Кручение стержня. Кручение стержней с круглым поперечным сечением

Напряженное состояние чистого сдвига - одно из простейших

(наряду с растяжением и сжатием) напряженных состояний.

Чистым сдвигом называется плоское напряженное состояние, при котором на гранях элемента возникают одни лишь касательные напряжения .

Грани элементарного параллелепипеда при деформации перекашиваются. С точностью до малого высшего порядка можно считать, что ребра остаются прямыми и длина их не меняется. В таком случае деформированное состояние элемента можно определить с помощью лишь одного параметра – угла сдвига , т.е. угла на который изменится первоначально прямой угол между гранями элемента.

Напряженное состояние чистого сдвига может быть реализовано при кручении тонкостенной трубы круглого сечения.

При сравнительно небольших деформациях для большинства материалов можно считать, что угол сдвига пропорционален касательному напряжению, т.е. имеет место закон Гука при чистом сдвиге: (1)

G – модуль сдвига, или как его еще называют модуль упругости вто­рого рода. Он связан с двумя другими упругими постоянными модулем упругости при растяжении-сжатии и коэффициентом Пуассона следующим соотношением:

Для сталей среднее значение упругих постоянных:

Определим главные напряжения при чистом сдвиге. Т.к. положение одной из главных площадок известно, то два других главных

напряжения можно определить по формуле (4) лекции 17 прошлого семестра. =;

Т.к. имеют разные знаки, то очевидно, что чистый

сдвиг - смешанное плоское напряженное состояние.

Кручение.

Кручением называется такое нагружение стержня, когда в поперечных сечениях стержня возникает лишь один внутренний силовой фактор – крутящий момент .

Эпюры крутящих моментов строятся аналогично эпюрам изгибающих моментов и нормальных сил.

Правило знаков для моментовможет принято следующее: если при взгляде со стороны внешней нормали крутящий момент (внутренний) направлен против часовой стрелки, то крутящий момент считается положительным.

Кручение стержней круглого поперечного сечения.

Будем рассматривать случай (так называемого) нестесненного кручения, когда деформации стержня в направлении его оси не затруднены. В таком случае в поперечных сечениях стержня возникают только касательные напряжения. Этот факт можно принять за первое допущение, используемое нами в дальнейшем выводе.

Второе допущение имеет геометрический характер и состоит в том, что поперечные сечения при кручении остаются плоскими и их радиусы не искривляются.

Как показывает точное решение задачи методами теории упругости, для круглых поперечных сечений эта гипотеза выполняется абсолютно точно.

Нашей задачей будет определение напряжений и перемещений в закручиваемом стержне.

Рассмотрим произвольный стержень круглого поперечного сечения.

Выделим кольцеобразный малый элемент, а из него в свою очередь элемент m, npо который в пределе

можно считать плоским. Данный элемент содержит точку, напряженное состояние которой мы исследуем. Полярный радиус исследуемой точки .

Основываясь на первом принятом допущении, заключаем, что элемент mnpq испытывает чистый сдвиг.

Рассмотрим геометрическую сторону задачи.

При кручении поперечные сечения, между которыми заключен элемент повернутся друг относительно друга на малый угол d. Очевидно, что угол сдвига будет равен .

Величину называем относительным углом закручивания.Тогда(1).

Рассмотрим физическую сторону задачи. Будем полагать материал линейно упругим и примем закон Гука (2).

Подставим (1) в (2): (3).

Мы видим, что касательные напряжения по радиусу меняются линейно, но величина Q нам еще не известна.

Обратимся к статической стороне задачи и рассмотрим равновесие отсеченной части стержня

Интеграл - полярный момент инерции.

В результате получаем так называемую основную зависимость при кручении (4)

Величина называется жесткостью при кручении.

Подставим (4) в (3) и получим закон распределения касатель-

ных напряжений (5)

Как мы выяснили ранее, закон распределения напряжений линейных и наибольшие касательные напряжения возникают на контуре сечения при (6)

Где полярный момент сопротивления.

Выразим ичерез диаметр

Само собой, что закон распределения касательных напряжений осесимметричный и по каждому из радиусов напряжения распределяются одинаково.

Формула (6) дает возможность рассчитывать на прочность стержни, работающие на кручение, которые называют валами.

Условия прочности при кручении выглядит:

где [-допускаемое напряжение на кручение.

Может стоять задача определения коэффициента запаса по текучести. Тогда , гдепредел текучести при кручении.

ЦЕЛЬ РАБОТЫ

1. Ознакомиться с деформацией кручения.

2. Определить величины деформации и напряжений при кручении.

3. Определить модуль упругости материала скручиваемого стержня.

ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ

Деформацию кручения испытывают стержни при действии моментов внешних сил в плоскостях, перпендикулярных их продольной оси. С явлением кручения встречаются при расчетах валов, винтовых пружин и других элементов конструкций.

Моменты внутренних сил Т, возникающие в поперечных сечениях под действием внешних моментов Т е и противодействующие внешним моментам, называют крутящими моментами. Крутящие моменты определяются с помощью метода сечений. На основании этого метода крутящий момент Т в сечении равен алгебраической сумме внешних скручивающих моментов Т е, действующих по одну сторону от сечения . Для наглядности распределения Т по длине скручиваемого стержня и для нахождения опасного сечения с наибольшим крутя­щим моментом Т строят эпюры (графики распределения Т по длине стержня) этих моментов. На рис. 4.1 показана эпюра Т схемы нагружения тремя внешними моментами Т е.

При построении эпюры Т проводят ось, параллельную оси стержня. Каждая ордината эпюры в принятом масштабе равна величине момента, действующего в том сечении, которому соответствует ордината. При расчетах на прочность и жесткость знак Т не играет большой роли; условимся считать крутящий момент положительным, если при взгляде в торец рассматриваемого сечения он направлен против хода часовой стрелки. Отметим, что в сечени­ях, где приложен внешний скручивающий момент Т е, ордината эпюры Т меняется скачком на величину, равную значению момента Т е.

Если на поверхности стержня круглого сечения нанести координатную сетку (рис. 4.2, а), то после деформации под действием внешнего скручивающего момента Т е можно обнаружить следующее: прямоугольная сетка превратилась в сетку, состоящую из параллелограммов, что свидетельствует о наличии касательных напряжений τ в поперечных сечениях; поперечные сечения в процессе деформации остаются плоскими, расстояния между ними не изменяются, а первоначальные прямолинейные образующие превращаются в винтовые линии; радиусы поперечных сечений будут поворачиваться, оставаясь прямолинейными, т.е. поперечные сечения, оставаясь плоскими, поворачиваются друг относительно друга на некоторый угол. Эти наблюдения позволили составить представление о механизме деформации кручения. Постоянство длины и диаметра деформируемого стержня свидетельствует об отсутствии нормальных напряжений σ в поперечных и продольных сечениях. Там действуют только касательные напряжения τ. Эти напряжения распределены вдоль диаметра по линейному закону и имеют наибольшее значение на поверхности стержня (рис. 4.2, б).

а б

Касательное напряжение τ, МПа, на поверхности стержня круглого сечения радиуса r вычисляют по формуле

τ = Т∙r/I p =T/W p , (4.1)

где I p , W p – соответственно полярный момент инерции и полярный момент сопротивления поперечного сечения относительно центра, мм 4 , мм 3 .

Полярный момент инерции сечения учитывает величину площади сечения и его форму , для круга диаметром D

I p ≈ 0,1∙D 4 . (4.2)

Полярный момент сопротивления W p , мм 3 , вычисляют по формуле

W p = I p /r, ≈ 0,2D 3 , (4.3)

где r – радиус сечения, мм.

Угол закручивания φ поперечного сечения при постоянных по длине скручиваемого стержня величинах крутящего момента Т и жесткости G∙I p вычисляют по формуле

φ = T∙ℓ/(G∙I p), рад (4.4)

φ = T∙ℓ∙180º/(G∙I p ∙π), град, (4.5)

где G – модуль упругости материала стержня при сдвиге, МПа;

ℓ – длина стержня, мм.

Описание лабораторной установки

Установка (рис. 4.3) состоит из основания 1, скручиваемого стержня 2, направляющей 3, индикаторов 4, нажимных рычагов 5, навески гирь 6 и рычага 7. Кручение жестко закрепленного одним концом на основании 1 стержня 2 производят с помощью рычага 7 длиной h = 145 мм, на котором имеется подвеска 6 для набора гирь весом F = ...Н. Углы поворота поперечных сечений измеряют индикаторами 4 с помощью нажимных рычагов 5 длиной R 1 и R 2 . Один из индикаторов может перемещаться вдоль направляющей и устанавливаться совместно с относящимся к нему нажимным рычагом 5 в различных положениях ℓ 1 , определяемых вариантом задания табл. 4.1. Положение второго индикатора неизменно ℓ 2 = 930 мм. К установке относится комплект быстросъемных стержней 2 круглого и кольцеобразного сечения из стали, латуни и алюминия.

Таблица 4.1

№ варианта (по № бригады)
ℓ 1

Порядок выполнения работы

1. Изучить описание лабораторной работы.

2. Используя пакет прикладных программ LAB2KRUT, сдать коллоквиум по лабораторной работе.

3. Получить у преподавателя вариант индивидуального задания

(табл. 4.1).

4. Индикатор и соответствующий нажимной рычаг установить в положение ℓ 1 , определяемое вариантом задания по табл. 4.1.

5. Проверить "нуль" стрелочных индикаторов стрелочного часового ти­па при отсутствии грузов F на подвеске.

6. Установить на подвеску один из грузов. Определить ве­личину момента по формуле T=F∙h, где h – плечо силы тяжести в мм.

7. Определить экспериментальные значения деформаций φ 1 , φ 2 с помощью индикаторов 4. Угол закручивания φ определить путем пересчета показаний индикаторов в радианы и вычислить по формуле

где K – показания индикатора 4, мм;

R – длина плеча соответствующего прижимного рычага 5, мм (рис. 4.3).

8. Не известен материал стержня и, соответственно, не известно значение модуля упругости второго рода G. Модуль упругости определить по формуле

10. Меняя грузы (использовать не менее 5 сочетаний грузов), определить экспериментально и теоретически значения φ 1 , φ 2 в зависимости от Т. Данные занести в табл. 4.2.

Для справки: Модуль упругости для стали G = 8∙10 4 МПа, латуни

G = 3,8∙10 4 МПа, алюминиевых сплавов G = 2,65∙10 4 МПа.

Таблица 4.2

№ п/п	F, Н	T=F∙h, Нм	Теоретические значения	Экспериментальные значения	τ, МПа
φ 1 , рад	φ 2 , рад	К 1	φ 1 , рад	К 2	φ 2 , рад

1. Титульный лист.

2. Цель работы.

3. Краткие теоретические сведения.

4. Схема лабораторной установки.

5. Индивидуальное задание.

6. Таблица с результатами экспериментов (табл. 4.2).

7. Графики теоретической и экспериментальной зависимости угла поворота поперечного сечения стержня от величины крутящего момента.

8. Выводы по результатам исследований.

9. Литература.

Контрольные вопросы

1. Какую деформацию называют кручением?

2. Изменяется ли форма поперечных сечений при кручении?

3. Какие напряжения возникают в поперечных сечениях круглого стержня при кручении и как они распределяются по сечению?

4. Как определить величину напряжений при кручении?

5. Что такое полярный момент инерции сечения?

6. Что такое полярный момент сопротивления сечения?

7. От чего зависит величина угла закручивания стержня?

8. Что такое жесткость стержня при кручении?

9. Как в лабораторной работе определяется модуль упругости G второго рода материала стержня?

10. Каким образом в лабораторной работе измеряется угол поворота поперечного сечения стержня?

ЛИТЕРАТУРА

1. Красковский Е.Я., Дружинин П.А., Филатова Е.Н. Расчет и конструирование механизмов приборов и вычислительных систем: Учеб. пособие для приборостр. спец. вузов/ Под ред. Ю.А. Дружинина. 2-е изд. перераб. и доп. – М.: Высш. шк., 1991. – 480 с.

2. Ванторин В.Д. Механизмы приборных и вычислительных систем. – М.: Высш. шк., 1985, – 481 с.

3. Сурин В.М. Техническая механика: Учеб. пособие. – Мн.: БГУИР, 2004. – 292 с.

Под кручением понимается такой вид нагружения, при котором в поперечных сечениях стержня возникает только крутящий момент. Прочие силовые факторы (изгибающие моменты, нормальная и поперечные силы) равны нулю. Для крутящего момента, независимо от формы сечения, принято следующее правило знаков. Если наблюдатель смотрит на поперечное сечение со стороны внешней нормали и видит момент направленным против часовой стрелки, то момент считается положительным. При противоположном направлении моменту приписывается знак минус.

На рис. 2.9 показан стержень, нагруженный по концам моментами Если посмотреть на плоскость А со стороны внешней нормали (со стороны точки С), то мы увидим, что момент направлен по часовой стрелке. Следовательно,

будет отрицательным. Тот же самый результат может быть получен, если посмотреть из точки С на плоскость В.

Указанным правилом знаков руководствуются при построении эпюр крутящих моментов. На рис. 2.10 показано несколько примеров нагружения стержня сосредоточенными и распределенными внешними моментами. Для этих моментов применено условное обозначение в виде двух кружков. Кружок с точкой обозначает силу, направленную на наблюдателя, а кружок с крестиком - силу, направленную от наблюдателя. На рис. 2.10 приведены соответствующие эпюры крутящих моментов. Положительные моменты отложены вверх.

При расчете стержня на кручение надо решить две основные задачи. Требуется определить напряжения и найти угловые перемещения в зависимости от внешних моментов. Эти задачи решают по-разному, смотря по тому, какой вид имеет поперечное сечение стержня. Наиболее просто можно получить решение в случае кругового сечения, а также для широкого класса тонкостенных стержней.

Механизм деформирования стержня с круглым поперечным сечением можно представить себе в следующем виде: будем считать, что каждое поперечное сечение в результате действия внешних моментов поворачивается в своей плоскости на некоторый угол как жесткое целое. Этот угол поворота для различных сечений будет различным. Сказанное представляет собой гипотезу плоских сечений - предположение, оправдываемое общими правдоподобными соображениями о характере возникающих перемещений.

Окончательным критерием пригодности любой гипотезы является опыт. Получив расчетную формулу, нужно прежде всего сопоставить результаты расчета с экспериментом, и если между ними обнаруживается достаточно хорошее соответствие, гипотеза считается приемлемой.

Надо сказать, что задача о кручении стержня может быть решена не только методами сопротивления материалов, но также и методами теории упругости без принятия каких-либо гипотез, кроме предположения о непрерывности строения вещества. Решение, полученное этим путем, показывает, что круглое поперечное сечение бруса действительно остается плоским и поворачивается как жесткое целое. В поперечных сечениях возникают только касательные напряжения.

Вернемся к стержню с круговым поперечным сечением, нагруженному по торцам двумя моментами (см. рис. 2.9). В поперечных сечениях стержня возникает постоянный крутящий момент

Двумя поперечными сечениями выделим из стержня элемент длиной а из него в свою очередь двумя цилиндрическими поверхностями с радиусами - элементарное кольцо, показанное на рис. 2.11.

Правое торцевое сечение кольца поворачивается при кручении относительно левого на угол Образующая цилиндра АВ поворачивается при этом на угол и занимает положение . Отрезок В В равен, с одной стороны, , а с другой . Следовательно,

Угол 7 представляет собой не что иное, как угол сдвига цилиндрической поверхности. Величину обозначают обычно через в:

и называют относительным углом закручивания. Это - угол взаимного поворота двух сечений, отнесенный к расстоянию между ними. Величина в аналогична относительному удлинению при растяжении Вводя обозначение в, получаем

По закону Гука для сдвига

где - касательные напряжения, возникающие в поперечном сечении бруса. Парные им напряжения образуются в продольных плоскостях - в осевых сечениях (см. рис. 2.11).

Элементарные силы (рис. 2.12) можно привести к крутящему моменту Выполним интегрирование для всей площади поперечного сечения Подставив в подынтегральную функцию напряжение из выражения (2.5), получим Интеграл представляет собой чисто геометрическую характеристику, измеряется в и носит название полярного момента инерции сечения:

Таким образом, получаем или

Произведение называют жесткостью стержня при кручении. Если стержень имеет переменное сечение, то зависит от z.

Через относительный угол закручивания в легко определить и взаимный угол поворота сечений Согласно выражениям (2.4) и (2.7),

Уравнение (2.8) и первое уравнение системы при дают систему дэух уравнений равновесия прямолинейного стержня переменного сечения при кручении

Система уравнений (2.9) позволяет определить внутренний крутящий момент и угол поворота сечения для любых в зависимости от координаты z, например для случая показанного на рис. 2.10.

Из уравнения (2.8) получаем

где - расстояние между сечениями, для которых определяют взаимный угол поворота

Если крутящий момент по длине стержня не изменяется, а жесткость остается постоянной, то

Вернемся теперь к выражению (2.5). Исключив из него , получим

Таким образом, касательные напряжения в поперечном сечении распределены вдоль радиуса по линейному закону и имеют наибольшее значение в точках, наиболее удаленных от оси (рис. 2.13). При этом

Величина

называется полярным моментом сопротивления и измеряется в Окончательно имеем

Формулы (2.11) и (2.14) являются основными расчетными формулами для кручения стержня с круговым поперечным сечением. Они справедливы как для сплошного, так и для полого кругового сечения.

Определим теперь геометрические характеристики сечения Для этого подставим в выражение (2.6) вместо площадь пояска (см. рис. 2.12). Если стержень имеет сплошное круговое сечение, то

где - диаметр сечения, или

Если же в стержне имеется внутренняя центральная полость диаметром (рис. 2.14), то

Соответственно этим выражениям определяем полярный момент сопротивления (см. формулу (2.13)). Для сплошного сечения

для кольцевого сечения (полый вал)

Таким образом, из выражений (2.11) и (2.15) видно, что при заданном крутящем моменте угловые перемещения вала обратно пропорциональны четвертой степени диаметра. Что же касается наибольшего напряжения, то оно, согласно выражениям (2.14) и (2.17), обратно пропорционально кубу диаметра

Касательные напряжения в поперечных сечениях стержня направлены в каждой точке перпендикулярно текущему радиусу Из условия парности следует, что точно такие же напряжения возникают и в продольных сечениях (рис. 2.15). Наличие этих напряжений проявляется, например, при испытании на кручение деревянных образцов.

Дерево, как известно, обладает ярко выраженной анизотропией упругих и прочностных свойств. Древесина имеет сравнительно низкую прочность на скалывание вдоль волокон.

Поэтому разрушение деревянного образца при кручении начинается с образования продольных трещин (рис. 2.16).

Если двумя парами осевых и поперечных сечений выделить из закрученного стержня элемент показанный на рис. 2.17, то на его гранях будут обнаружены только касательные напряжения. Следовательно, во всех точках стержня при кручении возникает состояние чистого сдвига, как и при кручении трубки. Здесь, однако, чистый сдвиг не будет однородным, поскольку значение изменяется по радиусу поперечного сечения.

Из предыдущего параграфа мы уже знаем, что если изменить ориентацию сечений, повернув их в плоскости сдвига на 45°, то в новых площадках обнаруживаются только нормальные напряжения, имеющие одинаковое с значение. При этом одно из них является растягивающим, а второе - сжимающим.

Согласно сказанному, на гранях элемента выделенного из стержня при помощи винтовых сечений, проведенных под углом 45° к образующим, возникают нормальные напряжения, показанные на рис 2.17.

Наглядной иллюстрацией этого может служить характер разрушения хрупких образцов при кручении. Хрупкие материалы разрушаются обычно по поверхности наибольших растягивающих напряжений. Если подвергнуть испытанию на кручение образец из хрупкого материала, например чугуна, то разрушение произойдет по сложной винтовой поверхности, соответствующей максимальным растягивающим напряжениям (рис. 2.18).

Наличие растягивающих и сжимающих напряжений в наклонных площадках при кручении можно наглядно проиллюстрировать и другим способом. На поверхности цилиндра, изготовленного из пластичного материала (рис. 2.19), краской было предварительно нанесено множество мелких кружочков. При закручивании бруса кружки превратились в эллипсы с главными осями, направленными под углом 45° к образующим. По направлению больших осей эллипса произошло удлинение, а вдоль малых осей - сжатие.

Потенциальную энергию деформации, накопленной стержнем при кручении, можно определить аналогично тому, как это делали в случае растяжения. Рассмотрим участок закрученного стержня длиной (рис. 2.20). Энергия, накопленная в этом элементе, равна работе моментов приложенных по торцам:

где - взаимный угол поворота сечений. Двойка, стоящая в знаменателе, опять же является следствием того, что момент меняется пропорционально

В полученное выражение подставляем согласно формуле (2.8). Тогда

Потенциальную энергию во всем стержне определяем интегрированием выражения (2.19) по длине:

Если момент по длине не меняется и жесткость постоянна, то и

Рассмотрим некоторые примеры.

Пример 2.1. Вал передает момент Требуется подобрать размеры поперечного сечения вала для двух случаев: а) для сплошного кругового сечения; б) для кругового сечения с отверстием Сравнить оба сечения по расходу металла. Допускаемое напряжение

Согласно формуле (2.14), для обоих сечений

Для сплошного сечения, согласно выражению (2.17),

Для полого сечения выражения (2.18) получаем

Расход металла пропорционален площади поперечного сечения. В первом случае

во втором -

Таким образом, полое сечение является более экономичным и в рассматриваемом случае (при дает более чем двукратное снижение расхода металла.

То, что полый вал является более выгодным, чем вал сплошного сечения, ясно из рассмотрения эпюры напряжений в сечении вала (рис. 2.21). В центральной части сплошного сечения материал напряжен сравнительно мало и его использование далеко не полно. Для сечения с отверстием напряжения распределены более равномерно (см. рис. 2.21) и степень использования материала повышается.