Перемещение балки. Перемещения в балках при чистом изгибе

Любое сооружение под действием внешних факторов деформируется, изменяя свою первоначальную форму и принимает форму равновесия, при котором влияние внешних воздействий уравновешивается внутренними силами сопротивления. При этом перемещение ∆ k P произвольной точки T по заданному направлению k – k от нагрузки Р может быть вычислено по универсальной формуле Мора, которая для балок и рам имеет вид:

∆ k P =

Вычисление интеграла Мора удобно производить по правилу Верещагина или правилу «перемножения» эпюр. Определение перемещений с помощь этого правила производится в следующем порядке:

1. Строится эпюра изгибающих моментов от действия заданной нагрузки - эпюра М Р (грузовая эпюра);

2. Выбирается вспомогательное единичное состояние системы. Для этого к балке или раме, освобожденной от заданной нагрузки, по направлению искомого перемещения прикладывается единичная сила : при определении линейного перемещения – сосредоточенная сила , при определении угла поворота – сосредоточенный момент ;

3. Строится эпюра изгибающих моментов от действия этой единичной силы –эпюра ;

4. Ось балки (рамы) разбивается на участки таким образом, чтобы в пределах участка эпюры М Р и не имели бы особенностей (переломов и скачков);

5. На каждом участке балки (рамы) для вычисления интеграла Мора по правилу Верещагина или правилу «перемножения» эпюр необходимо площадь одной эпюры (если есть криволинейная эпюра, то обязательно ее площадь) умножить на ординату другой эпюры, расположенную под центром тяжести первой, т.е.

где – площадь эпюры М Р ; z C – ордината в линейной эпюре , под центром тяжести эпюры М Р (рис.17); EJ y –жесткость поперечного сечения балки (рамы).

Результат «перемножения» эпюр является положительным, если эпюры М Р и одного знака и – отрицательным, если эпюры М Р и разных знаков.

Если ∆ k P положительно, то перемещение совпадает с направлением единичной силы, а если отрицательно – то противоположно этому направлению.

На первый взгляд, описанный графоаналитический способ вычисления интегралов Мора не даёт упрощений, т.к. всё равно приходится вычислять площадь криволинейных эпюр. Однако встречающиеся на практике эпюры могут быть разбиты на ряд простых фигур (прямоугольник, треугольник, симметричную квадратичную параболу), у которых известны площадь и положение центра тяжести. Примеры разбиения эпюр приведены на рис. 18.

Рис. 18. Разбиение сложных эпюр на простые эпюры

На рис.19 приведены сведения о координатах центра тяжести и площадях простейших эпюр – прямоугольник, треугольники и симметричная квадратичная парабола.

Рис. 19. Площади эпюр и их координаты центров тяжести

Пример. Определить прогиб (вертикальное перемещение) и угол поворота в сечения B в статически определимой балке (рис.20).

Значения изгибающих моментов.

Строим эпюру М Р от заданной нагрузки –это парабола, выпуклая вниз (рис.20б ).

Выбираем единичное состояние – освободив балку от заданной нагрузки, прикладываем в точке B сосредоточенную силу =1, направленную вертикально вниз. Строим эпюру от единичного воздействия (рис.20в ).

Эпюру от заданной нагрузки М Р разбиваем на три простейшие ( ) – два треугольника и симметричную параболу (рис.21).

Площади этих эпюр: ; .

Ординаты в эпюре под центрами тяжести соответственно равны ; ; .

Рис.21. Разбиение сложной эпюры на простые эпюры. Перемножение эпюр

Прогиб в сеченииB равен

v B =∆ 1 P = =

= .

Положительное значение прогиба показывает, что точка B перемещается вниз в направлении единичной силы.
Для определения угла поворота выбираем единичное состояние – освободив балку от заданной нагрузки, прикладываем в точке B сосредоточенный момент =1, направленный по ходу часовой стрелки. Строим эпюру от единичного воздействия (рис.20г ). Поскольку ординаты эпюры от единичного момента везде равны единице, а площади простейших грузовых эпюр найдены выше, определяем угол поворота в сечении B

j B =∆ 2 P = = .

Положительное значение угла поворота показывает, что сечение B поворачивается по ходу часовой стрелки по направлению единичного момента.

Министерство образования Российской Федерации Государственное учреждение

Кузбасский государственный технический университет Кафедра сопротивления материалов

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ В БАЛКАХ

Методические указания для выполнения расчетно-графического задания по курсу сопротивления материалов

для студентов всех специальностей

Составители В.Д. Моисеенко С.А. Сидельников

Утверждены на заседании кафедры Протокол № 6 от 27.06.02

Электронная копия находится в библиотеке главного корпуса ГУ КузГТУ

Кемерово 2003

1. Введение

Расчет балок на жесткость при изгибе имеет не меньшее значение, чем расчет на прочность. Анализ деформации балки при прямом изгибе показывает, что при приложении к ней поперечной нагрузки продольная ось балки искривляется в плоскости действия нагрузки, а поперечные сечения перемещаются. Искривленная ось балки называется изогнутой осью или упругой линией. Новые положения сечений характеризуются линейными и угловыми перемещениями, показанными на рис.1.

	θ (z)

Рис. 1. Перемещения при изгибе

Перемещение центра тяжести сечения по направлению, перпендикулярному к продольной оси недеформированной балки, называется прогибом балки в данном сечении и обозначается V .

Угол, на который сечение поворачивается по отношению к своему начальному вертикальному положению, называется углом поворота сечения и обозначается θ .

Расчет балок на жесткость при изгибе заключается в определении наибольших упругих линейных и угловых перемещений поперечных сечений от заданной нагрузки и сопоставлении их с соответствующими допускаемыми перемещениями, зависящими от назначения и условий эксплуатации балок. Иначе говоря, требуется обеспечить соблюдение условия жесткости, выраженного неравенствами:

V max≤ [ V ] ,

θ max ≤ [θ],

где [ V ] и[θ] - допускаемые значения прогиба и угла поворота.

Цель задания «Изогнутая ось балки» - получение навыков определения линейных и угловых перемещений в балках основными методами: методом начальных параметров и методом Максвелла – Мора (по способу Верещагина).

2. Теоретические основы метода начальных параметров

Приближенное дифференциальное уравнение изогнутой оси балки имеет вид

где EI x – жесткость сечения балки при изгибе;V ″ – вторая производная от прогибаV по абсциссе сечения;М из – изгибающий момент в произвольном сечении.

Уравнение (2.1) может иметь два знака, потому что знак кривизны (V ″ ≈ 1 /ρ ) изогнутой оси балки может не совпадать со знаком изгибающего момента. Знак кривизны зависит от направления осей координат, знак изгибающего момента выбирается в зависимости от того, где расположены растянутые волокна. При направлении оси прогибов вверх знак изгибающего момента согласуется со знаком кривизны, которая положительна при вогнутой форме и отрицательна при выпуклой форме (рис. 2, а).

V″ >0	V″ <0
Mx >0	Mx >0
V″ <0	V″ >0
Mx <0	Mx <0

Рис. 2. Зависимость знака кривизны от координатных осей

В таком случае уравнение изогнутой оси балки записывается со знаком плюс в правой части EI x V ″ = M из . При направлении оси прогибов

вниз знаки кривизны и изгибающего момента не согласуются (рис. 2,б) и в правой части уравнения изогнутой оси следует ставить знак минус EI x V ″ = – M из . Проинтегрировав уравнение (2.1) первый раз, получим уравнение углов поворота:

Проинтегрировав второй раз, получим уравнение прогибов:

где С иD – постоянные интегрирования.

Определим постоянные интегрирования изогнутой оси балки, для чего рассмотрим их физический (геометрический) смысл в уравнениях (2.2) и (2.3). Уравнение (2.2) может быть записано в виде, удобном для вычисления углов поворота θ = V ′ :

При z = 0 интеграл вида∫ М из dz обращается в нуль, следует:

θ 0 = Vz " = 0 =			C = θ 0 EIx .
	EI x

Это означает, что постоянная интегрирования С численно равна углу поворотаθ 0 в начале координат балки, умноженному на жесткость сеченияEI x . Уравнение (2.3) запишем также в виде, удобном для вычисления прогибов:

V = ±	∫ dz∫ Mиз dz

В этом уравнении выражения ∫ dz ются в нуль, откуда следует:

D VZ = 0 = V0 =EI x ,

∫ dM из dz ,Сz при z= 0 обраща-

D = V0 EIx .

Следовательно, постоянная интегрирования D численно равна прогибуV 0 в начале координат балки, умноженному на жесткость сеченияEI x .

Постоянные интегрирования С иD определяются из условий опирания балки на опорах, где граничные условия зависят от типа расчетной схемы балки.

Для балок с несколькими участками дифференциальное уравнение изогнутой оси балки не имеет одного аналитического выражения и записывается раздельно для каждого участка. При n участках в балке раздельное интегрированиеn дифференциальных уравнений приводит к получению2n постоянных интегрирования.

Рассмотренные ниже правила, предложенные Клебшем, используемые при составлении дифференциального уравнения изогнутой оси балки и последующем его интегрировании, позволяют уравнять постоянные интегрирования по всем участкам балки и свести их количество к двум, С иD :

Начало координатных осей выбирается на одном из концов балки и является общим для всех участков.

Выражение изгибающего момента записывается с учетом нагрузок, расположенных между началом координатных осей и текущим сечением с координатой z на последнем участке.

Равномерно-распределенная нагрузка, не распространяющаяся на последующие участки, продлевается до конца балки с условием приложения в пределах продленной части компенсирующей равномерно – распределенной нагрузки противоположного направления.

Внешний сосредоточенный момент умножается на фиктивное плечо вида (z - a )° , гдеа – координата сечения приложения внешнего сосредоточенного момента.

Интегрирование дифференциального уравнения изогнутой оси балки производится без раскрытия скобок.

При определении постоянных интегрирования С иD из граничных условий, а также при определении прогибов и углов поворота в расчетных сечениях используется «правило отрицательного аргумента». Согласно этому правилу не учитываются слагаемые, содержащие аргумент вида (z – a ), (z – b ), (z - c ) и т.д., принимающий отрицательное значение независимо от его показателя степени. Здесьа ,b ,с – координаты сечений приложения различных нагрузок.

(z) = RA z

Mm (z) = – m(z – a)°

(z − b)2

Mq (z)= – q

Mq ′ (z)= q′

(z − c)2

q′ = q

Рис. 3. Правила Клебша при составлении дифференциального уравнения изогнутой оси балки

В случае определения перемещений в составной балке с промежуточным шарниром в уравнение углов поворота и прогибов соответственно вводятся дополнительные слагаемые ∆θ (z -d) ° и∆θ (z-d). Здесь∆θ – взаимный угол поворота поперечных сечений, примыкающих к промежуточному шарниру слева и справа, аd – координата промежуточного шарнира. При этом соблюдаются все правила Клебша, в частности определение постоянных интегрированияС иD , а также∆θ производится из граничных условий на опорах балки.

Построение изогнутой оси балки выполняется с учетом представленных на рис. 4 правил знаков для прогибов и углов поворота в зависимости от выбора места и направления координатных осей.

Рис. 4. К определению знаков прогибов и углов поворота

3. Теоретические основы метода Максвелла – Мора (способа Верещагина)

Этот метод удобно использовать в случае определения прогиба или угла поворота, в каком – либо отдельном сечении без исследования всей изогнутой оси балки.

Помимо метода Максвелла – Мора, основанного на вычислении соответствующего определенного интеграла, определение перемещений может быть произведено способом Верещагина, являющимся способом «перемножения эпюр». В этом случае пользуются следующим выражением:

∆ ip=	ωp Y
	EI x

где ∆ ip – искомое перемещение; ω р – площадь грузовой эпюры изгибающих моментов от заданной нагрузки; Y – ордината единичной эпюры изгибающих моментов от единичного нагружения балки, взятая под центром тяжести площади грузовой эпюры.

При определении прогиба или угла поворота единичное нагружение создается соответственно единичной силой или единичным моментом, прилагаемыми к балке в тех сечениях, где определяется перемещение. Определение перемещений при сложном виде грузовой эпюры выполняется по участкам балки, на каждом из которых единичная эпюра должна быть линейно – гладкой, т.е. описываться одной линейной зависимостью. При этом в пределах каждого из таких участков на грузовой эпюре выделяются простые фигуры, для которых легко определяются площади и положение центров тяжести. Затем суммируются произведения площади ω pi каждой простой фигуры на ординатуY i единичной эпюры, взятую под центром тяжести соответствующей простой фигуры. В приложении приведены значения площадей и координаты центров тяжести наиболее часто встречающихся простых геометрических фигур. Формула (3.1) в случае сложного вида грузовой эпюры имеет вид

∆ ip=	∑ ω piY i
	EI x

где i – номер простой фигуры в грузовой эпюре.

Направления единичной силы и единичного момента, выбираемые произвольно, указывают предположительные направления искомых перемещений.

Полученные положительные значения перемещений подтверждают верность выбранных направлений перемещений, а отрицательные значения указывают на то, что перемещения направлены противоположно направлению единичного нагружения.

4. Пример определения перемещений в простой двухопорной балке методом начальных параметров

Для балки, расчетная схема которой показана на рис. 5,а, требу-

1) построить эпюры Q , M из и подобрать сечение из прокатного двутавра, полагая[σ] = 160 Μ Па ;

2) определить прогибы и углы поворота в характерных сечениях

при Е = 2 10 5 МПа и построить прогнутую ось балки;

3) проверить жесткость при [ V ] = 300 l .

При выполнении расчетов в Технической системе единиц необ-

ходимо помнить, что 1Н = 0,1 кгс; 1кН = 0,1 тс; 1Па = 1 10-5 см кгс 2 ; 1МПа= 106 Па.

Любым из способов, рассмотренных в задании «Изгиб», строим эпюры поперечных сил Q и изгибающих моментовМ из (рис. 5, б, в).

Определяем опасное сечение и M max по эпюреМ из . Подбор дву-

таврового поперечного сечения производим, используя условие прочности при изгибе:

W x тр≥		М max			0,000175м
		[σ ]		160 103

По таблице сортамента (ГОСТ 8239 –89 ) принимаем двутавровое сечение№ 20 , для которогоW х = 0,000184 м 3 , I x = 0,0000184 м 4 , жест-

кость сечения балки:

EIx = 2 105 103 0,0000184 = 3680 кН м2 .

Подготовим расчетную схему к составлению дифференциального уравнения изогнутой оси балки (рис.5,г).

Начало координат выбираем на левом конце балки, направив ось прогибов вниз.

Обрывающуюся распределенную нагрузку продолжаем до конца балки, компенсируя ее на третьем и четвертом участках.

Эп. Q (кН)

Эп. Миз =Мр (кН·м)

θ (3)

θ (1)

θ (A)

θ (2)

θ (B)

V (1)

V (2)

V (C)

V (3)

Рис. 5. Схема балки, эпюры Q иM из , расчетная схема

и изогнутая ось балки

Вопросы лекции:

1. Линейные и угловые перемещения в балках.

2. Определение перемещений путем интегрирования уравнения изогнутой оси балки.

3. Метод начальных параметров.

7.1 Линейные и угловые перемещения в балках при прямом изгибе

В предыдущей лекции были рассмотрены вопросы, относящиеся к расчету балок на прочность. Однако в больший случаев практического расчета деталей, работающих на изгиб необходимо также производить расчет их на жесткость.

Под расчетом на жесткость понимается оценка упругой податливости балки под действием нагрузок и подбор таких размеров поперечного сечения, при которых перемещения не будут превышать допускаемых величин. Для выполнения таких расчетов необходимо научиться вычислять перемещения попереч- ных сечений балки под действием любой внешней нагрузки. Кроме того, перемещения приходится определять и при расчете статически неопределимых конструкций (балок, рам, арок и т.д.).

В основе теории деформации при изгибе лежат:

1. Гипотеза плоских сечений.

2. Учитываются деформации только от изгибающего момента, деформациями от поперечной силы пренебрегают как малыми.

С учетом принятых допущений рассмотрим деформацию балки при прямом изгибе. Под действием внешних нагрузок, расположенных в одной из главных плоскостей балки, наблюда­ется искривление ее оси в той же плоскости, происходит так на­зываемый прямой изгиб. Поперечные сечения при этом повора­чиваются и одновременно получают поступательные перемеще­ния (рис. 7.1).

Искривленная ось балки называется упругой линией.

Перемещение центра тяжести сечения по направлению, перпендикулярному к недеформированной оси балки, называет­ся прогибом балки в данном сечении и обозначается z.

Прогибы и углы поворотов в балках являются функциями коор­динаты x и их опре­деление необходимо для расчета жест­кости. Рассмотрим изгиб стержня в од­ной из главных пло­скостей например, в плоскости xz . Как показывает практи­ка, в составе реаль­ных сооружений стержни испытыва­ют весьма малые искривления (z max /l = 10 - 2 …10 - 3 , где z max - мак­симальный прогиб; l - пролет балки).

7.2 Определение перемещений путем интегрирования уравнения

изогнутой оси балки

В этом случае неизвестными функциями, определяющими по­ложение точек поперечных сечений балки, являются z (x ) и j (x ) = a (x ) (рис. 7.1). Совокупность значений этих параметров по дли­не балки образуют две функции от координаты х - функцию пере­мещений z(х ) и функцию углов поворота j (х ). Из геометрических построений (рис. 7.1) наглядно видно, что угол наклона каса­тельной к оси х и угол поворота поперечных сечений при произвольном х равны между собой. В силу малости углов поворота можно записать

Из курса математического анализа известно, что кривизна пло­ской кривой z(х ) выражается следующей формулой:

Однако, в связи с малостью величины по сравнению с единицей последнее выражение можно существенно упростить, и тогда

Учитывая выражение, полученное в предыдущей лекции,

из (7.2) получим следующее важное диф­ференциальное соотношение

где I у - момент инерции поперечного сечения балки, относительно ее нейт-

ральной оси;

Е - модуль упругости материала;

E I у - изгиб­ная жесткость балки.

Уравнение (7.3), строго говоря, справедливо для случая чис­того изгиба балки, т.е. когда изгибающий момент M у (х ) имеет по­стоянное значение, а поперечная сила равна нулю. Однако это уравнение используется и в случае поперечного изгиба, что равно­сильно пренебрежению искривлений поперечных сечений за счет сдвигов, на основании гипотезы плоских сечений.

Введем еще одно упрощение, связанное с углом поворота попе­речного сечения. Если изогнутая ось балки является достаточно по­логой кривой, то углы поворота сечений с высокой степенью точ­ности можно принимать равными первой производной от прогибов. Отсюда следует, что прогиб балки принимает экстремальные значе­ния в тех сечениях, где поворот равен нулю.

В общем случае, для того, чтобы найти функции прогибов z(х ) и углов поворота j (х ), необходимо решить уравнение (7.3), с уче­том граничных условий между смежными участками.

Для балки, имеющей несколько участков, определение формы упругой линии является достаточно сложной задачей. Уравнение (7.3), записанное для каждого участка, после интегрирования, со­держит две произвольные постоянные.

На границах соседних участков прогибы и углы поворота являются непрерывными функциями. Данное обстоятельство позволяет определить необходимое число граничных условий для вычисления произвольных постоянных интегрирования.

Если балка имеет n - конечное число участков, из 2n числа граничных условий получим 2n алгебраических уравнений относительно 2n постоянных ин­тегрирования.

Если момент и жесткость являются непрерывными по всей длине балки функциями M у (х ) и E I у (х ), то решение может быть получено, как результат последовательного интегрирования урав­нения (7.3) по всей длине балки:

интегрируя один раз, получаем закон изменения углов поворота

интегрируя еще раз, получаем функцию прогибов

Здесь C 1 и С 2 произвольные постоянные интегрирования долж­ны быть определены из граничных условий.

Если балка имеет постоянное поперечное сечение по длине, то для определения функций прогибов и углов поворота удобно при­менить метод начальных параметров .

7. 3 Метод начальных параметров

Метод начальных параметров получил широкое примене­ние при решении различных инженерных задач. Его разработа­ли советские ученые Н.П. Пузыревский, Н.К. Снитко, Н.И. Бе­зухое, А.А. Уманский и др.

Для того чтобы сократить число неизвестных произволь­ных постоянных интегрирования до двух, необходимо обеспе­чить равенство соответствующих постоянных на всех участках балки. Это равенство будет соблюдаться, если в уравнениях мо­ментов, углов поворота и прогибов при переходе от участка к участку повторяются все силовые факторы предыдущего участ­ка, а вновь появляющиеся слагаемые обращаются в нуль на ле­вых границах своих силовых участков. Для обеспечения этих условий при составлении дифференциальных уравнений упру­гой линии и их интегрировании должны соблюдаться следую­щие условия:

1. Начало координат (общее для всех си­ловых участков) выбирается на конце балки:

Если есть заделка, то в заделке,

Если на конце есть опора, то на опоре,

Если на обоих концах консоли, то безразлично, на каком конце начало координат.

2. При составлении уравнения для конкретного сечения учитываются нагрузки, расположенные от начала координат до сечения; распределенная нагрузка q продолжается до сечения в соответствии с правилами Клебша. При наличии сосредоточенного момента М его значение представлять в виде произведения М(z - l) 0 , где l – расстояние от начала координат до сечения, в котором этот момент прило­жен.

3. При действии распределенной нагрузки, не доходящей до правого конца рассматриваемого участка, она продолжается до этого конца и одновременно уравновешивается противоположно на­правленной нагрузкой той же интенсивности («дополнитель­ная» и «уравновешивающая» нагрузки показываются на рисунках штриховыми линиями).

4. Интегрировать уравнение на всех участках, не раскрывая скобок.

Рассмотрим балку (рис. 7.2) с постоянным поперечным сече­нием, нагруженную вза­имоуравновешенной си­стемой положительных силовых факторов (т.е., вызывающих вертикаль­ные перемещения сече­ний балки в положи­тельном направлении оси z ). Начало системы координат поместим на левом конце балки так, чтобы ось x проходила вдоль оси балки, а ось z была бы направлена вверх.

На балку действуют: момент М , сосре­доточенная сила F и равномерно распределенная на участке бруса нагрузка интенсивностью q (рис. 7.2).

Задача заключается в том, чтобы выявить особенности, вноси­мые в уравнение упругой линии, различными типами внешних си­ловых факторов. Для этого составим выражение изгибающих мо­ментов для каждого из пяти участков заданной системы.

Участок I (0£ x £ l 1) M y ( x ) = 0.

Участок II (l 1 £ x £ l 2) M y ( x ) = M .

Участок III (l 2 £ x £ l 3) M y ( x ) = M + F (x - l 2).

Участок IV (l 3 £ x £ l 4) M y (z ) = M + F (x - l 2) + .

Участок V (l 4 £ х £ l 5) M у (х ) = M + F (х - l 2) + .

На участке V, где распределенная нагрузка отсутствует, при выводе выражения для изгибающего момента, с целью сохранения рекуррентности формул для разных участков была приложена взаимоуравновешенная распределенная нагрузка.

Для вывода обобщенного выражения изгибающего мо­мента введем следующий оператор, означающий, что члены выражения, стоящие перед ним следует учитывать при х > l i и иг­норировать при х £ l i . На основании этого, обобщенное выражение момента M у (х ) для произвольного сечения х может быть записано единой формулой:

M у (х ) = M +F (х - l 2) + . (7.4)

Подставляя (7.4) в (7.3) и дважды интегрируя, получим выра­жение для прогибов:

E I у z (x ) = C 0 + C 1 x + + + -

Постоянные интегрирования C 0 и C 1 по своей сути означают:

C 0 = E I y z (0) , C 1 = (7.6)

и определяются из граничных условий на левом конце балки. Тогда формула для прогибов примет следующий оконча­тельный вид:

E I y z (x ) = E I y z 0 + x + + +

Соответственно, формула для углов поворотов сечений балки определяется из (5.23) простым дифференцированием:

E I y j (x ) = + + + -

Как видно, для определения прогибов и углов поворота балок данным методом начальных параметров достаточно знание лишь значений прогиба z 0 , угла поворота j 0 в начале системы коорди­нат, т.е. так называемых начальных параметров . Поэтому дан­ный метод и называется методом начальных параметров.

7.4 Пример расчета

Для стальной балки, изображенной на рис. 7.3, определить методом начальных параметров углы поворота се­чения и прогиб в точке D . Модуль упругости Е = 2×10 8 кН/м 2 . По­перечное сечение балки - квадратное со стороной a = 0,2 м.

1. Определение опорных реакций балки (рис. 7.3).

SM 0 =0, R B (b + c + e ) - q ×(c + e )×[b + 0,5×(c + e )] + M + P b = 0,

SM B =0, R 0 (b + c + e ) - 0,5×q ×(c + e ) 2 - M + P ×(c + e ) = 0,

Для проверки правильности определения опорных реакций сос­тавим уравнение равновесия сил по оси z :

Sz =0; R 0 + R B + F - q (c + e ) = 7,86 + 14,14 + 8 - 10×3 = 30 - 30 = 0.

Реакции найдены верно.

2. Применение метода начальных параметров .

Исполь­зуя метод начальных параметров, для рассматриваемой балки запи­шем:

Из условий закрепления балки при x = 0 имеем: z 0 = 0; М 0 =0.

Подставляя числовые значения, получим:

В данном выражении неизвестно j 0 . Из условия закрепления балки при x = b + c + e имеем, что z = 0. Вычисляя прогиб на правом конце балки и приравнивая его к нулю, получим уравнение для определения j 0:

Отсюда E I j 0 = -20,84 кН×м 2 . Теперь выражение для определе­ния прогибов будет иметь вид:

Соответственно, выражение для определения углов поворота будет:

С помощью этих выражений определяем z D и j D :

Вычисляем жесткость сечения (Е = 2×10 8 кН/м 2):

Тогда, окончательно,

Перемещение точки D происходит вниз, а сечение поворачива­ется по часовой стрелке.

ЛЕКЦИЯ №1 3

Определение перемещений в балках при изгибе

Балки должны удовлетворять не только условиям прочности, но и условиям жесткости. Небольшие прогибы балок не должны превышать допускаемой величины. (Это вторая задача сопромата – расчет на жесткость).

Фактический прогиб ƒmax .

- допускаемый прогиб, устанавливается техническим условием или нормалями в отрасли.

Для мостовых и подкрановых балок:

Для балок перекрытий

.

Также определение перемещений в балках необходимо для расчета статически неопределенных систем.

Введем ряд понятий и обозначений. Рассмотрим балку под действием силы Р.

Первоначальная прямолинейная ось балки – т.е. недеформированная ось.

При деформации ось балки изгибается (упругая линия балки).

Изображение утрированно, т.к. для жестких балок не вооруженным глазом перемещение не обнаружить.

Балка изгибается при плоском поперечном изгибе в поперечном изгибе в силовой плоскости.

Возьмем точку А на оси балки на расстоянии Х от заделки.

Перемещения точек вдоль оси балки представляют собой малые высоких порядков, по сравнению с вертикальными перемещениями точек. Поэтому осевыми перемещениями этих точек пренебрегаем. Введем оси Х и Y, следовательно перемещение т.А =

Перемещения центра тяжести сечения по перпендикуляру к недеформированной оси балки называется прогибом и обозначается буквой y.

Проведем касательную и нормаль к деформированной оси. Угол на который поворачивается сечение по отношению к первоначальному положению называется углом поворота сечения т. О – центр кривизны, ρ – радиус кривизны в данной точке.

На конце балки

Имеем связь

, но угол φ<1º (для реальных балок), поэтому

;

Раньше при определении изгиба получали формулу для кривизны

(*)

Из геометрии кривизна кривой определяется как

(**)

При малых перемещениях второй член в знаменателе мал и им можно пренебречь. Приравнивая правые части выраженной (*) и (**) и принимая во внимание принятое допущение получим

(1) Приближенное дифференциальное уравнение изогнутой оси балки.

Знак ± в формуле опущен. Такая запись возможна только в том случае, если ось у всегда направлена вверх.

М>0

>0

М<0

<0

Проинтегрируем уравнение (1)

(2)

Это уравнение углов поворота сечений балки.

Еще раз проинтегрируем

(3)

Уравнения прогибов балки.

C иD постоянные интегрирования.

Они определяются из условий крепления балки на границах участков.

Пример использования этих уравнений

В заделке M=Pl

Найдем C иD из условия крепления балки при х=0 у=0,

Если

,С =0

Если у=0, D =0

Следовательно:

При x=ℓ

Способ носит название – метод непосредственного интегрирования дифференциального уравнения изогнутой оси балки.

Метод непосредственного интегрирования дифференциального уравнения балки имеет недостатки:

1. Требуется определять постоянные интегрирования.

2 .Число постоянных интегрирования равно удвоенному числу участков.

На практике определение перемещений в балках производится методом начальных параметров. В этом методе требуется определить две постоянные интегрирования независимо от числа участков.