Вероятностное пространство. Вероятностный эксперимент

Вероятностное пространство - это математическая модель случайного эксперимента (опыта) в аксиоматике А. Н. Колмогорова. Вероятностное пространство содержит в себе всю информацию о свойствах случайного эксперимента, необходимую для его математического анализа средствами теории вероятностей. Любая задача теории вероятностей решается в рамках некоторого вероятностного пространства, полностью заданного изначально. Задачи, в которых вероятностное пространство задано не полностью, а недостающую информацию следует получить по результатам наблюдений, относятся к области математической статистики.

Определение

Вероятностное пространство - это тройка , где:

Заметим, что последнее свойство сигма-аддитивности меры эквивалентно (при условии выполнения всех прочих свойств, в том числе конечной аддитивности) любому из следующих свойств непрерывности меры :

Примеры наиболее часто использующихся вероятностных пространств

Дискретные вероятностные пространства

Если множество элементарных исходов конечно или счетно: , то соответствующее вероятностное пространство называется дискретным . В случае дискретных вероятностных пространств событиями обычно считают все возможные подмножества . В этом случае для задания вероятности необходимо и достаточно приписать каждому элементарному исходу число так, чтобы их сумма была равна 1. Тогда вероятность любого события задается следующим образом:

Важным частным случаем такого пространства является классический способ задания вероятностей , когда количество элементарных исходов конечно и все они имеют одинаковую вероятность. Тогда вероятность любого события определяется как отношение его мощности (т.е. количества элементарных исходов, благоприятствующих данному событию) к общему числу элементарных исходов:

Однако всегда необходимо помнить, что для того, чтобы применять данный способ, необходимо убедиться в том, что элементарные исходы действительно равновероятны. Это должно либо быть сформулировано как исходное условие, либо этот факт следует строго вывести из имеющихся начальных условий.

Вероятностные пространства на прямой

Вероятностные пространства на прямой () естественным образом возникают при изучении случайных величин . При этом в общем случае уже не получается рассматривать в качестве событий любые подмножества прямой, поскольку на таком широком классе обычно нельзя задать вероятностную меру, удовлетворяющую необходимым аксиомам. Универсальная сигма-алгебра событий, достаточная для работы - это сигма-алгебра борелевских множеств : наименьшая сигма-алгебра, содержащая все открытые множества. Эквивалентное определение - наименьшая сигма-алгебра, содержащая все интервалы . Универсальный способ задания вероятностной меры на данной сигма-алгебре - через функцию распределения случайной величины.

Вероятностные пространства в конечномерном пространстве

Вероятностные пространства с множеством элементарных исходов естественным образом возникают при изучении случайных векторов . Универсальной сигма-алгеброй событий при этом также является борелевская сигма-алгебра , порожденная всеми открытыми множествами. Принципиально этот случай мало чем отличается от случая одной прямой.

1. Теория вероятностей изучает эксперименты со случайными исходами.

Эксперимент - это осуществление намеченного действия и результат такого действия.

Результат - это исход эксперимента.

Эксперимент случвйный, если его исход нельзя предсказать до его получения.

Основное ограничение: Мы будем рассматривать только такие эксперименты, которые можно повторять при неизменных условиях неограниченное число раз.

Каждую ситуацию, которую можно наблюдать в зависимости от исхода эксперимента, будем называть событием.

Пример 1.1. Бросаем кость. Исход - то или иное число очков. Событие

Число очков, скажем, больше 3.

Вероятность - степень уверенности в наступлении того или иного события.

Цель теории вероятностей - вычисление вероятностей событий, их комбинаций, а также изучение свойств вероятностей.

2. Теория вероятностей предполагает, прежде всего, построение математической модели случайного эксперимента, которая служит описанием возможных исходов, событий, вероятностей наступления этих событий. Это описание должно быть выполнено таким образом, чтобы обеспечить возможность вычисления вероятностей комбинации событий.

3. Построим модель случайного эксперимента.

Множество исходов случайного эксперимента назовем пространством исходов и обозначим Пространство исходов может быть дискретным или непрерывным.

Пример 1.2. Дискретное пространство: эксперимент - бросание кости, исход - выпадение числа очков, S = {1,2,3,4,5,6}. Непрерывное пространство: эксперимент - ожидание автобуса при условии, что ожидаешь не более минут, исход - конкретное время ожидания,

Событие - любое подмножество пространства исходов Событие обозначим Е.

Событие произошло, если в результате эксперимента исход X принадлежит

Элементарное событие: оно содержит только один исход.

Достоверное событие: оно совпадает с пространством исходов

Невозможное событие: оно совпадает с пустым множеством.

Противоположное событие оно состоит в том, что событие Е не произошло.

Несовместные события: они не имеют общих исходов.

Сумма (или объединение) событий (или ): это событие, заключающееся в том, что из двух событий А и В в результате случайного эксперимента происходит, по крайней мере, одно.

Произведение событий (или ): это событие, заключающееся в том, что события А и В происходят одновременно.

Мы ограничимся наименьшим классом событий, который обладает следующими свойствами:

Пустое множество 0 принадлежит этому классу;

Если событие Е принадлежит классу, то и противоположное событие также принадлежит классу;

Если каждый юменг счетной последовательности событий принадлежит классу, то суммв (объединение) событий также принадлежит классу.

Из последнего свойства вытекает, что и произведение двух событий (или счетного числа событий) принадлежит классу, если каждое событие принадлежит классу.

Класс событий с указанными свойствами достаточен для описвния любого физического явления, возникающего в результате эксперимента. Такой класс событий назовем полем событий

Поле - это множество событий, для которых определены операции сложения и умножения.

Итак, мы ввели где - пространство исходов, поле событий.

Определим вероятность события Р как число, удовлетворяющее следующим свойствам:

Действительное число;

Для любого

(вероятность достоверного события);

Для любой счетной последовательности взаимно несовместимых событий на

Такое достаточно общее определение вероятности позволяет при рассмотрении тех или иных физических явлений конкретизировать понятие вероятности в зависимости от специфики задачи. Итак, вероятность - это функция, заданная на и принимающая значения на .

4. Некоторые свойства вероятностей, вытекающие из определения вероятности.

Свойство

Доказательство.

Но несовместимы. Следовательно, Отсюда,

Свойство

Доказательство.

Несовместимы и Следовательно, Отсюда

5. Конструктивные способы задания вероятностей.

Наиболее трудная задача математического моделирования реальных явлений состоит в правильном задании вероятностей в зависимости от специфики явлен Такое задание должно быть конструктивным, с одной стороны, соответствовать определению вероятности, а с другой стороны - позволять решать конкретную задачу.

5.1. Выполним эксперимент многократно и подсчитаем, сколько раз произошло событие Е. Если - общее число экспериментов, - число экспериментов, в которых произошло событие Е, то назовем относительной частотой появления события Е.

За вероятность примем предел

5.2. Если - пространство равновозможных несовместных исходов и - число исходов, соответствующих (благоприятствующих) событию Е, то

где - общее число исходов.

5.3. В том случае, если - непрерывная область, - область, благоприятствующая появлению в результате случайного эксперимента события А, за вероятность удобно принять

где - мера области - мера области

5.4. Пусть А и В два произвольных события. Назовем условной вероятностью отношение

при условии

События независимы, если

Пример 1.3. В ящике 94 хороших болта и 6 плохих. Из ящика выбраны случайно 5 болтов. Какова вероятность Р, что все выбранные болты хорошие? .

Пример 1.4. Три человека бросают по очереди монету до первого выпадения “орла”. Выигрывает тот, у кого выпадает “орел”. Каковы относительные шансы выигрыша каждого игрока?

Назовем “серией” однократное бросание монеты тремя игроками, начиная с первого. Пусть - вероятность невыпадения "орла” за к серий. Тогда вероятности выигрыша каждого из трех игроков на следующей серии равны (к - произвольное число):

вероятность выигрыша первого игрока

вероятность выигрыша второго игрока

вероятность выигрыша третьего игрока

Следовательно, шансы игроков откосятся как

Пример 1.5. В комнате находятся студенты в количестве человек. Из них курящих - человек, в очках - человек, курящих и в очках - человек. Удаляем случайным образом студента из комнаты. Курит ли он и носит ли он очки?

Теперь предположим, что мы увидели, что удаленный студент в очках. Какова вероятность, что он и курит?

Пример 1.6. Двое решили встретиться в условленном месте между тремя и четырьмя часами дня, причем пришедший ждет партнера не более 20 мин. Какова вероятность встречи?

Определение 1. Случайный эксперимент – это четко описанная последовательность действий, которая может быть воспроизведена сколько угодно раз, но исход исполнения которой не может быть предсказан с уверенностью. Невозможность точно угадать исход эксперимента вызвана большим количеством неконтролируемых нами факторов. Все исходы эксперимента обозначаются буквой .

Определение 2. Случайное событие – это любое подмножество всех возможных исходов случайного эксперимента .

Пример (случайного эксперимента):

1. Посмотреть на экран биржевого терминала, чтобы узнать последнюю котировку ликвидной акции, например, акции РАО “ЕЭС” как исход эксперимента.
2. Подбросить игральный кубик и посмотреть на исход эксперимента – количество выпавших очков.

Пример (случайного события):

1. Случайное событие А = – увидеть, посмотрев на экран биржевого монитора, котировку акции РАО “ЕЭС” в этом диапазоне.
2. Случайное событие В = {2, 3} – увидеть, посмотрев на упавшую кость, одну из этих цифр.

Сохранена оригинальная нумерация задачника ФКЦБ, предоставленного Биржевой школой. Ей не следует придавать значения – она сохранена для удобства лиц, готовящихся к сдаче экзамена на специалиста по ценным бумагам.

1.4.1.11 Под случайным событием в теории вероятности понимается некоторый факт, который характеризуется следующими признаками:
I Наблюдается однократно
II Может наблюдаться неоднократно
III Нельзя с полной определенностью утверждать - произойдет он в очередной раз или нет
IV При условии контроля условий эксперимента можно утверждать с полной определенностью, произойдет он или нет

А) Верно только I и IV
*Б) Верно только II и III
В) Верно только II, III или IV
Г) Верно только III

Решение . Из определений 1, 2 очевидно, что верными высказываниями являются только IIи III, т.е. правильный ответ - Б.

Определение 3 . Все исходы эксперимента - это некоторое множество точек произвольной природы, называемое достоверным событием , т.к. при проведении случайного эксперимента какой-либо исход эксперимента обязательно произойдет.

Определение 4 . Невозможное событие – это то, в котором нет ни одного исхода эксперимента, и которое, следовательно, не может появиться в ходе эксперимента.

Достоверное событие в учебных целях изображаем кругом.

Определение 5 . Тогда случайное событие А – некоторая его подобласть, а дополнительным событием (или отрицанием к А ) к событию А называется множество “не А” – это все точки из из , не входящие в А (т.е. А и “не А” не пересекаются, а вместе составляют все ).

Определение 6. “Сумма” или “объединение” или событие “А или В” – то множество, что вбирает в себя все точки обоих множеств и только их

Определение 7. “Произведение” или “пересечение” или событие “А и В” – то множество, что вбирает в себя только те точки, что входят как в множество А, так и в множество В. Если такие общие точки отсутствуют, то есть произведение событий А и В является невозможным событием, то события А и В называются несовместными.

Замечание. В частности, ясно, что произведением событий А и “не А” является невозможное событие, т.к. у этих множеств по определению нет общих точек.

1.4.1.15.1 Чему будет равно произведение случайного события и события, дополнительного к данному событию

А) Достоверному событию
*Б) Невозможному событию
В) Самому событию

Решение. Из замечания к определению 7 следует, что правильным ответом является Б.

1.4.1.15.2 Чему будет равна сумма случайного события и события, дополнительного к данному событию

*А) Достоверному событию
Б) Невозможному событию
В) Дополнительному событию

Решение. Из определения 5 следует, что правильным ответом является А.

1.4.1.13.1 Если событие А заключается в том, что курс акций компании на завтрашних торгах будет не ниже 25 руб., а событие В заключается в том, что относительное изменение курса акций не превысит 3% по сравнению с курсом акций предыдущего дня, то в чем будет заключаться событие, равное произведению событий А и В?

А) Курс акций компании на завтрашних торгах будет не ниже 25 руб. ИЛИ относительное изменение курса акций не превысит 3% по сравнению с курсом акций предыдущего дня
*Б) Курс акций компании на завтрашних торгах будет не ниже 25 руб. И относительное изменение курса акций не превысит 3% по сравнению с курсом акций предыдущего дня

Решение. Из определения 7 следует, что сказать “произведение событий А и В” – все равно, что сказать “событие А и В”, т.е. правильный ответ – Б.

1.4.1.13.2 Если событие А заключается в том, что курс акций компании на завтрашних торгах будет не ниже 25 руб., а событие В заключается в том, что относительное изменение курса акций не превысит 3% по сравнению с курсом акций предыдущего дня, то в чем будет заключаться событие, равное сумме событий А и В?

*А) Курс акций компании на завтрашних торгах будет не ниже 25 руб. ИЛИ относительное изменение курса акций не превысит 3% по сравнению с курсом акций предыдущего дня
Б) Курс акций компании на завтрашних торгах будет не ниже 25 руб. И относительное изменение курса акций не превысит 3% по сравнению с курсом акций предыдущего дня

Решение . Из определения 6 следует, что сказать “сумма событий А и В” – все равно, что сказать “событие А или В”, т.е. правильный ответ – А.

1.4.1.13.3 Случайное событие А заключается в том, что курс акций компании на завтрашних торгах будет не ниже 25 руб. Из перечисленных ниже укажите случайные события, дополнительные к случайному событию А
I Курс акций компании на завтрашних торгах будет равен 26 руб.
II Курс акций компании на завтрашних торгах будет не выше 26 руб.
III Курс акций компании на завтрашних торгах превысит 26 руб.

А) Только I
Б) Только II
В) Только I и III
*Г) Ничего из перечисленного выше

Решение. Нередко проще самому написать правильный ответ, а затем посмотреть под какой буквой дан правильный ответ.

В символах школьной математики наше событие А = {курс акций на завтрашних торгах будет не ниже 25 рублей} =

Ясно, что ни одно из этих событий B, C, Dне совпадает с событием “не А ” = }