Плоский поперечный изгиб балок. Научная электронная библиотека монографии, изданные в издательстве российской академии естествознания

Плоский поперечный изгиб прямых стержней (брусьев, балок). Определение внутренних сил (поперечных сил и изгибающих моментов) в произвольном поперечном сечении стержня и построение их эпюр. Дифференциальные зависимости между нагрузкой, поперечными силами, изгибающими моментами, их использование при построении диаграмм и контроля правильности построения.

Плоский изгиб . Под плоским поперечным изгибом понимают такой вид деформации, при которой происходит искривление оси прямого бруса, и в поперечном сечении бруса действует два силовых фактора: изгибающий момент М и поперечная сила Q. Осью бруса называется геометрическое место точек центров тяжестей поперечных сечений бруса. Изгиб - плоский, если ось балки после деформации остается плоской линией. В противном случае имеет место косой изгиб. Если поперечная сила не возникает, изгиб называется чистым изгибом.

Рассмотрим, например, балку, нагруженную вертикальной сосредоточенной силой P. Для определения внутренних усилий при прямом изгибе, возникающих в поперечном сечении, расположенном на расстоянии z от места приложения нагрузки, воспользуемся методом сечений.

Рис. 22. Плоский изгиб:
а - балка под нагрузкой Р; б - внутренние силы при изгибе

Разрежем мысленно балку в интересующем месте на две части.Отбросим левую часть балки, нагруженную силой P. Заменим действие отброшенной левой части балки на оставленную правую часть внутренними силами.

Внутренние усилия возникают во всех точках поперечного сечения балки и распределены по неизвестному закону. Не имея возможности определить эти внутренние усилия для каждой точки сечения, заменяем их статически эквивалентными внутренними силовыми факторами, приложенными в центре тяжести поперечного сечения.

Внутренние силовые факторы определяются из условия равновесия рассматриваемой части балки. Однако можем внутренние силовые факторы найти и непосредственно, как действие отброшенной левой части на правую часть. Видно, что часть балки, нагруженная силой P, стремится изогнуть рассматриваемую нами правую часть выпуклостью вниз, а также пытается произвести срез. Следовательно, в сечении должны возникнуть поперечная сила и изгибающий момент.

Осуществим параллельный перенос силы P в центр тяжести поперечного сечения балки. По правилам теоретической механики добавляется момент, равный Pz.

Таким образом, в поперечном сечении балки возникают два внутренних силовых фактора:

Изгибающий момент, численно равный алгебраической сумме моментов всех сил, приложенных к отбрасываемой части балки, относительно главной центральной оси, проходящей через центр тяжести рассматриваемого сечения (в данном примере М = Рz);

Поперечная сила, численно равная алгебраической сумме всех внешних сил (активных и реактивных), действующих на отбрасываемую часть балки (в нашем примере Q = P).

Построение эпюр поперечных сил и изгибающих моментов. При расчете балок на прочность необходимо знать характер изменения изгибающего момента и поперечной силы вдоль оси балки и знать положение опасного сечения. С этой целью строят эпюры поперечных сил и изгибающих моментов.

Если внешняя сила стремится повернуть отсеченную часть по часовой стрелке относительно рассматриваемого сечения, то поперечная сила положительна.

Рис. 23. Правило знаков для внутренних усилий:
а - для поперечной силы; б - для изгибающего момента

Изгибающий момент будет положительным, если при действии момента внешних сил балка искривляется выпуклостью вниз.

Построение эпюр поперечных сил и изгибающих моментов рассмотрим на конкретном примере.

Пусть на балку действует внешний изгибающий момент m = 6 кН.м и внешняя сила F = 12 кН, l = 1 м. Определим реакции в опорах A и B. Составим уравнения равновесия моментов всех внешних сил относительно опор A и B

Рис. 24. Эпюры Q y , Mx

Проведем сечения на каждом характерном участке и определим значения поперечной силы Qy и изгибающего момента M x .

В сечении 1

В сечении 2

В сечении 3

По полученным значениям строим эпюры поперечных сил и изгибающих моментов (рис. 24).

Дифференциальные зависимости при изгибе.

Выделим на участке балки с произвольной нагрузкой в месте, где нет сосредоточенных сил и моментов, малый элемент dz. Так как вся балка находится в равновесии, то и элемент dz будет находиться в равновесии под действием приложенных к нему поперечных сил, изгибающих моментов и внешней нагрузки. Поскольку Qy и Mx в общем случае меняются вдоль оси балки, то в сечениях элемента dz будут возникать поперечные силы Qy и Qy + dQy, а также изгибающие моменты M x и M x + dM x .

Из условия равновесия выделенного элемента получим:

Следовательно

Следовательно

Первое из двух записанных уравнений дает условие

(10)

Из второго уравнения, пренебрегая слагаемым как бесконечно малой величиной второго порядка, найдем

(11)

Рассматривая полученные выражения, совместно можем получить

(12)

Полученные соотношения называют дифференциальными зависимостями Д.И. Журавского при изгибе.

Рис. 25. Внутренние усилия в балке при изгибе

Анализ дифференциальных зависимостей при изгибе позволяет установить некоторые правила построения эпюр изгибающих моментов и поперечных сил:

На участках, где нет распределенной нагрузки q, эпюры Q ограничены прямыми, параллельными базе, а эпюры М - наклонными прямыми;

На участках, где к балке приложена распределенная нагрузка q, эпюры Q ограничены наклонными прямыми, а эпюры М - квадратичными параболами;

В сечениях, где к балке прикладывается сосредоточенная сила, на эпюре Q будут скачки на величину и в направлении данной силы, а на эпюре М - перегибы, острием направленные в направлении действия этой силы;

В сечениях, где к балке прикладывается сосредоточенный момент, на эпюре Q изменений не будет, а на эпюре М - скачок на величину момента;

В сечении, где приложена сосредоточенная внешняя сила эпюра изгибающих моментов делает резкое изменение угла наклона смежных участков эпюры (излом эпюры). Излом эпюры направлен навстречу вектору силы;

Сосредоточенная (или распределенная) пара сил влияния на закон изменения поперечных сил на участке не оказывает, и на эпюре Q это ни как не отражается;

В сечении, где приложена пара сил, эпюра изгибающих моментов делает скачок на величину этой пары и с ее знаком;

На участке, где приложена равномерно распределенная нагрузка q, эпюра поперечных сил имеет вид прямой наклонной линии с угловым коэффициентом q;

Рис. 26. В сечении, в котором к балке приложена сосредоточенная внешняя сила, перпендикулярная к оси балки, эпюра поперечных сил Q делает скачок
на величину этой силы и с ее знаком

На участке, где приложена равномерно распределенная нагрузка, эпюра изгибающих моментов ограничена параболической кривой;

В сечении, где приложена сосредоточенная сила, эпюра изгибающих моментов делает резкое изменение угла наклона смежных участков эпюры (излом эпюры). Излом эпюры направлен навстречу вектору силы;

На участке, где поперечная сила равна нулю, наблюдается деформация чистого плоского изгиба, при котором изгибающий момент является постоянной величиной.

Рис. 27. Пример действия пары сил

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»

Доказательства приведенных ниже правил построения эпюр Q и М предлагается выполнить студентам самостоятельно.

1. Если на участке балки q = 0, то Q = const (прямая, параллельная к базе), а M будет изменяться по линейному закону (прямая, наклонная к базе).

2. Если на участке балки действует q = q 0 = const, то Q изменяется на участке по линейному закону, а М – по закону квадратной параболы (рис.4.13).

3. Если на участке балки Q плавно меняет знак, то на этом участке будет отмечаться экстремум для М . Причем экстремальное значение М достигается в сечении, где Q = 0 (рис.4.13).

Рис.4.13 (к пунктам 2, 3, 4)

4. Если Q > 0, то, при рассмотрении балки слева направо, M , в алгебраическом смысле, возрастает (эпюра M уходит вниз), если Q < 0, M убывает (эпюра М уходит вверх). Отсюда следует, что при смене знака Q на участке с (+) на (–) изгибающий момент M в алгебраическом смысле достигает максимального значения; при смене знака с (–) на (+) изгибающий момент достигает минимального значения (рис.4.13).

5. Внешняя сосредоточенная сила в сечении на эпюре Q отражается в виде скачка на величину силы, в соответствии с ее направлением, а на эпюре М в виде излома с острием, направленным в сторону силы (рис.4.14).

6. Сосредоточенный внешний изгибающий момент на эпюре Q не отражается, а на эпюре М отражается в виде скачка на величину момента, в соответствии с его направлением (рис.4.14).

7. Начало (конец) распределенной нагрузки на эпюре Q отражается виде излома, а на эпюре М в виде плавного перехода от прямой к кривой (и наоборот) (рис.4.15).

8. Выпуклость кривой, ограничивающей эпюру М , направлена в соответствии с направлениями распределении нагрузки (рис.4.15).

9. Если концевые сечения балки свободны от внешней активной или реактивной нагрузки, то Q и М в этих сечениях равны нулю. При наличии внешней активной нагрузки или реакции Q и М в этих сечениях должны соответствовать внешним силовым факторам.

Пункты с 4 по 9 справедливы только для принятого правила знаков при построении эпюр слева направо.

Чистый плоский изгиб. Формула для s

Чистый плоский изгиб – такой случай плоского изгиба, когда на участке балки Q = 0, а M = const (при отсутствии нагрузки в виде распределенного по длине момента).

Построим для простой балки КВ эпюры Q и M (см. рис.4.16). Анализ эпюр показывает, что второй участок балки находится в состоянии чистого изгиба (Q= 0; M=const ). Очевидно, что в сечениях балки на этом участке будут возникать только нормальные напряжения s (t = 0).

Определим нормальные напряжения s , действующие в сечениях участка чистого изгиба балки.

Напомним, что задача определения напряжений является внутренне статически неопределимой. Поэтому для ее решения необходимо привлекать соображения, связанные с деформацией балки. Эти соображения отражаются гипотезами и допущениями, которые использует сопротивление материалов при построении расчетных моделей. В частности, для определения деформаций и нормальных напряжений s при чистом изгибе балки используем следующие гипотезы и допущения:

1) гипотезу плоских сечений Я.Бернулли: сечения плоские и перпендикулярные к оси балки до деформации остаются плоскими и перпендикулярными к оси после деформации;

2) продольные волокна балки не надавливают друг на друга;

3) материал балки подчиняется закону Гука, причем модуль Юнга Е одинаков при растяжении и сжатии.

Рассмотрим вначале геометрическую сторону задачи. Предварительно введем ряд новых понятий, связанных с особенностями деформации при изгибе балок:

- нейтральное волокно – волокно балки, которое не испытывает продольные деформации при изгибе, а только искривляется;

- нейтральный слой – совокупность нейтральных волокон по ширине балки;

- нейтральная ось (н.о. ) – линия пересечения нейтрального слоя с силовой плоскостью (плоскостью симметрии) балки;

- нейтральная линия (н.л. ) – линия пересечения нейтрального слоя с плоскостью сечения балки.

На участке чистого изгиба выделим элемент балки длиной dx и изобразим его в исходном и деформированном состоянии (рис.4.17). Введем нейтральную ось – н.о. (отрезок ав ).

элемент в исходном элемент в деформированном

состоянии состоянии

Деформированный элемент изображаем в соответствие с гипотезой плоских сечений Я.Бернулли. При этом обозначим: r – радиус кривизны нейтральной оси; dq – угол взаимного поворота сечений балки.

Определим деформацию произвольного волокна балки cd , которое расположено на расстоянии y от нейтральной оси

.

Здесь: cd – исходная длина волокна, c¢d¢ – длина этого волокна после деформации. Очевидно, что , где a¢b¢ – длина отрезка искривленной нейтральной оси. Длину этого отрезка можно определить по формуле (см. рис). Поскольку , исходную длину рассматриваемого волокна представим в виде , а длину после деформации – в виде . Подставляя эти выражения в формулу для e , получим

.

Таким образом, деформация произвольного волокна, расположенного на расстоянии у от нейтральной оси, определяется по формуле

Физическая сторона задачи. Согласно допущению о ненадавливании продольных волокон друг на друга, рассматриваемое отдельное волокно находится в линейном напряженном состоянии, и закон Гука для него имеет вид

Подставляя в эту формулу выражение (3), получим

Формулу (4.4), однако, использовать для определения напряжения s нельзя, поскольку неизвестно положение нейтральной оси, от которой задается расстояние до рассматриваемого произвольного волокна – у , а также неизвестна величина радиуса кривизны нейтральной оси – r .

Рассмотрим, в этой связи, равновесие выделенного элемента балки (статическая сторона задачи ) (рис.4.18). Причем к левому сечению элемента приложим, изгибающий момент М , а в правом сечении представим этот момент напряжениями s. Для этого введем в сечении систему координат: ось x – нейтральная ось балки, ось y – ось симметрии сечения, ось z - нейтральная линия сечения балки. Выделим бесконечно малую площадку dA с положительными координатами y и z и приложим к этой площадке положительные нормальные напряжения s , соответствующие положительному моменту М . Тогда элементарная нормальная сила, действующая по площадке dA , будет равна s×dA , а элементарные моменты относительно осей у и z соответственно составят dM y = s×dA×z и dM z = sdA×y .

Силы, действующие на элемент балки, представляют собой пространственную систему. Очевидно, что из шести уравнений равновесия для рассматриваемой пространственной системы три уравнения являются тождествами

Рассмотрим оставшиеся уравнения равновесия.

В уравнение равновесия войдет только равнодействующая нормальных напряжений, приложенных к правому сечению элемента, которую определим путем суммирования (интегрирования) элементарных сил s×dA по площади сечения А . Рассматриваемое уравнение равновесия при этом примет вид

.

Подставляя в это уравнение соотношение (4) и вынося за знак интеграла величины, которые не зависят от переменной интегрирования, будем иметь

.

Поскольку , получаем . С другой стороны, , где S z – статический момент сечения относительно оси z . Таким образом, из рассмотренного уравнения равновесия следует, что в принятой системе координат S z =0.

Запишем сумму моментов относительно оси у , суммируя (интегрируя) элементарные моменты dM y по площади сечения

.

Используя подстановку (4), получим

.

В этом уравнении , тогда . Но , где I yz – центробежный момент инерции сечения относительно осей y и z . Отсюда следует, что центробежный момент инерции относительно осей y и z равен нулю ().

На основе полученных выше соотношений (S z =0 и ) можно сделать следующие важные выводы:

1) ось z , совпадающая с нейтральной линией, является главной центральной осью поперечного сечения балки, т.е. при чистом плоском изгибе нейтральная линия совпадает с главной центральной осью сечения;

2) ось х , совпадающая с нейтральной осью балки, является ее геометрической осью, т.е. при чистом плоском изгибе нейтральная ось совпадает с геометрической осью балки.

Последнее уравнение равновесия для выделенного элемента будет включать в себя изгибающий момент, приложенный к левому сечению, и момент, обусловленный нормальными напряжениями, полученный путем суммирования элементарных моментов dM z

.

Из этого уравнения, с учетом (4.4), получим

Здесь – момент инерции сечения относительно главной центральной оси z. Подставляя его в выражение для изгибающего момента, будем иметь

Отсюда получаем формулу для кривизны оси балки

Здесь: произведение называют жесткостью сечения балки при изгибе.

Из (4.5) следует, что при чистом изгибе ось балки будет искривляться по дуге окружности с радиусом r .

Синтезируя результаты, полученные на разных этапах решения задачи, подставим (4.5) в (4.4)

,

откуда получим формулу для нормальных напряжений s при чистом изгибе

Здесь: М – изгибающий момент в сечении балки;

I z – момент инерции сечения относительно главной центральной оси z ;

y – координата точки, в которой определяется s (расстояние от оси z с соответствующим знаком).

Из формулы (4.6) следует, что s по ширине сечения не изменяется , а по высоте сечения изменяется по линейному закону .

Некоторые важные замечания

Полученная для нормальных напряжений формула (4.6) при чистом изгибе является точной (поскольку точно выполняется гипотеза плоских сечений Я.Бернулли). Об этом свидетельствуют результаты расчета s методами теории упругости, которые не используют гипотезу Я.Бернулли, а также данные экспериментов.

В случае плоского поперечного изгиба касательные напряжения, возникающие, согласно закону парности, в продольных сечениях балки, параллельных координатной плоскости x -z , приводят к тому, что гипотеза Я.Бернулли не выполняется (поперечные сечения искривляются). Это обусловливает погрешности при определении s по формуле (4.6), однако для балок длинных и средней длины указанная погрешность не превышает (3-5)%. Поэтому формулу (4.6) применяют также и при плоском поперечном изгибе , при котором изгибающий момент изменяется по длине балки. При этом остаются в силе выводы, касающиеся совпадения нейтральной оси с геометрической осью балки и нейтральной линии с главной центральной осью инерции поперечного сечения балки.

Изгибом называется вид нагружения бруса, при котором к нему прикладывается момент, лежащий в плоскости проходящей через продольную ось. В поперечных сечениях бруса возникают изгибающие моменты. При изгибе возникают деформация, при которой происходит искривление оси прямого бруса или изменение кривизны кривого бруса.

Брус, работающий при изгибе, называется балкой . Конструкция, состоящая из нескольких изгибаемых стержней, соединенных между собой чаще всего под углом 90°, называется рамой .

Изгиб называется плоским или прямым , если плоскость действия нагрузки проходит через главную центральную ось инерции сечения (рис.6.1).

Рис.6.1

При плоском поперечном изгибе в балке возникают два вида внутренних усилий: поперечная сила Q и изгибающий момент M . В раме при плоском поперечном изгибе возникают три усилия: продольная N , поперечная Q силы и изгибающий момент M .

Если изгибающий момент является единственным внутренним силовым фактором, то такой изгиб называетсячистым (рис.6.2). При наличии поперечной силы изгиб называется поперечным . Строго говоря, к простым видам сопротивления относится лишь чистый изгиб; попереч­ный изгиб относят к простым видам сопротивления условно, так как в большинстве слу­чаев (для достаточно длинных балок) действием поперечной силы при расчетах на проч­ность можно пренебречь.

22.Плоский поперечный изгиб. Дифференциальные зависимости между внутренними усилиями и внешней нагрузкой. Между изгибающим моментом, поперечной силой и интенсивностью распределенной нагрузки существуют дифференциальные зависимости, основанные на теореме Журавского, названной по имени русского инженера-мостостроителя Д. И. Журавского (1821-1891 г.г.).

Эта теорема формулируется так:

Поперечная сила равна первой производной от изгибающего момента по абсциссе сечения балки.

23. Плоский поперечный изгиб. Посторение эпюр поперечных сил и изгибающих моментов. Определение поперечных сил и изгибающих моментов - сечение 1

Отбросим правую часть балки и заменим ее действие на левую часть поперечной силой и изгибающим моментом. Для удобства вычисления закроем отбрасываемую правую часть балки листком бумаги, совмещая левый край листка с рассматриваемым сечением 1.

Поперечная сила в сечении 1 балки равна алгебраической сумме всех внешних сил, которые видим после закрытия

Видим только реакцию опоры, направленную вниз. Таким образом, поперечная сила равна:

кН.

Знак «минус» нами взят потому, что сила вращает видимую нами часть балки относительно первого сечения против хода часовой стрелки (или потому, что одинаково направлена с направлением поперечной силы по правилу знаков)

Изгибающий момент в сечении 1 балки, равен алгебраической сумме моментов всех усилий, которые мы видим после закрытия отброшенной части балки, относительно рассматриваемого сечения 1.

Видим два усилия: реакцию опоры и момент M. Однако у силыплечо практически равно нулю. Поэтомуизгибающий момент равен:

кН·м.

Здесь знак «плюс» нами взят потому, что внешний момент M изгибает видимую нами часть балки выпуклостью вниз. (или потому, что противоположно направлен направлению изгибающего момента по правилу знаков)

Определение поперечных сил и изгибающих моментов - сечение 2

В отличие от первого сечения, у силы реакциипоявилось плечо, равное а.

поперечная сила:

кН;

изгибающий момент:

Определение поперечных сил и изгибающих моментов - сечение 3

поперечная сила:

изгибающий момент:

Определение поперечных сил и изгибающих моментов - сечение 4

Теперь удобнее закрывать листком левую часть балки .

поперечная сила:

изгибающий момент:

Определение поперечных сил и изгибающих моментов - сечение 5

поперечная сила:

изгибающий момент:

Определение поперечных сил и изгибающих моментов - сечение 1

поперечная сила и изгибающий момент:

.

По найденным значениям производим построение эпюры поперечных сил (рис. 7.7, б) и изгибающих моментов(рис. 7.7, в).

КОНТРОЛЬ ПРАВИЛЬНОСТИ ПОСТРОЕНИЯ ЭПЮР

Убедимся в правильности построения эпюр по внешним признакам, пользуясь правилами построения эпюр.

Проверка эпюры поперечных сил

Убеждаемся: под незагруженными участками эпюра поперечных сил идет параллельно оси балки, а под распределенной нагрузкой q – по наклоненной вниз прямой. На эпюре продольной силы три скачка: под реакцией– вниз на 15 кН, под силой P – вниз на 20 кН и под реакцией– вверх на 75 кН.

Проверка эпюры изгибающих моментов

На эпюре изгибающих моментов видим изломы под сосредоточенной силой P и под опорными реакциями. Углы изломов направлены навстречу этим силам. Под распределенной нагрузкой q эпюра изгибающих моментов изменяется по квадратичной параболе, выпуклость которой направлена навстречу нагрузке. В сечении 6 на эпюре изгибающего момента – экстремум, поскольку эпюра поперечной силы в этом месте проходит через нулевое значение.