Разберем одну из важнейших тем по информатике - . В школьной программе она раскрывается довольно "скромно", скорее всего, из-за недостатка отведенных на нее часов. Знания по этой теме, особенно на перевод систем счисления , являются обязательным условием для успешной сдачи ЕГЭ и поступления в ВУЗы на соответствующие факультеты. Ниже подробным образом рассмотрены такие понятия, как позиционные и непозиционные системы счисления , даны примеры этих систем счисления, представлены правила перевода целых десятичных чисел, правильных десятичных дробей и смешанных десятичных чисел в любую другую систему счисления, перевода чисел из любой системы счисления в десятичную, перевода из восьмеричной и шестнадцатиричной систем счисления в двоичную систему счисления . На экзаменах в большом количестве встречаются задачи по данной теме. Умение их решать – одно из требований к абитуриентам. Скоро: По каждой теме раздела, помимо подробного теоретического материала, будут представлены практически все возможные варианты задач для самостоятельного изучения. Кроме того, у вас появится возможность совершенно бесплатно скачать с файлообменника уже готовые подробные решения к данным задачам, иллюстрирующие различные способы получения верного ответа.

епозиционные системы счисления.

Непозиционные системы счисления - системы счисления, в которых количественное значение цифры не зависит от ее местоположения в числе.

К непозиционным системам счисления относится, например, римская, где вместо цифр - латинские буквы.

I	1 (один)
V	5 (пять)
X	10 (десять)
L	50 (пятьдесят)
C	100 (сто)
D	500 (пятьсот)
M	1000 (тысяча)

Здесь буква V обозначает 5 независимо от ее местоположения. Однако стоит упомянуть о том, что хотя римская система счисления и является классическим примером непозиционной системы счисления, не является полностью непозиционной, т.к. меньшая цифра, стоящая перед большей, вычитается из нее:

IL	49 (50-1=49)
VI	6 (5+1=6)
XXI	21 (10+10+1=21)
MI	1001 (1000+1=1001)

озиционные системы счисления.

Позиционные системы счисления - системы счисления, в которых количественное значение цифры зависит от ее местоположения в числе.

Например, если говорить о десятичной системе счисления, то в числе 700 цифра 7 означает "семь сотен", но эта же цифра в числе 71 означает "семь десятков", а в числе 7020 - "семь тысяч".

Каждая позиционная система счисления имеет свое основание . В качестве основания выбирается натуральное число, большее или равное двум. Оно равно количеству цифр, используемых в данной системе счисления.

Например:
• Двоичная - позиционная система счисления с основанием 2.
• Четверичная - позиционная система счисления с основанием 4.
• Пятиричная - позиционная система счисления с основанием 5.
• Восьмеричная - позиционная система счисления с основанием 8.
• Шестнадцатиричная - позиционная система счисления с основанием 16.

Чтобы успешно решать задачи по теме "Системы счисления", ученик должен знать наизусть соответствие двоичных, десятичных, восьмеричных и шестнадцатиричных чисел до 16 10:

10 с/с	2 с/с	8 с/с	16 с/с
0	0	0	0
1	1	1	1
2	10	2	2
3	11	3	3
4	100	4	4
5	101	5	5
6	110	6	6
7	111	7	7
8	1000	10	8
9	1001	11	9
10	1010	12	A
11	1011	13	B
12	1100	14	C
13	1101	15	D
14	1110	16	E
15	1111	17	F
16	10000	20	10

Полезно знать, как получаются числа в этих системах счисления. Можно догадаться, что в восьмеричной, шестнадцатиричной, троичной и других позиционных системах счисления все происходит аналогично привычной нам десятичной системе:

К числу прибавляется единица и получается новое число. Если разряд единиц становится равен основанию системы счисления, мы увеличиваем число десятков на 1 и т.д.

Этот "переход единицы" как раз и пугает большинство учеников. На самом же деле все довольно просто. Переход происходит, если разряд единиц становится равен основанию системы счисления , мы увеличиваем число десятков на 1. Многие, помня старую добрую десятичную систему моментально путаются в разряда и в этом переходе, ведь десятичный и, например, двоичный десятки - разные вещи.

Отсюда у находчивых учеников появляются "свои методики" (на удивление... работающие) при заполнении, например, таблиц истинности, первые столбцы (значения переменных) которых, фактически, заполняются двоичными числами в порядке возрастания.

Для примера разберем получение чисел в восьмеричной системе : К первому числу (0) прибавляем 1, получаем 1. Затем к 1 прибавляем 1, получаем 2 и т.д. до 7. Если мы прибавим к 7 единицу, получим число равное основанию системы счисления, т.е. 8. Тогда нужно увеличить на единицу разряд десятков (получаем восьмеричный десяток - 10). Далее, очевидно, идут числа 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 20, ..., 27, 30, ..., 77, 100, 101...

равила перевода из одной системы счисления в другую.

1 Перевод целых десятичных чисел в любую другую систему счисления.

Число нужно разделить на новое основание системы счисления . Первый остаток от деления - это и есть первая младшая цифра нового числа. Если частное от деления меньше или равно новому основанию, то его (частное) нужно снова разделить на новое основание. Деление нужно продолжать, пока не получим частное меньше нового основания. Это есть старшая цифра нового числа (нужно помнить, что, например, в шестнадцатиричной системе после 9 идут буквы, т.е. если в остатке получили 11, нужно записать его как B).

Пример ("деление уголком"): Переведем число 173 10 в восьмеричную систему счисления.

Таким образом, 173 10 =255 8

2 Перевод правильных десятичных дробей в любую другую систему счисления.

Число нужно умножить на новое основание системы счисления. Цифра, перешедшая в целую часть - старшая цифра дробной части нового числа. для получения следующей цифры дробную часть получившегося произведения опять нужно умножать на новое основание системы счисления, пока не произойдет переход в целую часть. Умножение продолжаем, пока дробная часть не станет равна нулю, либо пока не дойдем до указанной в задаче точности ("... вычислить с точностью, например, двух знаков после запятой").

Пример: Переведем число 0,65625 10 в восьмеричную систему счисления.

Когда занимаешься настройками сетей различного масштаба и каждый день сталкиваешься с вычислениями – то такого рода шпаргалки заводить не обязательно, все и так делается на безусловном рефлексе. Но когда в сетях ковыряешься очень редко, то не всегда вспомнишь какая там маска в десятичной форме для префикса 21 или же какой адрес сети при этом же префиксе. В связи с этим я и решил написать несколько маленьких статей-шпаргалок по переводом чисел в различные системы счислений, сетевым адресам, маскам и т.п. В это части пойдет речь о переводи чисел в различные системы счислений.

1. Системы счислений

Когда вы занимаетесь чем-то связанным с компьютерными сетями и ИТ, вы по любому столкнетесь с этим понятием. И как толковый ИТ-шник вам нужно разбираться в этом хотя бы чу-чуть даже если на практике вы это будете применять очень редко.
Рассмотрим перевод каждой цифры из IP-адреса 98.251.16.138 в следующие системы счислений:

• Двоичная
• Восьмеричная
• Десятичная
• Шестнадцатеричная

1.1 Десятичная

Так как цифры записаны в десятичной, перевод с десятичной в десятичную пропустим 🙂

1.1.1 Десятичная → Двоичная

Как мы знаем двоичная система счисления используется практически во всех современных компьютерах и многих других вычислительных устройствах. Система очень проста – у нас есть только 0 и 1.
Для преобразования числа с десятиной в двоичную форму нужно использовать деление по модулю 2 (т.е. целочисленное деление на 2) в результате чего мы всегда будем иметь в остатке либо 1, либо 0. При этом результат записываем справа налево. Пример все поставит на свои места:

Рисунок 1.1 – Перевод чисел из десятичной в двоичную систему

Рисунок 1.2 – Перевод чисел из десятичной в двоичную систему

Опишу деление числа 98. Мы делим 98 на 2, в результате имеем 49 и остаток 0. Далее продолжаем деление и делим 49 на 2, в результате имеем 24 с остатком 1. И таким же образом добираемся до 1-ки или 0-ка в делимом. Затем результат записываем справа налево.

1.1.2 Десятичная → Восьмеричная

Восьмеричная система – это целочисленная система счисления с основанием 8. Т.е. все числа в ней представлены диапазоном 0 – 7 и для перевода с десятичной системы нужно использовать деление по модулю 8.

Рисунок 1.3 – Перевод чисел из десятичной в восьмеричную систему

Деление аналогично 2-чной системе.

1.1.3 Десятичная → Шестнадцатеричная

Шестнадцатеричная система почти полностью вытеснила восьмеричную систему. У нее основание 16, но используются десятичные цифры от 0 до 9 + латинские буквы от A(число 10) до F(число 15). С ней вы сталкиваетесь каждый раз, когда проверяете настройки сетевого адаптера — это МАС-адрес. Так же, когда используется IPv6.

Рисунок 1.4 – Перевод чисел из десятичной в шестнадцатеричную систему

1.2 Двоичная

В предыдущем примере мы перевели все десятичные числа в другие системы счислений, одна из которых двоичная. Теперь переведем каждое число с двоичной формы.

1.2.1 Двоичная → Десятичная

Для перевода чисел с двоичной формы в десятичную нужно знать два нюанса. Первый – у каждого нолика и единички есть множитель 2 в n-й степени, при котором n увеличивается справа налево ровно на единичку. Второй – после перемножения все числа нужно сложить и мы получим число в десятичной форме. В итого у нас будет формула такого вида:

D = (a n × p n-1) + (a n-1 × p n-2) + (a n-2 × p n-3) +…, (1.2.1)

Где,
D – это число в десятичной форме, которое мы ищем;
n – количество символов в двоичном числе;
a – число в двоичной форме на n-й позиции (т.е. первый символ, второй, и т.п.);
p – коэффициент, равный 2,8 или 16 в степени n (в зависимости от системы счисления)

К примеру возьмем число 110102. Смотрим на формулу и записываем:

• Число состоит из 5 символов (n =5)

a 5 = 1, a 4 = 1, a 3 = 0, a 2 = 1, a 1 = 0

• p = 2 (так как переводим из двоичной в десятичную)

В итоге имеем:

D = (1 × 2 5-1) + (1 × 2 5-2) + (0 × 2 5-3) + (1 × 2 5-4) + (0 × 2 5-5) = 16 + 8 + 0 + 2 + 0 = 26 10

Кто привык записывать справа на лево, форму будет выглядеть так:

D = (0 × 2 5-5) + (1 × 2 5-4) + (0 × 2 5-3) + (1 × 2 5-2) + (1 × 2 5-1) = 0 + 2 + 0 + 8 + 16 = 26 10

Но, как мы знаем, от перестановки слагаемых сумма не меняется. Давайте теперь переведем наши числа в десятичную форму.

Рисунок 1.5 – Перевод чисел из двоичной в десятичную систему

1.2.2 Двоичная → Восьмеричная

При переводе нам нужно двоичное число разбить на группы по три символа справа налево. Если последняя группа не состоит из трех символов, то мы просто возмещаем недостающие биты ноликами. К примеру:

10101001 = 0 10 101 001

1011100 = 00 1 011 100

Каждая группа битов – это одно из восьмеричных чисел. Чтобы узнать какое, нужно использовать написанную выше формулу 1.2.1 для каждой группы битов. В результате мы получим.

Рисунок 1.6 – Перевод чисел из двоичной в восьмеричную систему

1.2.3 Двоичная → Шестнадцатеричная

Здесь нам нужно двоичное число разбивать на группы по четыре символа справа налево с последующим дополнением недостающих битов группы ноликами, как писалось выше. Если последняя группа состоит из ноликов, то их нужно игнорировать.

110101011 = 000 1 1010 1011

1011100 = 0 101 1100

001010000 = 00 0101 0000 = 0101 0000

Каждая группа битов – это одно из шестнадцатеричных чисел. Используем формулу 1.2.1 для каждой группы битов.

Рисунок 1.7 – Перевод чисел из двоичной в шестнадцатеричную систему

1.3 Восьмеричная

В этой системе у нас могут возникнуть сложности только при переводе в 16-ричную систему, так как остальной перевод проходит гладко.

1.3.1 Восьмеричная → Двоичная

Каждое число в восьмеричной системе – это группа из трех битов в двоичной системе, как писалось выше. Для перевода нам нужно воспользоваться табличкой-шпаргалкой:

Рисунок 1.8 – Шпора по переводу чисел из восьмеричной системы

Используя эту табличку переведем наши числа в двоичную систему.

Рисунок 1.9 – Перевод чисел из восьмеричной в двоичную систему

Немного опишу вывод. Первое число у нас 142, значит будет три группы по три бита в каждой. Юзаем шпору и видим, что цифра 1 это 001, цифра 4 это 100 и цифра 2 это 010. В результате имеем число 001100010.

1.3.2 Восьмеричная → Десятичная

Здесь мы используем формулу 1.2.1 только с коэффициентом 8 (т.е. p=8). В результате имеем

Рисунок 1.10 – Перевод чисел из восьмеричной в десятеричную систему

• Число состоит из 3 символов (n =3)

a 3 = 1, a 2 = 4, a 1 = 2

• p = 8 (так как переводим из восьмеричной в десятичную)

В результате имеем:

D = (1 × 8 3-1) + (4 × 8 3-2) + (2 × 8 3-3) = 64 + 32 + 2 = 98 10

1.3.3 Восьмеричная → Шестнадцатеричная

Как писалось раньше, для перевода нам нужно сначала перевести числа в двоичную систему, потом с двоичной в шестнадцатеричную, поделив на группы по 4-ре бита. Можно использовать следующею шпору.

Рисунок 1.11 – Шпора по переводу чисел из шестнадцатеричной системы

Эта табличка поможет перевести из двоичной в шестнадцатеричную систему. Теперь переведем наши числа.

Рисунок 1.12 – Перевод чисел из восьмеричной в шестнадцатеричную систему

1.4 Шестнадцатеричная

В этой системе та же проблема, при переводе в восьмеричную. Но об этом позже.

1.4.1 Шестнадцатеричная → Двоичная

Каждое число в шестнадцатеричной системе – это группа из четырех битов в двоичной системе, как писалось выше. Для перевода нам можно воспользоваться табличкой-шпаргалкой, которая находиться выше. В результате:

Рисунок 1.13 – Перевод чисел из шестнадцатеричной в двоичную систему

Возьмем первое число – 62. Используя табличку (рис. 1.11) мы видим, что 6 это 0110, 2 это 0010, в результате имеем число 01100010.

1.4.2 Шестнадцатеричная → Десятичная

Здесь мы используем формулу 1.2.1 только с коэффициентом 16 (т.е. p=16). В результате имеем

Рисунок 1.14 – Перевод чисел из шестнадцатеричной в десятеричную систему

Возьмем первое число. Исходя из формулы 1.2.1:

• Число состоит из 2 символов (n =2)

a 2 = 6, a 1 = 2

• p = 16 (так как переводим из шестнадцатеричной в десятичную)

В результате имеем.

D = (6 × 16 2-1) + (2 × 16 2-2) = 96 + 2 = 98 10

1.4.3 Шестнадцатеричная → Восьмеричная

Для перевода в восьмеричную систему нужно сначала перевести в двоичную, затем разбить на группы по 3-и бита и воспользоваться табличкой (рис. 1.8). В результате:

Рисунок 1.15 – Перевод чисел из шестнадцатеричной в восьмеричную систему

В пойдет речь о IP-адресах, масках и сетях.

Запишите число в двоичной системе счисления, а степени двойки справа налево. Например, мы хотим преобразовать двоичное число 10011011 2 в десятичное. Сначала запишем его. Затем запишем степени двойки справа налево. Начнем с 2 0 , что равно "1". Увеличиваем степень на единицу для каждого следующего числа. Останавливаемся, когда число элементов в списке равно числу цифр в двоичном числе. Наше число для примера, 10011011, включает в себя восемь цифр, поэтому список из восьми элементов будет выглядеть так: 128, 64, 32, 16, 8, 4, 2, 1

Запишите цифры двоичного числа под соответствующими степенями двойки. Теперь просто запишите 10011011 под числами 128, 64, 32, 16, 8, 4, 2, и 1, с тем чтобы каждая двоичная цифра соответствовала своей степени двойки. Самая правая "1" двоичного числа должна соответствовать самой правой "1" из степеней двоек, и так далее. Если вам удобнее, вы можете записать двоичное число над степенями двойки. Самое важное – чтобы они соответствовали друг другу.

Соедините цифры в двоичном числе с соответствующими степенями двойки. Нарисуйте линии (справа налево), которые соединяют каждую последующую цифру двоичного числа со степенью двойки, находящейся над ней. Начните построение линий с соединения первой цифры двоичного числа с первой степенью двойки над ней. Затем нарисуйте линию от второй цифры двоичного числа ко второй степени двойки. Продолжайте соединять каждую цифру с соответствующей степенью двойки. Это поможет вам визуально увидеть связь между двумя различными наборами чисел.

Запишите конечное значение каждой степени двойки. Пройдитесь по каждой цифре двоичного числа. Если эта цифра 1, запишите соответствующую степень двойки под цифрой. Если эта цифра 0, запишите под цифрой 0.

• Так как "1" соответствует "1", она остается "1". Так как "2" соответствует "1", она остается "2". Так как "4" соответствует "0", она становится "0". Так как "8" соответствует "1", она становится "8", и так как "16" соответствует "1" она становится "16". "32" соответствует "0" и становится "0", "64" соответствует "0" и поэтому становится "0", в то время как "128" соответствует "1" и становится 128.

Сложите получившиеся значения. Теперь сложите получившиеся под линией цифры. Вот что вы должны сделать: 128 + 0 + 0 + 16 + 8 + 0 + 2 + 1 = 155. Это десятичный эквивалент двоичного числа 10011011.

Запишите ответ вместе с нижним индексом, равным системе счисления. Теперь все, что вам осталось сделать – это записать 155 10 , чтобы показать, что вы работаете с десятичным ответом, который оперирует степенями десятки. Чем больше вы будете преобразовывать двоичные числа в десятичные, тем проще вам будет запомнить степени двойки, и тем быстрее вы сможете выполнять данную задачу.

Используйте данный метод, чтобы преобразовать двоичное число с десятичной точкой в десятичную форму. Вы можете использовать данный метод даже если вы хотите преобразовать двоичное число, такое как 1.1 2 в десятичное. Все, что вам необходимо знать – это то, что число в левой части десятичного числа – это обычное число, а число в правой части десятичного числа – это число "делений надвое", или 1 x (1/2).

• "1" слева от десятичного числа соответствует 2 0 , или 1. 1 справа от десятичного числа соответствует 2 -1 , или.5. Сложите 1 и.5 и вы получите 1.5, которое является эквивалентом 1.1 2 в десятичном виде.

Для перевода чисел из десятичной с/с в любую другую, необходимо делить десятичное число на основание системы, в которую переводят, сохраняя при этом остатки от каждого деления. Результат формируется справа налево. Деление продолжается до тех пор, пока результат деления не станет меньше делителя.

Калькулятор переводит числа из одной системы счисления в любую другую. Он может переводить числа из двоичной в десятичную или из десятичной в шестнадцатеричную, показывая подробный ход решения. Вы с легкостью можете перевести число из троичной в пятеричную или даже из семеричной в семнадцатеричную. Калькулятор умеет переводить числа из любой системы счисления в любую другую.

Онлайн калькулятор: Перевод чисел из одной системы счисления в любую другую онлайн

Входные данные

Введите число:

Его система счисления Двоичная Троичная Восьмеричная Десятичная Шестнадцатиричная Двоично-десятичная Другая По триадам По тетрадам Какая? (число)

Перевести в Двоичную Троичную Восьмеричную Десятичную Шестнадцатиричную Двоично-десятичную Другую Какая? (число)

Способы перевода чисел из одной системы счисления в другую

В программу ЕГЭ по информатике входят несколько задач, связанных с переводом чисел из одной системы в другую. Как правило, это преобразование между 8- и 16-ричными системами и двоичной. Это разделы А1 , В11 . Но есть и задачи с другими системами счисления, как например, в разделе B7 .

Для начала напомним две таблицы, которые хорошо бы знать наизусть тем, кто выбирает информатику своей дальнейшей профессией.

Таблица степеней числа 2:

2 1	2 2	2 3	2 4	2 5	2 6	2 7	2 8	2 9	2 10
2	4	8	16	32	64	128	256	512	1024

Она легко получается умножением предыдущего числа на 2 . Так, что если помните не все эти числа, остальные нетрудно получить в уме из тех, которые помните.

Таблица двоичных чисел от 0 до 15 c 16-ричным представлением:

0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
0000	0001	0010	0011	0100	0101	0110	0111	1000	1001	1010	1011	1100	1101	1110	1111
0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F

Недостающие значения тоже нетрудно вычислить, прибавляя по 1 к известным значениям.

Арифметические операции в двоичной системе счисления

При сложении двух чисел, равных 1, в данном разряде получается 0, а 1-ца переносится в старший разряд.

Перевод целых чисел

Итак, начнем с перевода сразу в двоичную систему. Возьмём то же число 810 10 . Нам нужно разложить это число на слагаемые, равные степеням двойки.

1. Ищем ближайшую к 810 степень двойки, не превосходящую его. Это 2 9 = 512 .
2. Вычитаем 512 из 810 , получаем 298 .
3. Повторим шаги 1 и 2 , пока не останется 1 или 0 .
4. У нас получилось так: 810 = 512 + 256 + 32 + 8 + 2 = 2 9 + 2 8 + 2 5 + 2 3 + 2 1 .

Далее есть два способа, можно использовать любой из них. Как легко увидеть, что в любой системе счисления её основание всегда 10 . Квадрат основания всегда будет 100 , куб 1000 . То есть степень основания системы счисления - это 1 (единица), и за ней столько нулей, какова степень.

Способ 1 : Расставить 1 по тем разрядам, какие получились показатели у слагаемых. В нашем примере это 9, 8, 5, 3 и 1. В остальных местах будут стоять нули. Итак, мы получили двоичное представление числа 810 10 = 1100101010 2 . Единицы стоят на 9-м, 8-м, 5-м, 3-м и 1-м местах, считая справа налево с нуля.

Способ 2 : Распишем слагаемые как степени двойки друг под другом, начиная с большего.

810 =

А теперь сложим эти ступеньки вместе, как складывают веер: 1100101010 .

Вот и всё. Попутно также просто решается задача «сколько единиц в двоичной записи числа 810?».

Ответ - столько, сколько слагаемых (степеней двойки) в таком его представлении. У 810 их 5.

Теперь пример попроще.

Переведём число 63 в 5-ричную систему счисления. Ближайшая к 63 степень числа 5 - это 25 (квадрат 5). Куб (125) будет уже много. То есть 63 лежит между квадратом 5 и кубом. Тогда подберем коэффициент для 5 2 . Это 2.

Получаем 63 10 = 50 + 13 = 50 + 10 + 3 = 2 * 5 2 + 2 * 5 + 3 = 223 5 .

Ну и, наконец, совсем лёгкие переводы между 8- и 16-ричными системами. Так как их основанием является степень двойки, то перевод делается автоматически, просто заменой цифр на их двоичное представление. Для 8-ричной системы каждая цифра заменяется тремя двоичными разрядами, а для 16-ричной четырьмя. При этом все ведущие нули обязательны, кроме самого старшего разряда.

Переведем в двоичную систему число 547 8 .

547 8 =	101	100	111
	5	4	7

Ещё одно, например 7D6A 16 .

7D6A 16 =	(0)111	1101	0110	1010
	7	D	6	A

Переведем в 16-ричную систему число 7368. Сначала цифры запишем тройками, а потом поделим их на четверки с конца: 736 8 = 111 011 110 = 1 1101 1110 = 1DE 16 . Переведем в 8-ричную систему число C25 16 . Сначала цифры запишем четвёрками, а потом поделим их на тройки с конца: C25 16 = 1100 0010 0101 = 110 000 100 101 = 6045 8 . Теперь рассмотрим перевод обратно в десятичную. Он труда не представляет, главное не ошибиться в расчётах. Раскладываем число на многочлен со степенями основания и коэффициентами при них. Потом всё умножаем и складываем. E68 16 = 14 * 16 2 + 6 * 16 + 8 = 3688 . 732 8 = 7 * 8 2 + 3*8 + 2 = 474 .

Перевод отрицательных чисел

Здесь нужно учесть, что число будет представлено в дополнительном коде. Для перевода числа в дополнительный код нужно знать конечный размер числа, то есть во что мы хотим его вписать - в байт, в два байта, в четыре. Старший разряд числа означает знак. Если там 0 , то число положительное, если 1 , то отрицательное. Слева число дополняется знаковым разрядом. Беззнаковые (unsigned ) числа мы не рассматриваем, они всегда положительные, а старший разряд в них используется как информационный.

Для перевода отрицательного числа в двоичный дополнительный код нужно перевести положительное число в двоичную систему, потом поменять нули на единицы и единицы на нули. Затем прибавить к результату 1 .

Итак, переведем число -79 в двоичную систему. Число займёт у нас один байт.

Переводим 79 в двоичную систему, 79 = 1001111 . Дополним слева нулями до размера байта, 8 разрядов, получаем 01001111 . Меняем 1 на 0 и 0 на 1 . Получаем 10110000 . К результату прибавляем 1 , получаем ответ 10110001 .

Попутно отвечаем на вопрос ЕГЭ «сколько единиц в двоичном представлении числа -79 ?».

Ответ - 4 .

Прибавление 1 к инверсии числа позволяет устранить разницу между представлениями +0 = 00000000 и -0 = 11111111 . В дополнительном коде они будут записаны одинаково 00000000.

Перевод дробных чисел

Дробные числа переводятся способом, обратным делению целых чисел на основание, который мы рассмотрели в самом начале. То есть при помощи последовательного умножения на новое основание с собиранием целых частей. Полученные при умножении целые части собираются, но не участвуют в следующих операциях. Умножаются только дробные. Если исходное число больше 1 , то целая и дробная части переводятся отдельно, потом склеиваются.

Переведем число 0,6752 в двоичную систему.

0	,6752
	*2
1	,3504
	*2
0	,7008
	*2
1	,4016
	*2
0	,8032
	*2
1	,6064
	*2
1	,2128

Процесс можно продолжать долго, пока не получим все нули в дробной части или будет достигнута требуемая точность. Остановимся пока на 6-м знаке.

Получается 0,6752 = 0,101011 .

Если число было 5,6752 , то в двоичном виде оно будет 101,101011 .

В вашем браузере отключен Javascript.
Чтобы произвести расчеты, необходимо разрешить элементы ActiveX!

Замечание 1

Если вы хотите перевести число из одной системы счисления в другую, то удобнее для начала перевести его в десятичную систему счисления, и уже только потом из десятичной перевести в любую другую систему счисления.

Правила перевода чисел из любой системы счисления в десятичную

В вычислительной технике, использующей машинную арифметику, большую роль играет преобразование чисел из одной системы счисления в другую. Ниже приведем основные правила таких преобразований (переводов).

При переводе двоичного числа в десятичное требуется представить двоичное число в виде многочлена , каждый элемент которого представлен в виде произведения цифры числа и соответствующей степени числа основания, в данном случае $2$, а затем нужно вычислить многочлен по правилам десятичной арифметики:

$X_2=A_n \cdot 2^{n-1} + A_{n-1} \cdot 2^{n-2} + A_{n-2} \cdot 2^{n-3} + ... + A_2 \cdot 2^1 + A_1 \cdot 2^0$

Рисунок 1. Таблица 1

Пример 1

Число $11110101_2$ перевести в десятичную систему счисления.

Решение. Используя приведенную таблицу $1$ степеней основания $2$, представим число в виде многочлена:

$11110101_2 = 1 \cdot 27 + 1 \cdot 26 + 1 \cdot 25 + 1 \cdot 24 + 0 \cdot 23 + 1 \cdot 22 + 0 \cdot 21 + 1 \cdot 20 = 128 + 64 + 32 + 16 + 0 + 4 + 0 + 1 = 245_{10}$

Для перевода числа из восьмеричной системы счисления в десятичную требуется представить его в виде многочлена, каждый элемент которого представлен в виде произведения цифры числа и соответствующей степени числа основания, в данном случае $8$, а затем нужно вычислить многочлен по правилам десятичной арифметики:

$X_8 = A_n \cdot 8^{n-1} + A_{n-1} \cdot 8^{n-2} + A_{n-2} \cdot 8^{n-3} + ... + A_2 \cdot 8^1 + A_1 \cdot 8^0$

Рисунок 2. Таблица 2

Пример 2

Число $75013_8$ перевести в десятичную систему счисления.

Решение. Используя приведенную таблицу $2$ степеней основания $8$, представим число в виде многочлена:

$75013_8 = 7\cdot 8^4 + 5 \cdot 8^3 + 0 \cdot 8^2 + 1 \cdot 8^1 + 3 \cdot 8^0 = 31243_{10}$

Для перевода числа из шестнадцатеричной системы счисления в десятичную необходимо его представить в виде многочлена, каждый элемент которого представлен в виде произведения цифры числа и соответствующей степени числа основания, в данном случае $16$, а затем нужно вычислить многочлен по правилам десятичной арифметики:

$X_{16} = A_n \cdot 16^{n-1} + A_{n-1} \cdot 16^{n-2} + A_{n-2} \cdot 16^{n-3} + ... + A_2 \cdot 16^1 + A_1 \cdot 16^0$

Рисунок 3. Таблица 3

Пример 3

Число $FFA2_{16}$ перевести в десятичную систему счисления.

Решение. Используя приведенную таблицу $3$ степеней основания $8$, представим число в виде многочлена:

$FFA2_{16} = 15 \cdot 16^3 + 15 \cdot 16^2 + 10 \cdot 16^1 + 2 \cdot 16^0 =61440 + 3840 + 160 + 2 = 65442_{10}$

Правила перевода чисел из десятичной системы счисления в другую

• Для перевода числа из десятичной системы счисления в двоичную его необходимо последовательно делить на $2$ до тех пор, пока не останется остаток, меньший или равный $1$. Число в двоичной системе представить как последовательность последнего результата деления и остатков от деления в обратном порядке.

Пример 4

Число $22_{10}$ перевести в двоичную систему счисления.

Решение:

Рисунок 4.

$22_{10} = 10110_2$

• Для перевода числа из десятичной системы счисления в восьмеричную его необходимо последовательно делить на $8$ до тех пор, пока не останется остаток, меньший или равный $7$. Число в восьмеричной системе счисления представить как последовательность цифр последнего результата деления и остатков от деления в обратном порядке.

Пример 5

Число $571_{10}$ перевести в восьмеричную систему счисления.

Решение:

Рисунок 5.

$571_{10} = 1073_8$

• Для перевода числа из десятичной системы счисления в шестнадцатеричную систему его необходимо последовательно делить на $16$ до тех пор, пока не останется остаток, меньший или равный $15$. Число в шестнадцатеричной системе представить как последовательность цифр последнего результата деления и остатков от деления в обратном порядке.

Пример 6

Число $7467_{10}$ перевести в шестнадцатеричную систему счисления.

Решение:

Рисунок 6.

$7467_{10} = 1D2B_{16}$

Для того чтобы перевести правильную дробь из десятичной системы счисления в недесятичную, необходимо дробную часть преобразуемого числа последовательно умножить на основание той системы, в которую ее требуется перевести. Дробь в новой системе будет представлена в виде целых частей произведений, начиная с первого.

Например: $0,3125_{(10)}$ в восьмеричной системе счисления будет выглядеть как $0,24_{(8)}$.

В данном случае можно столкнуться с проблемой, когда конечной десятичной дроби может соответствовать бесконечная (периодическая) дробь в недесятичной системе счисления. В данном случае количество знаков в дроби, представленной в новой системе, будет зависеть от требуемой точности. Также нужно отметить, что целые числа остаются целыми, а правильные дроби - дробями в любой системе счисления.

Правила перевода чисел из двоичной системы счисления в другую

• Чтобы перевести число из двоичной системы счисления в восьмеричную, его необходимо разбить на триады (тройки цифр), начиная с младшего разряда, в случае необходимости дополнив старшую триаду нулями, затем каждую триаду заменить соответствующей восьмеричной цифрой согласно таблице 4.

Рисунок 7. Таблица 4

Пример 7

Число $1001011_2$ перевести в восьмеричную систему счисления.

Решение . Используя таблицу 4, переведем число из двоичной системы счисления в восьмеричную:

$001 001 011_2 = 113_8$

• Чтобы перевести число из двоичной системы счисления в шестнадцатеричную, его следует разбить на тетрады (четверки цифр), начиная с младшего разряда, в случае необходимости дополнив старшую тетраду нулями, затем каждую тетраду заменить соответствующей восьмеричной цифрой согласно таблице 4.