Нормальные напряжения в поперечном сечении балки. Усилия и напряжения в поперечном сечении бруса

При растяжении (сжатин) бруса в его поперечных сечениях возникают только нормальные напряжения. Равнодействующая соответствующих элементарных сил о, dA - продольная сила N - может быть найдена с помощью метода сечений. Для того чтобы иметь возможность определить нормальные напряжения при известном значении продольной силы, необходимо установить закон нх распределения по поперечному сечению бруса.

Эта задача решается на основе протезы плоских сечений (гипотезы Я. Бернулли), которая гласит:

сечения бруса, плоские и нормальные к его оси до деформации, остаются плоскими и нормальными к ося и при деформации.

При растяжении бруса (изготовленного, например, для большей наглядности опыта из резины), на поверхности которого нанесена система продольнь1х и поперечных рисок (рис. 2.7,а), можно убедиться, что риски остаются прямолинейными и взаимно перпендикулярными, изменяются лишь

где А - площадь поперечного сечения бруса. Опуская индекс z, окончательно получаем

Для нормальных напряжений принимают то же правило знаков, что и для продольных сил, т. е. при растяжении считают напряженна положительными.

Фактически распределение напряжений в сечениях бруса, примыкающих к месту приложения внешних сил, зависит от способа приложения нагрузки и может быть неравномерным. Экспериментальные и теоретические исследования показывают, что это нарушение равномерности распределения напряжений носит местный характер. В сечениях бруса, отстоящих от места нагружения на расстоянии, примерно равном наибольшему из поперечных размеров бруса, распределение напряжений можно считать практически равномерным (рис. 2.9).

Рассмотренное положение является частным случаем принципа Сен-Венана, который можно сформулировать следующим образом:

распределение напряжений существенно зависит от способа приложения внешних сил лишь вблизи места нагружения.

В частях, достаточно удаленных от места приложения сил, распределение напряжений практически зависит только от статического эквивалента этих сил, а не от способа их приложения.

Таким образом, применяя принцип Сен-Венана и отвлекаясь от вопроса о местных напряжениях, имеем возможность (как в этой, так и в последующих главах курса) не интересоваться конкретными способами приложения внешних сил.

В местах резкого изменения формы и размеров поперечного сечения бруса также возникают местные напряжения. Это явление называют концентрацией напряжений, которую в этой главе учитывать не будем.

В тех случаях, когда нормальные напряжения в различных поперечных сечениях бруса неодинаковы, целесообразно показывать закон их изменения по длине бруса в виде графика - эпюры нормальных напряжений.

П ри мер 2.3. Для бруса со ступенчато-переменным поперечным сечением (рис. 2.10,а) построить эпюры продольных сил и нормальных напряжений.

Решение. Разбиваем брус на участки, начиная от свободного гонца. Границами участков являются места приложения внешних сил и изменения размеров поперечного сечения, т. е. брус имеет пять участков. При построении только эпюры N следовало бы разбить брус лишь на три участка.

Применяя метод сечений, определяем продольные силы в поперечных сечениях бруса и строим соответствующую эпюру (рис. 2.10,6). Построение эпюры И принципиально ничем не отличается от рассмотренного в примере 2.1, поэтому подробности этого построения опускаем.

Нормальные напряжения вычислим по формуле (2.1), подставляя значения сил в ньютонах, а площадей - в квадратных метрах.

В пределах каждого из участков напряжения постоянны, т. е. эпюра на данном участке - прямая, параллельная оси абсцисс (рис. 2.10, в). Для расчетов на прочность интерес представляют в первую очередь те сечения, в которых возникают наибольшие напряжения. Существенно, что в рассмотренном случае они не совпадают с теми сечениями, где продольные силы максимальны.

В тех случаях, когда сечение бруса по всей длине постоянно, эпюра а подобна эпюре N и отличается от нее только масштабом, поэтому, естественно, имеет смысл построение лишь одной из указанных эпюр.

Растяжение и сжатие весьма часто встречаются в элементах строительных конструкций и машин.

Если внутренние силы в поперечном сечении стержня сводятся только к одному силовому фактору – продольной силе N, а все остальные внутренние силы равны нулю, то имеет место центральное растяжение или сжатие.

Внешние силы, вызывающие растяжение или сжатие, приложенные к концевым или промежуточным сечениям стержня, должны быть также направлены по его оси или приводиться к равнодействующей, направленной по этой оси.

Рассмотрим растянутый стержень (рис.2.1). Передача сил Р на этот стержень может быть осуществлена различными способами: можно, например, отогнуть концы стержня и захватить его за образовавшуюся петлю, можно изготовить стержень с бортиками и передать усилия через выступ, можно нарезать резьбу, можно сделать отверстие и в отверстие вставить палец, словом, вариантов можно предложить много. Всем этим, отличающимся друг от друга конструкциям, может быть поставлена в соответствие одна и та же расчётная схема (рис.2.2). Это возможно благодаря справедливости принципа Сен-Венана, названному по имени предложившего его французского учёного, сыгравшего большую роль в создании сопротивления материалов и теории упругости в середине XIX века.

Принцип Сен-Венана утверждает следующее: особенности приложения внешних сил сказываются на расстоянии, не превышающем характерный размер поперечного сечения . Напряжения и деформации в стержне на достаточном удалении от мест захвата (равном характерному размеру поперечного сечения – диаметру d) будут одинаковы, если одинаковы приложенные силы. Применение принципа Сен-Венана позволяет существенно расширить общность основных расчётных формул сопротивления материалов, поскольку освобождает от необходимости учитывать конкретные особенности местного распределения сил.

Для определения продольных сил применяется метод сечений, который заключается в том, что стержень мысленно пересекается плоскостью, перпендикулярной оси стержня, на две части. Продольная сила N равна сумме проекций на ось стержня сил, действующих по одну сторону от сечения. Сила N считается положительной, если она вызывает растяжение (направлена от сечения), и отрицательной, если она вызывает сжатие (направлена к сечению).

Рассмотрим расчётную схему стержня (рис.2.2). Стержень рассекаем сечением m-n и рассматриваем равновесие левой отсечённой части. Целесообразно неизвестную продольную силу N принимать положительной (растягивающей). Если при решении уравнения статики сила N получится со знаком “–“, то её направление надо поменять на противоположное и учитывать в дальнейшем расчёте, что стержень сжат. В нашем случае (рис.2.2.) получим N = P, т.е. стержень растянут: ∑x = 0, N – P = 0, N = P.

В более сложных случаях нагружения стержня имеет смысл строить график изменения продольных сил по длине, называемый эпюрой продольных сил . На рис.2.3 изображен брус, находящийся под действием внешних сил, направленных вдоль оси. Показана эпюра продольных сил.

При построении эпюры N рассматривали равновесие отсечённых частей на каждом из участков ℓ 1 , ℓ 2 , ℓ 3 (рис.2.4).

Из рис.2.4 следует, что мы все время рассматривали равновесие правой отсечённой части. Это связано с тем обстоятельством, что мы не определили реакцию опоры R , которая относится к внешним силам. Если бы сначала нашли R из уравнения статики, можно было бы рассматривать равновесие и левой отсечённой части. Построив эпюру N, получили R = 10 кH (растяжение).

С помощью построенной эпюры легко установить значение N, необходимое для расчёта на прочность. Так, в нашем примере получили½N max ½ = 50кН. Это значение не совпадает ни с одной из внешних сил.

Продольная сила N, возникающая в поперечном сечении бруса, представляет собой равнодействующую внутренних нормальных сил, распределённых по площади поперечного сечения и связана с возникающими в этом сечении нормальными напряжениями зависимостью:

где σ – нормальное напряжение в произвольной точке поперечного сечения, принадлежащей элементарной площадке dF;

F – площадь поперечного сечения бруса.

Однако из формулы (2.1) нельзя найти закон распределения нормальных напряжений σ по площади поперечного сечения. Опыты показывают, что если нанести на поверхность бруса систему взаимно перпендикулярных линий (рис.2.5), то после нагружения поперечные линии a-a, b-b, c-c, d-d переместятся параллельно самим себе.

Каждую такую линию можно рассматривать как след плоскости поперечного сечения бруса, – это позволяет считать, что поперечные сечения бруса, плоские до его нагружения, остаются плоскими и при действии нагрузки. Выполняется гипотеза плоских сечений , впервые предложенная голландским учёным Д. Бернулли и широко применяемая в задачах сопротивления материалов: удлинения и напряжения во всех точках поперечного сечения бруса равны между собой, что позволяет в выражении (2.1) вывести величину σ за знак интеграла. Таким образом,

,

Итак, в поперечных сечениях бруса при его растяжении (или сжатии) возникают равномерно распределённые нормальные напряжения, равные отношению продольной силы к площади поперечного сечения.

При растяжении (сжатин) бруса в его поперечных сечениях возникают только нормальные напряжения. Равнодействующая соответствующих элементарных сил о, dA - продольная сила N - может быть найдена с помощью метода сечений. Для того чтобы иметь возможность определить нормальные напряжения при известном значении продольной силы, необходимо установить закон нх распределения по поперечному сечению бруса.

Эта задача решается на основе протезы плоских сечений (гипотезы Я. Бернулли), которая гласит:

сечения бруса, плоские и нормальные к его оси до деформации, остаются плоскими и нормальными к ося и при деформации.

При растяжении бруса (изготовленного, например, для большей наглядности опыта из резины), на поверхности которого нанесена система продольнь1х и поперечных рисок (рис. 2.7,а), можно убедиться, что риски остаются прямолинейными и взаимно перпендикулярными, изменяются лишь

где А - площадь поперечного сечения бруса. Опуская индекс z, окончательно получаем

Для нормальных напряжений принимают то же правило знаков, что и для продольных сил, т. е. при растяжении считают напряженна положительными.

Фактически распределение напряжений в сечениях бруса, примыкающих к месту приложения внешних сил, зависит от способа приложения нагрузки и может быть неравномерным. Экспериментальные и теоретические исследования показывают, что это нарушение равномерности распределения напряжений носит местный характер. В сечениях бруса, отстоящих от места нагружения на расстоянии, примерно равном наибольшему из поперечных размеров бруса, распределение напряжений можно считать практически равномерным (рис. 2.9).

Рассмотренное положение является частным случаем принципа Сен-Венана, который можно сформулировать следующим образом:

распределение напряжений существенно зависит от способа приложения внешних сил лишь вблизи места нагружения.

В частях, достаточно удаленных от места приложения сил, распределение напряжений практически зависит только от статического эквивалента этих сил, а не от способа их приложения.

Таким образом, применяя принцип Сен-Венана и отвлекаясь от вопроса о местных напряжениях, имеем возможность (как в этой, так и в последующих главах курса) не интересоваться конкретными способами приложения внешних сил.

В местах резкого изменения формы и размеров поперечного сечения бруса также возникают местные напряжения. Это явление называют концентрацией напряжений, которую в этой главе учитывать не будем.

В тех случаях, когда нормальные напряжения в различных поперечных сечениях бруса неодинаковы, целесообразно показывать закон их изменения по длине бруса в виде графика - эпюры нормальных напряжений.

П ри мер 2.3. Для бруса со ступенчато-переменным поперечным сечением (рис. 2.10,а) построить эпюры продольных сил и нормальных напряжений.

Решение. Разбиваем брус на участки, начиная от свободного гонца. Границами участков являются места приложения внешних сил и изменения размеров поперечного сечения, т. е. брус имеет пять участков. При построении только эпюры N следовало бы разбить брус лишь на три участка.

Применяя метод сечений, определяем продольные силы в поперечных сечениях бруса и строим соответствующую эпюру (рис. 2.10,6). Построение эпюры И принципиально ничем не отличается от рассмотренного в примере 2.1, поэтому подробности этого построения опускаем.

Нормальные напряжения вычислим по формуле (2.1), подставляя значения сил в ньютонах, а площадей - в квадратных метрах.

В пределах каждого из участков напряжения постоянны, т. е. эпюра на данном участке - прямая, параллельная оси абсцисс (рис. 2.10, в). Для расчетов на прочность интерес представляют в первую очередь те сечения, в которых возникают наибольшие напряжения. Существенно, что в рассмотренном случае они не совпадают с теми сечениями, где продольные силы максимальны.

В тех случаях, когда сечение бруса по всей длине постоянно, эпюра а подобна эпюре N и отличается от нее только масштабом, поэтому, естественно, имеет смысл построение лишь одной из указанных эпюр.