Какой физический смысл модуля кручения. Кручение

Кручение - один из видов деформации тела. Возникает в том случае, если нагрузка прикладывается к телу в виде пары сил (момента) в его поперечной плоскости. При этом в поперечных сечениях тела возникает только один внутренний силовой фактор - крутящий момент. На кручение работают пружины растяжения-сжатия и валы. При деформации кручения смещение каждой точки тела перпендикулярно к её расстоянию от оси приложенных сил и пропорционально этому расстоянию.

Деформацию кручения можно наблюдать, если на стержень, один конец которого закреплен, действует пара сил, лежащих в плоскости, перпендикулярной оси стержня. При кручении отдельные слои тела остаются параллельными, но поворачиваются друг относительно друга на некоторый угол. Деформация кручения представляет собой неравномерный сдвиг. Деформации кручения возникают при завинчивании гаек, при работе валов машин.

Пример деформации кручения цилиндрического стержня

Если проволоку или стержень, закрепленные с одного конца, закручивать, прилагая к другому концу пару сил F с моментом, равным М, то стержень (проволока) претерпевает деформацию кручения, при которой одно его основание поворачивается по отношению к другому, фиксированному, на некоторый угол φ – угол кручения (рис. 1; 2).

Отношение угла закручивания φ к длине называют относительным углом закручивания

Закон Гука для малых деформаций кручения выражается формулой

M = G кр .j

где G кр. – модуль кручения .

Модуль кручения , помимо материала, зависит также от формы и размеров тела.

Представьте, перед вами цилиндр (или проволока). Если вы начнёте его (её) верхний конец поворачивать вдоль оси, закрепив нижний конец, то при повороте верхней грани на один радиан вы прикладываете вращающий момент, в точности равный модулю кручения (рис.1; 2). Это и есть его определение.

Модуль кручения G кр показывает, какой момент силы нужно приложить, чтобы закрутить проволоку на угол в 1 рад.

Деформация кручения является частным случаем деформации сдвига.

Сдвиг

Сдвигом называют такую деформацию твердого тела, при которой все его плоские слои, параллельные некоторой плоскости сдвига, не искривляясь и не изменяясь в размерах, смещаются параллельно друг другу (рис. 3).

Деформация сдвига возникает под действием сил, приложенных к двум противоположным граням тела так, как показано на рисунках 3; 4. Эти силы вызывают смещение слоев тела, параллельных направлению сил. Расстояние между слоями не изменяется. Любой прямоугольный параллелепипед, мысленно выделенный в теле, превращается в наклонный.

Мерой деформации сдвига является угол сдвига γ - угол наклона вертикальных граней (рис. 5).

Сдвиг происходит под действием касательной силы F , приложенной к грани ВС , параллельной плоскости сдвига. Грань АД , параллельная ВС , закреплена неподвижно. Так как угол мал, формулу можно записать в виде:

где СС 1 = D X - абсолютный сдвиг, γ - угол сдвига, называемый также относительным сдвигом, выражается в радианах.

По закону Гука относительный сдвиг γ пропорционален касательному напряжению τ = F/S , где S - площадь поверхности грани ВС , т.е.

τ = F / S = Gg

где G - модуль сдвига.

Закон Гука для малой деформации сдвига выражается формулой:

Коэффициент G , зависящий от материала тела, называется модулем сдвига и характеризует упругие свойства тела при деформации сдвига. Например, для стального образца G = 76 ГПа.

Модуль сдвига равен касательному напряжению, которое возникло бы в образце при относительном сдвиге, равном 1 (при условии, что закон Гука выполняется ).

Деформацию сдвига испытывают, например, заклепки и болты, соединяющие металлические конструкции. Сдвиг при больших углах приводит к разрушению тела - срезу. Срез происходит при работе ножниц, пилы и др.

Обратите внимание на принципиальное отличие модуля кручения от модуля сдвига, который зависит только от материала. Модуль кручения зависит не только от материала, но ещё и от диаметра и от длины цилиндра.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОДУЛЯ СДВИГА СТАЛЬНОГО ОБРАЗЦА ПРИ КРУЧЕНИИЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 7 по дисциплине «ТЕХНИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА»ЦЕЛЬ РАБОТЫЭкспериментальное определение модуля сдвига (модуля упругости 2-го рода) стали при кручении.ОБОРУДОВАНИЕ1. Стальной образец круглого поперечного сечения2. Рычаг3. Набор грузов4. ТранспортирПОЯСНЕНИЯ К РАБОТЕПри кручении круглого бруса в его поперечных сечениях возникает крутящий момент , а в каждой точке – касательные напряжения t . Распределение касательных напряжений по радиусу сечения носит линейный характер, а величина зависит от положения точки сечения. В центре сечения они равны нулю (t = 0), а наибольшего значения (t =t max) достигают в точках, расположенных на поверхности вала (рис. 1). Брус круглого поперечного сечения, работающий на кручение, принято называть валом. Рис. 1. Распределение касательных напряжений t при кручении бруса круглого поперечного сечения диаметром d.Значение наибольших касательных напряжений t max определяется формулой: t max = ,где МКР – значение крутящего момента в данном сечении,WР = – полярный момент сопротивления сечения бруса (вала) диаметром d.Если к концу рычага длиной a подвесить груз весом F, (рис. 2), то в сечении А – А на образец будет действовать внешний скручивающий моментТ = F·a,а в сечениях образца возникнет крутящий момент МКР = Т = F·a

A – A B – B C – C F F F FРис. 2. Схема испытания образца на кручение. Внутренние силовые факторы, возникающие в сечениях ломаного бруса при действии силы F. При этом сечения образца повернутся относительно друг друга. На наибольший угол φmax повернется сечение, в котором действует внешний момент Т. В данном случае это сечение, наиболее удаленное от заделки (рис. 3). (2), где = 30 Н, или 3 кГс. ЗАДАНИЕПри подготовке к лабораторной работе студент должен: – иметь представление о внутренних силовых факторах в сечениях вала, о напряжениях и деформациях бруса при кручении, модуле сдвига и его размерности; – знать закон Гука при кручении, зависимость между крутящим моментом и углом закручивания образца круглого сечения, геометрические характеристики сечения вала, закон распределения касательных напряжений по сечению вала; – уметь строить эпюры крутящих моментов и находить опасное сечение; выполнять расчеты по определению модуля сдвига; – ответить на контрольные вопросы; – правильно оформить отчет по лабораторной работе. РАБОТА В ЛАБОРАТОРИИ ХАРАКТЕРИСТИКА ОБРАЗЦАМатериал образца: сталь Ст 3Рабочая длина: ℓ = ммПоперечное сечение: круг диаметром d = ммПолярный момент сопротивления сечения: = мм31. Установить образец и рычаг в горизонтальное положение. Показание транспортира установить на «0» (рис.4а).2. Постепенно нагружая рычаг гирями, довести нагрузку до 30 Н.3. При заданной нагрузке снять показание транспортира (рис. 4б). ℓ φ а F Рис. 4а. Рис. 4б. Начало работы. Нагрузка на рычаге 30 Н.Образец и рычаг находятся в горизонтальном Угол наклона рычага φ град. положении. Отметка транспортира на отметке «0».4. Определить значение модуля сдвига стали по формуле: G = 582,6 F (4)5. Сравнить полученное значение G с табличным значением модуля упругости стали, равным МПа6. Сделать выводы. РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ1. Угол закручивания образца при нагрузке на рычаг составил φ = 4,5º2. Модуль сдвига стали, определенный экспериментально с использованием формулы (4):G = 582,6 F = 582,6 · = МПа3. Сравнение полученного результата с табличным значением модуля упругости стали В Ы В О Д Ы1. Модуль упругости 2-го рода (модуль сдвига) G стали получился близким к табличному значению МПа. Значит, эксперимент и расчет были выполнены правильно. 2. Модуль сдвига характеризует прочность и жесткость материала при кручении. Чем больше модуль сдвига, тем материал прочнее и жестче.3. После снятия нагрузки рычаг занял горизонтальное положение, следовательно, в образце не возникло остаточных деформаций, и касательные напряжения не превысили предела пропорциональности.4. В результате проведенной работы более подробно изучен материал раздела «Кручение». Теоретические результаты подтверждены экспериментом. КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ1. Что такое сдвиг?2. Как записывается закон Гука при сдвиге?3. Какой вид нагружения бруса называется кручением?4. Какие внутренние силовые факторы возникают в сечениях бруса при кручении?5. Как распределяются касательные напряжения в сечении вала при кручении? Чему равно напряжение в центре вала и на поверхности?6. Что такое полярный момент инерции? В каких единицах он измеряется?7. Чему равен полярный момент инерции для круга?8. Чему равен модуль сдвига для стали, в каких единицах он измеряется?9. Какая связь между крутящим моментом и углом закручивания?10. Какая связь между модулями упругости первого и второго рода?11. Как записывается условие прочности вала при кручении?12. Что такое допускаемые касательные напряжения КР и как они определяются для данного материала?

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РФ

СЕВМАШВТУЗ

КАФЕДРА №3

Курзанова Е.В.

СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ

Методическое руководство к выполнению лабораторных работ на кручение:

«Испытание цилиндрических образцов из стали и чугуна на кручение до разрушения»

«Определение модуля сдвига при кручении»

Северодвинск

Курзанова Е.В.

Сопротивление материалов. Методическое руководство к выполнению лабораторных работ на кручение.

Северодвинск. Севмашвтуз, 2005 – 25 стр.

В методическом руководстве к выполнению лабораторных работ на кручение:

«Испытание цилиндрических образцов из стали и чугуна на кручение до разрушения» лабораторная работа № 4 и «Определение модуля сдвига при кручении» лабораторная работа № 5 приводится описание лабораторных работ, выполняемых студентами всех специальностей Севмашвтуза по курсу «Сопротивления материалов».

В методическом руководстве излагаются краткие сведения из теории деформации кручения, содержится описание машины для испытания на кручение КМ-50-1, прибора для измерения углов закручивания.

Методическое руководство содержит методику проведения испытаний, формы отчёта по лабораторным работам и вопросы для защиты лабораторных работ.

Рецензенты:

доцент, канд. технических наук Н. В. Лобанов,

заведующий лабораторией «Сопротивление материалов» В. А. Слуцков,

ведущий инженер НИТИЦ ФГУП «ПО «Севмаш» Ю. П. Голованов

Лицензия на издательскую деятельность код 221, серия ИД №01734 от 11 мая 2000 г.

ISBN © СЕВМАШВТУЗ, 2004

Предисловие …………………………………………………………….4

Основные понятия темы Кручение ……………………………………..5

1. Испытательные машины и измерительные приборы …………..11

Машина для испытания на кручение КМ-50-1……………..……11

Прибор для измерения углов закручивания (прибор Бояршинова)……………………………….……………………….13

2. Описание лабораторных работ ………………………………………15

2.1. Испытание цилиндрических образцов из стали и чугуна

на кручение до разрушения (лабораторная работа № 4)……………….15

2.2. Определение модуля сдвига при кручение (лабораторная

работа № 5)………………………………………………………………..22

Список литературы……………………………………………………….26

ПРЕДИСЛОВИЕ

Методическое руководство к выполнению лабораторных работ по кручению содержит основные теоретические понятия раздела Кручение курса Сопротивление материалов.

В методическом руководстве содержится описание и схемы испытательной машины и измерительного прибора, методика проведения испытаний, формы выполнения отчётов по лабораторной работе № 4 «Испытание цилиндрических образцов из чугуна и стали на кручение до разрушения» и лабораторной работе №5 «Определение модуля сдвига при кручении», проверочные вопросы для защиты лабораторных работ.

Целью методического руководства является оказание помощи студентам при выполнении лабораторных работ по разделу Кручение , при оформлении отчета и защиты лабораторных работ.

Методическое руководство предназначено для студентов всех специальностей, изучающих курс «Сопротивление материалов ».

СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ .

Тема : Кручение стержней круглого поперечного сечения.

Основные понятия и зависимости.

Под кручением стержня понимается такой вид нагружения, при котором в его поперечных сечениях возникает только один внутренний силовой фактор - крутящий момент М кр , а в поперечных сечениях возникают только касательные напряжения τ .

Валом называется стержень, работающий на кручение.

Гипотезы , принятые при кручении:

Выбранное в стержне до нагружения поперечное сечение остается плоским и перпендикулярным оси и после нагружения. Радиусы поперечных сечений не искривляются.

Расстояния между поперечными сечениями не изменяются, так как отсутствуют нормальные напряжения и линейные деформации равны нулю.

=φ/L=dφ/dx – отношение угла закручивания к расстоянию между сечениями. Имеет размерность см -1 .

Если на поверхность вала (см. рис. 1) с одним защемлённым концом, а другим свободным, нанести сетку, состоящую из линий, параллельных оси, и линий, представляющих собой параллельные круги и приложить к свободному концу вала нагрузку в виде скручивающего момента М кр , то первоначально прямые углы сетки будут искажаться, перекашиваться (это особенно наглядно, если в качестве материала взять резину). Угол γ называется угловой деформацией или углом сдвига. Установлено, что в пределах упругих деформаций касательные напряжения τ и угол сдвига γ связаны между собой линейной зависимостью:

τ= G ∙γ закон Гука при сдвиге, (1)

G – коэффициент пропорциональности называется модулем сдвига, или модулем упругости второго рода и характеризует жесткость материала при сдвиге. Имеет размерность: кГ/см 2 или кГ/мм 2 , или Н/мм 2 (МПа-мегапаскаль)

Для одного и того же материала между модулем упругости первого рода - Е (модуль Юнга), модулем упругости второго рода - G (модуль сдвига) и коэффициентом Пуассона - μ = ε , /ε (отношение относительной поперечной деформации:

к относительной продольной:

) существует следующая зависимость:

(2)

При кручении вал рассчитывают на прочность и жёсткость .

Условие прочности при кручении имеетвид:

τ max ≤ [ τ ]. (3)

При расчётах на прочность находят максимальные касательные напряжения τ max , которые действуют на поверхности вала и сравнивают их с допускаемыми [τ]:

τ max ≤ [τ].

τ max = , (4)

где: М кр – крутящий момент в сечении, берётся с эпюры крутящих моментов;

W ρ = I ρ /ρ max – полярный момент сопротивления сечения.

Так как I ρ =

– полярный момент инерции сечения; ρ max =d/2, то W ρ =

Для нахождения касательного напряжения τ ρ в любой точке поперечного сечения вала, находящийся на расстоянии ρ от центра (см. рис.2) справедлива следующая формула:

τ ρ =

(5)

Условие жесткости при кручении имеет вид:

, где [] –допускаемый угол имеет размерность рад/м в данной формуле.

При расчетах на жесткость находят максимальный относительный угол закручивания:

(6)

и сравнивают его с допускаемым []:

(7)

Чтобы перейти к размерности град/мусловие жесткости должно иметь следующий вид:

,(8)

где [

] - относительный угол закручивания имеет размерность град/м, величина лежит в пределах от 0,25 град/м до 1 град/м и зависит от назначения вала.

Величина-G I ρ (произведение модуля упругости второго рода G на полярный момент инерции площади поперечного сечения I ρ)- называется жесткостью сечения вала при кручении и показывает влияние материала и геометрического размера сечения вала на получаемую деформацию.

Угол закручивания круглого стержня в пределах упругих деформаций рассчитывают по следующей формуле:

(9)

где М кр - крутящий момент,

ℓ - длина вала,

G - модуль сдвига

I ρ

- полярный момент инерции площади поперечного сечения сплошного стержня диаметром d,

Полярный момент инерции трубчатого стержня с внутренним диаметроми наружным диаметром,

G - жесткость сечения стержня при кручении, кГ

Чтобы получить формулу (5) для определения касательного напряжения τ в любой точке сечения стержня и формулу(6) для определения относительного угла закручивания круглого стержня, необходимо рассмотреть некоторый участок вала длиной

(см. рис. 3).

Вал подвержен действию некоторого скручивающего момента М к, вызывающего внутренний крутящий момент М кр

Пусть угол поворота одного из сечений m-mвыделенного элемента вала будет, тогда угол поворота другого сеченияn-nэлементарного участка

будет

, т. е. угол закручивания участка стержня длиной

будет

. Следовательно, если до деформации радиус

сеченияm-mи радиус

сеченияn-nнаходились в одной диаметральной плоскости, то после деформации кручения радиус

займёт положение

, составляющее угол

с его положением

до деформации. Образующая

после деформации займёт некоторое новое положение

под угломк её первоначальному положению

.

Угол между образующими

и

представляетcобой не что иное как относительный сдвиг, или угол сдвига:

tg

.

Учитывая, что

=

, а

=

, угол сдвига можно представить в виде

(10)

Величина , как уже известно (см. пункт 3 основных гипотез, принятых при кручении), является относительным (погонным) углом закручивания и обозначается через. Учитывая это формулу(10) можно записать так:

.(11)

Теперь рассмотрим физическую сторону задачи, устанавливающую связь между напряжением и деформацией. Поскольку элемент испытывает чистый сдвиг, то, учитывая выражение (10) согласно формуле (1) получим:

.(12)

Так как при закручивании поперечные сечения вала остаются плоскими, а радиусы прямыми (см. пункт 1 гипотез, принятых при кручении), то выражения для угла сдвига и касательного напряжения в сечении на расстоянииот центра его можно представить формулами, аналогичными формулам(10) и (11) :

;

.(13)

Формулы (13) показывают, что касательные напряжения в поперечном сечении изменяются по линейному закону прямо пропорционально расстоянию точек от центра сечения (см. рис. 2). Очевидно, максимальные напряжения будут у поверхности стержня, при

. Таким образом, выражение(12) можно переписать в виде:

.

Так как М кр будет единственным усилием в сечении вала, представляющим собой суммарный момент от касательных напряжений, действующих в плоскости поперечного сечения:

(14)

Подставляя выражение (13) для касательного напряжения в уравнение (14) , будем иметь:

.

Отсюда получим формулу для определения относительного угла закручивания круглого стержня (см. формулу (6) , указанную ранее):

(15)

Зная выражение (15) относительного угла закручивания, можно записать формулу для определения взаимного угла закручивания двух сечений, расположенных на расстоянии :

.

Если в пределах цилиндрического участка стержня длиною крутящие моменты в сечениях не изменяются, то

(16)

Формулу (16) , устанавливающую связь между силовым фактором при кручении (М кр) и соответствующей деформацией кручения (углом ), часто называютзаконом Гука при кручении .

Для определения касательного напряжения в любой точке сечения стержня достаточно в формулу(13) подставить выражение для по формуле(15) . Тогда:

(17)

Формула (17) аналогична формуле (5) , что и требовалось доказать.

1. ИСПЫТАТЕЛЬНЫЕ МАШИНЫ И ИЗМЕРИТЕЛЬНЫЕ ПРИБОРЫ.

Машина для испытания на кручение КМ-50-1 (см. рис. 4).

Общая часть.

Машина КМ-50-1 предназначена для испытания образцов из металлов

на кручение с наибольшим крутящим моментом 50 кгм.

Для измерения создаваемых крутящих моментов машина снабжена моментоизмерителем. Принятые диапазоны замеряемых крутящих моментов выражены тремя шкалами на циферблате:

Шкала А от 0 до 50 кгм

Шкала Б от 0 до 20 кгм

Шкала В от 0 до 10 кгм.

С введением трех шкал повышается точность отсчетов нагрузок. Цена делений всех диапазонов нагрузок указана на циферблате шкал.

Цена деления шкалы углов закручивания - 1 0 .

Описание машины.

Машина КМ-50-1 относится к типу машин с механическим нагружением вертикально расположенного образца и рычажно-маятниковым моментоизмерителем (рис.1).

Машина состоит из следующих основных частей:

механизма нагружения,

моментоизмерителя,

ручного привода,

захватов.

Станина (1) представляет собой замкнутую раму, основанием которой служит корпус привода (2), боковыми сторонами две колонны (3), верхние концы которых соединены корпусом механизма нагружения (4). Станина служит для установки и крепления всех узлов и деталей машины. На левой колонне укреплён корпус моментоизмерителя (5).

Образец (10), зажатый в захватах (6 и 7), подвергается кручению при помощи механизма привода, который работает следующим образом: от электродвигателя (8) вращение через клиноременную, червячную и зубчатую передачи передается на ходовой винт (9) с установленным на нём нижним захватом.

Кроме механического привода машина имеет ручной привод (11).

Момент, приложенный к нижнему захвату, передается маятнику (12), который, отклоняясь при нагружении образца, через систему рычагов и шестерён вращает стрелку (13), показывающую момент на шкале моментоизмерителя (14).

Для закрепления образцов различной длины нижний активный захват (6) может устанавливаться на различной высоте маховиком (18). Для того чтобы на образец не действовала растягивающая сила, создаваемая весом деталей захвата, внутри ходового винта установлена пружина, которая поддерживает захват и смягчает его удар по торцу ходового винта после разрушения образца.

Угол закручивания отсчитывается по шкале (19), установленной на ходовом винте. Шкала имеет 360 делений, цена каждого деления соответствует углу закручивания в 1 0 . Для отсчёта целых оборотов ходового винта служит счётчик оборотов с пределом измерения в 10 оборотов. Показания по шкале углов закручивания соответствуют относительному повороту захватов, так как поправка на поворот верхнего захвата вносится автоматически корректирующим приспособлением.

Для создания привода предназначен механизм нагружения, в нижней части которого установлен верхний захват (7).

Уравновешивающий момент создается с помощью сектора, связанного гибкой связью с маятником (12), который имеет съёмные грузы, устанавливаемые в зависимости от применяемой при испытании шкалы моментоизмерителя.

Механизм нагружения отрегулирован таким образом, что допускается пробег стрелки на 2 – 6 делений сверх максимума шкалы, после чего электродвигатель автоматически отключается микропереключателем.

Конструкция моментоизмерителя рассчитана так, что величина момента приложенного к образцу, прямо пропорциональна углу отклонения рабочей стрелки по круговой шкале. Стрелка по круговой шкале показывает непосредственно действующий на образец момент.

Для закрепления образцов, испытываемых на кручение, машина снабжена клиновыми захватами. Верхний захват (7) установлен на шпинделе головки нагружения, нижний захват (6) устанавливается в ходовой винт.

Минимально возможное расстояние между захватами 60 мм. Для удобства заправки и снятия образца в захватах сделаны прорези. Верхний захват имеет фиксатор для удержания губок в раскрытом состоянии.

Прибор для измерения углов закручивания - прибор Бояршинова (см. рис. 5, 6)

Прибор предназначен для определения угла закручивания круглого образца диаметром d=15 мм на длине l=80 мм. Прибор (рис. 5) состоит из 2-х частей. Каждая часть прикрепляется к образцу струбцинами (1) с помощью винтов (2, 3, 4). В проушину (5) части 1 прибора вставляется индикатор (6), упирающийся ножкой в выступ (7) части 2.

При взаимном повороте сечений, в которых укреплены струбцины (1), ножка индикатора будет перемещаться, следуя за отклонением упора (7).

При малых деформациях разность последовательных отсчетов по индикатору ΔС может быть принята за длину дуги радиуса R, равного расстоянию от оси образца до ножки индикатора (рис. 6).

Угол закручивания Δφ, соответствующий увеличению крутящего момента на ΔМ определяется по формуле:

где R = 47 мм

ОПИСАНИЕ ЛАБОРАТОРНЫХ РАБОТ

2.1. ИСПЫТАНИЕ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБРАЗЦОВ ИЗ СТАЛИ И

ЧУГУНА НА КРУЧЕНИЕ ДО РАЗРУШЕНИЯ.

(лабораторная работа№ 4)

2.1.1. Цель работы.

Цель работы заключается в опытной проверке гипотез, принятых при кручении и при выводе формул угла закручивания и касательных напряжений кручения круглого стержня, а также выявления характера разрушения пластического и хрупкого материала от действия касательных и нормальных напряжений чистого сдвига.

Известно, что угол закручивания круглого стержня в пределах упругих деформаций связан с нагрузкой линейной зависимостью:

Прямая пропорциональность между нагрузкой (М кр) и деформацией

наблюдается в начальной стадии кручения, затем пропорциональность нарушается и наступает быстрое увеличение угла закручивания-при незначительном увеличении крутящего момента М кр для пластичных материалов (см. рис. 7).

Рис. 7. Диаграмма кручения стального образца.

Для хрупких материалов наблюдается прямая пропорциональность между нагрузкой и деформацией и быстрое разрушение образца (см. рис. 8).

Рис. 8. Диаграмма кручения чугунного образца.

Если в стержне выделить прямоугольный элемент, грани которого повернуты относительно исходных плоскостей на угол α и воспользоваться формулами, связывающими нормальные напряжения и касательные напряженияприложенные к исходным площадкам под углом α:=τ∙sin2α и =τ∙cos2α. При α=0 0 и α=90 0 напряжения ипринимают значения, соответствующие исходным площадкам, т. е.=0, а=.При α=45 0 касательные напряжения =0, а нормальные напряжения=.

Касательные напряжения в любой точке поперечного сечения при упругом кручении можно определить по формуле:

τ ρ =

,

где ρ - расстояние от центра сечения до точки, в которой определяется касательное напряжение.

Формула показывает, что напряжения в плоскости сечения вала распределены неравномерно и в зависимости от радиуса изменяются по линейному закону от нуля в центре сечения, до максимума на его поверхности (см. рис. 10).

Известно, что касательные напряжения в наклонных площадках определяются по формуле: =τ∙cos2α. Вычислим значение касательного напряжения на площадке, расположенной под углом 90 0 к наклонной.

Значит

.

Касательные напряжения на взаимно перпендикулярных площадках равны по величине и направлены навстречу друг другу.