Распределение ХИ-квадрат. Распределения математической статистики в MS EXCEL

23. Понятие распределения хи-квадрат и Стьюдента, и графический вид

1) Распределение (хи-квадрат) с n степенями свободы - это распределение суммы квадратов n независимых стандартных нормальных случайных величин.

Распределение (хи – квадрат) – распределение случайной величины (причем математическое ожидание каждой из них равно 0, а среднее квадратическое отклонение-1)

где случайные величины независимы и имеют одно и тоже распределение. При этом число слагаемых, т.е., называется "числом степеней свободы" распределения хи-квадрат. Число хи-квадрат опредляется одни параметром-числом степеней свободы. С увеличением числа степеней свободы распределение медленно приближается к нормальному.

Тогда сумма их квадратов

является случайной величиной, распределенной по так называемому закону «хи-квадрат» с k = n степенями свободы; если же слагаемые связаны каким-либо соотношением (например, ), то число степеней свободы k = n – 1.

Плотность этого распределения

Здесь - гамма-функция; в частности, Г(п + 1) = п! .

Следовательно, распределение «хи-квадрат» определяется одним параметром – числом степеней свободы k.

Замечание 1. С увеличением числа степеней свободы распределение «хи-квадрат» постепенно приближается к нормальному.

Замечание 2. С помощью распределения «хи-квадрат» определяются многие другие распреде-ления, встречающиеся на практике, например, распределение случайной величины - длины случайного вектора (Х1, Х2,…, Хп), координаты которого независимы и распределены по нормальному закону.

Впервые χ2-распределение было рассмотрено Р.Хельмертом (1876) и К.Пирсоном (1900).

Мат.ожид.=n; D=2n

2) Распределение Стьюдента

Рассмотрим две независимые случайные величины: Z, имеющую нормальное распределение и нормированную (то есть М(Z) = 0, σ(Z) = 1), и V, распределенную по закону «хи-квадрат» с k степенями свободы. Тогда величина

имеет распределение, называемое t – распределением или распределением Стьюдента с k степенями свободы. При этом k называется "числом степеней свободы" распределения Стьюдента.

С возрастанием числа степеней свободы распределение Стьюдента быстро приближается к нормальному.

Это распределение было введено в 1908 г. английским статистиком В. Госсетом, работавшем на фабрике, выпускающей пиво. Вероятностно-статистические методы использовались для принятия экономических и технических решений на этой фабрике, поэтому ее руководство запрещало В. Госсету публиковать научные статьи под своим именем. Таким способом охранялась коммерческая тайна, "ноу-хау" в виде вероятностно-статистических методов, разработанных В. Госсетом. Однако он имел возможность публиковаться под псевдонимом "Стьюдент". История Госсета – Стьюдента показывает, что еще сто лет назад менеджерам Великобритании была очевидна большая экономическая эффективность вероятностно-статистических методов принятия решений.

Критерий независимости хи-квадрат используется для определения связи между двумя категориальными переменными. Примерами пар категориальных переменных являются: Семейное положение vs. Уровень занятости респондента; Порода собак vs. Профессия хозяина, Уровень з/п vs. Специализация инженера и др. При вычислении критерия независимости проверяется гипотеза о том, что между переменными связи нет. Вычисления будем производить с помощью функции MS EXCEL 2010 ХИ2.ТЕСТ() и обычными формулами.

Предположим у нас есть выборка данных, представляющая результат опроса 500 человек. Людям задавалось 2 вопроса: про их семейное положение (женаты, гражданский брак, не состоят в отношениях) и их уровень занятости (полный рабочий день, частичная занятость, временно не работает, на домохозяйстве, на пенсии, учеба). Все ответы поместили в таблицу:

Данная таблица называется таблицей сопряжённости признаков (или факторной таблицей, англ. Contingency table). Элементы на пересечении строк и столбцов таблицы обычно обозначают O ij (от англ. Observed, т.е. наблюденные, фактические частоты).

Нас интересует вопрос «Влияет ли Семейное положение на Занятость?», т.е. существует ли зависимость между двумя методами классификации выборки ?

При проверке гипотез такого вида обычно принимают, что нулевая гипотеза утверждает об отсутствии зависимости способов классификации.

Рассмотрим предельные случаи. Примером полной зависимости двух категориальных переменных является вот такой результат опроса:

В этом случае семейное положение однозначно определяет занятость (см. файл примера лист Пояснение ). И наоборот, примером полной независимости является другой результат опроса:

Обратите внимание, что процент занятости в этом случае не зависит от семейного положения (одинаков для женатых и не женатых). Это как раз совпадает с формулировкой нулевой гипотезы . Если нулевая гипотеза справедлива, то результаты опроса должны были бы так распределиться в таблице, что процент занятых был бы одинаковым независимо от семейного положения. Используя это, вычислим результаты опроса, которые соответствуют нулевой гипотезе (см. файл примера лист Пример ).

Сначала вычислим оценку вероятности, того, что элемент выборки будет иметь определенную занятость (см. столбец u i):

где с – количество столбцов (columns), равное количеству уровней переменной «Семейное положение».

Затем вычислим оценку вероятности, того, что элемент выборки будет иметь определенное семейное положение (см. строку v j).

где r – количество строк (rows), равное количеству уровней переменной «Занятость».

Теоретическая частота для каждой ячейки E ij (от англ. Expected, т.е. ожидаемая частота) в случае независимости переменных вычисляется по формуле:
E ij =n* u i * v j

Известно, что статистика Х 2 0 при больших n имеет приблизительно с (r-1)(c-1) степенями свободы (df – degrees of freedom):

Если вычисленное на основе выборки значение этой статистики «слишком большое» (больше порогового), то нулевая гипотеза отвергается. Пороговое значение вычисляется на основании , например с помощью формулы =ХИ2.ОБР.ПХ(0,05; df) .

Примечание : Уровень значимости обычно принимается равным 0,1; 0,05; 0,01.

При проверке гипотезы также удобно вычислять , которое мы сравниваем с уровнем значимости . p -значение рассчитывается с использованием с (r-1)*(c-1)=df степеней свободы.

Если вероятность, того что случайная величина имеющая с (r-1)(c-1) степенями свободы примет значение больше вычисленной статистики Х 2 0 , т.е. P{Х 2 (r-1)*(c-1) >Х 2 0 }, меньше уровня значимости , то нулевая гипотеза отклоняется.

В MS EXCEL p-значение можно вычислить с помощью формулы =ХИ2.РАСП.ПХ(Х 2 0 ;df) , конечно, вычислив непосредственно перед этим значение статистики Х 2 0 (это сделано в файле примера ). Однако, удобнее всего воспользоваться функцией ХИ2.ТЕСТ() . В качестве аргументов этой функции указываются ссылки на диапазоны содержащие фактические (Observed) и вычисленные теоретические частоты (Expected).

Если уровень значимости > p -значения , то означает это фактические и теоретические частоты, вычисленные из предположения справедливости нулевой гипотезы , серьезно отличаются. Поэтому, нулевую гипотезу нужно отклонить.

Использование функции ХИ2.ТЕСТ() позволяет ускорить процедуру проверки гипотез , т.к. не нужно вычислять значение статистики . Теперь достаточно сравнить результат функции ХИ2.ТЕСТ() с заданным уровнем значимости .

Примечание : Функция ХИ2.ТЕСТ() , английское название CHISQ.TEST, появилась в MS EXCEL 2010. Ее более ранняя версия ХИ2ТЕСТ() , доступная в MS EXCEL 2007 имеет тот же функционал. Но, как и для ХИ2.ТЕСТ() , теоретические частоты нужно вычислить самостоятельно.

До конца XIX века нормальное распределение считалась всеобщим законом вариации данных. Однако К. Пирсон заметил, что эмпирические частоты могут сильно отличаться от нормального распределения. Встал вопрос, как это доказать. Требовалось не только графическое сопоставление, которое имеет субъективный характер, но и строгое количественное обоснование.

Так был изобретен критерий χ 2 (хи-квадрат), который проверяет значимость расхождения эмпирических (наблюдаемых) и теоретических (ожидаемых) частот. Это произошло в далеком 1900 году, однако критерий и сегодня на ходу. Более того, его приспособили для решения широкого круга задач. Прежде всего, это анализ номинальных данных, т.е. таких, которые выражаются не количеством, а принадлежностью к какой-то категории. Например, класс автомобиля, пол участника эксперимента, вид растения и т.д. К таким данным нельзя применять математические операции вроде сложения и умножения, для них можно только подсчитать частоты.

Наблюдаемые частоты обозначим О (Observed) , ожидаемые – E (Expected) . В качестве примера возьмем результат 60-кратного бросания игральной кости. Если она симметрична и однородна, вероятность выпадения любой стороны равна 1/6 и, следовательно, ожидаемое количество выпадения каждой из сторон равна 10 (1/6∙60). Наблюдаемые и ожидаемые частоты запишем в таблицу и нарисуем гистограмму.

Нулевая гипотеза заключается в том, что частоты согласованы, то есть фактические данные не противоречат ожидаемым. Альтернативная гипотеза – отклонения в частотах выходят за рамки случайных колебаний, то есть расхождения статистически значимы. Чтобы сделать строгий вывод, нам потребуется.

1. Обобщающая мера расхождения между наблюдаемыми и ожидаемыми частотами.
2. Распределение этой меры при справедливости гипотезы о том, что различий нет.

Начнем с расстояния между частотами. Если взять просто разницу О — E , то такая мера будет зависеть от масштаба данных (частот). Например, 20 — 5 =15 и 1020 – 1005 = 15. В обоих случаях разница составляет 15. Но в первом случае ожидаемые частоты в 3 раза меньше наблюдаемых, а во втором случае – лишь на 1,5%. Нужна относительная мера, не зависящая от масштаба.

Обратим внимание на следующие факты. В общем случае количество градаций, по которым измеряются частоты, может быть гораздо больше, поэтому вероятность того, что отдельно взятое наблюдение попадет в ту или иную категорию, довольно мала. Раз так, то, распределение такой случайной величины будет подчинятся закону редких событий, известному под названием закон Пуассона . В законе Пуассона, как известно, значение математического ожидания и дисперсии совпадают (параметр λ ). Значит, ожидаемая частота для некоторой категории номинальной переменной E i будет являться одновременное и ее дисперсией. Далее, закон Пуассона при большом количестве наблюдений стремится к нормальному. Соединяя эти два факта, получаем, что, если гипотеза о согласии наблюдаемых и ожидаемых частот верна, то, при большом количестве наблюдений , выражение

Будет иметь .

Важно помнить, что нормальность будет проявляться только при достаточно больших частотах. В статистике принято считать, что общее количество наблюдений (сумма частот) должна быть не менее 50 и ожидаемая частота в каждой градации должна быть не менее 5. Только в этом случае величина, показанная выше, будет иметь стандартное нормальное распределение. Предположим, что это условие выполнено.

У стандартного нормального распределения почти все значение находятся в пределах ±3 (правило трех сигм). Таким образом, мы получили относительную разность в частотах для одной градации. Нам нужна обобщающая мера. Просто сложить все отклонения нельзя – получим 0 (догадайтесь почему). Пирсон предложил сложить квадраты этих отклонений.

Это и есть знамений критерий χ 2 Пирсона . Если частоты действительно соответствуют ожидаемым, то значение критерия будет относительно не большим (т.к. большинство отклонений находится около нуля). Но если критерий оказывается большим, то это свидетельствует в пользу существенных различий между частотами.

«Большим» критерий становится тогда, когда появление такого или еще большего значения становится маловероятным. И чтобы рассчитать такую вероятность, необходимо знать распределение критерия при многократном повторении эксперимента, когда гипотеза о согласии частот верна.

Как нетрудно заметить, величина хи-квадрат также зависит от количества слагаемых. Чем их больше, тем большее значение должно быть у критерия, ведь каждое слагаемое внесет свой вклад в общую сумму. Следовательно, для каждого количества независимых слагаемых, будет собственное распределение. Получается, что χ 2 – это целое семейство распределений.

И здесь мы подошли к одному щекотливому моменту. Что такое число независимых слагаемых? Вроде как любое слагаемое (т.е. отклонение) независимо. К. Пирсон тоже так думал, но оказался неправ. На самом деле число независимых слагаемых будет на один меньше, чем количество градаций номинальной переменной n . Почему? Потому что, если мы имеем выборку, по которой уже посчитана сумма частот, то одну из частот всегда можно определить, как разность общего количества и суммой всех остальных. Отсюда и вариация будет несколько меньше. Данный факт Рональд Фишер заметил лет через 20 после разработки Пирсоном своего критерия. Даже таблицы пришлось переделывать.

По этому поводу Фишер ввел в статистику новое понятие – степень свободы (degrees of freedom), которое и представляет собой количество независимых слагаемых в сумме. Понятие степеней свободы имеет математическое объяснение и проявляется только в распределениях, связанных с нормальным (Стьюдента, Фишера-Снедекора и сам хи-квадрат).

Чтобы лучше уловить смысл степеней свободы, обратимся к физическому аналогу. Представим точку, свободно движущуюся в пространстве. Она имеет 3 степени свободы, т.к. может перемещаться в любом направлении трехмерного пространства. Если точка движется по какой-либо поверхности, то у нее уже две степени свободы (вперед-назад, вправо-влево), хотя и продолжает находиться в трехмерном пространстве. Точка, перемещающаяся по пружине, снова находится в трехмерном пространстве, но имеет лишь одну степень свободы, т.к. может двигаться либо вперед, либо назад. Как видно, пространство, где находится объект, не всегда соответствует реальной свободе перемещения.

Примерно также распределение статистического критерия может зависеть от меньшего количества элементов, чем нужно слагаемых для его расчета. В общем случае количество степеней свободы меньше наблюдений на число имеющихся зависимостей. Это чистая математика, никакой магии.

Таким образом, распределение χ 2 – это семейство распределений, каждое из которых зависит от параметра степеней свободы. А формальное определение критерия хи-квадрат следующее. Распределение χ 2 (хи-квадрат) с k степенями свободы - это распределение суммы квадратов k независимых стандартных нормальных случайных величин.

Далее можно было бы перейти к самой формуле, по которой вычисляется функция распределения хи-квадрат, но, к счастью, все давно подсчитано за нас. Чтобы получить интересующую вероятность, можно воспользоваться либо соответствующей статистической таблицей, либо готовой функцией в специализированном ПО, которая есть даже в Excel.

Интересно посмотреть, как меняется форма распределения хи-квадрат в зависимости от количества степеней свободы.

С увеличением степеней свободы распределение хи-квадрат стремится к нормальному. Это объясняется действием центральной предельной теоремы, согласно которой сумма большого количества независимых случайных величин имеет нормальное распределение. Про квадраты там ничего не сказано)).

Проверка гипотезы по критерию хи-квадрат

Вот мы и подошли к проверке гипотез по методу хи-квадрат. В целом техника остается . Выдвигается нулевая гипотеза о том, что наблюдаемые частоты соответствуют ожидаемым (т.е. между ними нет разницы, т.к. они взяты из той же генеральной совокупности). Если этот так, то разброс будет относительно небольшим, в пределах случайных колебаний. Меру разброса определяют по критерию хи-квадрат. Далее либо сам критерий сравнивают с критическим значением (для соответствующего уровня значимости и степеней свободы), либо, что более правильно, рассчитывают наблюдаемый p-level, т.е. вероятность получить такое или еще больше значение критерия при справедливости нулевой гипотезы.

Т.к. нас интересует согласие частот, то отклонение гипотезы произойдет, когда критерий окажется больше критического уровня. Т.е. критерий является односторонним. Однако иногда (иногда) требуется проверить левостороннюю гипотезу. Например, когда эмпирические данные уж оооочень сильно похожи на теоретические. Тогда критерий может попасть в маловероятную область, но уже слева. Дело в том, что в естественных условиях, маловероятно получить частоты, практически совпадающие с теоретическими. Всегда есть некоторая случайность, которая дает погрешность. А вот если такой погрешности нет, то, возможно, данные были сфальсифицированы. Но все же обычно проверяют правостороннюю гипотезу.

Вернемся к задаче с игральным кубиком. Рассчитаем по имеющимся данным значение критерия хи-квадрат.

Теперь найдем табличное значение критерия при 5-ти степенях свободы (k ) и уровне значимости 0,05 (α ).

То есть χ 2 0,05; 5 = 11,1.

Сравним фактическое и табличное значение. 3,4 (χ 2 ) < 11,1 (χ 2 0,05; 5 ). Расчетный критерий оказался меньшим, значит гипотеза о равенстве (согласии) частот не отклоняется. На рисунке ситуация выглядит вот так.

Если бы расчетное значение попало в критическую область, то нулевая гипотеза была бы отклонена.

Более правильным будет рассчитать еще и p-level. Для этого нужно в таблице найти ближайшее значение для заданного количества степеней свободы и посмотреть соответствующий ему уровень значимости. Но это прошлый век. Воспользуемся ПЭВМ, в частности MS Excel. В эксель есть несколько функций, связанных с хи-квадрат.

Ниже их краткое описание.

ХИ2.ОБР – критическое значение критерия при заданной вероятности слева (как в статистических таблицах)

ХИ2.ОБР.ПХ – критическое значение критерия при заданной вероятности справа. Функция по сути дублирует предыдущую. Но здесь можно сразу указывать уровень α , а не вычитать его из 1. Это более удобно, т.к. в большинстве случаев нужен именно правый хвост распределения.

ХИ2.РАСП – p-level слева (можно рассчитать плотность).

ХИ2.РАСП.ПХ – p-level справа.

ХИ2.ТЕСТ – по двум заданным диапазонам частот сразу проводит тест хи-квадрат. Количество степеней свободы берется на одну меньше, чем количество частот в столбце (так и должно быть), возвращая значение p-level.

Давайте пока рассчитаем для нашего эксперимента критическое (табличное) значение для 5-ти степеней свободы и альфа 0,05. Формула Excel будет выглядеть так:

ХИ2.ОБР(0,95;5)

ХИ2.ОБР.ПХ(0,05;5)

Результат будет одинаковым – 11,0705. Именно это значение мы видим в таблице (округленное до 1 знака после запятой).

Рассчитаем, наконец, p-level для 5-ти степеней свободы критерия χ 2 = 3,4. Нужна вероятность справа, поэтому берем функцию с добавкой ПХ (правый хвост)

ХИ2.РАСП.ПХ(3,4;5) = 0,63857

Значит, при 5-ти степенях свободы вероятность получить значение критерия χ 2 = 3,4 и больше равна почти 64%. Естественно, гипотеза не отклоняется (p-level больше 5%), частоты очень хорошо согласуются.

А теперь проверим гипотезу о согласии частот с помощью функции ХИ2.ТЕСТ.

Никаких таблиц, никаких громоздких расчетов. Указав в качестве аргументов функции столбцы с наблюдаемыми и ожидаемыми частотами, сразу получаем p-level. Красота.

Представим теперь, что вы играете в кости с подозрительным типом. Распределение очков от 1 до 5 остается прежним, но он выкидывает 26 шестерок (количество всех бросков становится 78).

P-level в этом случае оказывается 0,003, что гораздо меньше чем, 0,05. Есть серьезные основания сомневаться в правильности игральной кости. Вот, как выглядит эта вероятность на диаграмме распределения хи-квадрат.

Сам критерий хи-квадрат здесь получается 17,8, что, естественно, больше табличного (11,1).

Надеюсь, мне удалось объяснить, что такое критерий согласия χ 2 (хи-квадрат) Пирсона и как с его помощью проверяются статистические гипотезы.

Напоследок еще раз о важном условии! Критерий хи-квадрат исправно работает только в случае, когда количество всех частот превышает 50, а минимальное ожидаемое значение для каждой градации не меньше 5. Если в какой-либо категории ожидаемая частота менее 5, но при этом сумма всех частот превышает 50, то такую категорию объединяют с ближайшей, чтобы их общая часта превысила 5. Если это сделать невозможно, или сумма частот меньше 50, то следует использовать более точные методы проверки гипотез. О них поговорим в другой раз.

Ниже находится видео ролик о том, как в Excel проверить гипотезу с помощью критерия хи-квадрат.

Использование этого критерия основано на применении такой меры (статистики) расхождения между теоретическим F(x) и эмпирическим распределением F* п (x) , которая приближенно подчиняется закону распределения χ 2 . Гипотеза Н 0 о согласованности распределений проверяется путем анализа распределения этой статистики. Применение критерия требует построения статистического ряда.

Итак, пусть выборка представлена статистическим рядом с количеством разрядов M . Наблюдаемая частота попаданий в i- й разряд n i . В соответствии с теоретическим законом распределения ожидаемая частота попаданий в i -й разряд составляет F i . Разность между наблюдаемой и ожидаемой частотой составит величину (n i – F i ). Для нахождения общей степени расхождения между F(x ) и F* п (x ) необходимо подсчитать взвешенную сумму квадратов разностей по всем разрядам статистического ряда

Величина χ 2 при неограниченном увеличении n имеет χ 2 -распределение (асимптотически распределена как χ 2). Это распределение зависит от числа степеней свободы k , т.е. количества независимых значений слагаемых в выражении (3.7). Число степеней свободы равно числу y минус число линейных связей, наложенных на выборку. Одна связь существует в силу того, что любая частота может быть вычислена по совокупности частот в оставшихся M –1 разрядах. Кроме того, если параметры распределения неизвестны заранее, то имеется еще одно ограничение, обусловленное подгонкой распределения к выборке. Если по выборке определяются S параметров распределения, то число степеней свободы составит k=M –S–1.

Область принятия гипотезы Н 0 определяется условием χ 2 < χ 2 (k;a) , где χ 2 (k;a) – критическая точка χ2-распределения с уровнем значимости a . Вероятность ошибки первого рода равна a , вероятность ошибки второго рода четко определить нельзя, потому что существует бесконечно большое множество различных способов несовпадения распределений. Мощность критерия зависит от количества разрядов и объема выборки. Критерий рекомендуется применять при n >200, допускается применение при n >40, именно при таких условиях критерий состоятелен (как правило, отвергает неверную нулевую гипотезу).

Алгоритм проверки по критерию

1. Построить гистограмму равновероятностным способом.

2. По виду гистограммы выдвинуть гипотезу

H 0: f (x ) = f 0(x ),

H 1: f (x ) f 0(x ),

где f 0(x ) - плотность вероятности гипотетического закона распределения (например, равномерного, экспоненциального, нормального).

Замечание . Гипотезу об экспоненциальном законе распределения можно выдвигать в том случае, если все числа в выборке положительные.

3. Вычислить значение критерия по формуле

,

где частота попадания в i -тый интервал;

pi - теоретическая вероятность попадания случайной величины в i - тый интервал при условии, что гипотеза H 0верна.

Формулы для расчета pi в случае экспоненциального, равномерного и нормального законов соответственно равны.

Экспоненциальный закон

. (3.8)

При этом A 1 = 0, Bm = +.

Равномерный закон

Нормальный закон

. (3.10)

При этом A 1 = -, B M = +.

Замечания . После вычисления всех вероятностей pi проверить, выполня­ется ли контрольное соотношение

Функция Ф(х )- нечетная. Ф(+) = 1.

4. Из таблицы " Хи-квадрат" Приложения выбирается значение , где - заданный уровень значимости (= 0,05 или = 0,01), а k - число степеней свободы, определяемое по формуле

k = M - 1 - S .

Здесь S - число параметров, от которых зависит выбранный гипотезой H 0закон распределения. Значения S для равномерного закона равно 2, для экспоненциального - 1, для нормального - 2.

5. Если , то гипотеза H 0отклоняется. В противном случае нет оснований ее отклонить: с вероятностью 1 - она верна, а с вероятностью - неверна, но величина неизвестна.

Пример3 . 1. С помощью критерия 2выдвинуть и проверить гипотезу о законе распределения случайной величины X , вариационный ряд, интерваль­ные таблицы и гистограммы распределения которой приведены в примере 1.2. Уровень значимости равен 0,05.

Решение . По виду гистограмм выдви­гаем гипотезу о том, что случайная величина X распределена по нормальному закону:

H 0: f (x ) = N (m ,);

H 1: f (x ) N (m ,).

Значение критерия вычисляем по формуле.

Рассмотрим Распределение ХИ-квадрат. С помощью функции MS EXCEL ХИ2.РАСП() построим графики функции распределения и плотности вероятности, поясним применение этого распределения для целей математической статистики.

Распределение ХИ-квадрат (Х 2 , ХИ2, англ. Chi - squared distribution ) применяется в различных методах математической статистики:

• при построении ;
• при ;
• при (согласуются ли эмпирические данные с нашим предположением о теоретической функции распределения или нет, англ. Goodness-of-fit)
• при (используется для определения связи между двумя категориальными переменными, англ. Chi-square test of association).

Определение : Если x 1 , x 2 , …, x n независимые случайные величины, распределенные по N(0;1), то распределение случайной величины Y=x 1 2 + x 2 2 +…+ x n 2 имеет распределение Х 2 с n степенями свободы.

Распределение Х 2 зависит от одного параметра, который называется степенью свободы (df , degrees of freedom ). Например, при построении число степеней свободы равно df=n-1, где n – размер выборки .

Плотность распределения Х 2 выражается формулой:

Графики функций

Распределение Х 2 имеет несимметричную форму, равно n, равна 2n.

В файле примера на листе График приведены графики плотности распределения вероятности и интегральной функции распределения .

Полезное свойство ХИ2-распределения

Пусть x 1 , x 2 , …, x n независимые случайные величины, распределенные по нормальному закону с одинаковыми параметрами μ и σ, а X cр является арифметическим средним этих величин x.
Тогда случайная величина y равная

Имеет Х 2 -распределение с n-1 степенью свободы. Используя определение вышеуказанное выражение можно переписать следующим образом:

Следовательно, выборочное распределение статистики y, при выборке из нормального распределения , имеет Х 2 -распределение с n-1 степенью свободы.

Это свойство нам потребуется при . Т.к. дисперсия может быть только положительным числом, а Х 2 -распределение используется для его оценки, то y д.б. >0, как и указано в определении.

ХИ2-распределение в MS EXCEL

В MS EXCEL, начиная с версии 2010, для Х 2 -распределения имеется специальная функция ХИ2.РАСП() , английское название – CHISQ.DIST(), которая позволяет вычислить плотность вероятности (см. формулу выше) и (вероятность, что случайная величина Х, имеющая ХИ2 -распределение , примет значение меньше или равное х, P{X <= x}).

Примечание : Т.к. ХИ2-распределение является частным случаем , то формула =ГАММА.РАСП(x;n/2;2;ИСТИНА) для целого положительного n возвращает тот же результат, что и формула =ХИ2.РАСП(x;n; ИСТИНА) или =1-ХИ2.РАСП.ПХ(x;n) . А формула =ГАММА.РАСП(x;n/2;2;ЛОЖЬ) возвращает тот же результат, что и формула =ХИ2.РАСП(x;n; ЛОЖЬ) , т.е. плотность вероятности ХИ2-распределения.

Функция ХИ2.РАСП.ПХ() возвращает функцию распределения , точнее - правостороннюю вероятность, т.е. P{X > x}. Очевидно, что справедливо равенство
=ХИ2.РАСП.ПХ(x;n)+ ХИ2.РАСП(x;n;ИСТИНА)=1
т.к. первое слагаемое вычисляет вероятность P{X > x}, а второе P{X <= x}.

До MS EXCEL 2010 в EXCEL была только функция ХИ2РАСП() , которая позволяет вычислить правостороннюю вероятность, т.е. P{X > x}. Возможности новых функций MS EXCEL 2010 ХИ2.РАСП() и ХИ2.РАСП.ПХ() перекрывают возможности этой функции. Функция ХИ2РАСП() оставлена в MS EXCEL 2010 для совместимости.

ХИ2.РАСП() является единственной функцией, которая возвращает плотность вероятности ХИ2-распределения (третий аргумент должен быть равным ЛОЖЬ). Остальные функции возвращают интегральную функцию распределения , т.е. вероятность того, что случайная величина примет значение из указанного диапазона: P{X <= x}.

Вышеуказанные функции MS EXCEL приведены в .

Примеры

Найдем вероятность, что случайная величина Х примет значение меньше или равное заданного x : P{X <= x}. Это можно сделать несколькими функциями:

ХИ2.РАСП(x; n; ИСТИНА)
=1-ХИ2.РАСП.ПХ(x; n)
=1-ХИ2РАСП(x; n)

Функция ХИ2.РАСП.ПХ() возвращает вероятность P{X > x}, так называемую правостороннюю вероятность, поэтому, чтобы найти P{X <= x}, необходимо вычесть ее результат от 1.

Найдем вероятность, что случайная величина Х примет значение больше заданного x : P{X > x}. Это можно сделать несколькими функциями:

1-ХИ2.РАСП(x; n; ИСТИНА)
=ХИ2.РАСП.ПХ(x; n)
=ХИ2РАСП(x; n)

Обратная функция ХИ2-распределения

Обратная функция используется для вычисления альфа - , т.е. для вычисления значений x при заданной вероятности альфа , причем х должен удовлетворять выражению P{X <= x}=альфа .

Функция ХИ2.ОБР() используется для вычисления доверительных интервалов дисперсии нормального распределения .

Функция ХИ2.ОБР.ПХ() используется для вычисления , т.е. если в качестве аргумента функции указан уровень значимости, например 0,05, то функция вернет такое значение случайной величины х, для которого P{X>x}=0,05. В качестве сравнения: функция ХИ2.ОБР() вернет такое значение случайной величины х, для которого P{X<=x}=0,05.

В MS EXCEL 2007 и ранее вместо ХИ2.ОБР.ПХ() использовалась функция ХИ2ОБР() .

Вышеуказанные функции можно взаимозаменять, т.к. следующие формулы возвращают один и тот же результат:
=ХИ.ОБР(альфа;n)
=ХИ2.ОБР.ПХ(1-альфа;n)
=ХИ2ОБР(1- альфа;n)

Некоторые примеры расчетов приведены в файле примера на листе Функции .

Функции MS EXCEL, использующие ХИ2-распределение

Ниже приведено соответствие русских и английских названий функций:
ХИ2.РАСП.ПХ() - англ. название CHISQ.DIST.RT, т.е. CHI-SQuared DISTribution Right Tail, the right-tailed Chi-square(d) distribution
ХИ2.ОБР() - англ. название CHISQ.INV, т.е. CHI-SQuared distribution INVerse
ХИ2.ПХ.ОБР() - англ. название CHISQ.INV.RT, т.е. CHI-SQuared distribution INVerse Right Tail
ХИ2РАСП() - англ. название CHIDIST, функция эквивалентна CHISQ.DIST.RT
ХИ2ОБР() - англ. название CHIINV, т.е. CHI-SQuared distribution INVerse

Оценка параметров распределения

Т.к. обычно ХИ2-распределение используется для целей математической статистики (вычисление доверительных интервалов, проверки гипотез и др.), и практически никогда для построения моделей реальных величин, то для этого распределения обсуждение оценки параметров распределения здесь не производится.

Приближение ХИ2-распределения нормальным распределением

При числе степеней свободы n>30 распределение Х 2 хорошо аппроксимируется нормальным распределением со средним значением μ=n и дисперсией σ =2*n (см. файл примера лист Приближение ).