Сопротивление материалов сжатие растяжение. Растяжение и сжатие

Формула (8) может быть использована, если выполняется гипотеза плоских сечений. Для проверки выполнимости этой гипотезы рассмотрим растяжение образца произвольного сечения с нанесенной на него сеткой. Из уравнения (8) нельзя определить величину σ, так как закон распределения последних в точках поперечного сечения не известен.

Рисунок 4.2 – Исходное состояние

Рисунок 4.3 – При растяжении

При наблюдении деформации растяжения стержня, на поверхности которого нанесены линии, перпендикулярные к оси бруса (рисунок 4.3), можно отметить, что эти линии, смещаясь параллельно самим себе, остаются прямыми и перпендикулярными к оси бруса. Предполагая, что указанная картина перемещения сечений имеет место и внутри стержня, приходим к гипотезе плоских сечений: поперечные сечения стержня, плоские до деформации, остаются плоскими и после нее, перемещаясь поступательно вдоль оси стержня. Разобьем теперь стержень на продольные (параллельные оси стержня) элементы бесконечно малых поперечных сечений и будем в дальнейшем называть их волокнами. На основании гипотезы плоских сечений следует заключить, что все волокна удлиняются на одну и ту же величину и их относительные удлинения ε одинаковы.

Относительная деформация

Деформация (удлинение) называется упругой, если она исчезает при снятии нагрузки и в этом случае выполняется пропорциональная зависимость между напряжением и относительной деформацией, которая записывается в виде закона Гука:

Напряжение – это величина внутреннего усилия, приходящаяся на единицу площади поперечного сечения. Знак напряжения зависит от знака продольной силы в рассматриваемом сечении. В случае сжатия напряжения считают отрицательным.

Отметим, что формула (10) справедлива лишь для сечений, достаточно удаленных от мест приложения сосредоточенных нагрузок. Вблизи приложения нагрузок распределение напряжений носит сложный характер и требует более точных методов исследования.

Определяя напряжения при растяжении, сжатии и при других видах деформаций, в сопротивлении материалов, а также в теории упругости широко пользуются следующим весьма важным положением, носящим название принципа Сен-Венана: если тело нагружается статически эквивалентными системами сил, т.е. такими, у которых главный вектор и главный момент одинаковы, и при этом размеры области приложения нагрузок невелики по сравнению с размерами тела, то в сечениях, достаточно удаленных от мест приложения сил, напряжения мало зависят от способа нагружения. Общего теоретического доказательства принцип Сен-Венана не имеет, но его справедливость подтверждается многочисленными теоретическими и экспериментальными исследованиями.

2.7 Испытания на растяжение

Наибольшую информацию о механических свойствах металлов получают из статических испытаний на растяжение. На испытательных машинах получают графическое представление зависимости между действующей силой F и удлинением Dl , называемое диаграммой растяжения или сжатия образца. На рис. 1.12 представлена диаграмма растяжения образца из низкоуглеродистой стали. Чтобы получить механические характеристики материала, из которого изготовлен образец, надо исключить влияние конкретных размеров и формы образца. С этой целью усилия F относят к первоначальной площади поперечного сечения A 0 , а абсолютное удлинение Dl - к первоначальной длине образца l 0 . Получается диаграмма условных напряжений σ=f (ε), которая имеет тот же вид, что и диаграмма F =f (Dl ), т. к. A 0 и l 0 постоянны. (Рис. 1.13).

На участке OA выполняется закон Гука. Точка A соответствует пределу пропорциональости:

Пределом пропорциональности σ пц называется наибольшее напряжение, до которого существует прямо пропорциональная зависимость между нагрузкой и деформацией. Для стали марки Ст3 предел пропорциональности приблизительно равен σ пц =195…200 МПа.

На прямолинейном участке диаграммы определяют модуль упругости

Который характеризует жёсткость материала при упругих деформациях. – масштабные коэффициенты.

Рисунок 1.12

Рисунок 1.13

Пределом упругости σ уп называется максимальное напряжение, при котором в материале не обнаруживается признаков пластической (остаточной) деформации. Для Ст3 σ уп =205…210 МПа.

CD – площадка текучести. Здесь деформации растут практически без увеличения нагрузки, т. к. идёт процесс распространения пластических деформаций по длине рабочей части образца. Физическим пределом текучести

называется наименьшее напряжение, при котором образец деформируется без заметного увеличения растягивающей нагрузки. Для Ст3 σ Т =220…250 МПа. Напряжение σ Т часто используется в качестве предельного в расчётах на прочность пластичных материалов.

Пластические деформации вызывают изменение внутренней структуры металла, что приводит к его упрочнению. Образец приобретает способность воспринимать возрастающее усилие до значения F max – точка Е на диаграмме. Усилие F max используется для вычисления временного сопротивления, называемого также пределом прочности :

Напряжение, соответствующее наибольшей нагрузке, предшествующей разрушению образца, называется временным сопротивлением. Для Ст3 временное сопротивление σ В =370…470 МПа. Зона DE называется зоной упрочнения.

При максимальном усилии или несколько меньшем его на образце в наиболее слабом месте возникает локальное уменьшение поперечного сечения – шейка. Дальнейшая деформация происходит в этой зоне образца. В точке K образец разрушается. Истинное сопротивление разрыву

где А K – площадь поперечного сечения в месте разрыва. Зона EK называется зоной местной текучести. Истинные напряжения в момент разрыва (в шейке) в образце из стали Ст3 достигают 900…1000 МПа.

Чтобы определять истинные напряжения в каждый момент нагружения, необходимо силу делить на текущее значение площади поперечного сечения. Следовательно, истинные напряжения больше условных.

Истинная деформация малого участка образца с начальной длиной x 0

, (1.26)

где x – текущая длина выделенного участка образца.

Пластичность материала оценивают: 1) величиной относительного остаточного удлинения при разрыве , определяемой в процентах , где l к – конечная длина расчётной части образца (после разрыва)

2) величиной относительного остаточного уменьшения площади начального сечения образца при разрыве

Механические характеристики материалов

По механическим характеристикам материалы можно условно разделить на пластичные и хрупкие.

По механическим характеристикам материалов, к которым относятся: предельные напряжения, ударная вязкость, твердость и т.д., определяется работоспособность механических деталей машин и приборов.

Теоретически рассчитать механические свойства материалов затруднительно, поэтому эти свойства изучают экспериментально. Наиболее общий способ испытаний – растяжение и сжатие. При этом все материалы делятся на пластичные (например стали) и хрупкие (например чугун).

Эти испытания проводятся в специальных машинах и прессах.

Пластичные материалы могут деформироваться до 300% (фторопласт). Сталь может деформироваться без разрушения примерно на 5%.

Диаграмма в координатах

называется машинной и зависит от размеров образца, поэтому ее заменяют условной диаграммой в координатах

, в которой нет этой зависимости.

I – участок пропорциональности (участок, на котором выполняется закон Гука;

II – на отрезке АВ сохраняется упругость материала; на ВС появляются пластические (необратимые) деформации;

на СD – реализуется текучесть материала, которая характеризуется тем, что деформация изменяется, практически вне зависимости от нагрузки;

III – участок упрочнения материала: происходит уплотнение структуры (для пластмасс реализуется ориентация макромолекул);

IV – участок накопления повреждений, который заканчивается разрушением образца.

Используя диаграмму растяжений, рассмотрим предельные характеристики материалов:

- предел пропорциональности;

- предел упругости в точке В;

- предел текучести;

- предел временного сопротивления в точке М.

Для хрупких материалов практически не реализуется закон Гука, и вид диаграммы может быть следующим.

На этой диаграмме выделяют условный предел текучести, который определяют, как 0,2% от деформации образца.

Растяжение и сжатие.

Напряжение и перемещение.

Р – продольная сила;

l – продольный размер бруса;

а – поперечный размер бруса;

- абсолютное удлинение;

- абсолютное сужение бруса.

(1) - относительная продольная деформация (удлинение);

- относительная поперечная деформация;

Для большинства материалов влияние одной деформации на другую ограничено.

Коэффициент Пуассона

показывает взаимное влияние продольной и поперечной деформации друг на друга. При этом для большинства материалов

.

В случае растяжения, из имеющейся зависимости

, можно записать, при А=const,



(2).

Экспериментально установлено, что при малых деформациях для большинства твердых тел имеет место прямая пропорциональность между нагрузкой и абсолютной деформацией.

- закон Гука (3)

Е – модуль упругости первого рода (модуль Юнга) характеризует упругие свойства материалов.

Если возьмем зависимости 1 и 2 и подставим в 3, то получим:

Другими словами, абсолютное удлинение прямо пропорционально внутренней силе действующей на отрезке равном l, и обратно пропорционально площади сечения этого бруса и упругим свойствам материала, из которого изготовлен брус.

Б7: Допускаемые напряжения и запасы прочности.

Допускаемые напряжения и запас прочности.

Допускаемые напряжения [] – это такие напряжения, при которых обеспечивается долговечность и прочность конструкции.

При расчетах элементов конструкции и машин механические характеристики материалов и нагрузок, как правило, отличаются от практических.

Многое факторы, действующие на конструкцию, носят случайный характер и не поддаются прогнозированию.

Механические свойства материалов, как правило, не стабильны. Учет всех факторов при расчетах вносит усложнения и неоправданные затраты труда и времени.

Для надежной работы элементов конструкции принимают коэффициент запаса прочности по отношению к экспериментально определенным механическим характеристикам материалов.

n – действительный коэффициент запаса прочности;

[n] – нормативный коэффициент запаса прочности.

Для пластичных материалов

Для хрупких материалов

Нормативный коэффициент запаса прочности определяется как произведение частных коэффициентов запаса прочности

[n]=**…*

Частные коэффициенты запаса прочности учитывают неоднородность материала, точность расчетной схемы, степень ответственности детали и условия ее работы.

Для нормальной работы деталей машин, различных конструкций и приборов необходимо учитывать условия прочности, жесткости и устойчивости.

В данных условиях можно решать три типа задач на сопротивление материалов:

Б8: Расчеты на прочность и жесткость статически определимых и стат. неопределимых систем при растяжении и сжатии.

Решение задач на прочность и жесткость

Основой для решения статически определенных задач являются:

Метод сечений, уравнения равновесия, условия

прочности жесткости.

Е=2*10 5 МПа

l AB =l ВС =l CD =1м

А 1 =0,5*10 3 мм 2

[]=150 Н/мм 2

Найти :N i , i , i .

Определение внутренних сил:

Условие прочности не выполняются, т.к. на участке ВС рабочее напряжение больше допускаемого.

Определение перемещений:

Особенности построения эпюр

1Скачки значений на эпюре внутренних сил определяются (или равны) внешними силами, приложенными в этой точке.

2Скачки эпюр на эпюре напряжений определяются изменением, как внешних сил, так и изменением размеров сечений.

3Эпюры напряжений, в данном случае, являются производной от эпюр перемещений.

Решение статически неопределимых задач

Если число неизвестных реакций связи оказывается больше числа уравнений равновесия, то такая система является статически неопределимой.

Разница между числом неизвестных реакций и числом уравнений равновесия определяет степень статической неопределенности системы.

При решении статически неопределимых задач составляются недостающие уравнения, которые учитывают совместные перемещения в данной системе.

С учетом известных перемещений предлагаются физические зависимости, например, в виде закона Гука, или в виде линейных температурных деформаций, для раскрытия сущности указанных совместных перемещений и, в дальнейшем, эти полученные уравнения решаются совместно.

Этапы раскрытия статической неопределенности (рассмотрим на примере решения задачи данные по размерам и нагрузкам смотри на предыдущей странице):

Статика – составление уравнений равновесия;

(Данная задача один раз статически неопределима)

Геометрия – составление уравнений совместных перемещений;

(∆ может равняться 0; если ∆≥1,5, то задача статически определимая).

Физика – определение физических соотношений между перемещениями и внутренними силами;

Синтез – совместное решение полученных уравнений.

В уравнение п.2 подставим выражения для ∆l i по закону Гука.

Определение внутренних сил:

Определение внутренних напряжений:

Несмотря на то, что на участке СВ значение напряжений уменьшилось и составило 160МПа, условие прочности все равно не выполняется.

Определение совместных перемещений:

Обобщение:

1В статически неопределимых системах происходит перераспределение внутренних сил, напряжений и перемещений, по сравнению с аналогичными статически определимыми системами.

2Реакции связи а, следовательно, и внутренние силы, в статически неопределимых системах зависят от продольных и поперечных размеров, свойств материала и действия внешних сил.

В статически определенных системах внутренние силы зависят только от внешних сил.

3Меняя жесткость системы подстановкой дополнительных связей, можно добиться рационального распределения внутренних сил при той же величине внешних нагрузок, в связи с этим так же меняются значения напряжений и перемещений.

Б9: Температурные напряжения.

Температурные напряжения

Напряжение в стержне не изменится т.к. при нагревании он изменит свой размер (удлинится).

В стержнях возникает напряжение сжатия.

В статически определимой системе при изменении температуры напряжение не поменяется от действия температуры. Имеет место лишь перенос конструкции (см. рис.1).

В статически неопределимой системе (см. рис. 2)

стержень не может свободно деформироваться и, как следствие, возникают температурные напряжения. Здесь учитываются не только упругие деформации, но их совместное действие с температурным напряжением.

(α- коэффициент линейного расширения)

Решение задачи, расчетная схема которой приведена на рис. 2.

Геометрия

Из подобия треугольников АВВ 1 и АСС 1 получаем

Физика

Синтез

В первом стержне возникает сжимающее напряжение, т.к. балка под действием температуры поворачивается вниз и сжимает этот стержень.

Во втором стержне тоже возникает напряжение сжатия, т.к. полная температурная деформация не может быть реализована из-за сопротивления первого стержня.

Кроме того могут возникать монтажные напряжения.

Совместные действия температурных и внешних нагрузок.

Температурные напряжения при действии внешних нагрузок учитываются со своим знаком и могут как повысить так и понизить его.

1.Статика

2.Геометрия

(см. прошлую задачу)

3. Физика

4.

С учетом совместных действий температурных напряжений и напряжений от действия силы Р получаем:

(дополнительно нагружен первый стержень)

В первом стержне напряжение в целом повышается.

Б10: Чистый сдвиг и его особенности. Расчеты на прочность при сдвиговых деформациях.

Центральным растяжением или сжатием в сопромате называется такой вид деформации, при котором в поперечных сечениях стержня возникает только продольная сила N, а все остальные усилия равны нулю.

Продольная сила N - равнодействующая внутренних сил в поперечном сечении стержня. В сопротивлении материалов она определяется из условия равновесия отсеченной части, и численно равна сумме проекций на продольную ось стержня всех внешних сил, расположенных по одну сторону от сечения.

При растяжении продольная сила направлена от сечения и считается положительной. При сжатии она направлена к сечению и считается отрицательной.

Эпюра продольных сил - график величин этих усилий для всех поперечных сечений стержня.

Пример решения задачи по сопромату на растяжение - сжатие. Построить эпюру продольных сил для стержня, изображенного на рис. 4,а.

Решение. Проводим сечение 1-1 в пределах первого участка и отбрасываем правую часть стержня. К оставшейся левой части прикладываем неизвестную силу N1, предполагая ее положительной и направляя от сечения. Из уравнения равновесия отсеченной части получим N1-3P=0 => N1=3P

Проводя сечения 2-2, 3-3 и т.д. на остальных участках и составляя уравнения равновесия для отсеченных частей, определим продольные силы (рис.4,б).

2-ой участок N2 – P – 3P =0 N2=4P

3-й участок N3 +6P-P-3P=0 N3= -2P

4-й участок N4-4P+6P-P-3P=0 N4=2P

Для контроля определим N4 из рассмотрения правой части стержня.

2P – N4=0 N4=2P

По найденным значениям N на рис. 4, в построена эпюра продольных сил. Из эпюры следует, на участках 1,2 и 4 стержень растянут, а на участке 3 сжат. Так ведется решение задач на растяжение и сжатие в сопромате.

Напряжения и деформации. Растяжение и сжатие. Сопромат решение задач

При растяжении-сжатии стержня с постоянными поперечными размерами в любом поперечном сечении возникают нормальные напряжения, равномерно распределенные по сечению и равные

где N - продольная сила в сечении;

А -площадь поперечного сечения.

Эта формула справедлива только для поперечных сечений, отстоящих от места приложения нагрузки на расстоянии не меньшем поперечного размера стержня (принцип Сен-Венана).

Вблизи места приложения нагрузки напряжения распределяются

неравномерно.

В случае однородного стержня, растянутого или сжатого силами, приложенными на концах, напряжения остаются постоянными как по сечению, так и по длине, т.е. одинаковы для всех точек объема стержня

Такое напряженное состояние в сопромате называется однородным.

Продольную деформацию стержня характеризуют следующие величины (рис. 5).

Абсолютная продольная деформация (удлинение при растяжении и укорочении при сжатии) ^ l = l1-l

где 1 -первоначальная длина стержня;

l1 - конечная длина.

Относительная продольная деформация (относительное удлинение). e = ^ l / l

Поперечную деформацию стержня в сопротивление материалов характеризуют следующие величины:

Абсолютная поперечная деформация ^b = b – b1,

где b -первоначальный поперечный размер,

b1 - поперечный размер после деформации

Относительная поперечная деформация e 1 = ^b / b

При растяжении продольную деформацию можно считать положительной (е > 0), а поперечную отрицательной (е 1 < 0).

При сжатии, наоборот e < 0, е 1 > 0.

Абсолютная величина отношения e1 к е называется коэффициентом Пуассона,

Коэффициент Пуассона M (мю) - величина безразмерная и его значение

для различных материалов колеблется в пределах от 0 до 0,5. Объемная деформация характеризуется относительным изменением объема

где ^V - абсолютное изменение объема;

V - Первоначальный объем стержня.

Закон Гука о = e Е,

где Е - коэффициент пропорциональности, называемый модулем продольной упругости, который имеет размерность Па, кПа, мПа.

Закон Гука справедлив, пока напряжения не превосходят определенной для каждого материала величины, называемой пределом пропорциональности.

Абсолютное удлинение стержня постоянного сечения при постоянном по его длине значении продольной силы определяется по формуле: ^l = Nl / EA - закон Гука

где ЕА – жесткость сечения. Эта формула очень важна в курсе изучения сопротивления материалов вообще и в решении задач по сопромату в частности.