q p · a · 0,5a + М р = 4,2 · 1,4 – 12 · 1,4 · 0,5 · 1,4 + 54,1 = 48,22 т · м

М С = R A · 2a – q p · a · 1,5a + М р = 4,2 · 2 · 1,4 – 12 · 1,4 · 1,5 · 1,4 + 54,1 = 30,58 т · м

М D = R A · 3a – q p · a · 2,5a + М р + P p · a – q p · a · 0,5a =

4,2 · 3 · 1,4 – 12 · 1,4 · 3 · 1,4 + 54,1 +28,56 · 1,4 = 41,16 т · м

Необходимо также найти моменты в сечениях К и L.

Прежде чем определить момент в сечении К, необходимо найти расстояние х = АК. Составим выражение для поперечной силы в этом сечении и приравняем его к нулю.

F K = R A - q p · x = 0

x = R A / q p = 4,2/12 = 0,35 м

Определим момент в точке К:

М К = R A · x – q p · х · 0,5х = 4,2 · 0,35 – 12 · 0,35 · 0,5 · 0,35 = 0,74 т · м

Аналогично определяем момент в точке L.

F L = R A – q p · a +P p – q p · x 1 = 0

x 1 = (R A – q p · a + P p)/ q p = (4,2 – 12 · 1,4 + 28,56)/12 = 1,33 м

М L = R A (2a + x 1) – q p · a (1,5a + x 1) + M P + P P · x 1 - q p · x 1 · 0,5x 1 =

4,2 (2·1,4 + 1,33) – 12 · 1,4(1,5 · 1,4 + 1,33) + 54,1 + 28,56 · 1,33– 12 · 1,33 · 1,33 · 0,5 =41,2 т · м

По найденным точкам строим эпюру изгибающих моментов (рис. 1).

2. Определение необходимого осевого момента сопротивления изгибу из условия прочности

Условие прочности на изгиб:

|σ max | = |M max | / W тр ≤ [σ]

Из эпюры изгибающих моментов:

M max = 48,22 т · м = 48,22 · 10 4 Н · м – максимальный изгибающий момент.

[σ] = 650 МПа – допускаемое нормальное напряжение для стали 40.

Требуемый осевой момент сопротивления изгибу из условия прочности:

W тр ≥ |M max | / [σ] = (48,22 · 10 4) / 650 · 10 6 = 0,074 · 10 -2 м 3

Исследуем поперечные сечения различных форм (двутавр, швеллер, прямоугольник, квадрат, круг, треугольник)

W кр = πd 3 / 32 = W тр

d = = = 0,2 м

S кр = πd 2 / 4 = (3,14 · 0,2 2) / 4 = 0,0314 м 2 = 314 см 2 – площадь поперечного сечения.

W к = b 3 / 6 = W тр

d = = = 0,16 м

S к = b 2 = 0,16 2 = 0,0256 м 2 = 256 см 2 – площадь поперечного сечения.

Прямоугольник:

W п = ba 2 / 6 = W тр; a > b; возьмем a = 2b.

W тр = 4b 3 / 6; b = = = 0,1 м; a = 2 · 0,1 = 0,2 м

S п = аb = 0,1 · 0,2 = 0,02 м 2 = 200 см 2 – площадь поперечного сечения.

Треугольник. При вычислении напряжения в вершине треугольника.

W т = bh 2 / 24 = W тр; b – сторона треугольника, h – высота.

Возьмем: h = b /

W тр = b 3 / 48; b = = = 0,33 м; h = 0,33 / = 0,23 м

S тр = 0,5hb = 0,5 · 0,33 · 0,23 = 0,038 м 2 = 380 см 2 – площадь поперечного сечения.

По справочникам определим швеллер.

Берем швеллер №40. W x = 761 cм 3 ; h = 0,4 м; b = 0,115 м.

S ш = 61,5 см 2 – площадь поперечного сечения.

По справочникам определим двутавр.

Берем двутавр №36. W x = 743 cм 3 ; h = 0,36 м; b = 0,145 м.

S ш = 61,9 см 2 – площадь поперечного сечения.

И строим эпюры (рис.4,в и рис.5,в) 1 вариант: φ0 = φА = 0 мрад мрад мрад 2 вариант: φ0 = φВ = 0 мрад мрад мрад 3 Процедура создания стержней 3.1 Создание стальной балки Спроектировать стальную балку (рис. 6,а) в 5 вариантах поперечного сечения: круглого, прямоугольного (h/b=2), двутаврового, из швеллеров и уголков, приняв допускаемое напряжение...

Из выражений (4) и (5) можно найти значение осевого момента сопротивления W поперечного сечения вала как или и далее величину диаметра вала. Местные напряжения Напряжения при растяжении (сжатии), изгибе, кручении и сложных деформациях, определяемые по рассмотренным выше зависимостям, называют расчетными или номинальными. Экспериментально установлено, что в местах приложения сил, в местах...

Представление о характере изменения силового фактора по длине или координате и позволяют установить местонахождение опасных сечений. 20. Сформулировать основные гипотезы и допущения, принятые в сопротивлении материалов. 1) Гипотеза о сплошном строении тела. 2) Гипотеза об идеальной упругости материала. 3) Гипотеза об однородности материала. 4) Гипотеза об изотропности материала. ...

Валиками (индекс М), шаг: д)конструктивные особенности: на валу установлена одна звёздочка для тяговой пластинчатой цепи; приводной вал конвейера соединён с выходным валом редуктора посредством горизонтально расположенной цепной передачи; е) расчётный срок службы; ж) кратковременная перегрузка; з) номер типового режима нагружения - 2. 10.1 Предварительная разработка конструкции...

2.2. Определение геометрических размеров поперечных сечений вала

Для расчета параметров поперечных сечений используем условие прочности по касательным напряжениям:

где – расчётные напряжения в поперечных сечениях по длине вала (в МПа); – допускаемое касательное напряжение при кручении материала вала (для стали принимают

)

Так как величину определяем по формуле:

(8)

то величина полярного момента сопротивления

(в мм 3) сечения должна удовлетворять следующему условию:

(9)

где Т – крутящий момент в сечении.

По условию (9) определяем неизвестные размеры поперечного сечения вала, решая его как систему неравенств при заданных соотношениях между диаметрами (см. рис. 3)

Расчётные значения диаметров вала (в мм) округляем до стандартных согласно условию (7): d ≥ 106,3 мм. Принимаем d = 110 мм.

Тогда 0,5d = 55 мм

56 мм, 1,5d = 165 мм 165 мм, 2d = 220 мм 220 мм.

2.3. Построение эпюры максимальных касательных напряжений

Эпюра максимальных касательных напряжений является графическим представлением изменения касательных напряжений по длине бруса и вычерчивается (в МПа) без масштаба под эпюрой Т. Для этого необходимо рассчитать значения для каждого участка бруса по уравнению (8) с учетом полученных в п. 2.2 стандартных значений диаметров.

Построим эпюру максимальных касательных напряжений (рис. 3).

2.4. Построение эпюры касательных напряжений по высоте поперечного сечения

Эпюра является графическим представлением изменения касательных напряжений по высоте (наружному диаметру) поперечного сечения вала и вычерчивается (в МПа) без масштаба по тексту расчетов аналогично рассмотренной в п. 1.5. Для построения эпюры используют функцию

, где – полярный момент инерции сечения. Эпюра касательных напряжений по высоте поперечного сечения показана на рис.4.

Рис. 4. Эпюра касательных напряжений по высоте поперечного сечения

2.5. Построение эпюры относительных углов закручивания

Эпюра относительных углов закручивания (в градусах) является графическим представлением изменения углов закручивания поперечных сечений по длине вала относительно крайнего торцевого его сечения (правого согласно п.2).

Угол закручивания

текущего поперечного сечения на участке бруса в результате деформации равен

(10)

где – координата положения текущего поперечного сечения на участке бруса,

; G – модуль упругости материала вала при сдвиге (для стали принимать G=0,8·10 5 МПа); – полярный момент инерции поперечного сечения вала (

).

Так как уравнение (10) описывает линейную функцию изменения , то для построения эпюры на участке бруса достаточно двух граничных значений: при



; при



.

Таким образом, для первого от крайнего правого торцевого сечения вала откладывают на соответствующих границах участка по ординате

значения 0 и

, для второго участка – значения и

, для третьего участка – значения и

, получая для крайнего левого поперечного сечения вала ординату .

Построим эпюру относительных углов закручивания (рис. 3).

3. Расчёт прочностной надёжности балки на двух опорах при изгибе

На рис. 5 приведена расчётная схема балки на двух опорах постоянного поперечного сечения, к которой приложена система внешних сил и моментов: сосредоточенная сила (силы) F, распределённая нагрузка с интенсивностью q и сосредоточенный изгибающий момент (моменты) М. Длины участков балки равны К 1 , К 2 , К 3 .

В табл. 3 приведены исходные данные для расчётов.

Таблица 3

Исходные данные для расчёта вала круглого поперечного сечения при кручении

Требуется решить следующие задачи:

Определить реакции в опорах балки;

Построить эпюру поперечных сил Q (в кН);

Построить эпюру изгибающих моментов М (в МПа);

Определить опасное сечение (или сечения) по длине балки;

Определить размеры (в мм) поперечного сечения стальной балки для следующих профилей поперечного сечения: двутавр, круг, прямоугольник (с заданным соотношением сторон h/b=2) и кольцо (с заданным соотношением диаметров d/D=0,9), исходя из условия прочности при изгибе по нормальным напряжениям;

Построить эпюры нормальных напряжений (в МПа), возникающих в опасном сечении для каждого рассматриваемого профиля балки;

Сделать вывод о рациональности применения каждого профиля по критерию минимума массы балки;

Определить прогиб (в мм) двутавровой балки в середине пролёта двумя способами (с помощью интеграла Мора и с помощью правила «дирижёра») и сделать заключение о выполнении условия жёсткости при изгибе для рассматриваемой балки.

3.1. Определение реакций в опорах балки

Определение реакций в опорах балки является первым этапом выполнения данного задания. Для этого составим расчетную схему балки. Расчетная схема балки вычерчивается без масштаба по ширине листа (см. рис. 5). далее обозначаем опоры (левая опора А, а правая опора В) и прикладываем неизвестные по величине и направлению реактивные силы R а и R в к балке в опорных сечениях в произвольном направлении параллельно оси у.

Составляем уравнения равновесия балки

и

и решаем их относительно величин R а и R в. Если величина реакции получилась отрицательная, это означает, что необходимо изменить первоначально выбранное направление реакции на противоположенное. Знак минус после замены направления реакции не учитывается. Составляем уравнение

(сумма проекций сил на ось У). это уравнение является проверочным в расчете реакций и обязательным для выполнения. Если сумма проекций всех сил не равна нулю, решение некорректно и необходимо найти ошибку в расчете реакций.

3.2. Построение эпюры поперечных сил

Эпюра поперечных сил Q является графическим представлением изменения внутренних сил по длине балки и вычерчивается под расчетной схемой балки.

Правило определения величины поперечной силы в сечении заключается в следующем. Поперечная сила в сечении балки равна сумме проекций на сечение всех внешних сил (в том числе и реакций) для рассматриваемой части балки. При этом внешние силы, вращающие рассматриваемую часть (левую или правую) относительно сечения по ходу часовой стрелки, считаются положительными, а вращающие против часовой стрелки – отрицательными. Согласно данному правилу составляем уравнения для расчета изменения величины Q на каждом участке балки.

расчетах ... дорог, является повышение надежности и увеличении сроков службы дорожной конструкции . Улучшение прочностных , деформативных и...

Разработка и применение метода определения деформационных и прочностных свойств низа обуви с

Реферат >>

... элементов и на основе этого разрабатывается метод определения деформационных и прочностных ... методом конечных элементов расчетов и эффективности... Математические модели механики, прочности и надежности элементов конструкций . – Самара: СамГТУ, 2008. ...

Проектирование двигательной установки и элементов конструкции второй ступени баллистической ракеты

Дипломная работа >> Промышленность, производство

... надежную работу на всех рабочих режимах по заданным проектным параметрам. Произвести прочностные расчеты элементов конструкции ... от 01.01.2002 г. на основе классификации основных средств, включаемых в амортизационные...

Общие принципы технической эксплуатации элементов конструкций и инженерного оборудования зданий

Контрольная работа >> Строительство

... элементов конструкций и инженерного оборудования зданий. Прочностные и деформационные характеристики несущих конструкций ... коррозии, удостоверяться расчетом в несущей... кровлей. Надежная конструкция пароизоляции в... и т.д.). Несущей основой чердачных крыш являются...

Расчет элементов ферменно-стержневой конструкции

Курсовая работа >> Строительство

02 Тема: расчет элементов ферменно-стержневой конструкции . Студент... требованиями к конструкции : прочности или механической надежности , минимальной... прочности на основе универсальных методов... силах можно уменьшить прочностные характеристики, т.к. коэффициент...

1. Прямоугольное сечение

Определим для балки прямоугольного сечения касательные напряжения t в произвольной точке (на расстоянии у от оси z , см.рис.4.26) заданного сечения и построим эпюру t .

Полагаем, что в заданном сечении Q >0. Используя формулу Журавского (4.10), определим напряжения t на уровне y . Для этого запишем соотношения для всех величин, входящих в формулу Журавского, через размеры прямоугольного сечения

; ; ; ; ;

.

Подставим эти соотношения в формулу (4.10), получим

; либо

Из полученных формул видно, что t по высоте сечения изменяется по закону квадратной параболы.

Строим эпюру t по трем точкам:

1) на контуре при , имеем t =0.

2) на оси при y=0: .

Учитывая, что bh=A – площадь сечения, для прямоугольного сечения получаем:

2. Круговое сечение

Эпюра t для балки кругового сечения при Q> 0 имеет такую же форму, но другое максимальное значение напряжений (см. рис.4.27).

3. Двутавровое сечение

Представим двутавровое сечение в виде трех прямоугольников (рис.4.28). Для стенки двутавра эпюра t строится так же, как и для прямоугольного сечения. Заметим, что для стандартного двутаврового сечения в сортаменте приводится статический момент полусечения (S x либо max S ), подстановка которого в формулу (4.10) =S x = max S , наряду с подстановкой I z = и b(y)=d (эти величины берутся также из сортамента), дает максимальное значение напряжений в стенке двутавра ( max t ). В случае рассматриваемого нестандартного сечения значения I z и следует вычислять, как для сложного сечения, состоящего из трех прямоугольников.

Определим напряженияt в точке К , лежащей на границе полки и стенки.

Заметим, что со стороны стенки b(y)=b , а со стороны полки – b(y)=d . Таким образом, напряжения на границе между стеной и полкой со стороны полки (t п ) и со стороны стенки (t ст ) будут соответственно равны

Здесь: - статический момент полки относительно оси z .

Для стандартного профиля величина определяется по формуле , где: - статический момент полустенки (величины h , t , d берутся из сортамента) .

Для рассматриваемого нестандартного сечения , где: площадь полки А п =b×t , расстояние от оси z до центра тяжести полки .

Сравнивая выражения для напряжений t п и t ст , получим

Заметим, что для стандартных профилей отношение b /d изменяется в пределах от 12 до 24, т.е. минимальные касательные напряжения, возникающие в стенках двутавровых балок, оказываются более чем на порядок выше максимальных касательных напряжений в полке. Кроме того, в точке В , лежащей на контуре полки на уровне точки К , отсутствует внешняя нагрузка, а следовательно отсутствуют и касательные напряжения (t = 0), Это указывает на неравномерность распределения t по ширине полки, что противоречит допущению, положенному в основу вывода формулы Журавского. Таким образом, формула Журавского для определения t в полке двутавра не применима. В этой связи, а также учитывая, что t п <<t ст , касательными напряжениями в полках двутавра пренебрегают и строят для этого профиля, так называемую, действительную эпюру t (только для стенки). На рис.4.28 для случая Q >0 приведены условная и действительная эпюры для балки двутаврового сечения при плоском поперечном изгибе.

В общем случае формула Журавского применима для балок, сечение которых не имеет резких изменений по высоте.

Максимальные касательные напряжения в сечении, как правило, действуют в области оси z , однако есть исключения (сечения, вытянутые в области оси z по ширине).