Априорная вероятность. Функционирование систем вероятностной диагностики

Искомое нами преобразование можно описать следующим образом:
, где

P(x|z) - апостериорная вероятность (wiki);
P(z|x) - функция правдоподобия (зависит от данных, т.е. текущего изображения);
P(x) - априорная вероятность (не зависит от данных).
Фактически, проблему поиска лучшего разделения можно сформулировать таким образом:
(это формула и выражает MAP), или, что тоже самое
, где
E(x) - энергия изображения.
Рассмотрим каждую часть отдельно.

Функция правдоподобия

Данная функция при x = 0 или x = 1 показывает, относится ли текущий пиксель z к нужной нам области изображения. На рисунке справа можно это увидеть.
        Для улучшения результата нам необходимо найти максимум:

        В результате должно получиться следующее:

Априорная вероятность

Этот параметр позволяет учитывать и соседние пиксели при сегментации. Соединим текущий пиксель с его соседями по вертикали и горизонтали. Тогда:
, где

- функция разделения;

- «Ising prior» (априорная вероятность Изинга, по подсказке yuriv).
При этом всем

Апостериорная вероятность

При определении данного слагаемого воспользуемся распределением Гиббса (wiki):
, где

Энергия изображения, где первое слагаемое - значение энергии текущего пикселя самого по себе, а второе - суммарное значение с соседом; w - некий вес, значение которого определяется экспериментально;

Функция правдоподобия;

Априорная вероятность.
Фух, осталось совсем чуть-чуть, самое главное.

Минимизация энергии

Как мы установили в самом начале, минимум энергии соответствует MAP. В этом случае:

(искомый минимум энергии)

Результаты

«Что это было и, главное, ЗАЧЕМ?!», спросит читатель. Вот что в итоге может получиться, с указанием разных значений веса w:

Выводы

Особая прелесть данного метода заключается в том, что формулы энергии мы можем задавать любые. Например, можно добиться выделения на изображении исключительно прямых линий, точек пересечения определенного числа прямых/кривых и многое другое. Кстати, любой счастливый обладатель MS Office 2010 может пощупать описанную технологию. Достаточно использовать инструмент Background Removal.
        Спасибо за внимание!

Уголок копирайтера

Все использованные изображения взяты из работ Carsten Rother. Формулы построены при помощи онлайн

Случайное событие оценивают числом, определяющим интенсивность проявления этого события. Это число называют вероятностью события P() . Вероятность элементарного события – . Вероятность события есть численная мера степени объективности, возможности этого события. Чем больше вероятность, тем более возможно событие.

Любое событие, совпадающее со всем пространством исходов S , называетсядостоверным событием , т.е. таким событием, которое в результате эксперимента обязательно должно произойти (например, выпадение любого числа очков от 1 до 6 на игральной кости). Если событие не принадлежит множествуS , то оно считаетсяневозможным (например, выпадение числа очков, большего 6, на игральной кости). Вероятность невозможного события равна 0, вероятность достоверного события равна 1. Все остальные события имеют вероятность от 0 до 1.

События Е иназываютсяпротивоположными , еслиЕ наступает тогда, когда не наступает. Например, событиеЕ – «выпадение четного числа очков», тогда событие– «выпадение нечетного числа очков». Два событияЕ 1 иЕ 2 называютсянесовместными , если не существует никакого исхода, общего для обоих событий.

Для определения вероятностей случайных событий используют непосредственные или косвенные способы. При непосредственном подсчете вероятности различают априорную и апостериорную схемы подсчетов, когда проводят наблюдения (опыты) или априорно подсчитывают число опытовm , в которых событие проявилось, и общее число произведенных опытовn . Косвенные способы основываются на аксиоматической теории. Поскольку события определяются как множества, то над ними можно совершать все теоретико-множественные операции. Теория множеств, функциональный анализ были предложены академиком А.Н. Колмогоровым и составили основу аксиоматической теории вероятности. Приведем аксиомы вероятностей.

Аксиома I . Поле событий F (S ) является алгеброй множеств .

Эта аксиома указывает на аналогию теории множеств и теории вероятности.

Аксиома II . Каждому множеству из F (S ) поставлено в соответствие действительное число P(), называемое вероятностью события :

при условии S 1 S 2 = (для несовместных событийS 1 иS 2 ), или для множества несовместных событий

где N – количество элементарных событий (возможных исходов).

Вероятность случайного события

,

где– вероятности элементарных событий, входящих в подмножество.

Пример 1.1. Определить вероятность выпадения каждого числа при бросании игральной кости, выпадения четного числа, числа4 .

Решение . Вероятность выпадения каждого числа из множества

S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
1/6.

Вероятность выпадения четного числа, т.е.
={2, 4, 6}, исходя из (1.6) будетP(
) = 1/6 + 1/6 + 1/6 = 3/6 = 1/2 .

Вероятность выпадения числа 4 , т.е.
= {4, 5, 6 } ,

P(
) = 1/6 + 1/6 + 1/6 = 3/6 = 1/2.

Задания для самостоятельной работы

1. В корзине 20 белых, 30 черных и 50 красных шаров. Определите вероятность того, что первый вынутый из корзинки шар будет белым; черным; красным.

2. В студенческой группе 12 юношей и 10 девушек. Какова вероятность того, что на семинаре по теории вероятности будут отсутствовать: 1) юноша; 2) девушка; 3) два юноши?

3. В течение года 51 день отличался тем, что в эти дни шел дождь (или снег). Какова вероятность того, что вы рискуете попасть под дождь (или снег): 1) отправляясь на работу; 2) отправляясь в поход на 5 дней?

4. Составьте задачу на тему данного задания и решите ее.

1.1.3. Определение апостериорной вероятности (статистической вероятности или частоты

случайного события)

При априорном определении вероятности предполагалось, что равновероятны. Это далеко не всегда соответствует действительности, чаще бывает, что
при
. Допущение
приводит к ошибке в априорном определенииP() по установленной схеме. Для определения, а в общем случаеP() проводят целенаправленные испытания. В ходе проведения таких испытаний (например, результаты испытаний в примерах 1.2, 1.3) при различном состоянии разнообразных условий, воздействий, причинных факторов, т.е. в различныхслучаях, могут возникнуть различныеисходы (различные проявления сведений исследуемого объекта).Каждый исход испытаний соответствует одному элементу или одному подмножеству множества S .Если определять m как число благоприятных событию А исходов, полученных в результате n испытаний, то апостериорная вероятность (статистическая вероятность или частота случайного события А )

На основании закона больших чисел для A

, n   ,

т.е. при увеличении числа испытаний частота случайного события (апостериорная, или статистическая, вероятность) стремится к вероятности этого события.

Пример 1.2. Определенная по схеме случаев вероятность выпадения решки при подбрасывании монеты равна 0,5. Требуется подбросить монету 10, 20, 30 ... раз и определить частоту случайного события решка после каждой серии испытаний.

Решение . К. Пуассон подбрасывал монету 24000 раз, при этом решка выпадала 11998 раз. Тогда по формуле (1.7) вероятность выпадения решки

.

Задания для самостоятельной работы

На основании большого статистического материала (n   ) были получены значения вероятностей появления отдельных букв русского алфавита и пробела () в текстах, которые приведены в табл.1.1.

Таблица 1.1. Вероятность появления букв алфавита в тексте

Возьмите страницу любого текста и определите частоту появления различных букв на этой странице. Увеличьте объем испытаний до двух страниц. Полученные результаты сравните с данными таблицы. Сделайте вывод.

При стрельбе по мишеням был получен следующий результат (см. табл.1.2).

Таблица 1.2. Результат стрельбы по мишеням

Какова вероятность того, что цель была бы поражена с первого выстрела, если бы по своим размерам она была меньше «десятки», «девятки» и т.д.?

3. Спланируйте и проведите аналогичные испытания для других событий. Представьте их результаты.

Вопрос № 38. Полная группа событий. Формула полной вероятности. Формулы Байеса.

Двух событий. Независимость в совокупности. Формулировка теоремы умножения в этом случае.

Вопрос № 37. Условная вероятность. Теорема умножения. Определение независимости

Условная вероятность - вероятность одного события при условии, что другое событие уже произошло.

P(А│В)= р(АВ)/ р(В)

Условная вероятность отражает влияние одного события на вероятность другого.

Теорема умножения.

Вероятность произведения событий определяется формулой Р(А 1 ,А 2 ,….А n)= Р(А 1)Р(А 2/ А 1) …Р(А n / А 1 А 2… А n -1)

Для произведения двух событий отсюда следует, что

Р(АВ)=Р(А/В)Р{B)=Р(В/А)Р{А)

Если одно событие не зависит от другого, если появление одного из них не влияет на вероятность появления другого, то последнее также не зависит от первого. Это дает полное основания называть такие события независимыми. Математически независимость означает, что условная вероятность некоторого события совпадает с его вероятностью (безусловной вероятностью).

1.Говорят что событие А не зависит от события В если

P(А│В)=Р(А)

Если событие А не зависит от события В то и событие В не зависит от события А.

2.Если события А и В независимы то Р(АВ)=Р(А)Р(В)-это равенство используется для определения независимых событий.

Следует различать попарную независимость событий и независимость в совокупности.

События А1,А2,….Аn называются независимыми в совокупности если они попарно независимы и каждое из них не зависит от произведения любого набора из остальных событий.

Если события А1,А2,….Аn независимы в совокупности то

Р(А 1 ,А 2 ,….А n)=Р(А 1)Р(А 2)…Р(А n).

В каждой группе какое-либо событие в результате испытания обязательно произойдет, причем появление одного из них исключает появление всех остальных. Такие события называются полной группой событий.

Определение: Если группа событий такова, что в результате испытания обязательно должно произойти хотя бы одно из них, и любые два из них несовместны, то эта группа событий называется полной группой.

Каждое событие из полной группы называется элементарным событием. Каждое элементарное событие - равновозможное, т.к. нет оснований считать, что какое-либо из них более возможное, чем любое другое событие полной группы.

Два противоположных события составляют полную группу.

Относительной частотой события А называется отношение числа опытов, в результате которых произошло событие А к общему числу опытов.

Отличие относительной частоты от вероятности заключается в том, что вероятность вычисляется без непосредственного произведения опытов, а относительная частота – после опыта.

Формула полной вероятности

(где А – некоторое событие, Н1, Н2 … Hi – попарно несовместимы, образубт полную группу, причем А может произойти вместе с H1, H2 Hi)

P(A)=P(A|H 1) P(H 1)+P(A|H 2)P(H 2)+P(A|H 3)P(H 3)+…+P(A|H n)P(H n)

Формула Байеса

Р(Нi |A)=

Замечание. События Нi называют гипотезами вероятности, р(Нi) – априорными вероятностями гипотез Нi, а вероятности Р(Нi/А) – апостериорными вероятностями гипотез Нi

Пусть известен результат опыта, а именно то, что произошло событие А. Этот факт может изменить априорные (то есть известные до опыта) вероятности гипотез. Для переоценки вероятностей гипотез при известном результате опыта используется формула Байеса:

Пример. После двух выстрелов двух стрелков, вероятности попаданий которых равны 0,6 и 0,7, в мишени оказалась одна пробоина. Найти вероятность того, что попал первый стрелок.

Решение. Пусть событие А – одно попадание при двух выстрелах,

а гипотезы: Н1 – первый попал, а второй промахнулся,

Н2 – первый промахнулся, а второй попал,

Н3 – оба попали,

Н4 – оба промахнулись.

Вероятности гипотез:

р(Н1) = 0,6·0,3 = 0,18,

р(Н2) = 0,4·0,7 = 0,28,

р(Н3) = 0,6·0,7 = 0,42,

р(Н4) = 0,4·0,3 = 0,12.

Тогда р(А/Н1) = р(А/Н2) = 1,

р(А/Н3) = р(А/Н4) = 0.

Следовательно, полная вероятность р(А) = 0,18·1 + 0,28·1 + 0,42·0 + 0,12·0 = 0,46.

Формула полной вероятности позволяет вычислить вероятность интересующего события через условные вероятности этого события в предположении неких гипотез, а также вероятностей этих гипотез.

Определение 3.1. Пусть событие А может произойти только совместно с одним из событий Н1, Н2,…, Нп, образующих полную группу несовместных событий. Тогда события Н1, Н2,…, Нп называются гипотезами.

Теорема 3.1. Вероятность события А, наступающего совместно с гипотезами Н1, Н2,…, Нп, равна:

где p(Hi) – вероятность i- й гипотезы, а p(A/Hi) – вероятность события А при условии реализации этой гипотезы. Формула (P(A)= ) носит название формулы полной вероятности

Вопрос № 39. Схема Бернулли. Вероятность m успехов в серии из n испытаний

Игнорирование априорной вероятности (base rate neglect), или как ее еще называют, ошибка априорной вероятности (base rate fallacy) - это когнитивное искажение (cognitive bias), приводящее к ошибкам в оценке вероятности, в частности, вероятности того, является ли человек носителем того или иного свойства или относится ли он к той или иной категории.

Нужно сказать, что английские слова «base rate» обозначают не априорную вероятность, а распространенность явления, качества (например, заболевания), в генеральной совокупности. Априорная же вероятность обозначается в английском языке термином «prior probability». Но в случае рассматриваемого когнитивного искажения понятия «base rate» и «prior probability» синонимичны.

А теперь давайте сразу перейдем к конкретике, решив следующую задачу.

В племени Мумба-Юмба 1% его членов имеют редкую наследственную болезнь, назовем ее «белемнит».

У Вас есть прибор, который в 80% случаев обнаруживает белемнит у больного, но в 10% случаев обнаруживает белемнит у здорового.

Вы обследовали человека, и прибор показал, что у него белемнит.

Какова вероятность того, что у этого человека на самом деле белемнит.

Если Вы ответили 80%, то это не удивительно: большинство участников экспериментов на игнорирование априорной вероятности отвечают также. Причем такая ситуация наблюдается не только в экспериментах, но и в реальной жизни, в частности, у реальных практикующих врачей.

Но дело в том, что ответ 80% - неверный, он как раз и демонстрирует игнорирование априорной вероятности. Так что давайте разбираться.

Допустим, в племени белемнитов всего 1000 человек. Получается, что больных белемнитом - 10 человек (1% от 1000). Из этих 10 прибор обнаружит белемнит у 8 человек (80% от 10). Но проблема в том, что он обнаружит белемнит и у здоровых людей, т.е. у 10% из 990. Но 10% от 990 - это 99 человек. Получается, что из 107 человек (99+8), которым прибор поставил диагноз «белемнит», эта болезнь реально есть только у 8. Это означает, что вероятность того, что у Вашего подопытного, действительно, белемнит, составляет 8/107*100% = 7,47%. Это намного меньше, чем 80%, правда же?

(Приведенное решение является упрощенным и иллюстративным).

Рассмотрим эту же ситуацию с помощью кругов Эйлера (диаграмм Венна).

На рисунке большая окружность - это все племя Мумба-Юмба, а маленькая окружность - это члены племени, больные белемнитом.

А теперь мы проводим еще одну окружность, показывающую, какой части членов племени прибор поставил диагноз «белемнит».

Давайте рассмотрим детальнее получившиеся области, выделив их разными цветами.

• зеленая область - это больные, у которых болезнь есть, и она выявлена;
• фиолетовая область - это больные, у которых болезнь есть, но не выявлена (ложноотрицательный ответ);
• красная область - это здоровые люди, у которых болезнь выявлена ошибочно (ложноположительный ответ).

Этот пример не просто выдуман, он отражает реальную ситуацию с медицинскими диагнозами. Например, при использовании маммографии врачи игнорируют априорную вероятность рака груди у женщин и ориентируются только на показатели маммографа. На самом деле, таких примеров множество, а игнорирование априорной вероятности присуще врачам не в меньшей степени, чем всем людям.

Необходимо подчеркнуть, что игнорирование априорной вероятности наблюдается не только в ситуациях приборной диагностики. Так, например, на мой взгляд, многие случаи обнаружения человеком у себя редких и экзотических болезней объясняются игнорированием априорной вероятности: человек читает описания симптомов, находит их у себя, но не учитывает, что болезнь слишком редка, чтобы ей заболеть.

Со мной произошел подобный случай, когда я был подростком. Тогда я прочитал какую-то народную медицинскую энциклопедию и по симптомам обнаружил у себя трахому (мне показалось, что мои ресницы растут неровно, выпадают, кроме того на склере одного из глаз у меня было некое новообразование). Лекарством от трахомы, которое описывалось в этой энциклопедии, было промывание глаз лимонным соком. К счастью, я успел покапать в глаза лимонный сок (это, кстати, очень неприятная процедура!) всего несколько раз до того, как на приеме окулиста услышал ключевую вещь: трахома на территории РФ давно побеждена (еще в советское время), т.е. априорная вероятность заболеть трахомой составляет 0%.

(Отдельное спасибо издателям, распространяющим книги о здоровье с глубоко устаревшей информацией…).

Игнорирование априорной вероятности проявляется, конечно, не только в связи с вопросами медицины и здоровья. Так, наши суждения о людях тоже оказываются неверными из-за игнорирования априорной вероятности. Например, для бабушек, сидящих у подъезда, любая накрашенная девушка в короткой юбке относится к категории девушек легкого поведения. Можно предположить, что суждения бабушек неверны, поскольку по-настоящему легким является поведение только подавляющего меньшинства девушек (мы можем обоснованно это предположить, хотя бы исходя из того, что накраситься и надеть короткую юбку гораздо проще, чем на самом деле вести себя легко).

Поэтому прежде чем относить человека к той или иной категории или приписывать ему то или иное качество, нужно выяснить, насколько широко распространена эта категория и насколько часто встречается это качество.

Конечно, часто проблема состоит в том, что мы не обладаем достоверной информацией об априорной вероятности. Но это, как говориться, уже совсем другая история…

И в заключение хочу отметить, что внимательный читатель должен был обнаружить определенную связь между таким когнитивным искажением как игнорирование априорной вероятности и таким искажением как ошибка конъюнкции (cunjunction fallacy). И это не удивительно: оба этих искажения порождаются эвристикой репрезентативности и даже относятся к одной и той же категории когнитивных искажений - к так называемому игнорированию распространенности (extension neglect).

Думай медленно… решай быстро / Даниэль Канеман. - Москва: АСТ, 2014. - 653 с.

С7 В этом современном виде теорема Байеса была на самом деле сформулирована Лапласом. Томасу Байесу принадлежит сама постановка задачи . Он сформулировал ее как обратную известной задаче Бернулли. Если Бернулли искал вероятность различных исходов бросания "кривой" монеты, то Байес, наоборот, стремился определить степень этой "кривизны" по эмпирически наблюдаемым исходам бросания монеты. В его решении отсутствовала априорная вероятность.  

Хотя правило выглядит очень простым, применить его на практике оказывается трудно, так как бывают неизвестны апостериорные вероятности (или даже значения упрощенных решающих функций). Их значения можно оценить. В силу теоремы Байеса апостериорные вероятности можно выразить через априорные вероятности и функции плотности по формуле Р С, Iх = Р С, (Р(х I С, / Р Су Р хI С,  

Оценивая результаты классификации по методу MDA, мы видим значительную долю ошибочных решений по компаниям-банкротам (группа 1) - одной из них кредит был бы предоставлен. Фирмы с неясным положением (группа 2) с трудом поддаются правильной классификации, потому что, в конечном итоге, они могут попасть в 1-ю или 3-ю группу. Дело нельзя улучшить, приводя априорные вероятности в соответствие с представлениями банка о вероятности принадлежности фирмы различным группам. Общий показатель правильности прогноза составил всего 56.6%, причем из 1-й группы правильно классифицированы были только 30%.  

При имеющемся уровне сложности и одновременности происходящих процессов модели, основанные на причинных связях , имеют ограниченные возможности для применения вновь происходящие события постоянно меняют спецификации всех переменных (и включенных, и не включенных в модель), а значения априорных вероятностей и размеров выплат по различным стратегиям весьма неопределенны и резко меняются вместе с изменениями показателей экономического роста , процентных ставок, обменных курсов и прибыльностью сделок, не связанных с кредитованием (например, при изменении операционных и комиссионных сборов).  

Так как в реальной ситуации нельзя знать заранее, какая часть из компаний, представленных в случайной выборке , потерпит банкротство в течение года и поскольку авторы двух рассматриваемых моделей, как можно предположить, устанавливали разделяющие уровни, исходя из каких-то конкретных предположений об априорных вероятностях банкротства и цене ошибок, мы упростили процедуру сравнения и ввели относительные разделяющие уровни. Иначе говоря, для каждой модели мы считали сигналами о банкротстве нижние 10% сигналов, выдаваемых моделью за очередной год. На деле такой подход означает общую 10-процентную априорную вероятность банкротства и такое отношение числа сигналов о банкротстве к реальным банкротствам в предыдущем тесте, которое определяется с помощью оптимизирующего порога. Кроме того, этот способ имеет то преимущество, что при этом минимизируются искажения, возникающие из-за большого разрыва во времени между публикацией Z-счета Альтмана и проведением эксперимента. Средние показатели за это время могли измениться, и поэтому разделение компаний на сильные и слабые, исходя из определенной пропорции, представляется более надежным. В табл. 9.2 приведены результаты эксперимента по прогнозированию банкротств на год вперед с указанием погрешности для каждой модели.  

Принимая априорную вероятность за факт, оцените ожидаемую прибыль в случае открытия филиала.  

Обозначим через А. событие, заключающееся в том, что q б [

Пусть, например, выбраны следующие параметры величина капитальных вложений , величина эксплуатационных затрат и цена готовой продукции , которые соответственно могут принимать значения Кь К2, К3 Эь Э2, Э3 Ць Ц2, Цз- Каждому из этих значений соответствует некоторая априорная вероятность, например, Кь Эь Ц имеют вероятность pt = 0,1, для К2, Э2, Ц2 вероятность будет р2 = 0,8, а для К3, Э3, Ц3 - р3 = 0,1.  

Пусть априорная вероятность получения в конце процесса проектирования технического решения , удовлетворяющего по-  

Если игрок 2 имеет в игре Г более одной стратегии и априорные вероятности их использования игроку 1 неизвестны или даже вовсе не имеет смысла говорить об этих вероятностях, то все только что сказанное неприменимо.  

Как мы уже ранее видели, изменения априорных вероятностей р и q зависит от настройки сигнала.  

Отсюда следует, что если мы имеем нейтрального к риску субъекта, который считает, что колл-опцион будет стоить Си с вероятностью тг и j с вероятностью (1 - тг), то этот субъект будет вычислять текущую цену опциона с полном соответствии с выведенным нами уравнением. Заметим, что мы нигде не предполагали наличия априорных вероятностей появления той или иной цены акции и, соответственно, будущей оценки опциона . Изложенный подход называется нейтральной к риску оценкой.  

Пусть тг(

Правая часть (7.53) не является плотностью в собственном смысле, так как интеграл от нее не определен, тем не менее при вычислении по формуле Байеса плотности апостериорного распределения параметров формальных трудностей при работе с (7.53) или не возникает, или они легко могут быть преодолены. Как мы увидим ниже в п. 7.3.2, выбор (7.53) удобен в аналитическом отношении и, казалось бы, хорошо отражает полное отсутствие априорных знаний о распределении параметров. Однако в нем на самом деле скрываются очень сильные предположения отсутствие корреляции между параметрами (не пу-т ть с корреляцией между оценками значений параметров, которая зависит от распределения регрессоров и величины а), пренебрежимая малость априорной вероятности того, что вектор параметров лежит в любом наперед заданном конечном объеме, какова бы ни была его величина, и т. д. Это приводит порою к серьезным трудностям с интерпретацией результатов байесовского оценивания .  

Рассмотрим содержание теоремы Байеса с несколько иной точки зрения . Для этого выпишем все возможные исходы нашего эксперимента. Пусть символы Н0, h означают исход монета не накрыта и ее верхняя сторона - герб" . Если вы оцениваете априорную вероятность осуществления  

Я как V2i то вероятность указанного исхода будет Va X х1/2=1/4- Ниже мы приводим список всех исходов и их априорные вероятности  

Так, в примере с монетой и игральной костью Р(На) - априорная вероятность, Р(На К) - апостериорная вероятность , а Р(Н На) - правдоподобность.  

Если теперь априорная вероятность Р(Н0) может быть взята равной либо 1, либо 0, говорят, что принимающий решение  

Вообразим теперь, что экспериментатор предлагает принимающему решение совершенно надежную (или полную) информацию о том, какой именно предмет не накрыт. Принимающий решение должен, однако, заплатить за услугу сообщения такой совершенно надежной информации, прежде чем он получит эту информацию. Какова была бы ценность такой информации Он может заглянуть вперед и спросить себя, что он будет делать в ответ на каждое из двух возможных сообщений, которые может обеспечить данная услуга, и вычислить свой доход, исходя из полученных ответов. Взвешивание этого дохода с помощью априорных вероятностей возможных сообщений позволило бы ему оценить сумму его ожидаемого дохода, если он уплатит некоторую сумму за совершенно надежную информацию до ее фактического получения. Так как этот ожидаемый доход был бы больше 0,5 долл., т. е. того, что он ожидает на основании одной лишь априорной информации , то прирост дохода и явился бы той максимальной суммой, которую ему имело бы смысл уплатить за информационную услугу.  

Фирма должна закупить большое количество товара либо сегодня, либо завтра. Сегодня цена товара 14,5 долл. за единицу. По мнению фирмы, завтра его цена будет либо 10, либо 20 долл. с равной вероятностью. Пусть х обозначает завтрашнюю цену тогда априорные вероятности равны  

На последнем этапе проверяется надежность выбора априорных вероятностей наступления рыночных состояний и вычисляется ожидаемая полезность от уточнения этих вероятностей. Для этого строится дерево решений . В случае появления необходимости дополнительных исследований рынка рекомендуется приостановить процесс внедрения выбранного варианта нового товара до получения более надежных результатов.  

В маркетинговой практической деятельности фирмы зачастую приходится сравнивать затраты на получение частичной (неполной) информации и затраты на получение дополнительной новой информации для принятия более качественного решения. Менеджер (ЛПР) должен оценить, насколько выгода, получаемая от дополнительной информации , покрывает затраты на ее получение. В данном случае может быть применена теория принятия решений Байеса. Исходными данными являются априорные вероятности P(Sk) и условные вероятности P(Z Sk) появления рыночного состояния Z при условии, что предположено появление состояния 5А. При получении новой информации вычисляются ожидаемые полезности каждой стратегии, а затем выбирается стратегия с максимальным значением ожидаемой полезности. С помощью новой информации ЛПР может исправлять априорные вероятности P(Sk), а это очень важно при принятии решений.  

Теперь желательно узнать, какая будет вероятность появления объективного состояния Sk при получении новой информации. Таким образом, необходимо найти P(Sk Z), где k,q = 1,п. Это условная вероятность и она является уточненной априорной вероятностью. Для вычисления P(Sk Z) воспользуемся формулой Байеса  

Итак, мы получили уточненные априорные вероятности появления объективных рыночных состояний. Весь процесс вычисления и получаемые результаты указаны в табл. 9.11 и 9.12.  

Использование бейесовского подхода (6.47) требует знания априорных вероятностей и плотностей распределения вероятностей.  

Используя полученные из АГК числовые характеристики объектов, мы провели стандартный линейный множественный дискрими-нантный анализ с одинаковыми (равными 33%) априорными вероятностями принадлежности элемента. группам. Правильно были классифицированы 41% от общего числа случаев, и это несколько лучше 33-процентной точности, которая получилась бы при случайном отнесении объекта к той или иной группе. Табл. 8.6 ниже- это таблица неправильных классификаций, которая также называется матрицей ошибок.  

Следующая проблема - это выработка стандарта для тестирования. Для оценки MDA-моделей в большинстве случаев берется небольшое количество образцов, и это увеличивает вероятность того, что модель будет слишком точно подогнана под тестовые данные. В выборках обычно содержится поровну компаний-банкротов и небанкротов, а сами данные, как правило, соответствуют периодам интенсивных банкротств. Это приводит к выводу о том, что надежными являются только результаты оценки модели на новых данных. Из табл. 9.1 видно, что даже на самых благоприятных тестах с новыми данными (когда все примеры берутся из одного периода времени и притом однородными в смысле отраслей и размера предприятия) качество получается хуже, чем на образцах, по которым определялись параметры модели. Поскольку на практике пользователи моделей классификации не смогут настраивать модель на другие априорные вероятности банкротства, размер фирмы или отрасль, реальное качество модели может оказаться еще хуже. Качество может также ухудшиться из-за того, что в выборках, используемых для тестирования MDA-моделей, бывает мало фирм, которые не обанкротились, но находятся в зоне риска. Если таких с риском выживающих фирм всего четыре-пять, то это искажает реальную долю рисковых компаний, и в результате частота ошибок 2-го рода оказывается недооцененной.  

Участвовавшие в сравнении MDA-методы были рассчитаны и оптимизированы, исходя из доли ложных сигналов 10 1 при некоторых априорных вероятностях и цене ошибок. Хотелось бы использовать в качестве ex ante критерия меньшее, чем 10-процентное, число потенциальных банкротов в популяции, но это плохо согласуется с параметрами моделей . Это также противоречит практике, когда снижение порога ниже 10-процентного уровня не приводило к банкротству. Так, когда доля ложных сигналов урезалась до 7%, Z-шкала Таффлера вообще переставала идентифицировать банкротства, а модель Datastream наталкивалась на это препятствие на отметке 8%. В противоположность этому нейронная сеть распознала два случая банкротства ниже разделяющего уровня в 4.5%, т.е. сеть способна работать в условиях, когда на одну правильную идентификацию банкротства приходится всего пять ложных сигналов. Этот показатель сравним с наилучшими результатами, которые получаются у MDA-моделей на гораздо менее требовательных тестах задним числом (ех post). Отсюда следуют два вывода во-первых, нейронные модели представляют собой надежный метод классификации в кредитной сфере, и, во-вторых, использование при обучении в качестве целевой переменной цены акции может оказаться более выгодным, чем собственно показателя банкротство/выживание. В цене акций отражает-  

В гл. 3-5 описываются методы шкалирования предпочтений (весов) будущих событий, количественные оценки степени предпочтения и, мы можем вычислить безусловную вероятность любого результата выборки